20 方法专题1 角平分线的辅助线作法 -【智乐星中考·命题研究】2025年重庆中考数学讲练本

数学 2025重庆 1 2 3 作法1向两边作垂线 【学会模型】 图形 条件 作法 适用范围 结论 OP平分∠MON。PA⊥OM 过点P作PB⊥ON 于点B 有角平分线。且角平分线上一点向角的一边已作垂线段 ①PA=PB； ②Rt△AOP ≌Rt△BOP 4 例1 如图。在Rt△ABC中。∠A=90°。BD是△ABC的角平分线. 若AC=9。CD=6。则点D到BC的距离是　　　　.  【作图启发】 角平分线上的一点是　　　　。垂线段是　　　　。过点　　作　　的垂线段.  3 5 【运用模型】 练1 如图。在四边形ABCD中。∠A=90°。AD=3。BC=5。对角线BD 平分∠ABC。则△BCD的面积为　　　　.  7.5 6 练2 如图。在△ABC中。∠B=30°。∠C=45°。AD平分∠BAC。交BC 于点D。DE⊥AB。垂足为E.若DE=1。则BC的长为　　　　.  2+　 7 练3 如图。OE平分∠AOB。EM∥OA。EN⊥OA.若EN=3。ON=5。 则EM=　　　　.  8 练4 如图。在△ABC中。过内部一点P。作PD⊥BC。PE⊥AB。PF⊥ AC。垂足分别为D。E。F。且PD=PE=PF。∠A=120°。连接PB。PC. (1)求∠BPC的度数； (2)若PB=6。PC=2。求BC的长. 9 解：(1)∵PD=PE=PF， ∴易得∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB， ∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-(∠ABC+∠ACB) =180°-(180°-∠A)=180°-30°=150°. 10 (2)如图，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于点H. ∵∠BPC=150°，∴∠CPH=30°. ∵PC=2，∴CH=， ∴PH=CP·cos 30°=2×=3. ∵BP=6，∴BH=BP+PH=9， ∴BC====2. 11 作法2截长或补短法构造全等三角形 【学会模型】 图形 条件 作法 适用范围 结论 P是△AON中∠AON的平分线上一点 截长法：在ON上截取OB=OA。连接PB 有角平分线。设问角度为证线段关系或求线段长 △OPB≌△OPA P是△AON中∠AON的平分线上一点 补短法：延长OA至点M。使OM=ON。连接PM △OPN≌△OPM 12 例2 如图。AC平分∠BAD。∠B+∠D=180°。CE⊥AD于点E。 AD=18 cm。AB=11 cm。求DE的长度. 【作图启发】 角平分线上的一点是　　　　.截长法：在　　　截取　　　等于　　　　。证　　　　 ≌　　　　　.  13 【规范解答】 解：如图，在线段AD上截取AF=AB，连接CF. ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠FAC. 又∵AC=AC， ∴△BAC≌△FAC(SAS)， ∴∠B=∠AFC，AB=AF=11 cm. ∵∠B+∠D=180°，∠AFC+∠CFE=180°， ∴∠CFE=∠D，∴CF=CD. 又∵CE⊥FD，∴FE=DE=DF. ∵DF=AD-AF=7 cm，∴DE=3.5 cm. 14 【运用模型】 练5 如图。在△ABC中。AB=AC。∠A=90°。BE是∠ABC的平分线。CD⊥BE交BE的延长线于点D. (1)求证：BE=2CD； (2)连接AD。若AB=4。S△BDC=6。求三角形ABD的面积. 15 (1)证明：如图，延长BA，CD相交于点Q. ∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°， ∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°， ∴∠ACQ=∠ABE. 在△ABE和△ACQ中， ∴△ABE≌△ACQ(ASA)，∴BE=CQ. ∵BD平分∠ABC，∴∠QBD=∠CBD， ∵∠BDC=90°，∴∠BDC=∠BDQ=90°. 16 在△QDB和△CDB中， ∴△QDB≌△CDB(ASA)，∴CD=DQ， ∴BE=CQ=2CD. 17 (2)解：∵△QDB≌△CDB， ∴S△BDQ=S△BDC=6，∴S△BCQ=12， ∴S△ACQ=S△BCQ-S△ABC=12-×4×4=4. ∵CD=DQ，∴S△ADQ=S△ACQ=2， ∴S△ABD=S△BDQ-S△ADQ=4. 18 练6 如图。AC平分∠BAD。CE⊥AB于点E。∠B+∠D=180°。求证：AE=AD+BE. 19 证明：如图，在EA上取点F，使EF=BE，连接CF. ∵CE⊥AB， ∴CF=CB，∴∠CFB=∠B. ∵∠AFC+∠CFB=180°， ∠D+∠B=180°， ∴∠D=∠AFC. ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠FAC. 20 在△ACD和△ACF中， ∴△ACD≌△ACF(AAS)， ∴AD=AF，∴AE=AF+EF=AD+BE. 21 作法3角平分线+垂线。构造等腰三角形 【学会模型】 图形 条件 作法 适用范围 结论 P是∠MON的平分线上一点。AP⊥OP 延长AP交ON于点B 有角平分线。且有垂直于角平分线的线段。设问角度为求线段长度或图形面积 ①△AOB是等腰三角形； ②AP=BP； ③Rt△AOP ≌Rt△BOP 22 例3 如图。△ABC中。BD平分∠ABC。AD⊥BD。△BCD的面积为 38。△ADC的面积为17。则△ABD的面积为　　　　.  【作图启发】 角平分线上的一点是　　　。　　　⊥　　　。延长　　　　交　　　　于点　　　　　.  21　 23 【运用模型】 练7 如图。已知S△ABC=24。AD平分∠BAC。且 AD⊥BD 于点D。 则S△ADC=　　　　.  12　 24 练8 如图。在△ABC中。BC=10。AC-AB=6.过点C作∠BAC的平分线的 垂线。垂足为D。点E为DC边的中点。连接BD。CD。则S△BEC的最大值 为　　　　　.  7.5　 25 练9 在Rt△ABC中。∠ABC=90°。D是CB延长线上一点。E是线段AB上一点。连接DE。BF平分∠ABC交AC于点F. (1)如图1。连接EF。当∠C=∠BEF。DE=。BC=1时。求BD的长； (2)如图2。AC=DE。BC=BE。G是线段FB延长线上一点。连接DG。H是线段DG上一点.连接AH交BD于点K。连接KG。当KB平分∠AKG时。求证：AK=DG+KG. 26 (1)解：∵BF平分∠ABC， ∴∠CBF=∠ABF=45°. ∵BF=BF，∠C=∠BEF， ∴△BCF≌△BEF(AAS)， ∴BE=BC=1， ∴在Rt△BDE中，BD==. 27 (2)证明：如图，作BM平分∠ABD交AK于点M. ∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG， ∴∠ABM=∠MBD=45°，∠AKB=∠BKG. ∵∠ABF=∠CBF=∠DBG=45°，∴∠MBD=∠GBD. 又∵∠AKB=∠BKG，BK=BK， ∴△BMK≌△BGK(ASA)， ∴BM=BG，MK=GK. 28 ∵AC=DE，BC=BE， ∴Rt△ACB≌Rt△DEB(HL)，∴AB=BD. ∵BM=BG，∠ABM=∠DBG=45°， ∴△ABM≌△DBG(SAS)，∴AM=DG. ∵AK=AM+MK，∴AK=DG+KG. 29 作法4作平行线。构造等腰三角形 【学会模型】 图形 条件 作法 适用范围 结论 P是∠MON的平分线上一点 过点P作PQ∥ON。交OM于点Q 题目条件中有角平分线。且问题多为计算线段长度或圆中证明切线时适用 ①∠QOP= ∠PON= ∠QPO； ②△POQ是等腰三角形 30 例4 如图。在△ABC中。∠BAC=120°。AD平分∠BAC交BC于点D。 过点D作DE∥AB交AC于点E。已知AD=3。CE=5。则AC的长为 　　　　.  【作图启发】角平分线上一点是　　　　。过此点的平行线是 　　　　　。△ADE是　　　　三角形.(填“等边”“等腰”或“等腰直角”)  8 31 【运用模型】 练10 如图。在Rt△ABC中。∠C=90°。∠BAC的平分线交BC于点D。 DE∥AB。交AC于点E。DF⊥AB于点F.若DE=5。DF=3。则AC的长为 　　　　.  9 32 练11 如图。在△ABC中。AD平分∠BAC交BC边于点D。点E是BC边的中点。线段EF∥AD交线段AB于点G。交线段CA的延长线于点F.求证：BG=CF. 33 证明：如图，作CM∥AB交FE的延长线于点M. ∵BG∥CM，∴∠B=∠MCE. ∵点E是BC的中点，∴BE=EC. 又∵∠BEG=∠CEM， ∴△BEG≌△CEM(ASA)，∴BG=CM. ∵AD∥EF， ∴∠BAD=∠FGA，∠CAD=∠F. ∵∠BAD=∠CAD， ∴∠F=∠FGA. ∵AB∥CM，∴∠FGA=∠M，∴∠F=∠M， ∴CF=CM，∴BG=CF. 34 作法5两内角平分线的交角 【学会模型】 图形 条件 适用范围 结论 点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点(点P是△ABC的内心)。FG∥BC。PD∥AB。 PE∥AC 两个内角平分线交于三角形内部一点。且存在平行线 ①∠BPC=90° +∠A；②△PDE的周长=BC； ③△AFG的周长=AB+AC 35 例5 如图。在△ABC中。AB=AC。∠ABC=70°。点O是△ABC的 内心。则∠BOC的度数为(　　) 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 A.120° B.110° C.115° D.130° 【作图启发】两条角平分线是　　　　和　　　　。交点为　　　　。∠BOC=　　　.  B 36 【运用模型】 练12 如图。△ABC与△ADE有一个公共顶点A。且B。A。E共线。D在边 AC上。∠BED与∠ACB的平分线交于点F.若∠B=40°。∠EDA=56°。 则∠EFC=　　　　.  82°　 37 练13 已知：如图。∠B=34°。∠D=40°。AM。CM分别平分∠BAD和∠BCD. (1)求∠M的大小； (2)当∠B。∠D为任意角时。探索∠M与∠B。 ∠D之间的数量关系。并对你的结论加以证明. 38 解：(1)如图，在△ABE和△CEM中， ∠B+∠1=180°-∠AEB，∠M+∠3=180°-∠CEM， ∴∠M=∠B+∠1-∠3 ，① 同理∠M=∠D+∠4-∠2 .② ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴①+②得2∠M=∠B+∠D， 即∠M=(∠B+∠D)=×(34°+40°)=37°. 39 (2) 当∠B，∠D为任意角时，∠M=(∠B+∠D). 证明：如图，根据三角形外角性质可得 ∠5=∠M+∠3，∠5=∠B+∠1， ∠6=∠M+∠2，∠6=∠D+∠4， ∴∠M+∠3=∠B+∠1，∠M+∠2=∠D+∠4， ∴2∠M+(∠2+∠3)=(∠B+∠D)+(∠1+∠4). 又∵AM，CM分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠3=∠1+∠4， ∴2∠M=∠B+∠D，即∠M=(∠B+∠D). 40 作法6一内角一外角平分线的交角 【学会模型】 图形 条件 适用范围 结论 点P是∠ABC和∠ACE平分线的交点 一个内角平分线与一个外角平分线交于三角形外部一点 ∠P=∠A 41 例6 如图。在△ABC中。∠ABC。∠EAC的平分线BP。AP交于点P。 延长BA。BC。PM⊥BE。PN⊥BC。垂足分别为M。N。则下列结论： ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB； ④AM+CN=AC.其中正确结论的个数有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【作图启发】两条角平分线是　　　　和　　　　。交于点　　　　.  D 42 【运用模型】 练14 (1)如图1。在△ABC中。∠A=40°。点E是△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线的交点。则∠E的度数为　　　.  (2)如图2。在△ABC中。∠A=40°。延长AB至点E。延长BC至点D。已知∠ABC。∠CBE的平分线与∠ACD的平分线及其反向延长线交于点P。F。求∠F的度数. (3)如图3。四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状. ①已知∠A=150°。∠D=80°。求∠E+∠F的度数； ②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的数量关系. 43 解：(1)20° (2)∵∠ABC和∠CBE是邻补角， ∴∠ABC+∠CBE=180°. ∵BP平分∠ABC，BF平分∠CBE， ∴∠CBP=∠ABC，∠CBF=∠CBE， ∴∠CBP+∠CBF=(∠ABC+∠CBE)=×180°=90°， 即∠PBF=90°，∴∠P+∠F=90°， 由(1)可知∠P=∠A=20°， ∴∠F=90°-∠P=70°. 44 (3)①如图，延长BA，CD交于点M，延长BF，CE交于点N. ∵∠MAD=180°-∠BAD，∠MDA=180°-∠CDA， ∴∠MAD+∠MDA=360°-(∠BAD+∠CDA)， ∴∠M=180°-(∠MAD+∠MDA)=180°-360°+(∠BAD+∠CDA)， 即∠M=∠BAD+∠CDA-180°， 同理∠N=∠CEF+∠BFE-180°. ∵∠BAD=150°，∠CDA=80°， ∴∠M=150°+80°-180°=50°， 由(1)可知∠N=∠M=25°， ∴∠CEF+∠BFE=180°+∠N=205°. ②2(∠E+∠F)-(∠A+∠D)=180°. 45 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 46 $$