14 第3章 第6节 二次函数的面积问题 -【智乐星中考·命题研究】2025年重庆中考数学讲练本

数学 2025重庆 1 2 第六节　二次函数的面积问题 第一、二章 3 目 录 核心考点突破 4 命题点 二次函数的面积问题 例 如图。抛物线y=x2+bx+c(b。c是常数)的顶点为C。与x轴交于A。B两点。A(1。0)。AB=4。点P为线段AB上的动点。过点P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； (2)求△CPQ面积的最大值。并求此时点P的坐标. 5 【规范解答】 解：(1)∵点A(1，0)，AB=4， ∴点B的坐标为(-3，0). 将点A(1，0)，B(-3，0)代入y=x2+bx+c得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 6 (2)法一(割补法)： ∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4， ∴点C的坐标为(-1，-4). 由B(-3，0)，C(-1，-4)可求直线BC的解析式为y=-2x-6， 由A(1，0)，C(-1，-4)可求直线AC的解析式为y=2x-2. ∵PQ∥BC， 7 ∴设直线PQ的解析式为y=-2x+n，与x轴交点P(，0). 由可得Q(). ∵点P在线段AB上，∴-3<<1， ∴n的取值范围为-6<n<2， ∴S△CPQ=S△CPA-S△APQ =×(1-)×4-×(1-)×(-) =-(n+2)2+2， ∴当n=-2时，即P(-1，0)时，S△CPQ最大，最大值为2. 8 法二(铅垂法)：如图，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，由法一知直线AC的解析式为y=2x-2， ∴P(，0)，Q()，C(-1，-4)， ∴D(，n-2)，∴PD=0-(n-2)=2-n， ∴S△PCQ=PD·|xC-xQ|=(2-n)|--|. ∵n的取值范围为-6<n<2， ∴S△PCQ=(2-n)(+)=-n2-n+， ∴当n=-2时，即P(-1，0)时，S△CPQ最大，最大值为2. 9 【解题通法】 类型 方法 图形 面积 一条边与x轴或y轴平行或重合的图形 直接法 S△ABC=AB·CD 割补法 方法1：S四边形ABCD=S△AED+ S梯形DEFC+S△CFB 方法2：S四边形ABCD= S梯形DABH-S△DGC-S梯形GCBH 10 类型 方法 图形 面积 三条边均不与x轴或y轴平行或重合的图形 割补法 图1：S△ABC=S矩形AEDF -S△ABF-S△BCD-S△ACE S△ABC=S梯形AEDB-S△BCD- S△ACE 图2：S△ABP=S△AOP+ S△BOP-S△AOB 图3：S△ABC=S△OAB+S△OBC +S△OAC 图4：S四边ABCD=S△ADC+S△ABC 11 类型 方法 图形 面积 三条边均不与x轴或y轴平行或重合的图形 铅垂法 过动点P作y轴的平行 线。与定线段AB交于 点Q S△ABP=S△APQ+S△BPQ=PQ ·|xA-xB| 过动点P作y轴的平行 线。与定线段AB的 延长线交于点Q S△ABP=S△APQ-S△BPQ=PQ ·|xA-xB| 平行线 法(同底等高) l1∥l2∥l3 S△ACB=S△ABM=S△ABN 12 练如图。抛物线y=mx2+(m2+3)x-(6m+9)与x轴交于点A。B。与y轴交于点C。已知B(3。0). (1)求m的值和直线BC对应的函数表达式； (2)P为抛物线上一点(不与点A重合)。若S△PBC=S△ABC。 请直接写出点P的坐标. 13 解：(1)将B(3，0)代入y=mx2+(m2+3)x-(6m+9)， 化简得m2+m=0，则m=0(舍去)或m=-1， ∴m=-1，∴y=-x2+4x-3，∴C(0，-3). 设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b. 将B(3，0)，C(0，-3)代入得解得 ∴直线BC对应的函数表达式为y=x-3. 14 (2)点P的坐标为(2，1)或()或(). 提示：如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移 GC个单位长度，得到直线P2P3. 由(1)得直线BC的表达式为y=x-3，A(1，0)， ∴直线AG的表达式为y=x-1， 联立解得(舍去)或 ∴P1(2，1). 15 由直线AG的表达式可得G(0，-1)， ∴GC=2，CH=2，∴直线P2P3的表达式为y=x-5， 联立 解得 ∴P2()，P3()， ∴点P的坐标为(2，1)或()或(). 16 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 17 $$