13 第3章 第5节 二次函数的线段、周长最值问题 -【智乐星中考·命题研究】2025年重庆中考数学讲练本

数学 2025重庆 1 2 第五节　二次函数的线段、周长最值问题 第一、二章 3 目 录 核心考点突破 4 命题点　二次函数的线段、周长最值问题 考法❶　单线段最值问题 例1 在平面直角坐标系中。二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于 A(-3。0)。B(1。0)两点。与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的解析式； (2)点M为直线AC上方抛物线上一动点。过点M作 MN∥y 轴交直线AC于点N。求线段MN的最大值及 此时点M的坐标. 5 【规范解答】 解：(1)二次函数的解析式为y=-x2-x+2. (2)令x=0，则y=2，∴C(0，2). 设点M的坐标为(m，-m2-m+2). 设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(-3，0)，C(0，2)两点分别代入得解得 6 ∴直线AC的解析式为y=x+2， 则点N的坐标为(m，m+2)， ∴MN=-m2-m+2-m-2=-m2-2m=-(m+)2+. ∵-<0， 当m=-时，线段MN的长有最大值，最大值为， 此时，点M的坐标为(-). 7 【解题通法】 (1)垂直线段：求垂直于x轴的线段的最值问题。先通过函数的关系式设出关键点的坐标。一般设横坐标为x。纵坐标用函数关系式表示。再用线段两端点的纵坐标作差表示出线段的长度。通过二次函数的性质求最值. (2)斜线段：可过线段端点分别作x轴、y轴的垂线构造直角三角形。利用勾股定理或者相似转化求解。将斜线段转化为求垂直线段。再利用二次函数的性质求最值. 8 练1(2024·临夏节选)在平面直角坐标系中。抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1。0)。B(3。0)两点。与y轴交于点C。作直线BC. (1)求抛物线的解析式. (2)如图。点P是线段BC上方的抛物线上一动点。过点P作 PQ⊥BC。垂足为Q。请问：线段PQ是否存在最大值？若存在。请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在。请说明理由. 9 解：(1)抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)线段PQ存在最大值. 如图，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M. ∵B(3，0)，C(0，3)， ∴直线BC的解析式为y=-x+3. ∵OB=OC，∠BOC=90°， ∴∠CBO=45°. ∵∠MNB=90°， ∴∠PMQ=∠NMB=45°. 10 ∵PQ⊥BC， ∴△PQM是等腰直角三角形， ∴PM=PQ，∴当PM的值最大时，PQ的值最大. 设P(m，-m2+2m+3)，则M(m，-m+3)， ∴PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-(m-)2+. ∵-1<0， ∴当m=时，PM的值最大，PM的最大值为， ∴PQ的最大值=PM=，此时P(). 11 考法❷　线段和的最值问题 例2如图。抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1。0)。C(0。3)两点。并交x轴于另一点B。点M是抛物线的顶点。直线AM与y轴交于点D. (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点。分别连接MH。DH。求MH+DH的最小值. 12 【规范解答】 解：(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴M(1，4). 设直线AM的表达式为y=kx+m， 则解得 ∴直线AM的表达式为y=2x+2. 当x=0时，y=2，∴D(0，2). 13 如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'M， 则D'(0，-2)，MH+DH=MH+D'H≥D'M， ∴当M，H，D'三点共线时，MH+DH有最小值，最小值为D'M的长. ∵D'(0，-2)，M(1，4)， ∴D'M==， 即MH+DH的最小值为. 14 【解题通法】 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理是“两点之间线段最短”. 异侧两点求线段和最小 值 在直线l上找一点P。 使PA+PB的值最小 连接AB。与直线l交于点P。此时PA+PB的最小值为AB的长. 同侧两点求线段和最小 值 在直线l上找一点P。 使PA+PB的值最小 作点B关于直线l的对称点B'。连接AB'。与直线l的交于点P。此时PA+PB的最小值为AB'的长. 15 练2(2024·育才一诊节选)如图1。在平面直角坐标系中。抛物线 y=-x2+bx+c交x轴于点A(6。0)。B(-2。0)。交y轴于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)如图2。连接AC。点P是直线AC上方抛物线上的一动点。过点P作PE∥y轴交AC于点E。过点P作PF∥AC交x轴于点F。求PE+PF的最大值及此时点P的坐标. 16 解：(1)抛物线的表达式为y=-x2+x+4. (2)∵A(6，0)，C(0，4)，∴AC==2. 设直线AC的表达式为y=kx+a， ∴解得 ∴直线AC的表达式为y=-x+4. 17 如图，延长PE交x轴于点H. ∵PF∥AC，∴∠PFO=∠OAC.∵PE⊥x轴， ∴∠PHF=∠COA=90°，∴△PFH∽△CAO， ∴==，∴PH=PF， ∴PF=PH. 18 设P(p，-p2+p+4)，则E(p，-p+4)， ∴PH=-p2+p+4，PE=-p2+p+4+p-4=-p2+2p， ∴PE+PF=PE+PH=-p2+2p+(-p2+p+4)=-p2+p+2=-(p-)2+. ∵-<0， ∴当p=时，PE+PF的值最大，最大值为，此时点P的坐标为(). 19 考法❸　线段差的最值问题 例3如图。抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于A。B两点。点A。B分别位于原点的左、右两侧。与y轴交于点C。已知△ABC的面积为2. (1)求抛物线的解析式； (2)P为抛物线对称轴上的点。当PA-PC取最大值时。求点P的坐标. 20 【规范解答】 解：(1)对于抛物线y=ax2-2ax-3a， 当y=0时，ax2-2ax-3a=0. ∵a≠0，∴x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3. ∵点A，B分别位于原点的左、右两侧， ∴A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=3-(-1)=4. 令x=0，则y=-3a，∴OC=|-3a|. ∵S△ABC=AB·OC=×4×3a=2， ∴a=， ∴抛物线的解析式为y=x2-x-. 21 (2)如图，根据三角形两边之差小于第三边， ∴当点P在直线AC上时，PA-PC的值最大. 设直线AC的解析式为y=kx+b. 把(-1，0)，(0，-)代入得解得 ∴直线AC的解析式为y=-x-. ∵y=x2-x-=(x-1)2-， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∴y=--=-2，∴P(1，-2). 22 【解题通法】 解决这类问题最基本的定理就是“三角形任意两边之差小于第三边”.解决这类问题的方法是先根据原理确定线段差取最值时的图形。再根据已知条件求解. 23 同侧两点求线段差最大 值 在直线l上求一点P。求|PA-PB|的最大值 延长射线AB。与直线l交于点P。 |PA-PB|的最大值为AB的长 异侧两点求线段差最大 值 在直线l上求一点P。求|PA-PB|的最大值 作点B关于直线l的对称点B'。 延长射线AB'。与直线l交于点P。 |PA-PB|的最大值为AB'的长 24 练3如图。抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A(-4。0)。B(2。0)两点。与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接AC。BC。若M是第二象限内抛物线上一点。过点M作MN∥y轴。交AC于点N。过点N作ND∥BC交x轴于点D。求MN-ND的最大值及此时点M的坐标. 25 解：(1)把A(-4，0)，B(2，0)代入y=ax2+bx+2得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2. ∵-=-1，=， ∴抛物线的顶点坐标为(-1，). 26 (2)如图，延长MN交x轴于点R. 在y=-x2-x+2中，令x=0得y=2， ∴C(0，2)，OC=2=OB， ∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°. ∵ND∥BC，∴∠RDN=45°. ∵MN∥y轴，∴△RDN是等腰直角三角形， ∴NR=ND. 27 由A(-4，0)，C(0，2)可得直线AC的解析式为y=x+2. 设M(t，-t2-t+2)，则N(t，t+2)，R(t，0)， ∴MN=-t2-t+2-(t+2)=-t2-t，NR=t+2， ∴MN-ND=MN-NR=-t2-t-(t+2)=-t2-t-2=-(t+3)2+. ∵-<0，∴当t=-3时，MN-ND取最大值， 此时M(-3，). 28 考法❹　周长最值问题 例4如图。直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A。B两点。 抛物线y=-x2+bx+c过A。B两点. (1)求抛物线的解析式； (2)D为抛物线上位于AB上方的一点。过点D作DE⊥AB于点E。作DF∥y轴交AB于点F。当△DEF的周长最大时。求点D的坐标. 29 【规范解答】 解：(1)∵yAB=-x+4，令y=0， 得-x+4=0，解得x=3，∴A(3，0). 令x=0，得y=4，∴B(0，4). 将A，B两点分别代入y=-x2+bx+c得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4. 30 (2)∵A(3，0)，B(0，4)，∴OA=3，OB=4， ∴AB==5， ∴sin∠ABO==，cos∠ABO==. ∵DF∥y轴，∴∠DFE=∠ABO. ∵DE⊥AB，∴DE=DF，∴EF=DF. 31 设D(t，-t2+t+4)，则F(t，-t+4)， ∴DF=-t2+t+4-(-t+4)=-t2+4t， ∴C△DEF=(-t2+4t)=-(t-)2+， ∴当t=时，△DEF的周长有最大值， 此时D(，5). 32 【解题通法】 求二次函数周长最值的一类问题。线段之和最小。重点在于将斜线段转化为简单的水平或竖直线段. (1)先设动点坐标；(2)将所求周长拆分成几条线段。构造直角三角形或相似三角形。进行线段之间的转化。得到周长全是水平或竖直线段的和与差。且周长关系式为一个二次函数。再根据二次函数的增减性求最值和点坐标. 33 练4(2023·张家界节选)如图。在平面直角坐标系中。已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-2。0)和点B(6。0)。与y轴交于点C(0。6)。点D为线段BC上的一动点. (1)求二次函数的表达式； (2)求△AOD周长的最小值. 34 解：(1)由题意可知，设二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-6). 将点C(0，6)代入上式得6=a(0+2)(0-6)， 解得a=-， ∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+6. 35 (2)如图，作点O关于直线BC的对称点E，连接EC，EB，DE.∵B(6，0)，C(0，6)，∠BOC=90°， ∴OB=OC=6. ∵点O，E关于直线BC对称， ∴四边形OBEC为正方形， ∴E(6，6). 由对称性知DE=DO， ∴AD+OD=AD+DE≥AE， 36 ∴当A，D，E三点共线时，AD+OD有最小值，最小值为AE的长， AE===10. ∵△AOD的周长为DA+DO+AO，AO=2， ∴△AOD的周长的最小值为AE+AO=10+2=12. 37 考法❺　线段比值问题 例5抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1。0)。B两点。 与y轴交于点C(0。2)。连接BC. (1)求抛物线的解析式； (2)D是第一象限抛物线上一点。连接AD。交线段BC于点E。求的最大值及此时点D的坐标. 38 【规范解答】 解：(1)将点A(-1，0)，C(0，2)分别代入y=-x2+bx+c 得解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2. 39 (2)令y=0=-x2+x+2，解得x=-1或4， ∴B(4，0). 设直线BC的解析式为y=kx+b1. 把点B(4，0)，C(0，2)分别代入得解得 ∴直线BC的解析式为y=-x+2. 40 如图，过点D作DF∥x轴，交BC于点F，则△DFE∽△ABE， ∴=. 设D(m，-m2+m+2). 令-x+2=-m2+m+2，解得x=m2-3m， 则F(m2-3m，-m2+m+2)， ∴====-(m-2)2+.∵-<0， ∴当m=2时，取最大值，此时D(2，3). 41 练5如图。抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(-3。0)。B(1。0)。与y轴交于点C。P为第二象限内抛物线上一点。连接BP。交AC于点Q。交y轴于点E。过点P作PD⊥x轴于点D. (1)求二次函数的表达式. (2)连接BC。当∠DPB=2∠BCO时。求直线BP的表达式. (3)是否有最大值？若有最大值。请求出最大值及 此时点P的坐标；若没有最大值。请说明理由. 42 解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点A(-3，0)，B(1，0)， ∴解得 ∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3. 43 (2)∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴∠DPB=∠OEB. ∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OEB=2∠BCO， ∴∠ECB=∠EBC，∴BE=CE. 令x=0，得y=3，∴C(0，3)，OC=3. 设OE=t，则CE=3-t，∴BE=3-t. 44 在Rt△BOE中，由勾股定理得BE2=OE2+OB2， ∴(3-t)2=t2+12，解得t=， ∴E(0，). 设BE所在直线的表达式为y=kx+e(k≠0)，将点B(1，0)和点E(0，)分别代入得解得 ∴直线BP的表达式为y=-x+. 45 (3)有最大值. 如图，设PD与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC的延长线交于点M. 设直线AC的表达式为y=mx+n. ∵A(-3，0)，C(0，3)， ∴解得 ∴直线AC的表达式为y=x+3， ∴点M的坐标为(1，4)，∴BM=4. ∵BM∥PN，∴△PNQ∽△BMQ，∴==. 46 设P(a0，--2a0+3)(-3<a0<0)，则N(a0，a0+3)， ∴===， ∴当a0=-时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为(-). 47 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 48 $$