高二数学下学期期末模拟卷（湘教版选择性必修第二册）

2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 2．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式求得正确答案 【详解】令事件A为“从甲箱中取出一个球是红球”， 事件B为“从甲箱中取出一个球是白球”， 事件C为“从甲箱中取出一个球是黑球”， 事件D为“从乙箱中取出一个球是红球”， 则， 所以 ， 故选；B 3．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数的导数为， 则曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：B. 4．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相关系数的概念即可判断. 【详解】由图可知图（1）和图（3）是正相关，故相关系数为正，又因为图（1）的点较图（3）的点分布密集，故相关性图（1）更好，相关系数较大，即； 图（2）和图（4）是负相关，故相关系数为负，又因为图（2）的点较图（4）的点分布密集，故相关性图（2）更好，相关系数的绝对值较大，即，故； 综上可知：， 故选：A. 5．若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的极值点，分析可知函数在区间上存在极值点，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】函数的定义域为，且， 令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以函数的唯一极值点为， 因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 则函数在区间上存在极值点，且， 所以，解得. 故选：A. 6．如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 7．年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给数据，及参考公式，求线性回归方程即可. 【详解】由题中的数据可知 所以 所以 所以y关于x的线性回归方程为 故选：D 8．在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设知，，从而得到，，，，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由题知，则，，， 又相互独立，则，易知， 则， 对于选项A，因为， 当时，，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 当时，，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，， 所以，故选项D错误， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机事件A，B发生的概率分别为，事件A，B的对立事件分别为，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若A与B互斥，则 C．若，则 A，B相互独立 D． 【答案】ABC 【分析】由对立事件概率的公式求得，判断A选项；由互斥事件的概率公式求得，判断B选项；由独立事件的公式求得，判断C选项；由条件概率即可判断D选项. 【详解】对于A，因为，所以A正确; 对于B，因为A与B互斥，所以，所以B正确; 对于C，因为，根据事件独立性的定义可知A，B相互独立，所以C正确; 对于D，由，所以D错误. 故选：ABC. 10．下列说法正确的是（    ） A．数据的极差与众数之和为 B．数据的第百分位数是 C．在使用经验回归方程进行预测时，决定系数可以用来检检模型的拟合效果，其中越大，模型的拟合效果越好 D．一个袋子中有大小和质地完全相同的个球（标号为），从袋中不放回地依次随机摸出个球.设事件“第一次摸到标号小于的球”，事件“第二次摸到标号小于的球”，则与相互独立 【答案】AC 【分析】对于A，直接求出极差与众数，即可求解；对于B，直接求出第百分位数，即可求解；对于C，利用决定系数越大，模型的拟合效果越好，即可解；对于D，求出，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，数据的极差与众数分别为，其和为，故选项A正确， 对于选项B，因为，所以数据的第百分位数是，故选项B错误， 对于选项C，因为决定系数越大，模型的拟合效果越好，所以选项C正确， 对于选项D，因为，，， 则，所以与不独立，故选项D错误， 故选：AC. 11．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别为，，的中点，若点P在线段EF上运动，则下列结论正确的为（   ） A．与EF为共面直线 B．平面平面EFG C．三棱锥的体积为定值 D．与平面所成角的正切值为 【答案】BCD 【分析】利用线线平行证明线面平行和面面平行，利用空间向量法来求线面角，即可作出判断. 【详解】对于A：连接，如图所示： ∵，分别为，的中点，∴， 又因为平面，平面， ∴平面，平面，且不平行， 则与为异面直线，故A错误； 对于B：连接， ∵点，分别为，的中点，∴，又，∴ ∵平面，平面，∴平面， 由选项A得，平面，平面，∴平面， 又，平面，平面，∴平面平面，故B正确； 对于C：由选项B得平面， ∵点在线段上运动， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值， 又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， ∴，，，设平面的一个法向量为， 则，取，则，， ∴平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， ∴， ∴，，故D正确． 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求得，所以，，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13．已知甲、乙两人投篮命中率分别为，并且他们投篮互不影响现，每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为 . 【答案】 【分析】甲比乙进球数多包含以下三种情况：①甲进1球，乙进0球，②甲进2球，乙进1球，③甲进2球，乙进0球，由此能求出甲比乙进球数多的概率． 【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮2次， 甲比乙进球数多包含以下两种情况： ①甲进1球，乙进0球，概率为：， ②甲进2球，乙进1球，概率为：， ③甲进2球，乙进0球，概率为： 甲比乙进球数多的概率． 故答案为： 14．如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 (1)依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； (2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率； (3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异； (2) (3)分布列见解析，期望值 【分析】（1）根据表中数据代入公式计算即可判断得出结论； （2）由分层抽样确定不同性别的人数，再利用条件概率公式计算可得结果； （3）根据分层抽样确定倾向于购买新能源车与燃油车的人数，得出的所有可能取值并计算对应的概率可得分布列并求得期望值. 【详解】（1）零假设为：对新能源车与燃油车的购买倾向不存在性别差异； 易知， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立， 即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，此推断犯错误的概率不大于； （2）根据表中数据可知按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人中3人为女性，7人为男性； 再从中抽取4人进行座谈，共有种， 其中有女性居民参加座谈的情况共有种； 恰有2名男性居民参加座谈的情况共有种； 因此在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率为 ； （3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性， 采用分层随机抽样的方法抽出12人，可知抽取结果如下表： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 男性居民 7 5 再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为， 的所有可能取值为； 所以，； ，， 的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望. 16．（15分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 【答案】(1) (2)相互独立，理由见解析 【分析】（1）由题意可得共有16个基本事件，再列举出事件包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得共有12个基本事件，再分别列举出事件和同时发生的基本事件，然后求出，再利用独立事件的定义分析判断即可. 【详解】（1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片， 共包含个基本事件， 其中事件：包含3个基本事件， 所以. （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 事件，所以， 事件，所以， 当同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法， 所以， 因为，所以事件与事件是独立的. 17．（15分）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在； 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到平面，再结合线面垂直的性质得到，进而建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法求解正弦值即可. （2）先设，并求出，再求出关键平面的法向量，利用面面夹角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又因为面，所以，同理， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 得到，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， ，所以， 设与平面所成角为， 则， 故与平面所成角正弦值为. （2）设点，， 得到， 可得，故，则，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，故， 因为平面的法向量为， 所以， 即，即， 即，解得或（舍）， 则在线段上存在一点，满足题意，且． 18．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递增区间，单调递减区间； (3). 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，求出，利用导数求出其单调区间. （3）由函数零点的意义分离参数并构造函数，利用导数探讨函数性质，数形结合求出范围. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）当时，，求导得， 当时，，单调递增；当时， ，单调递减， 函数函数单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，由，得，令，， 依题意，直线与函数在上的图象有两个交点， 求导得，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 函数的最大值为，且，，如图： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 19．（17分）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 【答案】(1)分布列见解析， (2)21 (3)单调增，证明见解析 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决； （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可； （3）该模型符合马尔科夫链，得出和之间的递推关系即可判断. 【详解】（1）（1）由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 故比赛次数不会超过5； 由比赛规则可知，若比赛共进行了n局，（）， 即随机事件“第i局比赛中甲获胜”， ， ， ， ． 于是X的分布列为： X 2 3 4 5 P 故； （2）（2）易得，，， 记，则， 由，得，即，；，， 故时，最大，所以n的估计值为21． （3）在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为，记乙在每场比赛是获胜概率为，则 由已知，所以单调增 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第二册。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 2．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．  B．  C．   D．   7．年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数. 第x天 1 2 3 4 5 新增y人 2 3 5 8 12 已知现用最小二乘法算得线性回归方程是（    ） A． B． C． D． 8．在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机事件A，B发生的概率分别为，事件A，B的对立事件分别为，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若A与B互斥，则 C．若，则 A，B相互独立 D． 10．下列说法正确的是（    ） A．数据的极差与众数之和为 B．数据的第百分位数是 C．在使用经验回归方程进行预测时，决定系数可以用来检检模型的拟合效果，其中越大，模型的拟合效果越好 D．一个袋子中有大小和质地完全相同的个球（标号为），从袋中不放回地依次随机摸出个球.设事件“第一次摸到标号小于的球”，事件“第二次摸到标号小于的球”，则与相互独立 11．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别为，，的中点，若点P在线段EF上运动，则下列结论正确的为（   ） A．与EF为共面直线 B．平面平面EFG C．三棱锥的体积为定值 D．与平面所成角的正切值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在处的切线方程为 . 13．已知甲、乙两人投篮命中率分别为，并且他们投篮互不影响现，每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为 . 14．如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 (1)依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异； (2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率； (3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 17．（15分）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 19．（17分）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 2 / 5 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$