高一数学期末模拟卷02（人教A版2019，必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 3．有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 4．在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；（2）甲没中奖而且乙中奖的概率，（1）和（2）的值分别等于（   ） A．； B．； C．； D．； 5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 6．已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 8．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 10．某校高三甲、乙两名同学6次月考数学得分情况记录如下， 甲：118，120，135，133，147，141； 乙：117，126，119，127，119，129． 则下列四个结论中，正确的是（   ） A．甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差 B．甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数 C．甲同学得分的平均值大于乙同学的平均值 D．甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定 11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A．在锐角中，不等式恒成立 B．若，，且有两解，则的取值范围是 C．若，且，则是等边三角形 D．已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量 ，若 ，则实数 的值为 . 13．某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 ． 64844217    55721754    55068331 04744767    21763350    25839212 06766301    63785916    95556719 14．已知，把通过四舍五入精确到小数点后位的近似值分别记为，若从中任取1个数字，则满足的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值； 16．（15分） 一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 17．（15分） 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： (1)求角A的大小； (2)若_____，求面积的取值范围. 18．（17分） 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C C D A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．447 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）已知是纯虚数， 根据纯虚数的定义可得.（2分） 解方程，得或. （4分） 解不等式，得且. （6分） 综合以上两个条件，可得.（7分） （2） 将代入，（8分） 可得： .（11分） 根据复数模的计算公式可得：.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）解：记事件：摸出两球标号互质， 由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点，（3分） 其中事件，共5个样本点，（5分） 故，（6分） 所以，摸出两球标号互质的概率为.（7分） （2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为： ，共12个样本点，（9分） 其中第一次摸出球的标号小于，可得，（10分） 第二次摸出球的标号小于，可得，（11分） 所以，（12分） 则，（13分） ，（14分） 所以，所以事件与事件不独立.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）∵（1分） ，（3分） ∵，∴，∴，（4分） ∵，∴（6分） （2）若选①； 由正弦定理可知：，（7分） （8分） ，（10分） 又因为锐角三角形，所以，（12分） 所以，（13分） ，（14分） 故；（15分） 若选②，由正弦定理可知，（7分） ，（10分） 又因为锐角三角形，（11分） 所以，（13分） ，（14分） .（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由图得，（1分） 解之可得；（3分） （2）根据题意知，（4分） ，，（5分） 设第百分位数为，所以，（6分） ，解之可得，（7分） 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为.（8分） （3） 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、 方差分别为，（10分） 且两组的频率之比为，（11分） 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，（13分） 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为（14分） （15分） ，（16分） 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1），， 则，（1分） ； 又，，、平面，（2分） 平面，平面，（3分） 平面平面；（4分） （2）侧棱，点为中点， ，（5分） 又， 为正三角形，取中点，则，，（6分） 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 过点作交延长线于点，连接，. 平面，所以， （7分） 又，，、平面， 所以平面，又平面，，（8分） 根据定义，即为二面角的平面角. ，（9分） .（10分） （3）（法一）作平面， 则，为在平面内的射影，所以点，，共线， 再在平面作交于点， 又，，、平面， 平面，（11分） 设线交线于点，则， 又，，、平面， 平面，平面，得，（13分） ，，（14分） 又因为，（15分） 所以与平面所成的最大角的正弦值为，（16分） 当点为线与的交点时取到最大角；（17分） （法二）过点作交于点，连接，. 设，，， 则，，（12分） 从而.（13分） ，（14分） ，，（15分） 于是，（16分） 当且仅当，即点为与交点时，等号成立.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因，则由复数相等的定义可得：.故选B 2．平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意：是的中点，点是的一个三等分点， ∴. 故选D. 3．有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据样本数据平均数公式可知，，方差.故选C 4．在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；（2）甲没中奖而且乙中奖的概率，（1）和（2）的值分别等于（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【解析】由有50张奖券，共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完后乙再抽， 设事件“甲中奖而且乙也中奖”，则； 设事件“甲没中奖而且乙中奖”，则. 故选C. 5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直观图还原原平面图形，如下图所示： 因为四边形为矩形，则，且， 故为等腰直角三角形，故，， 在原图形中，，， 因为，，则在原图形中，，， 故四边形为平行四边形，所以，，， 故原平面图形的周长为. 故选D. 6．已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，不符合题意； 综上所述，a的取值范围是． 故选A. 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选A. 8．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】D 【解析】在棱长为2的正方体中，为线段的中点， 对于A，，平面，平面，则平面， 则点到平面的距离为定值，而的面积为定值，为定值，A正确； 对于B，如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等， 当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，B正确； 对于C，如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，C正确； 对于D，如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形， 其中上底，下底，腰为，则梯形高为， 所以等腰梯形的面积为，D错误. 故选D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 【答案】BD 【解析】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选BD. 10．某校高三甲、乙两名同学6次月考数学得分情况记录如下， 甲：118，120，135，133，147，141； 乙：117，126，119，127，119，129． 则下列四个结论中，正确的是（   ） A．甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差 B．甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数 C．甲同学得分的平均值大于乙同学的平均值 D．甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定 【答案】ABC 【解析】对于A，甲同学得分的极差为，乙同学得分的极差为， 甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差，故A正确； 对于B，甲的数据从小到大排列后，处于中间的数是133，135，所以甲得分的中位数是134， 同理求得乙得分的中位数是122.5，因此甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数，故B正确； 对于C，甲同学得分的平均值为， 乙同学得分的平均值为， 故甲同学得分的平均值大于乙得分的平均值，故C正确： 对于D，分别计算甲、乙两个得分的方差，方差小的成绩更稳定． 甲的方差为：， 乙的方差为：， 因为乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，故D不正确. 故选ABC． 11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A．在锐角中，不等式恒成立 B．若，，且有两解，则的取值范围是 C．若，且，则是等边三角形 D．已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 【答案】ACD 【解析】对于选项A，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故A正确； 对于选项B，如图，若有两解，则， 所以，即b的取值范围是，故B错误； 对于选项C，，由， 所以，因为，可得， 又由，可得， 所以是等边三角形，故C正确； 对于选项D， 由可得， 即，化简得， 即，即， 设的中点为，则有， 所以点在的中位线所在直线上，则点和点到直线的距离之比为， 所以，故选项D正确. 故选ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量 ，若 ，则实数 的值为 . 【答案】 【解析】因为向量 ，且 ， 所以. 故答案为：6. 13．某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 ． 64844217    55721754    55068331 04744767    21763350    25839212 06766301    63785916    95556719 【答案】447 【解析】依题意，被抽到的前5个不重复的编号依次为：175，068，331，047，447， 所以第5个被抽到的同学的编号为447. 故答案为：447 14．已知，把通过四舍五入精确到小数点后位的近似值分别记为，若从中任取1个数字，则满足的概率为 ． 【答案】 【解析】由题意可得， 从中任取1个数字，结果有4种， 其中满足的有，共2种，故所求概率.故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值. 【解析】（1）已知是纯虚数，根据纯虚数的定义可得. 解方程，得或. 解不等式，得且. 综合以上两个条件，可得. （2）将代入，可得： . 根据复数模的计算公式可得：. 16．（15分） 一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 【解析】（1）解：记事件：摸出两球标号互质， 由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点， 其中事件，共5个样本点，故， 所以，摸出两球标号互质的概率为. （2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为： ，共12个样本点， 其中第一次摸出球的标号小于，可得， 第二次摸出球的标号小于，可得， 所以，则，， 所以，所以事件与事件不独立. 17．（15分） 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： (1)求角A的大小； (2)若_____，求面积的取值范围. 【解析】（1）∵ ， ∵，∴，∴， ∵，∴ （2）若选①； 由正弦定理可知：， ， 又因为锐角三角形，所以， 所以，， 故； 若选②，由正弦定理可知， ， 又因为锐角三角形，所以，， . 18．（17分） 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【解析】（1）由图得， 解之可得； （2）根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 【解析】（1），， 则， ； 又，，、平面， 平面，平面， 平面平面； （2）侧棱，点为中点， ， 又， 为正三角形，取中点，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 过点作交延长线于点，连接，. 平面，所以， 又，，、平面， 所以平面，又平面，， 根据定义，即为二面角的平面角. ， . （3）（法一）作平面， 则，为在平面内的射影，所以点，，共线， 再在平面作交于点， 又，，、平面， 平面， 设线交线于点，则， 又，，、平面， 平面，平面，得， ，， 又因为， 所以与平面所成的最大角的正弦值为， 当点为线与的交点时取到最大角； （法二）过点作交于点，连接，. 设，，， 则，， 从而. ， ，， 于是， 当且仅当，即点为与交点时，等号成立. 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 3．有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 4．在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；（2）甲没中奖而且乙中奖的概率，（1）和（2）的值分别等于（   ） A．； B．； C．； D．； 5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 6．已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 8．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 10．某校高三甲、乙两名同学6次月考数学得分情况记录如下， 甲：118，120，135，133，147，141； 乙：117，126，119，127，119，129． 则下列四个结论中，正确的是（   ） A．甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差 B．甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数 C．甲同学得分的平均值大于乙同学的平均值 D．甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定 11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A．在锐角中，不等式恒成立 B．若，，且有两解，则的取值范围是 C．若，且，则是等边三角形 D．已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量 ，若 ，则实数 的值为 . 13．某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 ． 64844217    55721754    55068331 04744767    21763350    25839212 06766301    63785916    95556719 14．已知，把通过四舍五入精确到小数点后位的近似值分别记为，若从中任取1个数字，则满足的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值； 16．（15分） 一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 17．（15分） 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： (1)求角A的大小； (2)若_____，求面积的取值范围. 18．（17分） 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$