19 第4章 第3节 全等三角形 -【智乐星中考·命题研究】2025年重庆中考数学讲练本

数学 2025重庆 1 2 第三节　全等三角形 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 4 知识点1 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等。对应角相等.全等三角形的对应线段(高、 中线、角平分线)、周长、面积分别对应相等. 5 【方法指导】 (1)对应边、对应角是对两个三角形而言的。指两条边、两个角的关系。而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系； (2)全等三角形具有传递性。若△ABC≌△DEF。△DEF≌△MNP。则△ABC≌△MNP. 6 知识点2 全等三角形的判定 1.全等三角形的判定方法 (1)一般三角形全等的判定方法：_________。__________。_________。 __________.  (2)直角三角形全等的判定方法：除上述四种判定方法外。还有________.  　SSS　 　ASA　 　SAS　 　AAS　 　HL　 7 为了理解记忆三角形全等的判定条件。现归纳如下表： 已知条件 是否全等 图形(或反例) 形式结论 三边 是 SSS 两边 一角 两边及夹角 是 SAS 两边及所对非直角 否 无 两边及所对直角 是 HL 8 两角 一边 两角及夹边 是 ASA 两角及对边 是 AAS 三角 否 无 9 2.证明三角形全等的一般思路 10 3.全等三角形常见基本模型 模型 图形示例 平移 模型 对称 模型 11 模型 图形示例 旋转 模型 平移+旋 转模型 12 命题点　　　全等三角形的判定与性质 (A卷：6年4考。B卷：6年6考) 考法❶　全等三角形判定条件的选择 例1 如图。已知AB=AD。那么添加下列一个条件后。不能判定△ABC≌△ADC的是(　　)　　　　 A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° C 13 练1 (2021·重庆A卷)如图。点B。F。C。E共线。∠B=∠E。BF=EC。 添加一个条件。不能判定△ABC≌△DEF的是(　　) A.AB=DE B.∠A=∠D C.AC=DF D.AC∥FD C 14 考法❷　平移模型 例2 (2024·内江)如图。点A。D。B。E在同一条直线上。AD=BE。AC=DF。BC=EF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠A=55°。∠E=45°。求∠F的度数. 15 【规范解答】 (1)证明：∵AD=BE， ∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)解：∵∠A=55°，∠E=45°，△ABC≌△DEF， ∴∠A=∠FDE=55°， ∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°. 16 练2 如图。点A。B。C。D在一条直线上。EA∥FB。EA=FB。AB=CD. (1)求证：∠E=∠F； (2)若∠A=40°。∠D=80°。求∠E的度数. 17 (1)证明：∵EA∥FB，∴∠A=∠FBD. ∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，∴AC=BD. 在△EAC和△FBD中， ∴△EAC≌△FBD(SAS)，∴∠E=∠F. (2)解：∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA=∠D=80°. ∵∠A=40°，∴∠E=180°-40°-80°=60°. 18 考法❸　对称模型 例3 (2023·江西)如图。AB=AD。AC平分∠BAD.求证：△ABC≌△ADC. 19 【规范解答】 证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SAS). 20 练3 (2023·福建)如图。OA=OC。OB=OD。∠AOD=∠COB.求证：AB=CD. 21 证明：∵∠AOD=∠COB， ∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD，∴∠AOB=∠COD. 在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD(SAS)，∴AB=CD. 22 练4 (2023·长沙)如图。AB=AC。CD⊥AB。BE⊥AC。垂足分别为D。E. (1)求证：△ABE≌△ACD； (2)若AE=6。CD=8。求BD的长. 23 (1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB=∠ADC=90°. 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(AAS). (2)解：∵△ABE≌△ACD，∴AD=AE=6. 在Rt△ACD中，AC===10. ∵AB=AC=10，∴BD=AB-AD=10-6=4. 24 考法❹　半角模型 例4 如图。等腰直角三角形ABC中。∠BAC= 90°。AB=AC。点M。N在边BC 上。且∠MAN=45°.若BM=1。CN=3。求MN的长. 25 【规范解答】 解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为C，截取CE，使CE=BM.连接AE，EN. ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°. ∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°. 在△ABM和△ACE中， ∴△ABM≌△ACE(SAS)，∴AM=AE，∠BAM=∠CAE. ∵∠BAC=90°，∠MAN=45°， ∴∠BAM+∠CAN=45°. 26 ∵∠BAM=∠CAE，∴∠MAN=∠EAN=45°. 在△MAN和△EAN中， ∴△MAN≌△EAN(SAS)，∴MN=EN. 在Rt△ENC中，由勾股定理得EN2=EC2+NC2， ∴MN2=BM2+NC2. ∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32=10，∴MN=. 27 【解题通法】 等腰三角形含半角 等边三角形含半角 等腰直角三角形含半角 已知： ∠BAC=2α。 AB=AC。 ∠DAE=∠BAC=α 已知：△ABC是等边三角形。∠BDC=120°。 BD=CD。∠EDF=60° 已知：∠BAC=90°。AB=AC。 ∠DAE=45° 28 旋转2α变形后.结论： ①△ABD≌△ACF。 △ADE≌△AFE； ②∠ECF= 180°-2α 旋转120°变形后.结论： ①△BDE≌△CDG。 △DEF≌△DGF； ②EF= BE+FC 旋转90°变形后. 结论： ①△ABD≌△ACF。 △ADE≌△AFE； ②∠ECF=90°； ③DE2=BD2+EC2 29 练5 如图。在正方形ABCD中。点E。F分别在BC。AB上。且∠FDE=45°。连接EF。试探究EF。AF。CE之间的数量关系. 30 解：如图，将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAG， ∴∠DAG=∠DCE=90°， ∴∠DAG+∠DAF=180°， ∴G，A，F三点共线. ∵∠EDC+∠ADF+∠FDE=90°，∠FDE=45°， ∴∠EDC+∠ADF=45°. 31 又∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAG， ∴DE=DG，∠GDA=∠EDC， ∴∠GDA+∠ADF=∠GDF=∠FDE=45°. 在△DGF和△DEF中， ∴△DGF≌△DEF(SAS)，∴EF=GF=GA+AF. 又∵GA=CE，∴EF=AF+CE. 32 练6 如图。在四边形ABCD中。∠B=∠D=90°。E。F分别是BC。CD上的点。连接AE。AF。EF. (1)如图1。AB=AD。∠BAD=120°。∠EAF=60°.求证：EF=BE+DF； (2)如图2。若四边形ABCD为正方形。点E。F分别在边BC。CD上。且∠EAF=45°.若BE=3。DF=2。请求出线段EF的长度. 33 (1)证明：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG. 在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG. ∵∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=60°， ∴∠EAF=∠FAG=60°. 图1 34 在△EAF和△GAF中， ∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF=FG=DG+DF，∴EF=BE+DF. 35 (2)解：如图2，旋转△ABE至△ADP的位置， ∴∠PAE=∠DAE+∠PAD=∠DAE+∠EAB=90°， AP=AE，∠PAF=∠PAE-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF. 在△PAF和△EAF中， ∴△PAF≌△EAF(SAS)， ∴EF=FP， ∴EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5. 图2 36 考法❺　手拉手模型 例5 (2024·云南)如图。在△ABC和△AED中。AB=AE。∠BAE= ∠CAD。AC=AD.求证：△ABC≌△AED. 37 【规范解答】 证明：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE，即∠BAC=∠EAD. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS). 38 【解题通法】 图形 结论 等边三角形ABC。 等边三角形CDE ①△BCD≌△ACE； ②BD=AE； ③∠APB=60°； ④PC 平分∠BPE； ⑤BP=PA+PC； PE=PD+PC 39 图形 结论 等腰直角三角形ABC。等腰直角三角形CDE ①△BCD≌△ACE； ②BD=AE； ③∠APB=90°； ④PC平分∠BPE； ⑤BP=PA+PC； PE=PD+PC 40 图形 结论 正方形ABCD。 正方形CEFG ①△BCG≌△DCE； ②BG=DE； ③∠BPD=90°； ④PC平分∠BPE； ⑤BP=PD+ PC； PE=PG+PC 41 图形 结论 等腰三角形ABC。 等腰三角形CDE。 ∠ACB=∠DCE=α ①△BCE≌△ACD； ②BE=AD； ③∠APB=α； ④PC平分∠BPD 42 练7 如图1。△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形。分别以AB。BC为边向外作正方形ABFG。BCED。连接AD。CF。AD与CF交于点M。AB与CF交于点N. (1)求证：△ABD≌△FBC； (2)如图2。连接AF。FD。CD。若AD=6。 求四边形ACDF的面积. 43 (1)证明∵四边形ABFG，BCED是正方形， ∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°， ∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC， 即∠FBC=∠ABD. 在△ABD和△FBC中， ∴△ABD≌△FBC(SAS). 44 (2)解：∵△ABD≌△FBC， ∴∠BAD=∠BFC，AD=FC=6， ∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA =180°-(∠BFC+∠BNF) =180°-90°=90°， ∴AD⊥CF， ∴S四边形ACDF=S△ACD+S△ACF+S△DFM-S△ACM =AD·CM+CF·AM+DM·FM-AM·CM =3CM+3AM+(6-AM)(6-CM)-AM·CM=18. 45 练8 (1)如图1。△ABC和△DCE都是等边三角形。且B。C。D三点在一条直线上。连接AD。BE相交于点P。求证：BE=AD； (2)如图2。在△BCD中。若∠BCD<120°。分别以BC。CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC。等边三角形CDE。等边三角形BDF。连接AD。BE。CF交于点P. ①求证：AD=BE=CF； ②如图2。试猜想PB。PC。PD与BE存在 怎样的数量关系。并说明理由. 46 (1)证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE， 即∠BCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD(SAS)， ∴BE=AD. 47 (2)①证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， 即∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD=BE， 同理△ABD≌△CBF(SAS)， ∴AD=CF， 即AD=BE=CF. 48 ②解：结论：PB+PC+PD=BE. 理由：如图，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP， 由①知△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE. 在△ACQ中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°， ∴∠CBE+∠BQP=120°， ∴∠APB=180°-(∠CBE+∠BQP)=60°， ∴∠DPE=60°， 同理∠APC=60°， ∴∠CPE=60°， ∠CPD=120°. 49 在PE上取一点M，使PM=PC， ∴△CPM是等边三角形， ∴CP=CM=PM，∠PCM=∠CMP=60°， ∴∠CME=120°=∠CPD. ∵△CDE是等边三角形， ∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM， ∴∠PCD=∠MCE， ∴△PCD≌△MCE(SAS)， ∴PD=ME， ∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. 50 考法❻　一线三等角模型 例6 (2023·重庆A卷)如图。在Rt△ABC中。∠BAC=90°。 AB=AC。D为 BC上一点。连接AD.过点B作BE⊥AD于点E。过点C作CF⊥AD交AD的 延长线于点F.若BE=4。CF=1。则EF的长度为　　　　.  3 51 【解题通法】 已知：点P在线段AB的延长线上。∠1=∠2=∠3。且 AP= BD (或 AC=BP或CP=PD) 结论：△APC≌△BDP 52 练9 如图。在△ABC中。AB=AC。D。E。F分别是BC。AC。AB上的 点。且BF=CD。BD=CE。∠FDE=α。则∠A的度数是　　　　　　度. (用含α的代数式表示)  180°-2α 53 练10 已知∠ACB=90°。AC=BC。 AD⊥CM。BE⊥CM。垂足分别为 D。E. (1)如图1所示. ①写出线段CD和BE的数量关系.(直接写结论。不写证明过程) ②请写出线段AD。BE。DE之间的数量关系。并证明. (2)如图2。上述结论②还成立吗？如果不成立。请写出线段AD。BE。DE之间的数量关系。并说明理由. 54 解：(1)①CD=BE. ②数量关系：AD=BE+DE. 证明：∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠B. 55 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE(AAS)， ∴AD=CE，CD=BE. ∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE. 56 (2)②中的结论不成立.数量关系：DE=AD+BE. 理由如下：∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠ACD=∠B. 57 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE(AAS)， ∴AD=CE，CD=BE. ∵DE=CD+CE=BE+AD， ∴DE=AD+BE. 58 练11 如图1。在△ABC中。∠BAC=90°。AB=AC。直线m经过点A。BD⊥直线m。CE⊥直线m。垂足分别为D。E. 59 (1)求证：△ABD≌△CAE. (2)如图2。将(1)中的条件改为在△ABC中。AB=AC。D。A。E三点都在直线m上。并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α。其中α为任意锐角或钝角.请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立。请给出证明；若不成立。请说明理由. (3)拓展应用：如图3。D。E是D。A。E三点所在直线m上的两动点(D。A。E三点互不重合)。F为∠BAC平分线上的一点。且△ABF和△ACF均为等边三角形。连接BD。CE.若∠BDA=∠AEC=∠BAC。求证：△DEF是等边三角形. 60 (1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA=∠CEA=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°. ∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD. ∵在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS). 61 (2)解：成立.理由如下： ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α， ∴∠CAE=∠ABD. ∵在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS). 62 (3)证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴BF=AF=AB=AC，∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°， ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-120°， ∴∠CAE=∠ABD， ∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD. 63 ∵∠FBD=∠FBA+∠ABD，∠FAE=∠FAC+∠CAE， ∴∠FBD=∠FAE， ∴△DBF≌△EAF(SAS)， ∴FD=FE，∠BFD=∠AFE， ∴∠BFA=∠BFD+∠DFA=∠AFE+∠DFA=∠DFE=60°， ∴△DFE是等边三角形. 64 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 65 $$