高一数学期末模拟卷（天津专用，人教A版2019必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知向量，且点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 4．对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．与同时发生 B．与不能同时发生 C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生 5．如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 6．为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（    ） A．48 B．5 C．54 D．60 7．在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 8．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A不互斥且相互独立 B．B与C互斥且不相互独立 C．C与A互斥且不相互独立 D．D与A不互斥且相互独立 9．在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点， ①； ②平面； ③三棱锥的体积为定值； ④与所成的最大角为. 上述命题中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．i是虚数单位，复数 ． 11．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 ． 12．若一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为 . 13．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    14．在梯形中，，，，，，动点满足：当时，与相交于点.记，则 （用表示）；当点到点的距离为1时，则的最小值为 . 15．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高 m. 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，Ca，Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地的8000个猕猴桃中随机抽取100个猕猴桃进行测重，其重量全部分布在区间内（单位：克），将所得数据分成6组：，，，，，，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计这8000个猕猴桃中重量不小于90克的猕猴桃个数，并说明理由； (2)若该收购商准备收购这批猕猴桃，并提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以10元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以5元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以15元每千克收购，请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率） 17．（15分） “科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 18．（15分） “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，，点在线段与线段上运动． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 19．（15分） 如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 20．（16分） 已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记边上的高为h， （i）若，求的值； （ii）求的取值范围. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ ____________________ 14 ． ____________________ ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（ 共 7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16 ．（ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 16 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知向量，且点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 4．对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．与同时发生 B．与不能同时发生 C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生 5．如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 6．为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（    ） A．48 B．5 C．54 D．60 7．在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 8．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A不互斥且相互独立 B．B与C互斥且不相互独立 C．C与A互斥且不相互独立 D．D与A不互斥且相互独立 9．在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点， ①； ②平面； ③三棱锥的体积为定值； ④与所成的最大角为. 上述命题中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．i是虚数单位，复数 ． 11．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 ． 12．若一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为 . 13．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    14．在梯形中，，，，，，动点满足：当时，与相交于点.记，则 （用表示）；当点到点的距离为1时，则的最小值为 . 15．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高 m. 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，Ca，Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地的8000个猕猴桃中随机抽取100个猕猴桃进行测重，其重量全部分布在区间内（单位：克），将所得数据分成6组：，，，，，，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计这8000个猕猴桃中重量不小于90克的猕猴桃个数，并说明理由； (2)若该收购商准备收购这批猕猴桃，并提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以10元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以5元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以15元每千克收购，请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率） 17．（15分） “科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 18．（15分） “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，，点在线段与线段上运动． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 19．（15分） 如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 20．（16分） 已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记边上的高为h， （i）若，求的值； （ii）求的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A C D D B A A B A 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10． 11． /0.2 12． 8 13． 14． 15． 600 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16（14分） 【详解】（1）由频率分布直方图可知，重量不小于90克的频率为：，（3分） 所以估计这8000个猕猴桃中重量不小于90克的猕猴桃个数为个.（6分） （2）由频率分布直方图求出每个猕猴桃的平均重量，克，（8分） 故方案一：所有猕猴桃均以10元每千克收购；则收入为：元.（10分） 由频率分布直方图重量小于90克的每个猕猴桃的平均重量为：克，（12分） 重量不小于90克的每个猕猴桃的平均重量为：克，（14分） 方案二的收入为：元.（13分） 因8500>7320,故方案二为最佳的出售方案.（14分） 17（15分） 【详解】（1）由题意每个员工“优秀”的概率 ，（3分） 则估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数为个，（5分） 按去尾法取整，有人；（6分） （2）设调出人， 调整前的利润为（万元），（7分） 调整后的利润为，（10分） 要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润， 则，（12分） 解得，（13分） 因为为整数，所以最大值为，（14分） 即部门最多可以调人到其他部门.（15分） 18（15分） 【详解】（1）如图，以为原点建立平面直角坐标系， 则，（1分） 则，（3分） 因，则，（5分） 故，（6分） 得，则.（7分） （2）①当在线段上运动，设，其中，（8分） 因，所以， 则，（9分） 因为，所以，（10） ②当在线段上运动，设，（11分） 因，则，（12分） 又，则，故， 则，则，（13分） 因为，所以，（14分） 综上，的取值范围为.（15分） 19（15分） 【详解】（1） 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴.（1分） ∵平面，平面，平面平面， ∴.（2分） ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴，（3分） ∵平面，平面，∴平面.（4分） （2） 存在，（5分） 点为的中点.证明如下： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴.（6分） ∵平面，平面，∴平面.（7分） 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面，（8分） ∵平面，∴平面.（9分） （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面，（10分） ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即.（11分） 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，，（13分） ∴，同理得，即（14分） ∴，即的余弦值为.（15分） 20（16分） 【详解】（1）由及正弦定理可得：. 在中，∵，∴，（12分） 代入上式化简可得：. ∵，∴，即，（2分） ∴ .（3分） 又∵，∴，∴或，即或.（4分） 又为斜三角形知，∴.（5分） （2）（i）由（1）知. ∵面积，边上的高，（6分） ∴.（7分） 由余弦定理可知：，（8分） 即，即，∴或.（9分） 所以或.（10分） （ⅱ）由，得，（11分） ∴（13分） .（14分） ∵，∴，（15分） ∴.（16分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 全解全析 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知向量，且点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，点，所以点的坐标为.故选A 2．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】复数对应的坐标为，在第三象限.故选C. 3．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】D 【解析】因为，所以所求数据的第85百分位数为37.故选D. 4．对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．与同时发生 B．与不能同时发生 C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生 【答案】D 【解析】两个事件，则事件表示的含义是事件至少有一个发生，故选D． 5．如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方体中，平面， 且该正方体的棱长为，则， 故，即三棱锥的体积是. 故选B. 6．为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（    ） A．48 B．5 C．54 D．60 【答案】A 【解析】由题前三组频率之和为， 又第一组、第二组和第三组的频率之比为， 所以第一组的频率为，又第一组的频数为， 所以报考飞行员的学生人数为人. 故选A. 7．在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）. 由余弦定理可得，解得，故， 因为，则角为锐角，所以，， 因此，. 故选A. 8．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A不互斥且相互独立 B．B与C互斥且不相互独立 C．C与A互斥且不相互独立 D．D与A不互斥且相互独立 【答案】B 【解析】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件， 依题意，，， 又，即A与B相互独立，故A正确； 第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件,，即B与不相互独立，故B错误; ，即与不相互独立，C与A互斥故C正确； ，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确； 故选B. 9．在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点， ①； ②平面； ③三棱锥的体积为定值； ④与所成的最大角为. 上述命题中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】对于①，因为平面，平面，则， 又因为，且平面， 得平面，又平面，所以； 因为平面，平面，则， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以，又平面，所以平面. 又平面，所以，正确； 对于②，在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又平面， 所以平面平面.又平面，所以平面，正确； 对于③，由②知，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以为定值，正确； 对于④，当与重合时，与所成的角最大,最大为，理由如下： 因为，平面，平面， 所以，，且平面， 所以平面， 平面，所以，所以与所成的最大角为，正确. 故正确的命题个数为4个. 故选A. 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【解析】， 故答案为：． 11．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 ． 【答案】/0.2 【解析】所有的基本事件为，其中，，共25个基本事件. 目标事件为，，，，，共5个基本事件. 所以.故答案为：. 12．若一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为 . 【答案】8 【解析】由题意的一组样本数据，，…，的， 则样本数据，，…，的方差为. 故答案为：8 13．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    【答案】 【解析】    如图，设两个正方形的中心为，连接，    因为旋转了45°，所以, 由对称性可设， ， 所以，则， 所以, 该雕塑底面可容纳的最大的圆的半径, 所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为， 外接球的半径为 , ， 故答案为：；. 14．在梯形中，，，，，，动点满足：当时，与相交于点.记，则 （用表示）；当点到点的距离为1时，则的最小值为 . 【答案】 【解析】在梯形中，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 由，得， 由，得，，则， 因此； ，因此， 当且仅当反向共线时取等号，所以的最小值为. 故答案为：； 15．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高 m. 【答案】600 【解析】，则，,， 故，， 在中，由正弦定理得，即， 解得，则. 故答案为： 三．解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分） 某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，Ca，Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地的8000个猕猴桃中随机抽取100个猕猴桃进行测重，其重量全部分布在区间内（单位：克），将所得数据分成6组：，，，，，，得到频率分布直方图如图所示. (1)估计这8000个猕猴桃中重量不小于90克的猕猴桃个数，并说明理由； (2)若该收购商准备收购这批猕猴桃，并提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以10元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以5元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以15元每千克收购，请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率） 【解析】（1）由频率分布直方图可知，重量不小于90克的频率为：， 所以估计这8000个猕猴桃中重量不小于90克的猕猴桃个数为个. （2）由频率分布直方图求出每个猕猴桃的平均重量，克， 故方案一：所有猕猴桃均以10元每千克收购；则收入为：元. 由频率分布直方图重量小于90克的每个猕猴桃的平均重量为：克， 重量不小于90克的每个猕猴桃的平均重量为：克， 方案二的收入为：元. 因8500>7320,故方案二为最佳的出售方案. 17．（15分） “科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 【解析】（1）由题意每个员工“优秀”的概率 ， 则估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数为个， 按去尾法取整，有人； （2）设调出人， 调整前的利润为（万元）， 调整后的利润为， 要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润， 则，解得， 因为为整数，所以最大值为， 即部门最多可以调人到其他部门. 18．（15分） “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，，点在线段与线段上运动． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 【解析】（1）如图，以为原点建立平面直角坐标系， 则， 则， 因，则， 故，得，则. （2）①当在线段上运动，设，其中， 因，所以， 则， 因为，所以， ②当在线段上运动，设， 因，则， 又，则，故， 则，则， 因为，所以， 综上，的取值范围为. 19．（15分） 如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 【解析】（1） 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）存在，点为的中点.证明如下： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即. 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，， ∴，同理得，即 ∴，即的余弦值为. 20．（16分） 已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记边上的高为h， （i）若，求的值； （ii）求的取值范围. 【解析】（1）由及正弦定理可得：. 在中，∵，∴， 代入上式化简可得：. ∵，∴，即，∴ . 又∵，∴，∴或，即或. 又为斜三角形知，∴. （2）（i）由（1）知. ∵面积，边上的高， ∴. 由余弦定理可知：，即，即，∴或. 所以或. （ⅱ）由，得， ∴ . ∵，∴，∴. 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$