16 第3章 第8节 二次函数中的角度问题 -【智乐星中考·命题研究】2025年重庆中考数学讲练本

数学 2025重庆 1 2 第八节　二次函数中的角度问题 第一、二章 3 目 录 核心考点突破 4 命题点　二次函数中的角度问题 考法❶　等角问题 例1如图。抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴、y轴分别交 于点A(-1。0)。B(4。0)。C三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点D(3。m)在第一象限的抛物线上。连接BC。BD.试问。在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P。满足∠PBC=∠DBC？若存在。请求出点P的坐标；若不存在。请说明理由. 5 【规范解答】 解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴分别交于点A(-1，0)，B(4，0)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. 6 (2)存在. y=-x2+3x+4=-(x-)2+. ∵点D(3，m)在第一象限的抛物线上， ∴m=4，∴D(3，4)， ∵C(0，4)，B(4，0)，∴OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB=45°. 如图，连接CD，∴CD∥x轴， ∴∠DCB=∠OBC=45°， ∴∠DCB=∠OCB. 在y轴上取点G，使CG=CD=3， 7 则G(0，1)，再延长BG交抛物线于点P. 在△DCB和△GCB中， ∴△DCB≌△GCB(SAS)，∴∠DBC=∠GBC. 8 设直线BP的解析式为y=kx+t(k≠0)，把G(0，1)，B(4，0)代入得解得 ∴直线BP的解析式为y=-x+1. 令-x+1=-x2+3x+4，解得x1=-，x2=4(舍去)， ∴y1=，∴P(-). 9 【解题通法】 对于二次函数中的角相等问题。首选方法是利用等角的三角比解决问题(利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角)。其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题. 二次函数中的角相等问题比较灵活。在遇到具体问题时具体分析。合理构造等角。解决问题. 10 等角的构造方法如下： (1)将等角转化在一个三角形中。利用等腰三角形两边相等。借助距离公式解决； (2)用等角的三角比相等。构造直角三角形。寻找比例关系； (3)利用角的和差关系。寻找等角。而等角存在两个相似三角形中。往往是子母三角形。利用比例线段构建数量关系； (4)利用角平分线的相关性质定理. 11 练1 如图。直线y=x+c与x轴交于点B(4。0)。与y轴交于点C。抛物线y=x2+bx+c经过点B。C。与x轴的另一个交点为A. (1)求抛物线的解析式； (2)若M是抛物线上一点。且∠MCB=∠ABC。 请直接写出点M的坐标. 12 解：(1)直线y=x+c与x轴交于点B(4，0)， ∴0=×4+c，∴c=-2，∴C(0，-2). ∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(4，0)，C(0，-2)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. (2)点M的坐标为()或(3，-2). 13 练2 如图。抛物线y=-x2+x+3与x轴相交于点A。点B(点A在点B的左侧)。与y轴相交于点C.将抛物线y=-x2+x+3向右平移2个单位长度得到新抛物线y'。点F为原抛物线y与新抛物线y'的交点。M是原抛物线y上一点。当∠MBA=∠FAB时。求出点M的坐标. 14 解：y'=-(x-2)2+(x-2)+3=-x2+x， 联立得-x2+x+3=-x2+x，解得x=2，∴F(2，3). 如图，设点M(x，-x2+x+3)，过点F作FG⊥x轴于点G，连接AF，过点M作MN⊥x轴于点N. ∵A(-2，0)，∴tan∠FAB==.∵∠MBA=∠FAB， ∴tan∠MBA===， 解得x1=-4，x2=0，x3=4(舍去)， ∴点M的坐标为(-4，-6)或(0，3). 15 考法❷　二倍角关系 例2已知抛物线y=ax2+bx+3的顶点坐标为(-1。4)。与x轴交于点A和点B。 与y轴交于点C。点P为第二象限内抛物线上的动点.如图。点E的坐标为 (0。-1)。G为x轴负半轴上的一点。∠OGE=15°。连接PE.若∠PEG= 2∠OGE。请求出点P的坐标. 16 【规范解答】 解：如图，设直线PE交x轴于点H. ∵抛物线y=ax2+bx+3的顶点坐标为(1，-4)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. ∵∠OGE=15°，∴∠PEG=2∠OGE=30°， ∴∠OHE=∠OGE+∠PEG=45°， ∴OH=OE=1，∴H(-1，0). 17 易得直线HE的表达式为y=-x-1. 联立 解得x1=，x2=(舍去)， ∴P(). 18 【解题通法】 二倍角的构造方法 如图。已知∠α。我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2α。在BC边上找一点D。使得BD=AD。则∠ADC=2α. 这样我们就构造出了二倍角。接下来利用三角函数(一般用正切)计算就可以了. 对于平面直角坐标系中的二倍角问题。往往将其转化成等角问题进行解决. 19 练3 (2024·西安二模)如图。在平面直角坐标系中。抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A。B两点。点A的坐标是(-4。0)。点B的坐标是(1。0)。与y轴交于点C。点P是抛物线上一动点。且位于第二象限。过点P作PD⊥x轴。垂足为D。线段PD与直线AC相交于点E. (1)求该抛物线的解析式. (2)连接OP。是否存在点P。使得∠OPD=2∠CAO？ 若存在。求出点P的横坐标；若不存在。请说明理由. 20 解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-1)=a(x2+3x-4)， 则-4a=2，解得a=-， ∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2. 21 (2)存在点P，使得∠OPD=2∠CAO. 如图，延长DP到点H，设PH=OP，连接OH. ∵PH=OP，∴∠H=∠POH， ∴∠OPD=∠H+∠POH=2∠H. ∵∠OPD=2∠CAO，∴∠H=∠CAO， ∴tan H=tan∠CAO， ∴===，∴DH=2OD. 22 设P(t，-t2-t+2)，则OD=-t，PD=-t2-t+2， ∴DH=2OD=-2t， ∴PH=DH-PD=-2t-(-t2-t+2)=t2-t-2. ∵PH=OP，∴t2-t-2=， ∴(t2+t-4)(-2t)=t2， 解得t=0(舍去)或(舍去)或， ∴点P的横坐标为. 23 考法❸　两角和与差问题 例3如图。在平面直角坐标系中。抛物线y=ax2+bx+c(a。b。c为常数。 a≠0)的图象与x轴交于点A(1。0)。B两点。与y轴交于点C(0。4)。且抛物 线的对称轴为直线x=-.若点P是抛物线上一动点。且满足∠PBC+∠ACO =45°。请直接写出点P的坐标. 24 【规范解答】 解：∵抛物线的对称轴为直线x=-，A(1，0)， ∴B(-4，0)， ∴y=a(x+4)(x-1). ∵C(0，4)，∴a=-1， ∴y=-x2-3x+4. 25 如图1，当点P在BC上方时，作点A关于y轴的对称点E，连接CE. ∵A(1，0)，∴E(-1，0)， ∴∠ACO=∠ECO. ∵∠BCO=45°， ∠PBC+∠ACO=45°， ∴∠BCE=∠PBC， ∴EC∥PB. 图1 26 设直线EC的解析式为y=k'x+b'. 将C(0，4)，E(-1，0)代入得解得 ∴y=4x+4， ∴直线PB的解析式为y=4x+16. 联立 ∴或(舍去) ∴P(-3，4)； 27 如图2，当点P在BC下方时，作点A关于y轴的对称点E，连接CE. ∵A(1，0)，∴E(-1，0)， ∴∠ACO=∠ECO. ∵∠BCO=45°，∠PBC+∠ACO=45°， ∴∠BCE=∠PBC， 设BP与CE的交点为Q， 设Q(t，4t+4)， ∴BQ=CQ， ∴(t+4)2+(4t+4)2=t2+(4t)2， ∴t=-，∴Q(-)， 图2 28 设直线BQ的解析式为y=k1x+b1， ∴解得 ∴y=x+1. 联立解得(舍去)或 ∴P(). 综上所述，点P的坐标为(-3，4)或(). 29 练4 如图。在平面直角坐标系xOy中。抛物线y=-(x-m)2+k与x轴相交于原点O和点B(4。0)。点A(3。b)在抛物线上. (1)求抛物线的解析式。并写出它的对称轴； (2)点D在抛物线上。若∠BOD+∠ABO=90°。 求点D的坐标. 30 解：(1)将点O (0，0)和点B(4，0)代入y=-(x-m)2+k得解得 ∴抛物线的解析式为y=-(x-2)2+4=-x2+4x， ∴它的对称轴为直线x=2. 31 (2)如图1，过点A作AC⊥x轴于点C. 当x=3时，y=3，∴OC=AC=3. ∵OB=4，∴BC=1，∴tan∠BAC==. ∵∠BOD+∠B=90°，∠BAC+∠B=90°， ∴∠BOD=∠BAC，∴tan∠BOD=. ①当点D在x轴上方时，如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，OD与抛物线对称轴交于点E， ∴tan∠EOF==. 图1 32 ∵OF=2，∴EF=，∴E(2，). 设直线OD的解析式为y=ax(a≠0)， ∴=2a，解得a=， ∴直线OD的解析式为y=x. 联立解得(舍去)或 ∴D()； 33 ②当点D在x轴下方时，如图2. 由①同理可求出此时直线OD的解析式为y=-x. 联立解得(舍去)或 ∴D(，-). 综上所述，若∠BOD+∠B=90°，点D的坐标为()或(，-). 图2 34 练5 如图。在平面直角坐标系中。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(2。0)。B(-4。0)。与y轴交于点C(0。4)。连接AC。作直线BC.将原抛物线沿CB方向平移2个单位长度得到新抛物线。已知点D是新抛物线上一动点。且∠DBC=∠OAC+∠BCO。求所有符合条件的点D的横坐标并写出其中一种情况的求解过程. 35 解：∵A(2，0)，B(-4，0)，C(0，4)， ∴OA=2，OB=OC=4，∴∠CBO=∠BCO. 将点A，B，C的坐标代入y=ax2+bx+c得 解得∴y=-x2-x+4. 36 ∵将原抛物线沿CB方向平移2个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线y=-x2-x+4=-(x+1)2+向左、向下都平移了2个单位长度， ∴新抛物线的解析式为y=-(x+1+2)2+-2=-x2-3x-2. 37 如图，过点D作DH⊥x轴于点H. 设D(n，-n2-3n-2)， 则DH=0-(-n2-3n-2)=n2+3n+2， HB=n-(-4)=n+4. ∵∠DBC=∠CBO+∠HBD=∠OAC+∠BCO. 又∵∠CBO=∠BCO，∴∠HBD=∠OAC. ∵∠BHD=∠AOC=90°，∴△HBD∽△OAC， ∴==2，即=2， 38 整理得n2+2n-12=0， 解得n=-1±， ∴点D的横坐标为-1+或-1-. 39 考法❹　特殊角问题 例4如图。在平面直角坐标系中。抛物线y=ax2+bx+2与 x轴交于点A(-。0)。B(点A在点B左边)。交y轴于点C。 P(3。)是抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式. (2)抛物线上是否存在点Q。使∠QCP=45°？若存在。 请求出点Q的坐标；若不存在。请说明理由. 40 【规范解答】 解：(1)将点A(-，0)，P(3，)代入y=ax2+bx+2 得 解得 ∴抛物线的解析式为 y=-x2+x+2. 41 (2)存在. 当点Q在PC下方时，如图1，过点P作PH⊥CQ于点H，过点H作MN⊥ y轴， 交y轴于点M，过点P作PN⊥MH于点N， ∴∠PHC=∠CMH=∠HNP=90°. ∵∠QCP=45°，∴△PHC是等腰直角三角形， ∴CH=PH，∴∠CHM+∠NHP=∠HPN+∠NHP=90°， ∴∠CHM=∠HPN，∴△CHM≌△HPN(AAS)， ∴CM=HN，MH=PN. 图1 42 设H(m，n). ∵C(0，2)，P(3，)， ∴解得 ∴H(). 43 设直线CH的解析式为 y=px+q， ∴解得 ∴直线CH的解析式为 y=-x+2. 联立解得(舍去)或 ∴Q()； 44 ②当点Q在PC上方时， 如图2，过点P作PH⊥CQ于点H，过点H作HM⊥y轴， 交y轴于点M，过点P作PN⊥MH的延长线于点N， 同理得Q(). 综上所述，点Q的坐标为Q()或Q(). 45 练6 如图。抛物线y=-(x-1)2+c与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧。点B在原点的右侧)。且OB=3.在x轴上有一动点E(m。0)(0<m<3)。过点E作直线l⊥x轴。交抛物线于点M. (1)求点A的坐标及抛物线的解析式； (2)连接AM。若∠MAB=60°。求此时点E的坐标. 46 解：(1)∵OB=3，∴B(3，0). 把B(3，0)代入y=-(x-1)2+c中得-(3-1)2+c=0， ∴c=4，∴抛物线解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. ∵抛物线对称轴为直线x=1，∴A(-1，0). 47 (2)由题意得点M的坐标为(m，-m2+2m+3)， ∴ME=-m2+2m+3. ∵A(-1，0)，∴AE=m+1. ∵∠MAB=60°，∴tan∠MAE==， ∴ME=AE，∴(m+1)=-m2+2m+3， ∴m=-1(舍去)或m=3-，∴E(3-，0). 48 练7 如图。抛物线y=x2-2x-6与x轴交于点A和B。点A在点B的左侧。交y轴于点C。作直线BC. (1)求点B的坐标及直线BC的表达式. (2)抛物线上是否存在点F。使得∠BCF=15°？ 若存在。直接写出点F的坐标；若不存在。请说明理由. 49 解：(1)令y=0，得x2-2x-6=0，解得x=-2或x=6， ∴点B的坐标为(6，0). 令x=0，则y=-6， ∴点C的坐标为(0，-6). 设直线BC的表达式为y=kx-6，则0=6k-6， 解得k=1， ∴直线BC的表达式为y=x-6. (2)点F的坐标为()或(4+2，4). 50 练8 如图。抛物线y=ax2+bx-(a≠0)与x轴交于点A(-1。0)和点B。与y轴交于点C。抛物线的对称轴交x轴于点D(1。0)。过点B作直线l⊥x轴。过点D作DE⊥CD。交直线l于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)坐标轴上是否存在点F。使得∠DEF=75°。 若存在。请求出点F的坐标；若不存在。 请说明理由. 51 解：(1)∵抛物线的对称轴交x轴于点D(1，0)， ∴抛物线y=ax2+bx-的对称轴为直线x=1， ∴-=1.① ∵点A(-1，0)在抛物线y=ax2+bx-上， ∴a-b-=0.② 由①②联立得解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-x-. 52 (2)坐标轴上存在点F，使得∠DEF=75°.理由如下： 当点F在x轴上时，如图. ∵OD=1，OC=，∴tan∠OCD=，∴∠OCD=30°. 易知E(3，-)，D(1，0)， ∴∠ODC=60°，DE=. ∵∠EDF=30°，∠DEF=75°， ∴∠DFE=180°-∠EDF-∠DEF=75°， ∴∠DEF=∠DFE，∴DF=DE=， 53 ∴OF=OD+DF=1+=， ∴F(，0)； 当点F在y轴上时，过点E作ET⊥y轴于点T，如图. ∵ET∥OB，∴∠DET=∠BDE=30°. ∵∠DEF=75°， ∴∠TEF=∠DEF-∠DET=45°， ∴△ETF是等腰直角三角形，∴TF=TE. 54 ∵E(3，-)， ∴OT=，TE=3=TF， ∴OF=OT+TF=， ∴F(0，-). 综上所述，点F的坐标为(，0)或(0，-). 55 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 56 $$