期末模拟卷-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（    ） A．种 B．种 C．·种 D．·种 2．设为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 4．现有位老师，位女同学，位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有种，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 6．已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 7．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 10．下列四个命题中正确的是（   ） A．已知事件相互独立，，，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，若，则 D．已知，，，则 11．下列命题中正确的是（   ） A．一组数据，，，，，，，，的分位数为 B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为 D．若随机变量，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，若含x项的系数为80，则实数a的值为 . 13．如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，若，则异面直线的夹角的正弦值为 ． 14．箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； (2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 16．（15分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 17．（15分）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 18．（17分）年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会． (1)求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； (2)记小钟的中奖金额为，求的分布列及数学期望． 19．（17分）我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（    ） A．种 B．种 C．·种 D．·种 【答案】D 【分析】任何两位老师不站在一起，采用插空法，先排4位学生，再使三位教师在学生形成的五个空上排列，由分步乘法计数原理即得． 【详解】要求任何两位老师不站在一起，可以采用插空法， 即先排4位学生，有种方法，再使三位教师在学生形成的五个空上排列，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有不同排法种. 故选：D． 2．设为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过恰当的举例找到三个选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明选项. 【详解】抛掷一枚质地均匀的殶子朝上的点数， 设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”， 表示事件“点数是偶数点”，表示事件“点数是奇数点”， ， 此时满足，但，故选项错误； ，但，故选项错误； 成立，但，故选项错误； 对于选项，对于随机事件，且， 则由得，又， 得， 又因为，所以， 则，故必要性成立， 反之，由可得， 所以，故充分性成立，所以选项正确. 故选： 3．已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 4．现有位老师，位女同学，位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有种，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分老师带一位女同学和两位同学两种情况分别求满足要求的方法，由条件列方程求. 【详解】若老师参加活动时只带一名女生则符合要求的安排方法数为， 若老师参加活动时带两名女生则符合要求的安排方法数为， 所以符合要求的参与活动的方法， 由已知， 所以， 所以. 故选：D. 5．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 【答案】D 【分析】根据散点图中点的分布特征，结合相关性的定义，即可得出结论． 【详解】根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关； 图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关； 图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关． 故选：D 6．已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【答案】B 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 7．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态曲线关于直线对称，得出，即，再利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】由题意知，随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 又， 所以，即， 所以， 因为，则， 所以 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B． 8．已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的线性运算，得，再利用空间向量数量积的运算及空间向量数量积的定义，即可求解. 【详解】设，则， ，所以.    故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 【答案】ACD 【分析】应用二项式展开式求常数项判断A；应用赋值法求各项系数之和判断B；代入自变量分别求出判断C、D； 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 所以的展开式中的常数项是，A对； 的展开式中的各项系数之和为，B错； 由，，即，C对； 由，D对. 故选：ACD 10．下列四个命题中正确的是（   ） A．已知事件相互独立，，，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，若，则 D．已知，，，则 【答案】BCD 【分析】利用独立事件的概率乘法公式和概率加法公式判断A；利用正态分布的对称性判断B，利用二项分布的方差公式和方差的性质判断C，利用全概率公式判断D. 【详解】选项A：因为事件相互独立，，， 所以，，A说法错误； 选项B：因为随机变量，， 又因为，所以，，B说法正确； 选项C：由解得， 又因为随机变量，所以，解得，C说法正确； 选项D：因为，所以， 所以，D说法正确； 故选：BCD 11．下列命题中正确的是（   ） A．一组数据，，，，，，，，的分位数为 B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为 D．若随机变量，且，则 【答案】CD 【分析】根据百分位数的定义求样本的分位数，判断A，由条件结合相关系数的定义确定相关系数判断B，根据分层抽样的方差公式求这名学生物理成绩的方差判断C，结合正态密度曲线的对称性可求结论判断D. 【详解】对于A：该组数据已从小到大排序，又， 故分位数为第位，即，故A错误； 对于B：因为样本点都在直线上，说明是负相关且相关系数为，故B错误； 对于C：这名同学物理成绩的平均数为：， 所以这名同学物理成绩的方差为：，故C正确； 对于D：因为，且，所以， 所以，故D正确. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，若含x项的系数为80，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】， ∴当时，. 故答案为：. 13．如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，若，则异面直线的夹角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理可求得，，根据，利用向量数量积的定义和运算律求得，由向量夹角公式可得结果. 【详解】如图，连接， 在中，由余弦定理得：， ∴. 在中，由余弦定理得：. ∵ ， 故，即异面直线夹角的余弦值为. ∵异面直线夹角的取值范围为， ∴异面直线夹角的正弦值为. 故答案为：. 14．箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是 . 【答案】 【分析】应用古典概型及排列数的计算，再结合对立事件的概率及甲、乙得分公平概率相等即可求出概率. 【详解】由题意得，比赛对甲、乙是公平的，所以先计算甲、乙得分相同的概率， 情形一：甲、乙都得0分，即每一轮甲、乙摸到的球的标号相同，发生的概率为； 情形二：甲、乙都得1分，即三轮中有一轮甲得1分，有一轮乙得1分，有一轮两人摸到的球的标号相同，都不得分， 若相同的标号为1，则， 同理，相同的标号为2的概率，相同的标号为3的概率， 所以甲的累计得分比乙的累计得分大的概率 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； (2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 【答案】(1)答案见解析，有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）完善的列联表并计算的值，即可得出结论； （2）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求得对应概率可得出其分布列及其期望值. 【详解】（1）根据题意，可得如下的的列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 6 24 30 喜欢阅读纸质书 12 18 30 总计 18 42 60 则， 所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关. （2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名， 所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3； 由超几何分布的分布列可得，, ，； 所以X的分布列为： 0 1 2 3 则期望为. 16．（15分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【答案】(1)模型①； (2) 【分析】（1）根据残差点的分布情况分析即可. （2）取对数，将非线性回归转化为线性回归，然后根据所给数据代入公式即可得回归方程. 【详解】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度x可以用线性回归方程来拟合，则． 于是， ， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为． 17．（15分）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）由（1）的信息建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用公式求解. （3）设，分别求出平面和平面的法向量和，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且，所以. （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 18．（17分）年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会． (1)求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； (2)记小钟的中奖金额为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）确定的所有可能取值，求得对应概率即可求解； 【详解】（1）由题可得小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率为． （2）由题可知的所有可能取值为20，60，120． 的分布列为 20 60 120 19．（17分）我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据定义可知，当，范数为奇数时，中0的个数为0或2，根据乘法原理和加法原理求解即可； （2）当为奇数时，要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，可按0的个数为分情况讨论，再根据和的展开式得到的通项公式即可求解； （3）同（2），按0的个数分情况讨论，利用新定义求出的通项公式，再根据组合数的性质化简求解即可. 【详解】（1）由题意可知，当，范数为奇数时，的个数为偶数， 即中0的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，. （2）由题意可知，当为奇数时，在中要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 根据乘法原理和加法原理可得， 因为①， ②， 所以得， 所以. （3）当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 解法一：因为， 所以 . 解法二：因为③， ④， 得， 又因为， 所以 . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$