高中数学解题技巧之地位等价法讲义

大招3  地位等价法 处理形如“已知正数满足，求的最小值_________.”我们发现a与b的地位等价，(x与y的次数相同，系数也相同.交换x与y后题目不发生改变)，我们一般作如下操作： 第一步：取等条件x=y； 第二步：； 第三步：求得. 【典例1】，，，则xy最小为______． 【大招指引】x与y的次数相同，系数也相同.交换x与y后题目不发生改变． 解析：在xy中令，将其替换至原式中，得，与原式对称相等 将代入得得 ∴ 【题后反思】若对于非负实数实数a，b满足a+b=2，求ab的最小值. 分析:因为a与b在题目中地位是等价的故令a=b，则a=b=1，所以ab=1.经检验，错了. 虽然有些题目不灵，但是在考试中极少，大约占5%. 【温馨提醒】 不是所有的有关不等式的题目都能用地位等价法，因为有些变量在题目中的地位压根不等价;不是所有的题目用地位等价法都是对的，当你没有其他思路时可以运用. 【举一反三】 1． 已知，求的取值范围 ． 2． 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 ． 3． 若正实数满足，则的最小值为 A．2 B．1 C． D．2 【2023贵州毕节三诊】 4． 若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【2023江西南昌稳派二模】 5． 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【2023华大新高考联盟4月测评】 6． 已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．40 C． D． 7． 若实数，满足，，则实数的最小值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招3  地位等价法 处理形如“已知正数满足，求的最小值_________.”我们发现a与b的地位等价，(x与y的次数相同，系数也相同.交换x与y后题目不发生改变)，我们一般作如下操作： 第一步：取等条件x=y； 第二步：； 第三步：求得. 【典例1】，，，则xy最小为______． 【大招指引】x与y的次数相同，系数也相同.交换x与y后题目不发生改变． 解析：在xy中令，将其替换至原式中，得，与原式对称相等 将代入得得 ∴ 【题后反思】若对于非负实数实数a，b满足a+b=2，求ab的最小值. 分析:因为a与b在题目中地位是等价的故令a=b，则a=b=1，所以ab=1.经检验，错了. 虽然有些题目不灵，但是在考试中极少，大约占5%. 【温馨提醒】 不是所有的有关不等式的题目都能用地位等价法，因为有些变量在题目中的地位压根不等价;不是所有的题目用地位等价法都是对的，当你没有其他思路时可以运用. 【举一反三】 1． 已知，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】令，利用圆心到直线距离小于等于半径可解. 【详解】将化为，表示以为圆心，为半径的圆， 令，即， 由题可知，直线和圆有公共点，所以，即，解得. 即的取值范围为. 故答案为： 2． 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 ． 【答案】－1. 【分析】首先把转化为，再由柯西不等式得到，分别用表示，代入到中得到关于的二次函数，求出最小值即可 【详解】解： ， ， 故当最大时，有，， ， 当，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】考查柯西不等式的应用以及二次函数求最值，属于难题. 3． 若正实数满足，则的最小值为 A．2 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可． 详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2， 当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号． 故选D. 点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题． 【2023贵州毕节三诊】 4． 若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的等式，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式判断作答. 【详解】，由，得， 于是，整理得，当且仅当时取等号， 解得，A错误，B正确； 又，即，当且仅当时取等号，CD错误. 故选：B 【2023江西南昌稳派二模】 5． 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 故选：B. 【2023华大新高考联盟4月测评】 6． 已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．40 C． D． 【答案】C 【分析】由两次应用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 7． 若实数，满足，，则实数的最小值为 【答案】 【分析】先由题意，根据基本不等式，得到，得出，再由，得到，根据得，令，根据题意得到，由函数单调性，得到的最值，进而可求出结果. 【详解】因为，，所以，即，当且仅当时，取等号；因此， 又，所以，即， 由得，所以， 令，因为，当且仅当时取等号. 所以， 又易知函数在上单调递增， 因此， 因此. 即实数的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$