期末模拟卷-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第二册。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及充要条件的定义判断即可. 【详解】在中，令内角所对的边分别为， 由正弦定理得， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 2．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】取中点，将化为，进而即得. 【详解】 如图，取中点，则， 所以， 所以，又，故，即为等腰三角形， 故选：C． 3．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则    确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下：    将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 4．如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，可得，所成的角即为直线所成的角，设，利用余弦定理可求解. 【详解】取的中点，连接，易得， 则，所成的角即为直线所成的角. 设，因为均为正三角形，为直角三角形，斜边为， 则，，， 在中，由余弦定理，得， 所以直线所成角的余弦值为. 故选：B. 5．经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】对于每个同学而言，当上班长的概率都相等，故你当上班长的概率为. 故选：C. 6．从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 【答案】C 【分析】先将任取的两个数用一组有序实数表示，可列出试验和事件包括的样本点，利用古典概率模型求其概率，再根据各选项的要求逐一判断即可. 【详解】从集合中依次不放回的任取两个数，若用一组有序实数表示， 则试验的样本空间为： ， 则 ， . 对于A，因，故A正确，不合题意； 对于B，因，故为不可能事件，即B正确，不合题意； 对于C，因，则，则， 即事件 A，B 相互不独立，故C错误，符合题意； 对于D，因，故必有，即D正确，不合题意. 故选：C. 7．甲、乙两组数据整理成茎叶图如图所示，下列说法错误的有（    ） ①甲组数据平均数比乙组小； ②乙组数据离散程度更小； ③甲组的分位数比乙组的分位数大10； ④甲组的极差比乙组的方差大； ⑤选择甲组中任一数据，其在乙组中的概率为. A．①④⑤ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据所给数据计算出平均数、百分位数、方差即可判断①、②、③、④，根据古典概型的概率公式判断⑤. 【详解】甲组数据的平均数为， 乙组数据的平均数为， 所以甲组数据平均数比乙组大，故①错误； 乙组数据比较集中，所以乙组数据离散程度更小，故②正确； 因为，所以甲组数据的分位数为； ，所以乙组数据的分位数为； 则甲组的分位数比乙组的分位数大，故③错误； 甲组的极差为， 乙组的方差为， 所以甲组的极差比乙组的方差小，故④错误. 甲组数据有、在乙组数据中，则选择甲组中任一数据，其在乙组中的概率为，故⑤正确. 故选：B 8．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据已知及平面的基本性质确定水平面截正方体所得截面的形状，进而求其面积. 【详解】在正方体中，与平面所成的角是相等的， 所以水平面平行于平面，又水平面恰好经过的中点， 则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为， 如图，所以其面积. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（   ） A．一组数据的第70百分位数为13 B．若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6 C．已知随机事件A和B互斥，且，，则 D．某一组样本数据为，则样本数据落在区间内的频率为 【答案】ACD 【分析】根据，向后推一位即可；利用方差的性质计算即可；根据互斥求出，再利用对立事件来求解；利用古典概型求解即可． 【详解】A选项，数据从小到大排列为，由， 故第5个数作为第70百分位数，即13，A正确； B选项，样本数据的方差为2， 则数据的方差为，所以B选项错； C选项，因为A和B互斥，则， 可得，所以，C正确； D选项，样本数据落在区间有有4个， 所以样本数据落在区间内的频率为，故选D； 故选：ACD． 10．若（为虚数单位），在复平面内对应的点为，则（   ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D． 【答案】ABD 【分析】借助复数运算可得，结合复数实部与虚部定义可得A、B，得到点坐标后即可得C，借助复数及其共轭复数概念计算可得D. 【详解】由，则， 故的实部为，的虚部为，故A、B正确； 则，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为 【答案】ABD 【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D. 【详解】解：由题意可得，，又，平面PAC， 所以平面PAC， 在中，，AC边上的高为， 所以，故A正确； 对于B，在中，，， ， 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设点A到平面PBC的距离为d， 由，得，解得， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误； 由B选项知，，则， 所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 设外接球球心为，外接圆圆心为， 连接，可知平面， 又因为平面， 所以， 在直角三角形中， 可得：，所以， 即三棱锥外接球的半径为，故D正确. 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 【答案】/-0.6 【分析】先利用诱导公式将进行变形，再结合二倍角公式进行求解. 【详解】因为， q， 已知，将其代入可得： . 因为，所以. 故答案为：. 13．甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 【答案】0.34 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【详解】设甲，乙两人击中飞碟为事件，依题意，，相互独立， 所以所求事件概率为 . 故答案为：0.34 14．已知中，与相交于点P，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求得是中点，再利用三角形面积的倍分关系及三角形面积公式求解. 【详解】在中，令，则， 又三点共线，则，解得， 因此. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知. (1)化简； (2)若都是锐角，且，， 求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式得到； （2）根据得到，由角的范围和同角三角函数关系得到，，利用凑角和正弦差角公式得到. 【详解】（1）； （2），即，故， 因为都是锐角，故，， 又，故， 所以 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证； （2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， ∵为的中点，∴且， ∵为的中点，∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面平面， ∴平面. （2）∵，∴， ∴. 在直三棱柱，易知平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ∴， 又∵平面， ∴. 17．（15分）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 【答案】(1)78分 (2)平均数90，方差 (3) 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为， 则， 解得， 所以晋级分数线划为78分合理； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自于同一小组”， 则，共7个样本点， 所以． 18．（17分）某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是． (1)求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率； (2)记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析， 【分析】（1）分别求出甲、乙同学获得一个零食的概率，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解； （2）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3，4，依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望. 【详解】（1）设“甲同学获得一个零食”为事件A，“乙同学获得一个零食”为事件B，“甲、乙两名同学恰好各获得一个零食”为事件C． ， 则； 所以甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率为； （2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则， ， ， ， . X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 19．（17分）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）存在，，（ⅱ）的范围为. 【分析】（1）由已知可得，结合复数乘法的几何意义求，，由此可得结论； （2）设，， （ⅰ）先求，再求，由条件列方程求，由此可得结论； （ⅱ）求，化简关系可得，由此可求范围. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又， 所以，即， 因为， 所以， ， 所以，， （2）设，， 则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为， ， 设对应的复数为， 所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以， （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以的范围为. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第二册。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中，“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，三棱锥中，均为正三角形，为直角三角形，斜边为，为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（    ） A． B． C． D． 6．从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 7．甲、乙两组数据整理成茎叶图如图所示，下列说法错误的有（    ） ①甲组数据平均数比乙组小； ②乙组数据离散程度更小； ③甲组的分位数比乙组的分位数大10； ④甲组的极差比乙组的方差大； ⑤选择甲组中任一数据，其在乙组中的概率为. A．①④⑤ B．①③④ C．①③ D．②④ 8．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（   ） A．一组数据的第70百分位数为13 B．若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6 C．已知随机事件A和B互斥，且，，则 D．某一组样本数据为，则样本数据落在区间内的频率为 10．若（为虚数单位），在复平面内对应的点为，则（   ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D． 11．如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 14．已知中，与相交于点P，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知. (1)化简； (2)若都是锐角，且，， 求的值. 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 17．（15分）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 18．（17分）某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是． (1)求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率； (2)记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望． 19．（17分）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 2 / 5 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$