06 第2章 第2节 一元二次方程及其应用 -【智乐星中考·命题研究】2025年重庆中考数学讲练本

数学 2025重庆 1 2 第二节　一元二次方程及其应用 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 4 知识点1一元二次方程的有关概念 1.定义：等号两边都是整式。只含有1个未知数(一元)。并且未知数的最高次数是2(二次)的方程. 2.一般形式：ax2+bx+c=0(a。b。c为常数。a≠0).其中ax2。bx。c分别称为二次项、一次项和常数项。a。b分别称为二次项系数和一次项系数. 5 知识点2一元二次方程的解法 解法 基本形式 适用情况 注意事项 直接开平 方法 x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(c≥0) 方程缺少一次项时常用 开方不要漏掉负根 公式法 ax2+bx+c=0 (a≠0) 任意一元二次方程 均适用。求根公式 为　　　　 　　  先将方程化为一般形式。再确定判别式b2-4ac≥0。最后利用求根公式求解 x= 6 解法 基本形式 适用情况 注意事项 因式分解 法 (x-x1)(x-x2)=0或 ax2=bx ①将方程右边化为0。左边可以因式分解；②方程缺少常数项 两边不能同时除以含有未知数的相同因式 配方法 x2+bx+c=0⇒x2+bx+()2=()2-c 将二次项系数化为1后。一次项系数是2的倍数 配方时。给方程两边同时加上一次项系数一半的平方。不要漏加 7 知识点3 一元二次方程根的判别式 　 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.判别式的符号 决定了方程根的情况。即  (1)b2-4ac>0⇔方程有两个　 　的实数根；  (2)b2-4ac=0⇔方程有两个　 　的实数根；  (3)b2-4ac<0⇔方程　 　实数根.  b2-4ac　 不相等　 相等　 没有 8 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1。x2。 则x1+x2=　　　　。x1x2=　　　　.  - 9 知识点5 一元二次方程的应用 1.平均增长(下降)率问题： 增长率=×100%. 常见类型：设原来量为a。平均增长(下降)率为x。两次增长(下降)后的量是b。则a(1±x)2=b(增长用“+”。下降用“-”). 10 2.购买问题中的“每每模型” 总利润=单件利润×数量； 成本每件a元。售价为m元时的销量是n件。售价每降低d元。则可多卖出c件.设售价降低了x元。则每件的利润为(m-x-a)元。销量增加件。销量变为(n+)件。则降价后的利润为w=(m-x-a)(n+)元. 3.握手、比赛单循环问题：设n个队进行m场比赛。每两个队进行一场比赛。则m=(n≥2). 11 命题点1 一元二次方程的解 (A卷：6年0考。B卷：6年0考) 例1(2024·大渡口一模)若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有一个根为x=1。 则m的值为　　　　.  0 12 【方法指导】 方程的根就是满足方程左右两边的未知数的值。因此求含有参数的一元二次方程中的字母的值时。只需要把已知方程的根代入原方程求解.需要注意的是一元二次方程的二次项系数不为零的限制条件. 13 练1(2024·重庆一模)已知m为方程x2+x-3=0的一个根。则代数式 m3+2m2-2m+6的值为　　　　.  9 14 命题点2 一元二次方程的解法 (A卷：6年0考。B卷：6年0考) 例2(2024·九龙坡期末)解方程： (1)x2+8x=4；　　(2)x(3x+1)-5(x-1)=0； (3)x2-6x-6=0；　(4)(x+2)(x+3)=1. 15 【规范解答】 解：(1)x1=2-4，x2=-2-4. (2)该方程无解. (3)x1=3+，x2=3-. (4)x1=，x2=. 16 【方法指导】 (1)直接开平方法——先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式。然后化完全平方式的系数为1。最后根据平方根的意义求解. (2)因式分解法——结合方程的特点适当变形。提公因式或运用公式。将方程化成两个一次因式的积等于0的形式. 17 (3)配方法——用配方法解方程的关键是配方。而配方的关键是将方程的左边化为完全平方式的形式。而方程的右边则是一个常数.在配方时。先将二次项的系数化为1。方程的两边一定要同时加上“一次项系数一半的平方”. (4)公式法——用公式法解方程一定要先化为一般式。并准确找出a。b。c的值。计算b2-4ac的值。判断方程根的情况.若方程有实数根。再代入求根公式求出方程的解. 18 练2(2024·贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是(　　) A.x1=3。x2=1 B.x1=2。x2=0 C.x1=3。x2=-2 D.x1=-2。x2=-1 B 19 练3(2024·大渡口一模)解下列一元二次方程： (1)(x+1)2=36；　　(2)(2x-1)2=2(2x-1)； (3)x2-2x-3=0；　　(4)2x2+5x-12=0. 解：(1)x1=5，x2=-7.　(2)x1=，x2=. (3)x1=3，x2=-1.　(4)x1=，x2=-4. 20 命题点3 一元二次方程根的判别式 (A卷：6年0考。B卷：6年0考)　　　　　　　　　　　 例3(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) A.x2-6x=0 B.x2-9=0 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0 D 21 练4(2024·自贡)关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的根的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 练5(2024·黑龙江龙东地区)关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+2=0有两个 实数根。则m的取值范围是(　　) A.m≤4 B.m≥4 C.m≥-4且m≠2 D.m≤4且m≠2 A D 22 练6(2024·潼南期末)已知关于x的一元二次方程mx2-2x-4=0有两个实数根. (1)若方程的一个根是2。求m的值； (2)求m的取值范围. 解：(1)m=2.　(2)m≥-且m≠0. 23 命题点4 一元二次方程根与系数的关系 (A卷：6年0考。B卷：6年0考) 例4(2024·眉山)已知方程x2+x-2=0的两根分别为x1。x2。则+的值为 　　　　.  练7(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1。x2。 且+=3。则p的值为(　　) A.- B. C.-6 D.6 A 24 练8(2024·烟台)若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m。n。则3m2-4m+n2 的值为　　　　.  练9(2024·泸州)已知x1。x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根。 则(x1-x2)2+3x1x2的值是　　　　.  6 14　 25 命题点5 一元二次方程的实际应用 (A卷：6年6考。B卷：6年6考) 例5(2024·重庆八下期末)某社区图书室积极推广全社区阅读活动。决定下半年逐月加大图书购置经费的投入.其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本.已知甲书籍的单价是68元。乙书籍的单价是50元。共花费5 720元. (1)七月计划购买甲、乙书籍各多少本？ (2)经过比较。图书室工作人员最终决定在书城购买甲书籍和乙书籍.甲书籍的单价减少了m元。购买数量增加了m本。乙书籍的单价不变。购买甲、乙书籍的总数量也不变。总费用比原计划减少了10m元。请求出m的值. 26 【规范解答】 解：(1)七月计划购买甲书籍40本，乙书籍60本. (2)m的值为6. 27 练10(2023·重庆A卷)为了加快数字化城市建设。某市计划新建一批智能 充电桩。第一个月新建了301个充电桩。第三个月新建了500个充电桩。 设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x。根据题意。请列出 方程　　　　　　　.  301(1+x)2=500　 28 练11如图。有一张长30 cm、宽20 cm的矩形纸板。将纸板四个角各剪去 一个边长为x cm的正方形。然后将四周突出部分折起。可制成一个无盖 长方体纸盒。要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的 。则x的值 为　　　　.  5 29 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 30 $$