15 第3章 第7节 二次函数中特殊图形存在性问题 -【智乐星中考·命题研究】2025年重庆中考数学讲练本

数学 2025重庆 1 2 第七节　二次函数中特殊图形存在性问题 第一、二章 3 目 录 核心考点突破 4 命题点　二次函数中特殊图形存在性问题 考法❶　等腰三角形存在性问题 例1 如图。在平面直角坐标系中。二次函数y=-x2-x+2的 图象与x轴交于A。B两点。与y轴交于点C.在抛物线的对 称轴上是否存在点Q。使△BCQ是等腰三角形？若存在。 求出点Q的坐标；若不存在。请说明理由. 5 【规范解答】 解：存在. 理由如下：令y=-x2-x+2=0，解得x=-3或x=1，易得A(-3，0)，B(1，0). 由题易知抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴设点Q的坐标为(-1，m). ∵点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)， ∴CQ2=(-1-0)2+(m-2)2=m2-4m+5， BQ2=(-1-1)2+(m-0)2=m2+4， BC2=(0-1)2+(2-0)2=5. 6 如图，分三种情况考虑： ①当BQ=BC时，m2+4=5， 解得m1=-1，m2=1， ∴Q1(-1，-1)，Q2(-1，1). ②当CQ=BC时，m2-4m+5=5， 解得m3=0，m4=4， ∴Q3(-1，0)，Q4(-1，4). 7 当Q(-1，4)时，点Q，B，C在一条直线上，不合题意，舍去. ③当BQ=CQ时，m2+4=m2-4m+5， 解得m5=，∴Q5(-1，). 综上所述，抛物线的对称轴上存在点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为(-1，-1)或(-1，1)或(-1，0)或(-1，). 8 【解题通法】 命题解读： 根据等腰三角形的定义。若△ABC为等腰三角形。则有三种可能情况：(1)AB=BC；(2)BC=CA；(3)CA=AB.等腰三角形的存在性问题。往往有2个甚至更多的解。但根据实际图形的差异。其中某些情况会不存在。在解题时需要尤其注意. 9 知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时。常用的方法有但不仅限于以下几种： (1)勾股定理：找到直角三角形。利用两边的长度表示出第三边； (2)两点间距离公式：设A(x1。y1)。B(x2。y2)。AB=. 10 解题思路： (1)利用几何或代数的手段。表示出三角形的三边对应的代数式； (2)根据条件分情况进行讨论。排除不可能的情况。将可能情况列出方程； (3)解出方程。并代回原题中进行检验。舍去不符合题意的解. 11 考法❷　直角三角形存在性问题 例2如图。已知抛物线y=a(x+1)(x-3)交x轴于A。C两点。交y轴于点B。且OB=2CO. (1)求点A。B。C的坐标及二次函数的解析式. (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P使得△ABP是以AB为直角边的直角三角形？若存在。请直接写出点P的坐标；若不存在。请说明理由. 12 【规范解答】 解：(1)令y=a(x+1)(x-3)=0，解得x=-1或3， ∴C(-1，0)，A(3，0)，∴OC=1， ∴OB=2OC=2，∴B(0，2). 将B(0，2)代入y=a(x+1)(x-3)得-3a=2， ∴a=-， ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2++2. (2)存在.点P的坐标为(1，)或(1，-3). 13 【解题通法】 命题解读： 在考虑△ABC是否为直角三角形时。很显然需要讨论三种情况：(1)∠A=90°。AB2+AC2=BC2；(2)∠B=90°。AB2+BC2=AC2；(3)∠C=90°。AC2+BC2=AB2.在大多数问题中。其中某两种情况会较为简单。剩下一种则是考查重点。需要用到勾股定理. 解题思路： (1)按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； (2)计算出相应的边长等信息； (3)根据边长与已知点的坐标。计算出相应的点的坐标. 14 考法❸　平行四边形存在性问题 例3如图。在平面直角坐标系中。二次函数y=-x2-x+2 的图象与x轴交于A。B两点。与y轴交于点C.点M为抛物线上一动点。在x轴上是否存在点Q。使以点A。C。M。Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出点Q的坐标；若不存在。请说明理由. 15 【规范解答】 解：存在. 令y=-x2-x+2=0，解得x1=-3，x2=1，∴A(-3，0)，B(1，0)，易得C(0，2). 假设存在点Q，使以点A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形. ①若CM为平行四边形的一边时，则CM∥x轴，如图，有符合要求的两个 点Q1，Q2，此时Q1A=Q2A=CM. ∵CM∥x轴， ∴点M与点C(0，2)关于对称轴直线x=-1对称， ∴M(-2，2)，∴CM=2. 由Q1A=Q2A=CM=2得Q1(-5，0)，Q2(-1，0)； 16 ②若CM为平行四边形的对角线时，如图，过点M作 MG⊥x轴于点G. 易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2， 即yM=-2. 设M(x，-2)，则-x2-x+2=-2，解得x=-1±. 又∵QG=3，∴xQ=xG+3=2±， ∴Q3(2+，0)，Q4(2-，0). 综上所述，存在点Q，使以点A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为(-5，0)或(-1，0)或(2+，0)或(2-，0). 17 【解题通法】 (1)要先明确定点和动点。常以定线段为对角线和边进行分类. (2)三定一动。有三种情况。可借助平移。全等、中点坐标公式等知识确定坐标.(坐标平移规律：左减右加变x。上加下减变 y。可先确定其中两点的变化作参照。以此变化确定坐标) (3)两定两动：以定线段作边或对角线。确定分类。常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建立方程(组)求解. (4)三动点或四动点：往往有不变特征。如两边始终平行。满足相等即可. 常见设问：已知 A。B。求另外两点 C。D与A。B两点构成平行四边形. 18 分类讨论： 当AB为边时。找AB平行且等于的 CD。利用距离建立数量关系。求出相应点的坐标； 当AB为对角线时。AB 的中点即为对角线的交点。结合图形的对称性。根据对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等。列出二元一次方程组来求解. 19 考法❹　菱形存在性问题 例4如图。在平面直角坐标系中。已知抛物线L：y=ax2+bx+3 与x轴交于A(-3。0)和B(1。0)两点。与y轴交于点C。点D是该抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标； (2)将抛物线L沿点B。D所在的直线平移。平移后点 B的对应点为点B'。点C的对应点为点C'。当四边形 BB'C'C是菱形时。求此时平移后的抛物线的函数 解析式. 20 【规范解答】 解：(1)把A(-3，0)和B(1，0)两点分别代入抛物线L：y=ax2+bx+3得 解得 ∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3，化为顶点式为 y=-(x+1)2+4， ∴顶点D的坐标为(-1，4). 21 (2)∵B(1，0)，D(-1，4)， ∴直线BD的解析式为y=-2x+2. 设平移后点B的对应点为B'(x，-2x+2)， 则B'B2=(x-1)2+(-2x+2-0)2=5(x-1)2. ∵抛物线L的解析式为y=-x2-2x+3， ∴点C的坐标为(0，3)，∴BC2=12+32=10， ∴5(x-1)2=10，解得x1=+1，x2=-+1， ∴点B'的坐标为(+1，-2)或(-+1，2). 22 当点B'的坐标为(+1，-2)时，即点B向右平移个单位长度，向下平移2个单位长度，可得点B'， ∴抛物线L：y=-(x+1)2+4向右平移个单位长度，向下平移2个单位长度，可得y=-(x+1-)2+4-2； 当点B'的坐标为(-+1，2)时，即点B向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度，可得点B'， ∴抛物线L：y=-(x+1)2+4向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度，可得y=-(x+1+)2+4+2. 综上所述，当四边形BB'C'C是菱形时，平移后的抛物线的函数解析式为y=-(x+1-)2+4-2或y=-(x+1+)2+4+2. 23 【解题通法】 先平行四边形。再菱形。设点坐标。根据平行四边形存在性要求列出方程组。再结合邻边相等列方程组。如菱形ABCD： 代入点坐标解方程即可. 24 考法❺　矩形存在性问题 例5如图所示。在平面直角坐标系xOy中。抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A。B两点(点A在点B的左侧)。经过点A的直线l：y=ax+a与y轴负半轴交于点C。与抛物线的另一个交点为D.设P是抛物线的对称轴上的一点。点Q在抛物线上。以点A。D。P。Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能。求出点P的坐标；若不能。请说明理由. 25 【规范解答】解：能. 当y=0时，ax2-2ax-3a=0，解得x1=-1，x2=3， ∴A(-1，0)，B(3，0)，对称轴为直线x==1. 令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0， 解得x1=-1，x2=4，∴D(4，5a). ∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴设P(1，m). 26 ①如图1，若AD是矩形ADPQ的一条边， 则易得Q(-4，21a)，m=21a+5a=26a，则P(1，26a). ∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2， ∴52+(5a)2+(1-4)2+(26a-5a)2=22+(26a)2， 解得a2=. ∵a<0，∴a=-，∴P(1，-)； 图1 27 ②如图2，若AD是矩形APDQ的对角线， 则易得Q(2，-3a)，m=5a-(-3a)=8a， 则P(1，8a). ∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°， ∴AP2+PD2=AD2， ∴(-1-1)2+(-8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+(5a)2， 解得a2=. ∵a<0，∴a=-，∴P(1，-4). 图2 28 综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为(1，-)或(1，-4). 29 【解题通法】 先平行四边形。再矩形。设点坐标。根据平行四边形存在性要求列出方程组。再结合对角线相等列方程组。如矩形ABCD： 代入点坐标解方程即可. 30 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 31 $$