20 复数重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 20 复数重难点专题 常考结论及公式 结论一：复数的共轭 （1）复数Z a bi= + 的共轭复数是Z a bi= − （其中 ,a b是实数， i 是虚数单位）； （2） 22 2 2Z Z Z Z a b = = = + ; （3） 2 Z Z a + = （实部）， 2 Z Z b i − = （虚部）； （4） 1 2 1 2Z Z Z Z =  ， 1 2 1 2Z Z Z Z =  ， 1 1 2 2 Z Z Z Z   =    ； 结论二：复数的三角形式 （1）复数Z 可以表示为 ( )cos sinZ r i = + ，其中 r Z= ， 是Z 与正实轴之间的 夹角（称为辐角）； （2）欧拉公式： cos sinie i  = + ，从而 iZ re= ； （3） ( ) ( )cos sin cos sin nn n nZ r i r n i n   = + = + ； 结论三：多个复数的性质 （1） 1 2 1 2Z Z Z Z =  ; （2） 11 2 2 ZZ Z Z = （其中 2 0Z  ）; （3） 1 2 2 1Z Z Z Z =  ， 1 2 2 1Z Z Z Z+ = + ； （4） 1 2 3 1 2 3Z Z Z Z Z Z  =  （ ） （ ）， 1 2 3 1 2 1 3Z Z Z Z Z Z Z+ = +（ ） ； 结论四：其他重要的结论 （1） 2(1 ) 2i i =  ， 1 1 i i i + = − ， 1 1 i i i − = − + ； （2） 4 1ni = ， 4 1ni i+ = ， 4 2 1ni + = − ， 4 3ni i+ = − （其中 *n N ）； （3） 4 4 1 4 2 4 3 0n n n ni i i i+ + ++ + + = （其中 *n N ）； （4）复平面上的两点间的距离公式： ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1d Z Z x x y y=  = − + − （其中 1 1 1Z x y i= + ， 2 2 2Z x y i= + ）； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （5）方程 0nZ = 的根有 n 个，可以通过三角形式或者指数形式表示. 题型一 复数的基本概念 【例 1】（多选）已知 z 是复数 z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A． 2z z z = B．若 | | 1z = ，则 1z =  C． | | | | | |z z z z =  D．若 | 1| 1+ =z ，则 | 1|z − 的最小值为 1 【跟踪训练 1】（多选）已知 1 2,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ） A．若 1 2z z= ，则 1 2z z+ 与 1 2z z 均为实数 B．若 1 2z z+ 与 1 2z z 均为实数，则 1 2z z= C．若 1 2,z z 均为纯虚数，则 1 2 z z 为实数 D．若 1 2 z z 为实数，则 1 2,z z 均为纯虚数 题型二 复数的四则运算 【例 2】（多选）已知复数 1 1 iz = − ，复数 2 1 2i, , R, ,z x y x y z z= +  所对应的向量分别为 1 2,OZ OZ ，其中 O为坐标原点，则（ ） A．若 1 2OZ OZ∥ ，则 0x y+ = B．若 1 2OZ OZ⊥ ，则 1 2 1 2z z z z+ = − C．若 1 2OZ OZ⊥ ，则 1 2 0z z = D．若 2 21 2 0z z+ = ，则 1 2OZ OZ⊥ 【跟踪训练 2】已知 z 为虚数， 1 1z z + = ，求 1n n z z + 的值 ( )nN ． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型三 复数的几何意义 【例 3】（多选）设 z 为复数，则下列命题中正确的是（ ） A． 2 z zz= B．若 2(1 2i)z = − ，则复平面内 z 对应的点位于第二象限 C． 22z z= D．若 1z = ，则 iz + 的最大值为 2 【跟踪训练 3】阅读以下材料，判断下列命题的真假 在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢．在实数域内， 我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是， 我们只需定义复数的正负即可．我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面 x轴上 方的复数为正，在 x轴下方的复数为负，在 x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号 +“长度”表示，我们用[z]来表示这个复数的“大小” 例如 3 4i 5+ = ， 3 4i 5− − = − ， 2 2− = − ， 5 12i 13− + = ， ① 在复平面上面的复数值大小一定大于在他正下方的复数大小 ② 在复平面内做一条直线 2y x= + ，  z 的最小值为 2 ③ 复数 ( )    i iia ac b b c dd = + + +  + + + ④ 满足  2z = 的点的轨迹在复平面上表示为一个半圆 其中，正确的序号为 题型四 与复数相关的最值和范围问题 【例 4】已知 2k + 个两两互不相等的复数 1 2 1 2, , , , ,kz z z w w ，满足 1 2 1 2 4 w w w w − = − ，且  1,3j aw z−  ，其中 1,2j = ； 1,2, ,a k= ，则 k 的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 4】已知常数 Rt ，集合  1 3, CS z z z= −   ， 2 i , 3 w T z z t w S +  = = +     ， 若 S T S= ，则 t的取值范围是 . 题型五 复数范围内方程的根的问题 【例 5】已知复数2 i+ 是关于 x的方程 2 0x ax b− − = （a， Rb ）的一个解，则复数 iz a b= + 的虚部为（ ） A． 5i− B． 5− C．5i D．5 【跟踪训练 5】关于 x 的方程 2 1 0x x a− + − = 的根 , ，是否存在实数a ，使得不等式 5 +  成立？ 课后突破训练 1．记 i为虚数单位，n 为正整数，若 ( )3 4i n + 位于复平面的第四象限，则n 的最小值为 （ ） A．4 B．5 C．6 D． 7 2．“ 4 0 3 m  ”是“复数 ( ) ( )3 2 1 iZ m m= − + − 在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合 1 { | i , } i n n A z z n = = + N ，则A 的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 4．下列命题不正确的为（ ） A．若复数 1z ， 2z 的模相等，则 1z ， 2z 是共轭复数 B． 1z ， 2z 都是复数，若 1 2z z+ 是虚数，则 1z 不是 2z 的共轭复数 C．复数是实数的充要条件是 z z= D． Cz ， | i i| 2z z+ + − = ，则 z 对应的点Z 的轨迹为线段 5．已知复数 z 满足： 1z = ，则 1 iz − + 的最大值为（ ） A．2 B． 2 1+ C． 2 1− D．3 6．已知复数 2π 2π cos isin 2023 2023 z = + ，则 ( )( ) ( )2 20221 1 1z z z− − − =（ ） A．2022 B．2023 C． 2022− D． 2023− 7．设 ( ) 2f x ax bx c= + + （a 、b 、cR）.已知关于 x 的方程 ( )f x x= 有纯虚数根，则 关于 x 的方程 ( )( )f f x x= 的解的情况，下列描述正确的是（ ） A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 8．（多选）已知复数 ,z w均不为 0，则（ ） A． 2 2| |z z= B． 2 2| | z z zz = C． z zw w− = − D． zz w w = 9．（多选）已知复数 1z ， 2 Cz  ，下列结论正确的有（ ） A．若 1 2 0z z−  ，则 1 2z z B．若 2 2 1 2z z= ，则 1 2| || |z z= C．若复数 1z ， 2z 满足 1 2 1 2z z z z+ = − ．则 1 2 0z z = D．若 1 2| i | | i | 1z z− = + = ，则 1 2| |z z− 的最大值为 4 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 10．已知复数 1z ， 2z 满足 1 12 3 iz z+ = − − ， 2 1 1z z− = ，则 2 2iz + 的最大值为 . 11．任何一个复数 iz a b= + （其中 a、 Rb ，i 为虚数单位）都可以表示成： (cos si )i nz r  = + 的形式，通常称之为复数 z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： ( ) ( )( )*cos isin cos isin N nn nz r r n n n    = + = +   ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根 据以上信息，若 1r = ， 4   = 时，则 2022z = ；对于 *N , 2n n   ， 2 ( 1) ( 1) [cos sin ] n k k k n n   = − − + = ． 12．对于函数 ( )y f x= ，分别在 N, 1x x  处作函数 ( )y f x= 的切线，记切线与 x 轴的交 点分别为 1 2( ,0),( ,0)...( ,0)nx x x ，记 nx 为数列{ }nx 的第 n项，则称数列{ }nx 为函数 ( )y f x= 的 “切线- x 轴数列”，同理记切线与 y 轴的交点分别为 1 2( ,0),( ,0)...( ,0)ny y y ，记 ny 为数列{ }ny 的第 n项，则称数列{ }ny 为函数 ( )y f x= 的“切线- y 轴数列” (1)设函数 ( ) cosπf x x x= + ，记 ( )f x “切线- x 轴数列”为{ }na ，记 nS 为{ }na 的前 n项和， 求 nS . (2)设函数 ( ) 1 2 x g x   =     ，记 ( )g x “切线- y 轴数列”为{ }nb ，猜想{ }nb 的通项公式并证明你 的结论. (3)设复数 ( ) i, ,z x ax b a b= + 均为不为 0 的实数，记 z 为 z 的共轭复数，设 ( )h x z z=  ， 记 ( )h x “切线- y 轴数列”为{ }nc ，求证：对于任意的不为 0 的实数 a ，总有 ( ) 2 n b c z n = 成 立. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 20 复数重难点专题 常考结论及公式 结论一：复数的共轭 （1）复数Z a bi= + 的共轭复数是Z a bi= − （其中 ,a b是实数， i 是虚数单位）； （2） 22 2 2Z Z Z Z a b = = = + ; （3） 2 Z Z a + = （实部）， 2 Z Z b i − = （虚部）； （4） 1 2 1 2Z Z Z Z =  ， 1 2 1 2Z Z Z Z =  ， 1 1 2 2 Z Z Z Z   =    ； 结论二：复数的三角形式 （1）复数Z 可以表示为 ( )cos sinZ r i = + ，其中 r Z= ， 是Z 与正实轴之间的 夹角（称为辐角）； （2）欧拉公式： cos sinie i  = + ，从而 iZ re= ； （3） ( ) ( )cos sin cos sin nn n nZ r i r n i n   = + = + ； 结论三：多个复数的性质 （1） 1 2 1 2Z Z Z Z =  ; （2） 11 2 2 ZZ Z Z = （其中 2 0Z  ）; （3） 1 2 2 1Z Z Z Z =  ， 1 2 2 1Z Z Z Z+ = + ； （4） 1 2 3 1 2 3Z Z Z Z Z Z  =  （ ） （ ）， 1 2 3 1 2 1 3Z Z Z Z Z Z Z+ = +（ ） ； 结论四：其他重要的结论 （1） 2(1 ) 2i i =  ， 1 1 i i i + = − ， 1 1 i i i − = − + ； （2） 4 1ni = ， 4 1ni i+ = ， 4 2 1ni + = − ， 4 3ni i+ = − （其中 *n N ）； （3） 4 4 1 4 2 4 3 0n n n ni i i i+ + ++ + + = （其中 *n N ）； （4）复平面上的两点间的距离公式： ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1d Z Z x x y y=  = − + − （其中 1 1 1Z x y i= + ， 2 2 2Z x y i= + ）； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （5）方程 0nZ = 的根有 n 个，可以通过三角形式或者指数形式表示. 题型一 复数的基本概念 【例 1】（多选）已知 z 是复数 z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A． 2z z z = B．若 | | 1z = ，则 1z =  C． | | | | | |z z z z =  D．若 | 1| 1+ =z ，则 | 1|z − 的最小值为 1 【答案】CD 【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断 A；结合特殊 值法可判断 B；结合复数模长的性质可判断 C；结合复数的几何意义可判断 D. 【详解】对于 A，设 ( )i , Rz a b a b= +  ，则 ( )( ) 22 2i iz z a b a b a b z = + − = + = ，但 ( ) ( )( ) 22 2 2i i i 2 iz a b a b a b a ab b= + = + + = + − ，故 A 错误； 对于 B，令 iz = ，满足 i 1z = = ，故 B 错误； 对于 C，设 ( )i , Rz a b a b= +  ，则 iz a b= − 所以 ( )( ) 2 2i iz z a b a b a b = + − = + ，则 2 2 2 2z z a b a b = + = + 2 2 2 2 2 2z z a b a b a b = +  + = + ，所以 | | | | | |z z z z =  ，故 C 正确； 对于 D，设 ( )i , Rz a b a b= +  ，则 ( ) 2 21 1 i 1 1z a b a b+ = + + = + + = ， 即 ( ) 2 21 1a b+ + = ，表示以 ( )1,0− 为圆心，半径为 1 的圆， ( ) 2 21 1z a b− = − + 表示圆上的点到 ( )1,0 的距离，故 1z − 的最小值为 22 1 1− = ，故 D 正确. 故选：CD 【跟踪训练 1】（多选）已知 1 2,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ） A．若 1 2z z= ，则 1 2z z+ 与 1 2z z 均为实数 B．若 1 2z z+ 与 1 2z z 均为实数，则 1 2z z= C．若 1 2,z z 均为纯虚数，则 1 2 z z 为实数 D．若 1 2 z z 为实数，则 1 2,z z 均为纯虚数 【答案】ABC 【分析】根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可求解 ABC，举反例即可求解 D. 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【详解】设 1 iz a b= + ， ( )2 i , , , , 0, 0z c d a b c d b d= +   R ． ( )1 2 iz z a c b d+ = + + + ， ( )1 2 iz z ac bd ad bc= − + + ． 若 1 2z z= ，则a c= ， 0b d+ = ，所以 1 2 2z z a+ = R ， 2 2 1 2z z a b= + R ，所以 A 正确； 若 1 2z z+ 与 1 2z z 均为实数，则 0b d+ = ，且 0ad bc+ = ，又 0b  ， 0d  ，所以a c= ，所 以 B 正确； 若 1z ， 2z 均为纯虚数，则 0a c= = ，所以 1 2 z c z d = R，所以 C 正确； 取 1 2 2iz = + ， 2 1 iz = + ，则 1 2 z z 为实数，但 1z ， 2z 不是纯虚数，所以 D 错误． 故选：ABC． 题型二 复数的四则运算 【例 2】（多选）已知复数 1 1 iz = − ，复数 2 1 2i, , R, ,z x y x y z z= +  所对应的向量分别为 1 2,OZ OZ ，其中 O为坐标原点，则（ ） A．若 1 2OZ OZ∥ ，则 0x y+ = B．若 1 2OZ OZ⊥ ，则 1 2 1 2z z z z+ = − C．若 1 2OZ OZ⊥ ，则 1 2 0z z = D．若 2 21 2 0z z+ = ，则 1 2OZ OZ⊥ 【答案】ABD 【分析】根据平行得到 0x y+ = ，A 正确，根据垂直得到 x y= ，计算得到 B 正确，计 算 1 2 2z z x= 得到 C 错误，确定 1 1 x y =  = 或 1 1 x y = −  = − ，得到 1 2 0OZ yZ xO = − = ，D 正确，得 到答案. 【详解】对选项 A： 1 2OZ OZ∥ ，则 ( ) ( )1, 1 ,x y− ∥ ，即 y x= − ，即 0x y+ = ，故 A 正确； 对选项 B： 1 2OZ OZ⊥ ，则 ( ) ( )1 2 1, 1 , 0O yOZ x x yZ  = −  = − = ，即 x y= ， ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1z z x x+ = + + − ， ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1z z x x− = − + + ，故 B 正确； 对选项 C： 1 2OZ OZ⊥ ，则 x y= ， ( )( )1 2 1 i i 2x x xz z = − + = ， 当 0x  时， 1 2 0z z  ，故 C 错误； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 对选项 D： 2 2 1 2 2 22i 2 i 0xz z y xy= − + ++ =− ，则 2 2 0x y− = 且 1xy = ， 解得 1 1 x y =  = 或 1 1 x y = −  = − ， 1 2 0OZ yZ xO = − = ，故 1 2OZ OZ⊥ ，故 D 正确； 故选：ABD. 【跟踪训练 2】已知 z 为虚数， 1 1z z + = ，求 1n n z z + 的值 ( )nN ． 【答案】答案见解析 【分析】运用复数的知识综合分析证明即可. 【详解】由 z 为虚数及 1 1z z + = ，得 0, 1, 1z z z  − = ． ( )( )2 2 31 0, 1 1 1 0z z z z z z− + = + − + = + = ，即 3 1z = − ． 当 6n k= 时（ k 为自然数，以下 k 均为非负整数）， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 23 2 2 3 1 1 1 1 2 1 k kn k kn z z z z + = + = − + = − ； 当 6 1n k= + 时， 1 1 1n n z z z z + = + = ； 当 6 2n k= + 时， 2 2 2 1 1 1 2 1n n z z z z z z   + = + = + − = −    ； 当 6 3n k= + 时， 3 3 1 1 2n n z z z z + = + = − ； 当 6 4n k= + 时， 4 4 1 1 1 1n n z z z z z z + = + = − − = − ； 当 6 5n k= + 时， 5 2 2 5 2 2 1 1 1 1 1n n z z z z z z z z   + = + = − − = − + =    ． 题型三 复数的几何意义 【例 3】（多选）设 z 为复数，则下列命题中正确的是（ ） A． 2 z zz= B．若 2(1 2i)z = − ，则复平面内 z 对应的点位于第二象限 C． 22z z= D．若 1z = ，则 iz + 的最大值为 2 【答案】ABD 【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐个选项分析即可. 【详解】对于 A，设 iz a b= + ，故 iz a b= − ，则 2 2 2z a b= + ， 2 2i)( i)zz a b a ab b( + − = += ， 故 2 z zz= 成立，故 A 正确， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 对于 B， 2(1 2i) 4i 3z = − = − − ， 4i 3z = − ，显然复平面内 z 对应的点位于第二象限，故 B 正确， 对于 C，易知 2 2 2z a b= + ， 2 2 2 2 iz a b ab= + + ，当 0ab  时， 22z z ，故 C 错误， 对于 D，若 1z = ，则 2 2 1a b+ = ，而 2 2i ( 1) 2 2z a b b+ = + + = + ，易得当 1b = 时， iz + 最大，此时 i 2z + = ，故 D 正确. 故选：ABD 【跟踪训练 3】阅读以下材料，判断下列命题的真假 在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢．在实数域内， 我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是， 我们只需定义复数的正负即可．我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面 x轴上 方的复数为正，在 x轴下方的复数为负，在 x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号 +“长度”表示，我们用[z]来表示这个复数的“大小” 例如 3 4i 5+ = ， 3 4i 5− − = − ， 2 2− = − ， 5 12i 13− + = ， ① 在复平面上面的复数值大小一定大于在他正下方的复数大小 ② 在复平面内做一条直线 2y x= + ，  z 的最小值为 2 ③ 复数 ( )    i iia ac b b c dd = + + +  + + + ④ 满足  2z = 的点的轨迹在复平面上表示为一个半圆 其中，正确的序号为 【答案】①② 【分析】根据题设中的定义，逐一对各个命题分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，设 1 0 1 0 1i, , Rz x y x y= +  ， 2 0 2 2i, Rz x y y= +  ， 不妨 2 0 2iz x y= + 在 1 0 1iz x y= + 的正下方，即满足 2 1y y ， 当 2 10 y y  时，有   2 2 2 21 0 1 2 0 2z x y z x y= +  = + ， 当 2 10y y  时，有   2 2 2 21 0 1 2 0 20z x y z x y= +   = − + ， 当 2 1 0y y  时，有    2 2 2 21 0 1 2 0 20 z x y z x y = − +  = − + ， 所以①正确； 对于②，在直线 2y x= + 上任取一点 ( )0 0,x y ，其对应的复数 0 0iz x y= + ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 则   2 20 0xz y= + ，可以看成直线 2y x= + 上点 ( )0 0,x y 到原点的距离， 所以   2 20 0 2 2 1 1 z x y= +  = + ，所以②正确； 对于③， 2, 1, 3, 5a b c d= = = = 则 ( )   61i 5 6ia c b d + + += = + ， 而       i i 2 1i 3 5i 5 5 61a b c d+ + + = + + + = +  ，所以③错误； 对于④，设 ( )i , Rz a b a b= +  ，因为  2z = ，所以 0b  ， 当 0b  时， 2 2 4a b+ = ， 当 0b = 时， 2a = ， 所以  2z = 的点的轨迹在复平面上为半圆，但不含点 ( )2,0− ， 所以④错误； 故答案为：①② 题型四 与复数相关的最值和范围问题 【例 4】已知 2k + 个两两互不相等的复数 1 2 1 2, , , , ,kz z z w w ，满足 1 2 1 2 4 w w w w − = − ，且  1,3j aw z−  ，其中 1,2j = ； 1,2, ,a k= ，则 k 的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设 1 2, ( , , , ),a bi c di a b c d R = + = +  从而可得 2 2( ) ( ) 4,a c b d− + − = 即 1 2,  对 应平面内距离为2的点，从而利用数学结合求解即可. 【详解】设 1 2, ( , , , ),a bi c di a b c d R = + = +  1 2 1 2 4 w w w w − = − , 1 2 1 2( )( ) 4w w w w− − = , 即[( ) ( ) ] [( ) ( ) ] 4,a c b d i a c b d i− − −  − + − = 化为 2 2( ) ( ) 4,a c b d− + − = 故 1 2,  对应平面内距离为2的点，如图中F G、 ,  1,3j aw z−  , az 与 1 2,  对应点的距离为1或3, 构成了点 A B C D E、 、 、 、 共5个点， 故 k 的最大值为5. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 故选：C. 【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应 用． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解． 【跟踪训练 4】已知常数 Rt ，集合  1 3, CS z z z= −   ， 2 i , 3 w T z z t w S +  = = +     ， 若 S T S= ，则 t的取值范围是 . 【答案】 1 3,1 3 − +  【分析】设 z T ，根据 2 i 3 w z t + = + ，得到 3 3 2 i z t w − = − ，结合w S ，得到 3 3 2 1 3 i z t− − −  ，变形得到 ( )i 1z t− +  ，根据几何意义得到两圆内含或内切，得到不 等关系，求出答案. 【详解】设 z T ，则 2 i 3 w z t + = + ，解得 3 3 2 i z t w − = − ， 因为w S ，所以 1 3w−  ，即 3 3 2 1 3 i z t− − −  ， 化简得到 i 1 i z t− −  ，其中 ( ) ii i i i z tz t z t − −− − = = − + ， 整理得 ( )i 1z t− +  ， 所以集合T 表示以 ( ),1t 为圆心，1 为半径的圆及其内部， 而集合S表示以 ( )1,0 为圆心，3为半径的圆及其内部， 因为 S T S= ，所以T S ，故两圆内含或内切， 故圆心距小于等于半径之差，即 ( ) 2 1 1 3 1t − +  − ，解得1 3 1 3−   +t ， 即 t 的取值范围是 1 3,1 3 − +  . 故答案为： 1 3,1 3 − +  【点睛】以复数为载体，考查核心内容为轨迹问题，数形结合进行求解，这是复数的模 长相关题目的基本思路和方法. 题型五 复数范围内方程的根的问题 【例 5】已知复数2 i+ 是关于 x的方程 2 0x ax b− − = （a， Rb ）的一个解，则复数 iz a b= + 的虚部为（ ） A． 5i− B． 5− C．5i D．5 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系求出 ,a b即可得解. 【详解】因为2 i+ 是关于 x的方程 2 0x ax b− − = （a， Rb ）的一个解， 所以2 i− 是一元二次方程的另一个解， 由根与系数的关系可知 ( ) ( ) 2 22 i 2 i 4, 2 i 2 i 2 i 5a b= + + − = − = +  − = − = ， 即 4, 5a b= = − ， 所以 i 4 5iz a b= + = − ，虚部为 5− ， 故选：B 【跟踪训练 5】关于 x 的方程 2 1 0x x a− + − = 的根 , ，是否存在实数a ，使得不等式 5 +  成立？ 【答案】存在 【分析】分类讨论，利用韦达定理求不等式 5 +  成立的条件. 【详解】关于 x 的一元二次实系数方程 2 1 0x x a− + − = 的判别式Δ 4 3a= − ． （1）当Δ 0 即 3 4 a  时， 、 为方程的实根，此时 1 a = − ， 1 + = ， 在 3 1 4 a  时， 0  ， , 同号，故 1 5   + = + =  总成立． 在 1a  时， 0  ， , 异号， ( ) 2 4 4 3.a      + = − = + − = − 由 4 3 5a −  ，得 7a  ．此时1 7a  ．综上所述， 3 7 4 a  ． （2）当Δ 0 即 3 4 a  时， 、 为实系数方程的一对共轭复根．  = ， 1 a = − ， 1 a = − ， 2 1 a = − ， 所以 2 2 1 5a  + = = −  ，得 21 4 a  − ，所以 21 3 . 4 4 a−   由（1）、（2）知，当 21 7 4 a−   时，方程两根 、 满足 5 +  ． 【点睛】方法点睛： 上述问题属探索性的存在性问题，其模式为“已知M ，问是否存在具有某种性质的对象 N ”．这种问题通常有两种解题策略：一种策略是通过推理（包括计算）、证明（或求出） 符合条件要求的对象N 的存在；另一种策略是具体地找出一个（或一类）对象N ，或 举出某种反例，说明某种性质成立或不成立． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 课后突破训练 1．记 i为虚数单位，n 为正整数，若 ( )3 4i n + 位于复平面的第四象限，则n 的最小值为 （ ） A．4 B．5 C．6 D． 7 【答案】C 【分析】逐个计算 ( ) ( )3 4i 2, n n n +  N ，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为 ( ) 2 3 4i 9 24i 16 7 24i+ = + − = − + ， 即复数 ( ) 2 3 4i+ 在复平面内对应的点位于第二象限， ( ) ( )( ) 3 3 4i 7 24i 3 4i 21 44i 96 117 44i+ = − + + = − + − = − + ， 即复数 ( ) 3 3 4i+ 在复平面内对应的点位于第二象限， ( ) ( )( ) 4 3 4i 117 44i 3 4i 527 336i+ = − + + = − − ， 即复数 ( ) 4 3 4i+ 在复平面内对应的点位于第三象限， ( ) ( )( ) 5 3 4i 527 336i 3 4i 237 3116i+ = − + + = − − ， 即复数 ( ) 5 3 4i+ 在复平面内对应的点位于第三象限， ( ) ( )( ) 6 3 4i 237 3116i 3 4i 11753 10296i+ = − + + = − ， 即复数 ( ) 6 3 4i+ 在复平面内对应的点位于第四象限， 故 n 的最小值为6 . 故选：C. 2．“ 4 0 3 m  ”是“复数 ( ) ( )3 2 1 iZ m m= − + − 在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出复数 ( ) ( )3 2 1 iZ m m= − + − 在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件， 利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解. 【详解】因为复数 ( ) ( )3 2 1 iZ m m= − + − 在复平面内对应的点位于第四象限 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 3 2 0 2 1 1 0 3 m m m −      −  ， 而 4 0 3 m  成立推不出 2 1 3 m  成立， 2 4 1 0 3 3 m m     ， 所以 4 0 3 m  是复数 ( ) ( )3 2 1 iZ m m= − + − 在复平面内对应的点位于第四象限的必要不 充分条件， 故选：B 3．已知集合 1 { | i , } i n n A z z n = = + N ，则A 的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算求出复数 z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素 个数. 【详解】当 1n = 时， 1 i i i 0 i z = + = − = ，当 2n = 时， 2 2 1 i 1 1 2 i z = + = − − = − ， 当 3n = 时， 3 3 1 1 i i 0 i i z = + = − − = ，当 4n = 时， 4 4 1 i 1 1 2 i z = + = + = ， 当 5n = 时， 5 5 1 1 i i i i 0 i i z = + = + = − = ，当 6n = 时， 6 2 6 2 1 1 i i 1 1 2 i i z = + = + = − − = − ， 当 7n = 时， 7 3 7 3 1 1 1 i i i 0 i i i z = + = + = − − = ，当 8n = 时， 8 4 8 4 1 1 i i 1 1 2 i i z = + = + = + = ， ，可知以上四种情况循环，故集合 {0, 2,2}A= − ，A 的元素个数为 3. 故选：C 4．下列命题不正确的为（ ） A．若复数 1z ， 2z 的模相等，则 1z ， 2z 是共轭复数 B． 1z ， 2z 都是复数，若 1 2z z+ 是虚数，则 1z 不是 2z 的共轭复数 C．复数是实数的充要条件是 z z= D． Cz ， | i i| 2z z+ + − = ，则 z 对应的点Z 的轨迹为线段 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义可判断 ABC，根据复数的几何意义可判断 D. 【详解】对于 A，若复数 1z ， 2z 的模相等，则 1z ， 2z 还可能是相等的复数，故 A 错误； 对于 B，若 1z 和 2z 是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故 B 正确； 对于 C，若复数是实数，则 ( )z a a= R ，从而 ( )z a a= R ，所以 z z= ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 反之若 z z= ，则由 ( )i i ,a b a b a b+ = − R 得 0b = ，所以 z a= ， 所以复数是实数的充要条件是 z z= ，故 C 正确； 对于 D，设 ( )i ,z a b a b= + R ， 由复数的几何意义可知 | i i| 2z z+ + − = 表示点 ( , )a b 到点 (0, 1)− 和(0,1)距离之和为 2， 而点 (0, 1)− 和(0,1)之间距离为 2，所以 z 对应的点Z 的轨迹为线段，故 D 正确. 故选：A 5．已知复数 z 满足： 1z = ，则 1 iz − + 的最大值为（ ） A．2 B． 2 1+ C． 2 1− D．3 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点 ( )1, 1− 的距离，计算即可. 【详解】设 iz a b= + ，其中 ,a bR，则 ( ) ( )1 i 1 1 iz a b− + = − + + ， ∵ 1z = ， ∴ 2 2 1a b+ = ，即点 ( ),a b 的轨迹是以 ( )0,0 为圆心，1为半径的圆， ∴ ( ) ( ) 2 2 1 i 1 1z a b− + = − + + 即为圆上动点到定点 ( )1, 1− 的距离， ∴ 1 iz − + 的最大值为 ( ) ( ) 2 2 0 1 0 1 1 2 1− + + + = + . 故选：B. 6．已知复数 2π 2π cos isin 2023 2023 z = + ，则 ( )( ) ( )2 20221 1 1z z z− − − =（ ） A．2022 B．2023 C． 2022− D． 2023− 【答案】B 【分析】根据题意结合复数运算可得 x 的方程 2023 1 0x − = 的根为 2 20221, , , ,z z z ，进而整 理可得 ( )( ) ( )2 2022 20221x z x z x z x x− −  − = + + + ，取 1x = 即可得结果. 【详解】设 2 π 2 π cos isin , , 2022 2023 2023 n n nz n n   = +  N ， 则 ( ) ( ) 2023 2023 2 π 2 πcos isin cos 2 π i sin 2 π 1 2023 2023 n n n n nz    = + =  +  =    ， 由题意可得： * 0 , 2021, , 2 n nz z z n n = = N 可得关于 x 的方程 2023 1 0x − = 的根为 2 20221, , , ,z z z ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 故 ( )( )( ) ( )2023 2 20221 1x x x z x z x z− = − − −  − ， 整理得 ( )( ) ( ) 2023 2 2022 20221 1 1 x x z x z x z x x x − − −  − = = + + + − ， 即 ( )( ) ( )2 2022 20221x z x z x z x x− −  − = + + + ， 令 1x = ，可得 ( )( ) ( )2 2022 20221 1 1 1 1 1 2023z z z− −  − = + + + = ， 且 2022 为偶数，所以 ( )( ) ( )2 20221 1 1 2023z z z− − − = . 故选：B. 7．设 ( ) 2f x ax bx c= + + （a 、b 、cR）.已知关于 x 的方程 ( )f x x= 有纯虚数根，则 关于 x 的方程 ( )( )f f x x= 的解的情况，下列描述正确的是（ ） A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 【答案】A 【分析】根据给定条件，设 i( R, 0)x m m m=   ，再利用方程根的意义结合复数相等， 推理计算判断作答. 【详解】 , , Ra b c ， 2( )f x ax bx c= + + ，关于 x 的方程 ( )f x x= 有纯虚数根，设纯虚数 根为 i( R, 0)x m m m=   ， 则有 ( i) if m m= ，即 2 i iam c bm m− + + = ，即有 2 , 1c am b= = ， 0a  ， 2 2( )f x ax x am= + + ， 方程 ( )f x x= 化为 2 2 0x m+ = ，方程有两个纯虚数根为 im ， 方程 ( ( ))f f x x= 化为： 2 4 3 2 2 2 2 2 4 22 2( 1) 2 2 0a x ax a m x am x a m m+ + + + + + = ， 整理得 2 2 2 2 2 2( 2 2)( ) 0a x ax a m x m+ + + + = ，于是得 2 2 0x m+ = 或 2 2 2 22 2 0a x ax a m+ + + = ， 因此方程 ( ( ))f f x x= 有两个纯虚数根 im ， 而方程 2 2 2 22 2 0a x ax a m+ + + = 中， 2 2 2 2 2 2 24 4 ( 2) 4 ( 1) 0a a a m a a m = − + = − +  ， 因此方程 2 2 2 22 2 0a x ax a m+ + + = 无实数根，有两个虚数根 2 21 1 i a m x a a + = −  ，不是纯 虚数根， 所以选项 A 正确，选项 B，C，D 均不正确. 故选：A 【点睛】思路点睛：复数问题，常设出复数的代数形式，再利用复数及相关运算，探讨 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 关系式求解. 8．（多选）已知复数 ,z w均不为 0，则（ ） A． 2 2| |z z= B． 2 2| | z z zz = C． z zw w− = − D． zz w w = 【答案】BCD 【分析】设出 iz a b= + 、 iw c d= + ，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质 逐个计算即可得. 【详解】设 iz a b= + ( ), Ra b 、 iw c d= + ( ), Rc d ； 对 A：设 iz a b= + ( ), Ra b ，则 ( ) 22 2 2 2 2i 2 i 2 iz a b a ab b a b ab= + = + − = − + ， ( ) 2 2 2 2 2 2| |z a b a b= + = + ，故 A 错误； 对 B： 2z z z z z =  ，又 2 z z z = ，即有 2 2| | z z zz = ，故 B 正确； 对 C： ( )i i ia b c dz a c dw b= + − = +− − − − ，则 ( )ia cz w b d− − −− = ， iz a b= − ， iw c d= − ，则 ( )i i iz w a b c d a c b d= − − + = − −− − ， 即有 z zw w− = − ，故 C 正确； 对 D： ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 i i ii i i i z cw a b c d ac bd ad bca b c d c d c d d + − + − −+ = == + + − + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2ac bd ad bc a c abcd b d a d abcd b c c d c d c d + − + + + − +    = + =    + +    + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 a c b d a d b c a c b d a d b c c dc d + + + + + + = = ++ ， ( )( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 a b c dz a b a b c d w c d c dc d + ++ +  + = = = + ++ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b c a d b d c d + = + + + ， 故 zz w w = ，故 D 正确. 故选：BCD. 9．（多选）已知复数 1z ， 2 Cz  ，下列结论正确的有（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 A．若 1 2 0z z−  ，则 1 2z z B．若 2 2 1 2z z= ，则 1 2| || |z z= C．若复数 1z ， 2z 满足 1 2 1 2z z z z+ = − ．则 1 2 0z z = D．若 1 2| i | | i | 1z z− = + = ，则 1 2| |z z− 的最大值为 4 【答案】BD 【分析】A 令 1 2 iz = + ， 2 1 iz = + 即可判断；B 由复数四则运算可得 1 2z z= − 或 1 2z z= 即 可判断；C 设 1 1 1iz a b= + （ 1a ， 1 Rb  ）， 2 2 2iz a b= + （ 2a ， 2 Rb  ），利用复数模的求 法及已知等量关系得到 1 2 1 2 0a a b b+ = ，乘法运算求 1 2z z 即可判断；D 由复数模的几何意 义判断复数 1z 、 2z 对应点轨迹判断. 【详解】A：令 1 2 iz = + ， 2 1 iz = + ，则 1 2 1 0z z− =  ，但是虚数不能比较大小，错误； B：因为 2 2 1 2z z= ，所以 2 2 1 2 0z z− = ，即 ( )( )1 2 1 2 0z z z z+ − = ， 则 1 2 0z z+ = 或 1 2 0z z− = ，所以 1 2z z= − 或 1 2z z= ，所以 1 2| || |z z= ，正确； C：设 1 1 1iz a b= + （ 1a ， 1 Rb  ）， 2 2 2iz a b= + （ 2a ， 2 Rb  ）， 由 1 2 1 2z z z z+ = − 可得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z a a b b z z a a b b+ = + + + = − = − + − ， 所以 1 2 1 2 0a a b b+ = ， 而 ( )( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2i i i 2 iz z a b a b a a bb a b b a a a a b b a= + + = − + + = + + ，不一定为 0， 错误； D：设 1 iz a b= + ， 2 iz c d= + ， , , , Ra b c d ，因为 1 2| i | | i | 1z z− = + = ， 所以 ( ) ( ) 2 22 21 1 1a b c d+ − = + + = ，即 ( ) 22 1 1a b+ − = ， ( ) 22 1 1c d+ + = ， 所以复数 1z 在复平面内所对应的点 ( ),a b 在圆 ( ) 22 1 1x y+ − = 上， 复数 2z 在复平面内所对应的点 ( ),c d 在圆 ( ) 22 1 1x y+ + = 上， 因为两圆的圆心距为 ( )1 1 2− − = ，所以两圆相外切， 则两圆上的两点的连线段最大值为2 1 1 4+ + = ，正确. 故选：BD 10．已知复数 1z ， 2z 满足 1 12 3 iz z+ = − − ， 2 1 1z z− = ，则 2 2iz + 的最大值为 . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 【答案】 10 1+ /1 10+ 【分析】设 1 iz x y= + ，根据题意求得 1z ，根据复数的几何意义求得 2z 对应点的轨迹， 再根据几何意义求目标式的最大值. 【详解】令复数 1 iz x y= + ， x ， yR，则 z x= − iy ， 所以 1 12 3 i 3 iz z x y+ = − = − − ，所以 = 1x − ， 1y = ，即 1 1 iz = − + . 又因为 2 1 1z z− = ，即在复平面内，复数 2z 所对应的点的轨迹是以 ( 1,1)− 为圆心，1 为半 径的圆. 又点 ( 1,1)− 到点 (0, 2)− 的距离为 2 2( 1 0) (1 2) 10− − + + = ， 所以 2 2iz + 的最大值为 10 1+ . 故答案为： 10 1+ . 11．任何一个复数 iz a b= + （其中 a、 Rb ，i 为虚数单位）都可以表示成： (cos si )i nz r  = + 的形式，通常称之为复数 z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： ( ) ( )( )*cos isin cos isin N nn nz r r n n n    = + = +   ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根 据以上信息，若 1r = ， 4   = 时，则 2022z = ；对于 *N , 2n n   ， 2 ( 1) ( 1) [cos sin ] n k k k n n   = − − + = ． 【答案】 i− sin 1 cos n n   − 【分析】利用给定定理直接计算即得 2022z ；令 cos isinw n n   = + ，求出等比数列 1{ }( 2)nw n−  前n 1− 项的和，再利用复数相等求解作答. 【详解】当 1r = ， 4   = 时， cos isin 4 4 z   = + ，所以 02022 2 22 3 3cos sin ) cos(504 ) (504 ) 4 4 2 ( i isin i 2 z      + = + += + = − ； *Nn  ，令 cos isinw n n   = + ，则 (cos isin ) cos isin 1 n nw n n    = + = + = − ， *N , 2n n   ， 1 2 3 1 1 cos isin (1 ) 1 1 1 cos isin n n n w w w w n nw w w w w w n n     − − + + − − + + + + = = = − − − − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 (1 cos isin )(1 cos isin ) 2isin sin i (1 cos isin )(1 cos isin ) 2 2cos 1 cos n n n n n n n n n n n n             + + − + = = = − − − + − − ， 而 1 2 2 3 ( 1) ( 1)cos i sin n n k n k w n n w w k w k − = = + + + + − − +=  ，则 2 ( 1) cos 0 n k k n  = − = ， ( 1) s sin 1 cos in n k k n n n    = − − = ， 所以 2 ( 1) ( 1 sin 1 co ) [cos s ] s in n k k n n k n n     = − − − + = . 故答案为：-i； π sin π 1 cos n n − 【点睛】思路点睛：涉及复数 z 的 ( N )n n  次幂 nz 的求和问题，可把 nz 视为等比数列 { }nz 的第 n项，再借助数列问题求解. 12．对于函数 ( )y f x= ，分别在 N, 1x x  处作函数 ( )y f x= 的切线，记切线与 x 轴的交 点分别为 1 2( ,0),( ,0)...( ,0)nx x x ，记 nx 为数列{ }nx 的第 n项，则称数列{ }nx 为函数 ( )y f x= 的 “切线- x 轴数列”，同理记切线与 y 轴的交点分别为 1 2( ,0),( ,0)...( ,0)ny y y ，记 ny 为数列{ }ny 的第 n项，则称数列{ }ny 为函数 ( )y f x= 的“切线- y 轴数列” (1)设函数 ( ) cosπf x x x= + ，记 ( )f x “切线- x 轴数列”为{ }na ，记 nS 为{ }na 的前 n项和， 求 nS . (2)设函数 ( ) 1 2 x g x   =     ，记 ( )g x “切线- y 轴数列”为{ }nb ，猜想{ }nb 的通项公式并证明你 的结论. (3)设复数 ( ) i, ,z x ax b a b= + 均为不为 0 的实数，记 z 为 z 的共轭复数，设 ( )h x z z=  ， 记 ( )h x “切线- y 轴数列”为{ }nc ，求证：对于任意的不为 0 的实数 a ，总有 ( ) 2 n b c z n = 成 立. 【答案】(1)当 n 是正奇数时， 1nS = ；当n 是正偶数时， 0nS = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 (2) ( ) * 1 1 ln 2 , N 2 n nb n n   = +      (3)证明见解析 【分析】（1）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据 ( )f x “切线- x 轴数列”的定 义即可求出数列{ }na 的通项公式，进一步分类讨论即可求其前n 项和. （2）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据 ( )g x “切线- y 轴数列”的定义即可求 出数列{ }nb 的通项公式. （3）由复数的概念、运算先表示出 ( )h x ，再求出导数，设出切点，表示出切线方程， 根据 ( )h x “切线- y 轴数列”的定义即可求出数列{ }nc 的通项公式结合 z 的定义以及模即 可得证. 【详解】（1）由题意 ( ) cosπf x x x= + ，则 ( ) πsinπ 1f x x = − + ，设切点为 ( ) *,cos π , Nn n n n+  ， 则过切点的切线为 ( ) ( )( )cos π πsin π 1y n n n x n− + = − + − ， 令 0y = ，整理得 cos πna n= − ， 当 n 是正奇数时， 1na = ；当n 是正偶数时， 1na = − ； 所以当n 是正奇数时， 1 1 1 1 1 1 1 1nS = − + − + + − + = ；当n 是正偶数时， 1 1 1 1 1 1 0nS = − + − + + − = . （2）猜想{ }nb 的通项公式为 ( ) * 1 1 ln 2 , N 2 n nb n n   = +      ，证明过程如下： 由题意 ( ) 1 2 x g x   =     ，则 ( ) 1 1 ln 2 2 x g x    =     ，设切点为 *1, , N 2 n n n          ， 则过切点的切线为 ( ) 1 1 1 ln 2 2 2 n n y x n     − =  −        ， 令 0x = ，整理得 ( ) * 1 1 ln 2 , N 2 n nb n n   = +      . （3）由题意 ( ) iz x ax b= + ，则 ( ) ( ) 2 2 2( ) i ih x z z ax b ax b a x b=  = +  − = + ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 a x a x h x a x b a x b  = = + + ， 设切点为 ( )2 2 2 *, , Nn a n b n+  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 则过切点的切线为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a n y a n b x n a n b − + = − + ， 令 0x = ，整理得 ( ) 2 2 * 2 2 2 , Nn b b c n z na n b = =  + . 【点睛】关键点睛：解决问题的关键是读懂新定义的数列，然后具体会求切线方程进行 运算转换即可，综合性较强.