12 第3章 第4节 二次函数的图象与性质 -【智乐星中考·命题研究】2025年重庆中考数学讲练本

数学 2025重庆 1 2 第四节　二次函数的图象与性质 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 4 知识点1 二次函数的概念及解析式 1.二次函数的概念：一般地。形如y=ax2+bx+c(a。b。c是常数。a≠0)的函数.特别地。当a≠0。b=c=0时。y=ax2是二次函数的特殊形式. 5 【方法指导】 二次函数必须满足三个条件： (1)函数解析式为整式； (2)函数解析式有唯一的自变量； (3)解析式自变量的最高次数是2。且二次项系数不等于0. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a。b。c是常数。a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a。h。k是常数。a≠0)。顶点坐标是(h。k). (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。其中x1。x2是二次函数图象与x轴的交点的横坐标。a≠0. 6 【关联知识】 　　配方法：将二次函数解析式的一般式转化为顶点式时。需要用到配方法. 7 知识点2 二次函数的图象与性质 1.根据二次函数解析式判断函数图象与性质 (1)利用二次函数解析式判断函数性质 解析式 y=ax2+bx+c(a。b。c是常数。a≠0) 对称轴 (1)直接运用公式x=　　 　求解；  (2)配方法。将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k。则对称轴为直线　　　　；  (3)对称轴x=(其中x1。x2为关于对称轴对称的两点的横坐标) - x=h　 8 顶　　点 (1)直接利用顶点坐标公式x=　　　　。y=　　　　求解；  (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)+k。顶点坐标为　　　　；  (3)将对称轴x=x0代入函数解析式求得对应的y0 a的符号 a　　　　0  a　　　　0  图　　象 - (h，k)　 > < 9 开口方向 开口向上 开口向下 最　　值 当x=-时。y最小= 当x=-时。y最大= 最　　点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<-时。 y随x的增大而　　　　；  当x>-时。 y随x的增大而　增大　  当x<-时。 y随x的增大而　增大　；  当x>-时。 y随x的增大而　减小　  减小　 增大　 增大　 减小　 10 (2)利用二次函数解析式判断函数图象 a(决定开口方向) a>0 开口向上 a<0 开口向下 a。b (决定对称轴的位置) b=0 对称轴为y轴 a。b同号 对称轴在y轴左侧 a。b异号 对称轴在y轴右侧 c (决定与y轴的交点位置) c=0 抛物线过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 11 b2-4ac (一元二次方程根的判别式) b2-4ac=0 与x轴有唯一的交点(顶点)(对应一元二次方程有两个相等的实数根) b2-4ac>0 与x轴有两个交点(对应一元二次方程有两个不相等的实数根) b2-4ac<0 与x轴没有交点(对应一元二次方程无实数根) 12 2.根据二次函数图象判断相关结论 图象 结论 a　>0。b　>0。 c<0。b2-4ac>0  a　<0。b=0。c>0。b2-4ac　>0  图象 > > < > 13 结论 a>0。b　<0。c　>0。b2-4ac>0  a<0。b　>0。c<0。 b2-4ac　=0  图象 结论 a>0。b　>0。c>0。b2-4ac　<0  a　>0。b>0。c　=0。b2-4ac>0  图象 结论 a　<0。b　>0。c=0。b2-4ac>0  a>0。b　=0。c=0。b2-4ac　=0  < > > = > < > = < > = = 14 3.二次函数图象与a。b。c的特殊关系 2a+b -与1比较 2a-b -与-1比较 a+b+c 令x=　1　。看纵坐标  a-b+c 令x=-1。看纵坐标 4a+2b+c 令x=2。看纵坐标 4a-2b+c 令x=　-2　。看纵坐标  1 -2 15 知识点3二次函数图象的平移 1.平移的步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k。确定其顶点坐标。再保持抛物线形状不变。平移其顶点坐标即可. 16 2.平移的方法 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 简记 y=a(x-h)2+k　 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 左加 向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)2+k 右减 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 上加 向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k-m 下减 17 知识点4 二次函数解析式的确定 1.确定二次函数解析式的方法主要是待定系数法.巧设二次函数解析式有助于快速解决题目.一般情况下。根据题设中给出的条件。可按以下方式设二次函数解析式. 18 (1)顶点在原点。可设为y=ax2； (2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)。可设为　　　　　　；  (3)顶点在x轴上。可设为y=a(x-h)2； (4)抛物线过原点。可设为y=ax2+bx； (5)已知顶点坐标为(h。k)时。可设为顶点式　 　；  (6)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1。0)。(x2。0)时。可设为交点式 ；  (7)当已知抛物线上任意三点时。可设一般式为 。 然后列三元一次方程组求解. y=ax2+c　 y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2)　 y=ax2+bx+c(a≠0) 19 2.根据图形变化确定二次函数解析式 (1)将已知解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k； (2)根据下表求出变化后的a。h。k. y=a(x-h)2+k a 顶点(h。k) 平移变化 不变 变 轴对称 变化 x轴 相反数 (h。-k) y轴 不变 (-h。k) 旋转 变化 绕顶点(180°) 相反数 (h。k) 绕原点(180°) 相反数 (-h。-k) (3)将变化后的a。h。k代入顶点式中即可得到变化后的解析式. 20 知识点5 二次函数与方程、不等式的关系 1.二次函数与方程的关系 Δ=b2-4ac y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交点的个数 ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况 Δ>0 2个 2个不相等的实数根 Δ=0 1个 2个相等的实数根 Δ<0 无交点 无实数根 21 2.二次函数与不等式的关系 不等式 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 ax2+bx+c>0 在x轴上方 ax2+bx+c=0 在x轴上 ax2+bx+c<0 在x轴下方 22 命题点1 二次函数解析式的确定 (A卷：6年5考。B卷：6年5考) 例1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1。-4)。(-1。2)。(-2。8)。求二次函数的解析式. 【规范解答】 解：二次函数的解析式为y=x2-3x-2. 23 练1 已知抛物线的顶点为(2。4)。且经过点(3。5)。求二次函数的解析式. 解：二次函数的解析式为y=(x-2)2+4=x2-4x+8. 24 练2 已知抛物线的对称轴是直线x=2。且经过点(0。-3)。(3。0)。求二次函数的解析式. 解：二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3. 25 练3 已知抛物线与x轴的交点坐标为(1。0)。(2。0)。且经过点(3。6)。求二次函数的解析式. 解：二次函数的解析式为y=3(x-1)(x-2)=3x2-9x+6. 26 命题点2 二次函数的图象与性质 (A卷：6年4考。B卷：6年5考) 例2 【一题串考点·原创题】已知二次函数y=-x2+2x+3. (1)该二次函数的图象开口向　　　　。对称轴为直线　　　　。顶点 坐标为　　　　。函数有最　　　　值(填“大”或“小”)。其最值为　　；  (2)当-2≤x<2时。y的取值范围是　　　　；  (3)若点(-1。y1 )。(1。y2 )。(2。y3 )在该函数图象上。则函数值y1 。y2 。 y3 的大小关系为　　　　；  下 x=1　 (1，4) 　 大 4 -5≤y≤4　 y1<y3 <y2 27 (4)已知A(a。b)是抛物线上一点. ①若点A关于对称轴对称的点是B(5。8)。则点A的坐标为　　　　；  ②若点A到对称轴的距离为6。则点A的横坐标为　　　　；  ③当b=3时。满足条件的点A有　　个.  (-3，8)　 7或-5　 2 28 练4(2023·渝中校级期中)已知二次函数y=ax2+cx+c和一次函数y=ax+c。 则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是(　　) C 29 练5 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中。函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 … y … 5 0 -3 -4 -3 … 当y<5时。自变量x的取值范围是(　　)　　 A.x<-2 B.-1<x<5 C.x>4 D.-2<x<4 D 30 练6(2024·凉山)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2。y1)。(0。y2)。(。y3)三点。 则y1。y2。y3的大小关系正确的是(　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2 D 31 练7(2024·南岸期末)已知二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)。当自变量x=1和x=0 时。函数值y=1。则该抛物线的对称轴为直线　　　　.  练8 (2024·长寿阶段练习)二次函数y=x2-4x+7。当-1<x<4时。y的取值范围 为　　　　　　.  x= 3≤y<12　 32 命题点3 二次函数图象与方程、不等式的关系 (A卷：6年0考。B卷：6年0考) 例3 如图。抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1。p)。B(3。q)两点。 则不等式ax2+mx+c>n的解集是　　　　　　　.  x<-3或x>1　 33 练9(2024·江津期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。根据 图中提供的信息。可求得使y≥1成立的x的取值范围是(　　) A.-1≤x≤3 B.x≥3 C.x≤-1 D.x≤-1或x≥3 D 34 命题点4 二次函数图象的平移 (A卷：6年6考。B卷：6年6考) 例4(2024·西大附中阶段练习)将抛物线C1：y=3x2+ax+b 向左平移 1 个单 位长度。向上平移 1 个单位长度后得到新抛物线 C2：y=3x2+3x-17。 则a-b的值为(　　) A.12 B.15 C.18 D.21 B 35 练10 【原创题】已知抛物线y=-x2-3x+4与x轴交于A。B两点(A在B的左侧)。 与y轴交于点C。连接AC。将该抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度。 得到新抛物线的表达式为　　　　　　　　.(用一般式表示)  y=-x2-7x-8　 36 【方法指导】 将二次函数y=ax2 +bx+c的图象进行平移。 (1)平移方向为水平和竖直方向： ①若向左(右)平移 m 个单位长度。则y=a(x±m)2+b(x±m)+c(其中向左为加。向右为减)； ②若向上(下)平移 n 个单位长度。则y=ax2+bx+c±n(其中向上为加。向下为减). 37 (2)平移方向不是水平和竖直方向(分解到水平和竖直方向)： 若二次函数y=ax2 +bx+c的图象过点P。Q。沿着射线PQ方向平移w个单位长度。则过点P。Q分别作x。y轴的平行线。交于点M.设PM=x。QM=y。PQ=z。则先求出比值。确定向左(右)平移个单位长度和向上(下)平移 个单位长度。再根据平移方向为水平和竖直方向的平移规律写出平移后的解析式. 38 练11抛物线y=(x-1)2-2可由抛物线y=x2平移得到。那么平移的步骤 是(　　) A.向右平移1个单位长度。再向上平移2个单位长度 B.向右平移1个单位长度。再向下平移2个单位长度 C.向左平移1个单位长度。再向上平移2个单位长度 D.向左平移1个单位长度。再向下平移2个单位长度 B 39 练12 【原创题】抛物线y=x2-x-2与x轴交于A(-1。0)。B两点。与y轴交 于点C。将抛物线沿射线CB的方向平移个单位长度。 那么平移的步 骤是(　　) A.向右平移2个单位长度。再向上平移1个单位长度 B.向右平移2个单位长度。再向下平移1个单位长度 C.向左平移2个单位长度。再向上平移1个单位长度 D.向左平移2个单位长度。再向下平移1个单位长度 A 40 练13 (2024·沙坪坝阶段练习)将抛物线y=2x2+4先向左平移2个单位长度。 再向下平移3个单位长度。得到的新抛物线的表达式为　　　　　　　. (用一般式表示)  练14 【原创题】抛物线y=ax2+bx+6过点(2。9)。且交x轴于A。B两点。 交y轴于点C.其中点B的坐标为(8。0)。将该抛物线沿射线CB方向平移 5个单位长度。得到的新抛物线的解析式为　　　 .(用一般式表示)  y=2x2+8x+9　 y=-x2+x-12　 41 命题点5 二次函数图象与系数a。b。c的关系 (A卷：6年0考。B卷：6年0考) 例5(2024·西大附中期末)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示。 下列说法正确的是(　　) A.abc>0 B.b=2a C.3a+c<0 D.b2<4ac C 42 练15(2024·育才期末)如图。二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交 于A(-1。0)。B两点。对称轴是直线x=1。下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.当x>0时。y的值随着x的增大而减小 C.b-2a=0 D.4a+2b+c>0 D 43 练16(2024·绥化)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示。对称轴为直线x=-1。则下列结论中： ①>0； ②am2+bm≤a-b(m为任意实数)； ③3a+c<1； ④若M(x1。y)。N(x2。y)是抛物线上不同的两个点。则x1+x2≤-3. 其中正确的结论有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 44 练17(2024·雅安)已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两实根x1=-1。x2=3。 且abc>0。则下列结论中正确的有(　　) ①2a+b=0； ②抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1。c)； ③a<0； ④若m(am+b)<4a+2b。则0<m<1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 45 练18(2024·齐齐哈尔)如图。二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象与x轴交于 (-1。0)。(x1。0)。其中2<x1<3.结合图象给出下列结论： ①ab>0； ②a-b=-2； ③当x>1时。y随x的增大而减小； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的另一个根是-； ⑤b的取值范围为1<b<.其中正确结论的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 46 练19(2024·广元)如图。已知抛物线y=ax2+bx+c过点C(0。-2)与x轴交点的横坐标分别为x1。x2。且-1<x1<0。2<x2<3。则下列结论： ①a-b+c<0； ②方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根； ③a+b>0； ④a>； ⑤b2-4ac>4a2.其中正确的结论有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 47 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 48 $$