2025年高中数学解题技巧之一个桥梁（基本不等式）讲义

大招9    一个桥梁 1. 一个桥梁在基本不等式问题中的应用 已知正数，满足（其中，都为正参数，为的形式），求（或）的最值，可将与以基本不等式作为桥梁建立关系.其具体步骤为：第一步：根据基本不等式变形得到，建立关于（或）的不等式.第二步：解关于（或）的不等式，即可求得（或）的最值，注意验证等号能否取到. 2. 一个桥梁在其他问题中的应用 对于其他类似的已知一个或几个等式成立，求某个量的最值的问题，我们同样可以通过题目中的已知等式来构建桥梁，进而将原问题转化为一个单变量问题，再进行求解. 【典例1】已知正数，满足，则的最小值为______，最大值为______. 【大招指引】我们的目标是求的最小值和最大值，所以式子中，可以不动，需要往与上转化，观察发现，通分即可，进而以基本不等式为桥梁即可得到只含的不等式，解出范围即可， 【解析】因为，且（当且仅当时取等号），所以， 即，得， 当时，，当时，. 所以的最小值为1，最大值为4. 【题后反思】本题也可以利用以下方法进行求解： 由题意可得，因为， 所以，令，则， 解得，所以的最小值为1，最大值为4. 【温馨提醒】通过上面的例子可以感受到，使用基本不等式作为“桥梁”的目的是通过式子之间的关系减少所求问题中变量的个数，尽量转化为单变量问题. 【举一反三】 1． 已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 【典例2】若，满足，则（ ） A.              B. B.             D. 【大招指引】要求的取值范围，需要先把化成关于与的式子，再利用建立关于的不等式；要求的取值范围，需利用建立关于的不等式. 【解析】由（桥梁），当且仅当时取等号，可得， 即，可得，所以选项A错误，选项B正确. 由（桥梁），当且仅当时取等号，可得，即，所以选项C正确. 对于选项D，只需举出一个反例即可，不妨令，由 可得，解得， 当时，， 所以，所以选项D错误. 故选BC. 【题后反思】求的最小值为，也可以通过三角换元求得.大致思路为：，令，，得，，进而通过三角函数知识解决，具体步骤不再展示. 【温馨提醒】一个桥梁的实质是利用基本不等式或变形建立已知和所求之间的联系，其关键是合理选择基本不等式进行放大或缩小，以达到其证明目的. 【举一反三】 2． 已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． B． D． 【答案】ABD 【分析】先设，然后代入，最后根据判别式即可判断A，对直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值，即可判断C，通过对变形，即，然后使用基本不等式即可判断D. 【详解】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立. 3． 已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由已知结合基本不等式可得，令，则转化为，求出的范围可得答案. 【详解】因为，，且， 所以， 即，当且仅当时取等号， 令，则， 所以，得， 所以，得， 即，所以的最小值为4. 故选：C 4． 已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】根据已知条件，应用1的活用常值代换结合基本不等式求出最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为. 故选：C. 5． 已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 6． 设，，，则（    ） A． 有最大值8 B．有最小值8 B． 有最大值8 D．有最小值8 【答案】B 【分析】对于选项A、B，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；对于选项C，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；举出反例可判断选项D. 【详解】因为，，， 设，则，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 所以，即，解得（舍）或， 所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确； 设，则，所以，则 . 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 所以，即解得或（舍）， 所以，即时等号成立，故选项C错误; 对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误. 故选：B 7． 设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由基本不等式结合待定系数比例即可得解. 【详解】设，， 令，解得，所以， 即，当且仅当，时，等号成立． 故选：D. 8． 已知a，b为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． B． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由已知可得，然后结合基本不等式判断，对于B，对不等式变形后，结合基本不等式判断，对于C，，再利用基本不等式判断，对于D，，然后构造函数，利用导数可求得其最小值. 【详解】对于A，由可知，所以，，所以A正确； 对于B，等价于，即， 因为，当且仅当时取等号，所以B正确； 对于C，（当且仅当，时或，时取“＝”），C选项正确； 对于D，，令，有， 由，得，则，得， 所以的减区间为，增区间为，所以．故，所以D错误． 故选：ABC． 9． 已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A． 的最大值为4 B．的最小值为 B． 的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 10． 已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A． 的最大值为1 B．的最小值为4 B． 的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11． 已知，，，则的最小值为 . 【答案】## 【分析】依题意可得且，从而将目标式化为，再换元，利用基本不等式计算可得. 【详解】∵，，，∴，且， 则 令， 原式 ， 当且仅当，即取等号，故的最小值为. 故答案为： 12． 已知实数x，y满足，且，则的最小值为 ． 【答案】## 【分析】先对进行因式分解得出；再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以. 又因为实数x，y满足， 所以， 则由基本不等式可得：， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招9    一个桥梁 1.一个桥梁在基本不等式问题中的应用 已知正数，满足（其中，都为正参数，为的形式），求（或）的最值，可将与以基本不等式作为桥梁建立关系.其具体步骤为：第一步：根据基本不等式变形得到，建立关于（或）的不等式.第二步：解关于（或）的不等式，即可求得（或）的最值，注意验证等号能否取到. 2.一个桥梁在其他问题中的应用 对于其他类似的已知一个或几个等式成立，求某个量的最值的问题，我们同样可以通过题目中的已知等式来构建桥梁，进而将原问题转化为一个单变量问题，再进行求解. 【典例1】已知正数，满足，则的最小值为______，最大值为______. 【大招指引】我们的目标是求的最小值和最大值，所以式子中，可以不动，需要往与上转化，观察发现，通分即可，进而以基本不等式为桥梁即可得到只含的不等式，解出范围即可， 【解析】因为，且（当且仅当时取等号），所以， 即，得， 当时，，当时，. 所以的最小值为1，最大值为4. 【题后反思】本题也可以利用以下方法进行求解： 由题意可得，因为， 所以，令，则， 解得，所以的最小值为1，最大值为4. 【温馨提醒】通过上面的例子可以感受到，使用基本不等式作为“桥梁”的目的是通过式子之间的关系减少所求问题中变量的个数，尽量转化为单变量问题. 【举一反三】 1．已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【典例2】若，满足，则（ ） A.             B. C.            D. 【大招指引】要求的取值范围，需要先把化成关于与的式子，再利用建立关于的不等式；要求的取值范围，需利用建立关于的不等式. 【解析】由（桥梁），当且仅当时取等号，可得， 即，可得，所以选项A错误，选项B正确. 由（桥梁），当且仅当时取等号，可得，即，所以选项C正确. 对于选项D，只需举出一个反例即可，不妨令，由 可得，解得， 当时，， 所以，所以选项D错误. 故选BC. 【题后反思】求的最小值为，也可以通过三角换元求得.大致思路为：，令，，得，，进而通过三角函数知识解决，具体步骤不再展示. 【温馨提醒】一个桥梁的实质是利用基本不等式或变形建立已知和所求之间的联系，其关键是合理选择基本不等式进行放大或缩小，以达到其证明目的. 【举一反三】 2．已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 7．设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 8．已知a，b为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 10．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 11．已知，，，则的最小值为 . 12．已知实数x，y满足，且，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$