05 第2章 第1节 一次方程(组)及其应用 -【智乐星中考·命题研究】2025年重庆中考数学讲练本

数学 2025重庆 1 2 第一节　一次方程(组)及其应用 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 4 知识点1 等式的性质 1.等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫作等式. 2.等式的基本性质 (1)等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)。结果仍相等.即如果a=b。 那么a±c=　　　.  (2)等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)。结果仍相等. 即如果a=b。那么ac=　 　。=　　　.(c≠0)  b±c　 bc　 5 知识点2一元一次方程及其解法 1.方程的概念：含有　　　　的等式.  2.方程的解：使方程左、右两边的值相等的　　　　　的值叫作一元 一次方程的解。也叫它的根.  3.一元一次方程的概念：只含有　　　　未知数(元)。且未知数的次数 都是1　。等号两边都是整式。这样的方程叫作一元一次方程.  未知数　 未知数　 一个　 1 6 4.解一元一次方程时。目标是把原方程化为x=c的形式。一般步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把未知数的系数化为1. 5.关于x的方程ax=b的解的讨论： (1)当a≠0时。方程有唯一解x=；(2)当a=0。b≠0时。方程无解； (3)当a=0。b=0时。方程的解为一切实数. 7 知识点3二元一次方程(组)及其解法 1.二元一次方程的概念：含有　 　未知数。并且含有未知数的项的 次数都是　 　。像这样的方程叫作二元一次方程.  2.二元一次方程组的概念：方程组中有两个未知数。含有每个未知数的 项的次数都是1。并且一共有两个方程。像这样的方程组叫作二元一次 方程组. 3.二元一次方程组的解：组成二元一次方程组的两个方程的公共解。 叫作二元一次方程组的解. 两个　 1 8 4.二元一次方程组的解法 (1)代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。并代入另一个方程。实现消元. (2)加减消元法：利用等式的基本性质使方程组中某个未知数前的系数的绝对值相等。然后把两个方程相加(减)。实现消元. 9 知识点4一次方程(组)的应用 1.常见问题及基本关系式 常见问题 基本关系式 行程问题 路程=速度×时间 相遇问题：总路程=甲走的路程+乙走的路程 追及问题 10 常见问题 基本关系式 行船问题 顺水速度=静水速度+水流速度(考虑水流速度) 逆水速度=静水速度-水流速度(考虑水流速度) 利润问题 利润=售价-进价　售价=标价×折扣率　销售额=售价×数量　利润率=×100% 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间　总工作效率=各个单独做的效率的和 11 2.列方程(组)解应用题的一般步骤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)审：审清题意。分清题中的已知量和未知量； (2)设：设出关键未知数； (3)列：找出题干中的等量关系。列方程(组)； (4)解：解方程(组)； (5)验：检验结果是否正确且是否有实际意义； (6)答：规范作答. 12 命题点1 等式的性质 (A卷：6年0考。B卷：6年0考) 例1(2024·重庆期中)下列运用等式的性质变形错误的是(　　) A.若a2=2a。则a=2 B.若x=y。则xc=yc C.若x=y。则= D.若x=y。则5-x=5-y A 13 练1(2024·渝中期末)下列等式的变形中正确的是(　　) A.若3=x-2。则x=-2-3 B.若=3。则x=1 C.若-3x=-2。则x= D.若=。则2x=3y D 14 命题点2 解一元一次方程 (A卷：6年2考。B卷：6年1考)　　　　　　　 例2下列变形。正确的是(　　) A.由3x+7=32-2x。移项得3x-2x=32+7 B.由2x-(x+10)=5x。去括号得2x-x+10=5x C.由3x-7x+2x=3。合并同类项得-6x=3 D.由3x=3-。去分母得9x=9-(2x-1) D 15 【易错警示】 (1)去分母时。不要漏乘常数项； (2)去括号时。若括号前面是负号。括号内各项都要变号. 16 练2解方程=-1时。去分母正确的是(　　) A.3(2x-1)=4×2x-12 B.3(2x-1)=4×2x-1 C.3(2x-1)=2x-12 D.(2x-1)=4×2x-12 练3 (2021·重庆A卷)若关于x的方程+a=4 的解是x=2。则a的值为　　.  A 3 17 命题点3 解二元一次方程组 (A卷：6年0考。B卷：6年0考) 例3(2024·浙江)解方程组： 【规范解答】 解：方程组的解是 18 【解题通法】 (1)当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数为1或-1时。选择代入消元法较合适； (2)当方程组中两个方程同一个未知数的系数相同或互为相反数时。选择加减消元法较合适. 19 练4(2024·广西)解方程组： 解：方程组的解为 20 练5 (2023·台州)解方程组： 解：方程组的解为 21 练6 解方程组： 解：方程组的解为 22 命题点4 含参数的一次方程(组) (A卷：6年0考。B卷：6年0考) 例4 (2023·眉山)已知关于x。y的二元一次方程组 的解满足x-y=4。则m的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 23 【解题通法】 (1)把参数当作数字解方程组。即用含参数的代数式表示x。y。或利用整体未知数的方法解决问题； (2)根据解满足的关系求参数. 24 练7(2023·南充)若关于x。y的方程组的解满足x+y=1。 则4m÷2n的值是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 练8 若关于x的一元一次方程ax+3=3(x-1)的解与方程+=20的解 相同。则a=　　　　.  D 2 25 练9已知方程组和方程组有相同的解。求a。b的值. 解：根据题意得 ①+②得5x=15，解得x=3. 把x=3代入①得y=-1， ∴该方程组的解为 ∵方程组和方程组有相同的解， ∴a=3+(-1)=2，b=3-(-1)=4. 26 命题点5 由实际问题抽象出一次方程(组) (A卷：6年1考。B卷：6年0考) 例5(2024·宜宾)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中。记载了这样一道题： “良马日行二百四十里。驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日。问良 马几何日追及之.”其大意是快马每天行240里。慢马每天行150里。慢马 先行12天。问快马几天可追上慢马.则快马追上慢马的天数是(　　) A.5天 B.10天 C.15天 D.20天 D 27 【方法指导】 (1)设未知数。可以采取直接设元。也可以采取间接设元。注意解完方程回归题目本身。不要直接作答。防止答非所问； (2)找等量关系时。要抓住关键词语。如“一共是……”“比……多”“是……几倍”等. 28 练10(2024·烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载 这样一道题：“今有女子不善织。日减功迟.初日织五尺。末日织一尺。 今三十日织讫。问织几何.”意思是：现有一个不擅长织布的女子。织布 的速度越来越慢。并且每天减少的数量相同.第一天织了五尺布。最后 一天仅织了一尺布。30天完工。一共织了多少布(　　) A.45尺 B.88尺 C.90尺 D.98尺 C 29 练11(2024·扬州)《九章算术》是中国古代的数学专著。是《算经十书》中最 重要的一部。书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题。可理解 为速度快的人每分钟走100米。速度慢的人每分钟走60米。现在速度慢的人 先走100米。速度快的人去追他。速度快的人追上他需要　　　　分钟.  练12(2024·盐城)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问 题。大意是：现有一根竿子和一条绳索。用绳索去量竿子。绳索比竿子长 5尺；若将绳索对折去量竿子。绳索就比竿子短5尺。问绳索、竿子各有多长. 该问题中的竿子长为　　　　尺.  2.5 15 30 命题点6 一元一次方程的实际应用(A卷：6年5考。B卷：6年3考) 例6(2024·重庆二模)某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付。若全部由1个工人生产需要150天才能完成.为了快速完成生产任务。现计划由一部分工人先生产3天。然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务.假设每名工人的工作效率相同. (1)前3天应先安排多少名工人生产？ (2)增加6名工人一起工作后。若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个 B型配件。如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统。要使每天生产的A型和B型配件刚好配套。应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 31 【规范解答】 解：(1)前3天应先安排15名工人生产. (2)应安排13名工人生产A型配件，安排8名工人生产B型配件. 32 【方法指导】 (1)设未知数时必须带单位。可直接设未知数也可间接设未知数。它们在不同的题目中各有优越性。要根据题意选取； (2)列方程时。要抓住题中反映数量关系的关键字词。根据具体问题寻找等量关系； (3)解方程。运用一元一次方程解决实际问题时。要注意解的合理性； (4)应用题必须作答. 33 练13(2024·重庆三模节选)某经销商长期销售A。B两种商品。5月份此经销商花费30 000元一次性购买了A。B两种商品共1 700件。此时A。B两种商品的进价分别为15元和20元.求5月份此经销商购进A。B两种商品的数量. 解：5月份此经销商购进A种商品800件，购进B种商品900件. 34 命题点7 　一次方程组的实际应用 (A卷：6年4考。B卷：6年5考) 例7 (2023·巴南月考)今年“五一黄金周”。长江三峡沿途旅游再一次风靡全国。其中忠县石宝寨风景区更是人山人海.某旅游客轮在相距约270千米的重庆港、石宝寨两地之间匀速航行。从重庆港到石宝寨顺流航行需9小时。从石宝寨到重庆港逆流航行比顺流航行多用4.5小时. (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)若在重庆港、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光。使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同。问重庆港与该码头两地相距多少千米. 35 【规范解答】 解：(1)该客轮在静水中的速度是25千米/时，水流速度是5千米/时. (2)重庆港与该码头两地相距162千米. 36 练14(2024·重庆二模)为支持农业现代化建设。甲、乙两机械生产公司接受3 600台微耕机的生产任务.已知甲公司每天生产微耕机的台数是乙公司每天生产微耕机台数的. (1)若甲公司生产40天。乙公司生产30天。则恰好完成生产任务.问乙公司每天生产多少台微耕机. (2)由于时间紧任务重。甲、乙两公司各完成总生产任务的一半。甲公司完成任务所需要的时间比乙公司完成任务的时间少5天.问乙公司现在每天生产多少台微耕机. 解：(1)乙公司每天生产40台微耕机. (2)乙公司现在每天生产120台微耕机. 37 本课件由我公司研发制作，拥有完整版权，为教师用书配套增值产品。仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，未授权擅自用作商业用途者，一经发现，我公司将追究侵权者的法律责任！ 版权声明 38 $$