4.1　成比例线段 　课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

预习导航 归类探究 当堂测评 分层训练 1　成比例线段 第2课时　等比性质 等比性质：如果 ＝ ＝…＝ （ b ＋ d ＋…＋ n ≠0），那么 ＝ . 注　　意：（1）若 ＝ ，即 b2＝ ac ；若 b2＝ ac ，则 b 叫做 a ， c 的比例中项； （2）在 ＝ 两边同时加（或减）1，即可得到 ＝ ； （3）在应用“如果 ＝ ＝…＝ （ b ＋ d ＋…＋ n ≠0），那么 ＝ ” 解决具体问题时，一定要注意限制条件 b ＋ d ＋…＋ n ≠0，只有在 b ＋ d ＋…＋ n ≠0时，才能应用上述性质解题. 课件导航 目录页 尾页 预习导航 类型之一　等比性质 　已知 ＝ ＝ ＝2，且 b ＋ d ＋ f ≠0. （1）求 的值； 解：∵ ＝ ＝ ＝2，且 b ＋ d ＋ f ≠0， ∴ ＝2， ∴ 的值为2. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 （2）若 b －2 d ＋3 f ＝5，求 a －2 c ＋3 e 的值. 解：∵ ＝ ＝ ＝2， ∴ ＝ ＝ ＝2， ∴ ＝2. ∵ b －2 d ＋3 f ＝5， ∴ a －2 c ＋3 e ＝2×5＝10， ∴ a －2 c ＋3 e 的值为10. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之二　比例基本性质的综合运用 　（1）已知 ＝ ，求 的值； 解：∵ ＝ ， ∴由等比性质，得 ＝ ＝ . 归类探究 课件导航 目录页 尾页 （2）已知 ＝ ＝ ≠0，求 的值. 解：令 ＝ ＝ ＝ m （ m ≠0）， 则 x ＝2 m ， y ＝3 m ， z ＝5 m ， ∴ ＝ ＝ ＝ . 【点悟】 利用比例的性质求值时，引入参数是一种重要的数学方法，它可以使问题简单化. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之三　等比性质中的分类讨论思想 　已知 ＝ ＝ ＝ x ，求 x 的值. 解：当 a ＋ b ＋ c ＝0时，即 a ＋ b ＝－ c ， 则 x ＝ ＝－1； 当 a ＋ b ＋ c ≠0时， x ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2. 综上所述， x 的值为－1或2. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 1. 若 ＝ ，则下列各式不成立的是（　A　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 2. 已知 ＝ ＝ ，且 b ≠ d ，则 ＝（　A　） A. B. C. D. 3. 已知 ＝ ＝ ＝ ， b ＋ d ＋ f ＝50，则 a ＋ c ＋ e ＝ ⁠. A A 30　 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 1. 若 x ∶ y ＝1∶3，2 y ＝3 z ，则 的值是（　A　） A. －5 B. － C. D. 5 2. 已知 ＝ ＝ ≠0，则 ＝ 　 　. A 　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 证明：∵ ＝ ，∴ －2＝ －2， ∴ ＝ . 3. 已知 ＝ （ a ， b ， c ， d 均不为0），求证： ＝ . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 4. 如图， ＝ ＝ ＝ ，若△ AEC 的周长为15cm，求△ BDE 的 周长. 解：∵ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ . ∵ AE ＋ CE ＋ AC ＝15cm， ∴ BE ＋ DE ＋ BD ＝30cm， 即△ BDE 的周长是30cm. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 5. 若互不相等的四条线段的长 a ， b ， c ， d 满足 ＝ ， m 是任意实数，则下列各式中一定成立的是（　D　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ D 分层训练 课件导航 目录页 尾页 6. 已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，若 ＝ ＝ ，且 a ＋ b ＋ c ＝12，试判断△ ABC 的形状. 解：设 ＝ ＝ ＝ k （ k ≠0）， 则 a ＝3 k －4， b ＝2 k －3， c ＝4 k －8. ∵ a ＋ b ＋ c ＝12， ∴3 k －4＋2 k －3＋4 k －8＝12，解得 k ＝3， ∴ a ＝3 k －4＝5， b ＝2 k －3＝3， c ＝4 k －8＝4. ∵ b2＋ c2＝9＋16＝25， a2＝25， ∴ b2＋ c2＝ a2，∴△ ABC 为直角三角形. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 7. （运算能力）设 a ， b ， c 是△ ABC 的三条边，且 ＝ ＝ ，判断△ ABC 为何种三角形？并说明理由. 解：△ ABC 为等边三角形.理由如下： ∵ a ， b ， c 是△ ABC 的三条边，∴ a ＋ b ＋ c ≠0. ∵ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ＝0， ∴ a － b ＝0， b － c ＝0， c － a ＝0， ∴ a ＝ b ＝ c ，∴△ ABC 为等边三角形. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 $$ 预习导航 归类探究 当堂测评 分层训练 1　成比例线段 第1课时　成比例线段 1. 线段的比的概念 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB ， CD 的长度分别是 m ， n ，那么就说这两条线段的比就是 ，即 AB ∶ CD ＝ m ∶ n ，或写成 ＝ .其中，线段 AB ， CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把 表示成比值 k ，那么 ＝ k ，或 AB ＝ k · CD . 两条线段的比实际上就是两个数的比. 它们长度的比　 预习导航 课件导航 目录页 尾页 2. 比例线段的概念 比例线段：四条线段 a ， b ， c ， d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a ， b ， c ， d 叫做 ，简称比例线段. 注　　意：我们说 a ， b ， c ， d 四条线段是成比例线段，它对应的关系式只能是 ＝ 或 a ∶ b ＝ c ∶ d ，它是有一定顺序的. 3. 比例的性质 基本性质：如果 ＝ ，那么 ⁠. 如果 ad ＝ bc （ a ， b ， c ， d 均不为0），那么 ⁠. ＝ 　 成比例线段　 ad ＝ bc 　 ＝ 　 预习导航 课件导航 目录页 尾页 类型之一　求线段的比 　如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＝8cm， AC ＝6cm， CD 是斜边 AB 上的高，求 CD ∶ AB 的值. 解：在Rt△ ABC 中，由勾股定理， 得 AB ＝ ＝ ＝10（cm）. 又∵ S△ ABC ＝ AC · BC ＝ AB · CD ， ∴ CD ＝ ＝ （cm）， ∴ CD ∶ AB ＝ ∶10＝ . 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之二　比例的基本性质 　已知线段 x ， y . （1）当 ＝ 时，求 的值； 解：由原式，得2 x ＋6 y ＝3 x －3 y ， ∴ x ＝9 y ， ∴ ＝9. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 （2）当 ＝ 时，求 的值. 解：由原式，得 xy ＋3 y2＝ x2－ xy ， 整理，得（ x ＋ y ）（ x －3 y ）＝0， ∴ x ＝－ y 或 x ＝3 y ， 即 ＝－1或 ＝3. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之三　比例的基本性质的应用 　如图，在矩形 ABCD 中截取正方形 ABMN ，使 ＝ ，已知 CM ＝3－ ，求 AD 的长. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 解：∵四边形 ABMN 为正方形， ∴ MN ＝ BM ＝ BC － CM . ∵ ＝ ，∴ MN2＝ BC · CM ，∴（ BC － CM ）2＝ BC · CM . ∵ CM ＝3－ ，设 BC ＝ AD ＝ x ， 则 x2－3 x ×（3－ ）＋（3－ ）2＝0， 解得 x1＝2， x2＝7－3 （不合题意，舍去）， ∴ AD 的长为2. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 1. 由等积式 ma ＝ nb （ a ， b ， m ， n 均不为0），能得到比例式（　　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 2. 如果3 x ＝4 y （ x ， y 均不为0），那么 ＝　 　. 3. 若线段 c 满足 ＝ ，且线段 a ＝4cm， b ＝9cm，则线段 c ＝ ⁠cm. 4. 如果某地图上 A ， B 两处的图上距离是 4cm，表示这两地的实际距离是20km，那么实际距离为500km的两地在地图上的图上距离是 ⁠cm. B 　 6　 100　 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 1. 下列四组线段中，是成比例线段的是（　D　） A. 5cm，6cm，7cm，8cm B. 3cm，6cm，2cm，5cm C. 2cm，4cm，6cm，8cm D. 12cm，8cm，15cm，10cm 2. 已知 ＝ ，则 的值为（　C　） A. B. C. D. D C 3. 已知 ＝ ，则 ＝ 　 　. 　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （1） a ＝1cm， b ＝3cm， c ＝6cm， d ＝9cm； 解：从小到大排列，由于1×9≠3×6， ∴不是成比例线段. （2） a ＝5cm， b ＝10cm， c ＝15cm， d ＝20cm； 解：从小到大排列，由于5×20≠10×15， ∴不是成比例线段. 4. 下列各组中的 a ， b ， c ， d 四条线段是否为成比例线段？若为成比例线段，请写出比例式（式中须含全部的4个字母）. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （4） a ＝126cm， b ＝23cm， c ＝14cm， d ＝207cm. 解：从小到大排列，由于14×207＝23×126， ∴是成比例线段，比例式为 a ∶ c ＝ d ∶ b . （3） a ＝1.9cm， b ＝8.1cm， c ＝5.7cm， d ＝2.7cm； 解：从小到大排列，由于1.9×8.1＝5.7×2.7， ∴是成比例线段，比例式为 a ∶ c ＝ d ∶ b . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 5. 已知 ＝ ，求下列算式的值. （1） ； （2） . 解：∵ ＝ ，∴ a ＝ b ， ∴ ＝ ＝ . 解：∵ ＝ ，∴设 a ＝3 k （ k ≠0），则 b ＝2 k ， ∴ ＝ ＝ ＝ . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 6. 如图，已知 ＝ ， AD ＝6.4cm， DB ＝4.8cm， EC ＝4.2cm，求 AC 的长. 解：∵ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得 AE ＝5.6cm， 则 AC ＝ AE ＋ EC ＝5.6＋4.2＝9.8（cm）. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 7. 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ， BE ⊥ AC . 试判断线段 AD ， BE ， AC ， BC 是否为成比例线段，并说明理由. 解：∵ S△ ABC ＝ BC · AD ＝ AC · BE ， ∴ ＝ ，即 AD ∶ BE ＝ AC ∶ BC ， ∴线段 AD ， BE ， AC ， BC 为成比例线段. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 8. 如图，四边形 ABCD 与四边形 ABFE 都是矩形， AB ＝3， AD ＝6.5， BF ＝2. （1）求下列各线段的比： ， ， ； 解：∵四边形 ABCD 与四边形 ABFE 都是矩形， AB ＝3， AD ＝6.5， BF ＝2， ∴ CD ＝ EF ＝ AB ＝3， BC ＝ AD ＝6.5， CF ＝ BC － BF ＝4.5， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （2）指出 AB ， BC ， CF ， CD ， EF ， FB 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）. 解：线段 EF ， CF ， BF ， AB 为成比例线段，有 ＝ . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 9. （应用意识）“A n 系列纸”的研究：纸张大小在国际间最常使用的是ISO所制定的标准，并将尺寸冠以编号，如A4，B5等.如图，A n 系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张大小都不同，形状相同；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸……A n 纸对裁后可以得到两张A（ n ＋1）纸. （1）填空：A1纸面积是A2纸面积的 倍，A2纸周长是A4纸周长的 倍； 2　 2　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 【解析】∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸， ∴A1纸面积是A2纸面积的2倍. 设A2纸的长为 a ，宽为 b ，则A2纸的周长为 a ＋ b ， ∴A3纸的长是 b ，宽为 ，A4纸的长是 ，宽为 ， ∴A4纸的周长为2 ＝ a ＋ b ， ∴A2纸周长是A4纸周长的2倍. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （2）根据A n 系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大 于宽）之比. 解：设A1纸的长和宽分别为 m ， n ， 则A2纸的长和宽分别为 n ， m ， ∴ ＝ ，即 m ∶ n ＝ ∶1. 故该系列纸张的长与宽之比为 ∶1. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 $$