10.1.3 古典概型（一）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.3 古典概型 学习目标 1.理解古典概型的概念及特点， 会判断古典概型. 2.掌握古典概型概率公式，能利用公式解决简单的概率计算问题.(重点、难点) 刘雨萌 新知探究 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？本节课我们就来学习一下！ 问题1 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？ 提示　样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等. 刘雨萌 知识梳理 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有　　　　； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性　　　. 则称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称_____ . 有限个 相等 古典 概型 刘雨萌 典例分析 例1　下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； 不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾. (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； 不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每个样本点发生的可能性相等”矛盾. (3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率. 是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等. 刘雨萌 跟踪训练1 (多选)下列试验中是古典概型的是 A.抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况 B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1 　个球 C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点 D.射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数 √ √ 巩固提升 刘雨萌 6 新知探究 问题2 考虑下面的随机事件,如何度量事件A发生的可能性大小? （1）一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生” 解:班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型. 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小. 因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量，显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点. 因此，事件A发生的可能性大小为18/40=0.45 刘雨萌 新知探究 问题2 考虑下面的随机事件,如何度量事件A发生的可能性大小? （2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上” 解:我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}.共有8个样本点,且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.因为B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},所以事件B发生的可能性大小为3/8=0.375 刘雨萌 知识梳理 一般地，设试验E是　　　　　，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含 其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=　 = . 古典概型 利用古典概型的概率计算公式计算概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)=. 刘雨萌 典例分析 例2　　一个口袋内装有大小相同的1个白球和3个黑球，从中摸出2个球.求： (1)样本空间的样本点的总数n； 将3个黑球编号为A1，A2，A3，白球编号为B，则从装有4个球的口袋内摸出2个球， 样本空间Ω={(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，B)，(A3，B)}，共有6个样本点，所以n=6. (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； 事件“摸出2个黑球”={(A1，A2)，(A2，A3)，(A1，A3)}，共有3个样本点. (3)摸出2个黑球的概率. 样本点的总数n=6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数k=3， 故P==，即“摸出2个黑球”的概率为. 刘雨萌 巩固提升 跟踪训练2　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在 同一花坛的概率是　　　.  从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛中的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率P==. 刘雨萌 典例分析 例3. 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A，B，C,D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确答案,假设考生不会做，他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少？ 教材237页 例7 解：试验有选A,选B,选C,选D共4种可能结果,试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}. 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等,所以这是一个古典概型. 设M=“选中正确答案”， 因为正确答案是唯一的，所以n(M)=1. 所以,考生随机选择一个答案,答对的概率 刘雨萌 延伸探究 根据2020年山东省模拟高考试题中发现，在咱们的数学考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么? 刘雨萌 典例分析 例4. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”； C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数 (2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,从而 因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5）(6,6)},所以n(B)=6, 因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)（4,2),(4,3),（5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5)}, 所以n(C)=15, 刘雨萌 新知探究 在上例中,为什么要把两枚骰子标上记号?如果不给两枚骰子标记号,会出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样，(1,2)和（2,1)的结果将无法区别. 当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间Ω1={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}, 且m≤n},则n(Ω1)=21. 事件A=“两个点数之和是5”的结果变为A={(1,4),(2,3)},这时P(A)=2/21 思考:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？ 刘雨萌 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1,1)和（1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此P(A)=2/21,是错误的. 思考:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？ 新知探究 刘雨萌 例5. 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率： (1)A=“第一次摸到红球”； (2)B=“第二次摸到红球”； (3)AB=“两次都摸到红球” 解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表所示 (1)第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1,2行）,即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以 典例分析 刘雨萌 (2)第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列）,即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2), (4,2),(5,2)}, 所以 (3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1,2),(2,1)},所以 同时摸出2个球则事件AB的概率是多少？ 刘雨萌 例6. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人 (1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间 (2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率 解:设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点 (1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)} 不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1), (B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1)} 按性别等比例分层抽样的样本空间 Ω3=(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1), (B2,G2)} 典例分析 刘雨萌 (2)设事件A=“抽到两名男生”,则对于有放回简单随机抽样,A={ (B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}. 因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型,因此P(A)=4/16=0.25 对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2),(B2,B1)}.因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型因此P(A)=2/12=1/6≈0.167. 因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A=Φ,因此P(A)=0 此例表明,同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率,在按性别等比例分层抽样时最小,在不放回简单随机抽样时次之,在有放回简单随机抽样时最大,因此,抽样方法不同,则样本空间不同,某个事件发生的概率也可能不同 刘雨萌 上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高. 上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25;用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167,可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现.所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要. 刘雨萌 课堂小结 注意：抽样时是有序还是无序，有放回还是无放回 刘雨萌 1.下列试验中是古典概型的是 A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率 C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率 √ 随堂演练 2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是 A.0.02 B.0.05 C.0.1 D.0.9 √ 刘雨萌 随堂演练 3.将一枚骰子先后投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数的概率 为　　 .  4.从a，b，c，d四名学生中任选两名去参加不同的活动，则选到学生a的 概率为　　 .  将一枚骰子投掷两次，样本点总数为6×6=36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上的点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(6，4)，(4，6)，共7个，故所求概率为. 刘雨萌 课后作业 韩语班：教材241页 习题1-3 4班：课后作业51 1-10必做，11-16选做 5班：课后作业51 1-14必做，15、16选做 刘雨萌 本节内容结束 $$