19 解三角形重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 19 解三角形重难点专题 常考结论及公式 结论一：三角形中的常见结论 （1）角度关系及对应三角函数值关系： A B C + + = ；sin sin( )A B C= + ； cos cos( )A B C= − + ； sin cos 2 2 A B C+ = ；cos sin 2 2 A B C+ = ； （2）对任意 ABC 中，都有sin 0A  ，且有sin sinA B A B a b     ，特别地， 当 ABC 为锐角三角形时，必有sin cosA B 成立. （3）在 ABC 中，若sin 2 sin 2A B= ，则 A B= 或 2 A B  + = . （4）在 ABC 中， tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = . （5）射影定理： cos cosa b C c B= + ， cos cosb a C c A= + ， cos cosc a B b A= + . （6）角平分线定理： AD为 ABC 的角平分线，则 AB BD AC CD = . （7）在 ABC 中，恒有 2 2 2cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C+ + + = 成立. （8）在 ABC 中，给定 A B、 的正弦值或余弦值，则C 的正弦值或余弦值有解（即存在） 的充要条件是cos cos 0A B+  . 结论二：正弦定理的变形 （1） sin sina B b A= ， sin sin b A a B = ， sin sin a B A b = ； （2） 2 sina R A= ， 2 sinb R B= ， 2 sinc R C= ； （3）sin 2 a A R = ，sin 2 b B R = ， sin 2 c C R = ； （4） : : sin :sin :sina b c A B C= ； （5） 2 sin sin sin sin a b c a R A B C A + + = = + + ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 结论三：判断三角形解的个数 （1）已知三边，只有一解； （2）已知两边及其夹角，只有一解； （3）知道两角及一边，只有一解； （4）已知两边和一角（非夹角），则有以下情况：在 ABC 中， , ,a b c 为角 , ,A B C 所对 边的边长，已知 ,a b和 A，求B . 若 A为锐角时，① sina b A ，无解；② sina b A= ，一解（直角）；③ sinb A a b  ， 二解（一锐一钝角）；④a b，一解（锐角）； 若 A为直角或钝角时，①a b，无解；②a b ，一解（锐角）； 结论四：判断三角形的形状 通常情况下是判断是否有边相等或者角相等，然后考虑最大角的余弦值正负情况.若角 C 为 ABC 内角的最大角，则有： 2 2 2cos 0C c a b ABC   +  为锐角三角形； 2 2 2cos 0C c a b ABC=  = +  为直角三角形； 2 2 2cos 0C c a b ABC   +  为钝角三角形； 特别地，当 3 3 3a b c+ = 时，必有 ABC 为锐角三角形； 结论五：常见的三角形面积公式 在 ABC 中， , ,a b c 为角 , ,A B C 所对边的边长，R 和 r 分别 ABC 外接圆和内切圆 的半径， ( ) 1 2 p a b c= + + .则有以下面积公式： （1） 1 2 ABC aS a h =  （其中 ah 为边 BC 上的高）； （2） 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABCS ab C ac B bc A = = = ； （3） 22 sin sin sin 4 ABC abc S R A B C R  = = ； （4）海伦或秦九韶公式： ( )( )( )ABCS p p a p b p c = − − − ； （5） 1 ( ) 2 ABCS a b c r pr = + + = ； （6） 2 2 2sin sin sin sin sin sin 2sin( ) 2sin( ) 2sin( ) ABC a B C b A C c A B S B C A C A B  = = = + + + ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 （7） ( )2 2 2 2 1 1 1 sin cos sin cos sin 2 sin 2 2 2 4 ABCS c B B b C C c B b C = + = + ； （8） (sin sin sin )ABCS Rr A B C = + + ； （9） 4 cos cos cos 2 2 2 ABC A B C S Rr = ； （10） ( )2 2 2 1 tan ( 90 ) 4 ABCS a b c C C = + −  ； （11） ( ) tan 2 ABC A S p p a = − ； （12） ( ) 22 21 2 ABCS AB AC AB AC = − ；特别地，当 ( )1 1,AB x y= ， ( )2 2,AC x y= ， 代入公式化简得 1 2 2 1 1 2 ABCS x y x y = − . 题型一 解三角形中解的个数的判断 【例 1】张老师在整理试题时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在 ABC中， , ,a b c分 别是角 , ,A B C的对边，已知 2b = ， 45A= ，求边 c ．显然缺少条件，张老师打算补充条件， 给出 a 的大小，使得 c 有两解，则可以给出的 a 的范围是______． 【分析】问题为三角形有两个解，根据画圆法可确定CD a AC  ，从而得到所求范围. 【详解】由题意可知三角形有两个解 由上图可知： sin 2 sin 45 1CD b A= = = 若 c 有两解，可知以C 为圆心， a 为半径的圆弧与 AD有两个交点 则CD a AC  ，即 ( )1, 2a , 故答案为： ( )1, 2 【跟踪训练 1】在 ABC中，若 120A= ， 10c = ，如果 ABC可解，则边 a的取值范围是______． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【分析】由题意确定0 60C   ，由正弦定理可求得 5 3 sin C a = ，结合 ABC可解以及 C 的范围，列出不等式，求得 a的范围. 【详解】由题意在 ABC中，若 120A= ，则0 60C    , 由正弦定理得 sin 10sin120 5 3 , sin sin sin a c c A C A C a a a  =  = = = ， ABC可解，则需有 5 3 3 0 sin 2 C a  =  ，解得 10a  ， 故边 a的取值范围是 (10, )+ ， 故答案为： (10, )+ 题型二 三角形形状的判断 【例 2】已知 ABC的三条边 , ,a b c和与之对应的三个角 , ,A B C满足等式 cos cos cos cos cos cosa B b C c A b A c B a C+ + = + + 则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形 的形状. 【详解】由余弦定理，可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b a b c b c a b c a a c b a b c a b c b c a ac ab bc bc ac ab + − + − + − + − + − + −  +  +  =  +  +  ， 整理，得 2 2 2 2 2 2 0 a b b c c a c a b − − − + + = ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b b c c b b a c a b − − − + − + + = ， 所以 ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 + 0a b b c c b a b     − − − − =        ， 所以 ( )( ) ( )( )+ 0 a b b c a b b c b a b c bc ab + + − −  − −  = ， 所以 ( )( ) 0 a b b c a b b c bc ab + +  − − − =    ， 所以 ( )( ) 2 2 0 a ab bc c a b b c abc − − − − −  = ， 所以 ( )( )( ) 0 a c b a b b c a c abc + + − − −  = ， 所以a b= 或b c= 或a c= ，故三角形为等腰三角形. 故选：A 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 2】已知 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，给出以下命题： ①若 tan tan tan 0A B C+ +  ，则 ABC为锐角三角形； ②若 cos cosa A b B= ，则 ABC为等腰三角形； ③若 cos cosb C c B b+ = ，则 ABC为等腰三角形； ④若 cos cos cos a b c A B C = = ，则 ABC为等边三角形. 以上命题中，所有真命题的序号为_________________． 【分析】①利用切弦关系及三角恒等变换、三角形内角性质可得 tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C+ + =  ，即可判断；②③④利用正弦边角关系、三角恒等变换 得到三角形内角的关系，即可判断正误. 【详解】① sin cos cos sin sin sin( ) sin tan tan tan cos cos cos cos cos cos A B A B C A B C A B C A B C A B C + + + + = + = + sin sin cos cos cos C C A B C = + cos cos cos sin ( ) cos cos cos C A B C A B C + =  cos cos cos( ) sin cos cos cos A B A B C A B C − + =  sin sin sin tan tan tan 0 cos cos cos A B C A B C A B C = =  ，而 , , (0,π)A B C ， 所以 , ,A B C都为锐角，正确； ②由正弦边角关系：sin cos sin cosA A B B= ，则sin 2 sin 2A B= ， , (0, π)A B ， 所以 A B= 或2 2 πA B+ = （ π 2 A B+ = ），故 ABC为等腰或直角三角形，错误； ③由正弦边角关系：sin cos sin cos sin( ) sin sinB C C B B C A B+ = + = = ， ( )0,πA B+  ， 所以 A B= ，故 ABC为等腰三角形，正确； ④由 2 sin sin sin a b c R A B C = = = ，而 cos cos cos a b c A B C = = ，故 tan tan tanA B C= = ， 且 , , (0,π)A B C ，故 A B C= = ，则 ABC为等边三角形，正确. 故答案为：①③④ 题型三 解三角形的实际应用问题 【例 3】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如 图，点E，H ，G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高 度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距 的差”则海岛的高 AB =（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 A．  + 表高 表距 表目距的差 表高 B．  − 表高 表距 表目距的差 表高 C．  + 表高 表距 表目距的差 表距 D．  − 表高 表距 表目距的差 表距 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】如图所示： 由平面相似可知， , DE EH FG CG AB AH AB AC = = ，而 DE FG= ，所以 DE EH CG CG EH CG EH AB AH AC AC AH CH − − = = = = − ，而 CH CE EH CG EH EG= − = − + ， 即 CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH − +  =  = + − − ＝ + 表高 表距 表高 表目距的差 ． 故选：A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 【跟踪训练 3】如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到C ．现有甲、乙 两位游客从A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为50 / minm ．在甲出发2min后，乙从A 乘 缆车到 B ，在 B 处停留1min后，再从 B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为 130 / minm ，山路 AC 长为 1260 m ，经测量 12 cos 13 A = ， 3 cos 5 C = ． （1）求索道 AB的长； （2）问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min，乙步行 的速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1） =1040AB m （2） 35 37 （3） 1250 625 [ , ] 43 14 （单位：m/min） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【详解】（1）在 ABC 中，因为 12 cos 13 A = ， 3 cos 5 C = ， 所以 5 sin 13 A = ， 4 sin 5 C = ， 从而  sin sin ( )B A C= − + sin( )A C= + 5 3 12 4 63 sin cos sin cos 13 5 13 5 65 A C C A= + =  +  = ． 由正弦定理 sin sin AB AC C B = ，得 1260 4 sin 1040 63sin 5 65 AC AB C B =  =  = （m ）． （2）假设乙出发 mint 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了 (100 50 )mt+ ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得 2 2 2 12(100 50 ) (130 ) 2 130 (100 50 ) 13 d t t t t= + + −   +  2200(37 70 50)t t= − + ， 由于 1040 0 130 t  ，即0 8t  ， 故当 35 min 37 t = 时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理 sin sin BC AC A B = ， 得 1260 5 sin 500 63sin 13 65 AC BC A B =  =  = （m ）． 乙从 B 出发时，甲已走了50 (2 8 1) 550 + + = （m ），还需走 710 m 才能到达C ． 设乙步行的速度为 / minvm ，由题意得 500 710 3 3 50v −  −  ，解得 1250 625 43 14 v  ， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在 1250 625 , 43 14       （单位： / minm ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和 利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建 立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦 定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应 用. 题型四 正弦定理与余弦定理在平面几何中的应用 【例 4】在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 3, 2, 45a c B= = = ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 （1）求sinC 的值； （2）在边 BC上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC = − ，求 tan DAC 的值． 【答案】（1） 5 sin 5 C = ；（2） 2 tan 11 DAC = . 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sinC . （2）方法一：根据cos ADC 的值，求得sin ADC 的值，由（1）求得cosC 的值，从而求 得sin ,cosDAC DAC  的值，进而求得 tan DAC 的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法 由余弦定理得 2 2 2 2 2 cos 9 2 2 3 2 5 2 b a c ac B= + − = + −    = ，所以 5b = . 由正弦定理得 sin 5 sin sin sin 5 c b c B C C B b =  = = . [方法二]【最优解】：几何法 过点 A作 AE BC⊥ ，垂足为 E．在Rt ABE△ 中，由 2, 45c B ，可得 1AE BE= = ，又 3a = ， 所以 2EC = ． 在Rt ACE 中， 2 2 5AC AE EC= + = ，因此 1 5 sin 55 C = = ． （2）[方法一]：两角和的正弦公式法 由于 4 cos 5 ADC = − ， , 2 ADC          ，所以 2 3sin 1 cos 5 ADC ADC = −  = . 由于 , 2 ADC          ，所以 0, 2 C       ，所以 2 2 5 cos 1 sin 5 C C= − = . 所以 ( )sin sinDAC DAC = − ( )sin ADC C=  + sin cos cos sinADC C ADC C=   +   3 2 5 4 5 2 5 5 5 5 5 25   =  + −  =    . 由于 0, 2 DAC        ，所以 2 11 5 cos 1 sin 25 DAC DAC = −  = . 所以 sin 2 tan cos 11 DAC DAC DAC   = =  . [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 在（1）的方法二的图中，由 4 cos 5 ADC = − ，可得 4 cos cos( ) cos 5 ADE ADC ADC = − = −  = ，从而 4 sin 4 sin cos , tan 5 cos 3 DAE DAE ADE DAE DAE   =  =  = =  ． 又由（1）可得 tan 2 EC EAC AE  = = ，所以 tan tan 2 tan tan( ) 1 tan tan 11 EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD  −   =  − = = +    ． [方法三]：几何法+正弦定理法 在（1）的方法二中可得 1, 2, 5AE CE AC= = = ． 在Rt ADE△ 中， 4 5, cos sin 3 AE AD ED AD ADE ADE = = =  =  ， 所以 2 3 CD CE DE= − = ． 在 ACD中，由正弦定理可得 2 5 sin sin 25 CD DAC C AD  =  = ， 由此可得 2 tan 11 DAC = ． [方法四]：构造直角三角形法 如图，作 AE BC⊥ ，垂足为 E，作DG AC⊥ ，垂 足为点 G． 在（1）的方法二中可得 1, 2, 5AE CE AC= = = ． 由 4 cos 5 ADC = − ，可得 24 3cos ,sin 1 cos 5 5 ADE ADE ADE =  = −  = ． 在Rt ADE△ 中， 2 25 4 2, , sin 3 3 3 AE AD DE AD AE CD CE DE ADE = = = − = = − =  ． 由（1）知 5 sin 5 C = ，所以在Rt CDG△ 中， 2 2 2 5 4 5 sin , 15 15 DG CD C CG CD DG=  = = − = ， 从而 11 5 15 AG AC CG= − = ． 在 Rt ADG 中， 2 tan 11 DG DAG AG  = = ． 所以 2 tan 11 DAC = ． 【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得 5b = ，然后使用正弦定理求得sinC ；方法 二：抓住 45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为 最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得 DAC 的正弦值，进而求解；方法二： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何 法的基础上，使用正弦定理求得 DAC 的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的 思维方式，直接作出含有 DAC 的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 【跟踪训练 4】如图，D是直角 ABC 斜边BC上一点， AB AD= ，记 CAD  = , ABC  = . （1）证明sin cos2 0 + = ； （2）若 3AC DC= ，求的值. 【答案】（1）根据两角和差的公式，以及诱导公式来得到证明．（2） 3  【详解】试题分析：（1）由题意得 ( 2 ) 2 2 2      = − − = − ，即可化简得证；（2）在 ADC 中，由正弦定理得sin 3 sin = ，在由（1）中sin cos2 0 + = ，可求得方程 22 3 sin sin 3 0 − − = ，即可求解角的值. 试题解析：（1）如图：∵ ( 2 ) 2 2 2      = − − = − ，∴sin sin(2 ) cos 2 2    = − = − ， 即sin cos2 0 + = . （2）在 ADC 中，由正弦定理得 sin sin( ) DC AC    = −  3 sin sin DC DC   = ，∴ sin 3 sin = 由（1）得sin cos2 = − ，∴ 2sin 3 cos 2 3(1 2sin )  = − = − − ， 即 22 3 sin sin 3 0 − − = ，解得 3 sin 2  = 或 3 sin 3  = − ∵0 2    ，∴ 3 sin 2  = ，所以 3   = . 考点：正弦定理；三角恒等变换. 题型五 三角形的面积类问题 【例 5】已知 ABC的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，B 为钝角．若 ABC的面积为S，且 ( )2 2 24bS a b c a= + − ． (1)证明： 2 B A  = + ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 (2)求 sin sinA C+ 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 9 8 【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sinA B= ，再利用诱导公式及三角 函数的性质可证明结论； （2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sinA C+ 转化为关于cos B的二次函数，然后配方 可以求最值. 【详解】（1）由余弦定理 2 2 2 cos 2 b c a A bc + − = 得 2 2 22 cosbc A b c a= + − ， 4 4 1 2 cos sin 2 bS b bc A ac B a a  = =  ， cos sinA B = ， cos cos 2 π A B    = −    ， B 为钝角，则 , 2 π A B − 均为锐角， 2 B A   − = ，即 2 B A  = + ； （2） 2π πsin sin sin sin cos cos2 2cos cos 1 2 2 A C B B B B B B B     + = − + + − = − − = − − +        ， 令 cos B t= ， B 为钝角，则 ( )1,0t − ， 2 2 1 9sin sin 2 1 2 4 8 A C t t t    + = − − + = − + +    ， 当 1 4 t = − ，即 1 cos 4 B = − 时，sin sinA C+ 取最大值，且为 9 8 . 【跟踪训练5】在 ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，已知 cos cos 2 cosa B b A c C+ = ． (1)求C ； (2)若 1c = ，求 ABC面积的取值范围． 【答案】(1) π 3 C = ； (2) 3 (0, ] 4 . 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答. （2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答. 【详解】（1）在 ABC中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cosA B B A C C+ = ， 即有 ( )sin 2sin cosA B C C+ = ，即sin 2sin cosC C C= ，而0 πC  ，sin 0C  ，则 1 cos 2 C = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 所以 π 3 C = ． （2）在 ABC中，由余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 得： 2 21 a b ab= + − ， 因此1 2ab ab − ，即0 1ab  ，当且仅当a b= 时取等号， 又 1 1 3 3 3 sin (0, ] 2 2 2 4 4 ABCS ab C ab ab= =  = △ ， 所以 ABC面积的取值范围是 3 (0, ] 4 题型六 解三角形中的最值和范围问题 【例 6】在锐角三角形 ABC中，B=60°，AB=1，则 AB边上的高的取值范围是（ ） A． 3 ,1 4        B． 3 3 , 4 2        C． 3 , 3 2        D． 3 , 3 4        【答案】D 【分析】根据正弦定理以及三角恒等变换可得 3 1 2tan 2 a C = + .进而根据正切函数的单调性得 3 tan 3 C  ，即可根据 3 2 h a= 求解范围. 【详解】设 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 1c = ,则 AB边上的高 3 sin sin 60 2 h a B a a= =  = ，由正弦定理得 ( )sin 120sin 3 1 sin sin 2tan 2 CA a C C C − = = = + . 由 ABC为锐角三角形，可知 30°<C<90°，则 3 tan 3 C  ，所以 3 1 1 ,2 2tan 2 2 a C   = +     ，从而 3 3 4 h  ，因此 AB边上的高的取值范围是 3 , 3 4        . 故选:D 【跟踪训练 6】 ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求 A； （2）若 BC=3，求 ABC周长的最大值. 【答案】（1） 2 3  ；（2）3 2 3+ . 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A的形式，进而求得A ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 （2）方法一：利用余弦定理可得到 ( ) 2 9AC AB AC AB+ −  = ，利用基本不等式可求得 AC AB+ 的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得： 2 2 2BC AC AB AC AB− − =  ， 2 2 2 1 cos 2 2 AC AB BC A AC AB + −  = = −  ， ( )0,A  ， 2 3 A   = . （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得： 2 2 2 2 cosBC AC AB AC AB A= + −  2 2 9AC AB AC AB= + +  = ， 即 ( ) 2 9AC AB AC AB+ −  = . 2 2 AC AB AC AB +        （当且仅当 AC AB= 时取等号）， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 23 9 2 4 AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +   = + −   + − = +    ， 解得： 2 3AC AB+  （当且仅当 AC AB= 时取等号）， ABC 周长 3 2 3L AC AB BC= + +  + ， ABC 周长的最大值为3 2 3+ . [方法二]：正弦化角（通性通法） 设 , 6 6    = + = −B C ，则 6 6   −   ，根据正弦定理可知 2 3 sin sin sin a b c A B C = = = ，所 以 2 3(sin sin )b c B C+ = + 2 3 sin sin 6 6          = + + −          2 3 cos 2 3=  ，当且仅当 0 = ，即 6 B C  = = 时，等号成立．此时 ABC周长的最大值为3 2 3+ ． [方法三]：余弦与三角换元结合 在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．由余弦定理得 2 29 b c bc= + + ，即 2 21 3 9 2 4   + + =    b c c ．令 1 3sin , 2 0, 2 2 3 cos b c c      + =        = ，得 3sin 3 cosb c  + = + =2 3sin 2 3 6     +     ，易知当 6 C  = 时， max( ) 2 3b c+ = ， 所以 ABC周长的最大值为3 2 3+ ． 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 用、三角形周长最大值的求解问题； 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等 关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形 或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 课后突破训练 1．在锐角 ABC中， 4BC = ，sin sin 2sinB C A+ = ，则中线 AD的取值范围是（ ） A． (2,2 3 B． )2, 13 C． )2 3,4 D． )2 3, 13 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边 b长的取值范围，再借助平面向量用 b表示 出中线 AD的长，求出函数值域作答. 【详解】令 ABC的内角 , ,A B C所对边分别为 , ,a b c，由正弦定理及sin sin 2sinB C A+ = 得 2 8b c a+ = = ，即 8c b= − ， 锐角 ABC中， 2 2 2 cos 0 2 b c a A bc + − =  ，即 2 2 2 0b c a+ −  ，同理 2 2 2 2 2 20, 0a b c c a b+ −  + −  ， 于是 2 2 2 2 2 2 (8 ) 16 0 16 (8 ) 0 (8 ) 16 0 b b b b b b  + − −   + − −   − + −  ，解得3 5b  ，又线段 AD为 ABC边 BC 上的中线， 则2AD AB AC= + ，又CB AB AC= − ，于是 2 2 2 2 2 24 ( ) ( ) 2 2A AB AD CA CB AB C AB AC+ = + + − += ， 因此 2 2 2 2 21 1| | 2 2 16 2 2(8 ) 16 ( 4) 12 2 2 AD b c b b b= + − = + − − = − + ，当 4b = 时， min| | 2 3AD = ， | | 13AD  ， 所以中线 AD的取值范围是[2 3, 13) . 故选：B 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 2．已知 ABC 的内角A 、 B 、C 满足 ( ) ( )sin 2 si 1 n s n 2 iA A B C C A B+ − + = − − + ，面积S满 足1 2S  ，记 a 、b 、 c 分别为A 、 B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A． ( ) 8bc b c+  B． ( ) 16 2ab a b+  C．6 12abc  D．12 24abc  【答案】A 【分析】由条件 ( ) ( )sin 2 si 1 n s n 2 iA A B C C A B+ − + = − − + 化简得出 1 sin sin sin 8 A B C = ，设 ABC 的外接圆半径为 R ，根据1 2S  求得 R 的范围，然后利用不等式的性质判断即可. 【详解】 ABC 的内角A 、 B 、C 满足 ( ) ( )sin 2 si 1 n s n 2 iA A B C C A B+ − + = − − + ， 即 ( ) ( ) 1 sin 2 sin sin 2 A A B C A B C+ − + + + − = ， 即 ( ) ( ) 1 sin 2 sin sin 2 A A B C A B C+ − − + + − =   ， 即 ( ) 1 2sin cos 2sin cos 2 A A A B C+ − = ， 即 ( ) ( ) 1 2sin cos 2sin cos 2 A B C A B C− + + − = ， 即 ( ) ( ) 1 2sin cos cos 4sin sin sin 2 A B C B C A B C− − + = =   ， 1 sin sin sin 8 A B C = ， 设 ABC 的外接圆半径为 R ，则 2 sin sin sin a b c R A B C = = = ，  2 1 1 1 sin 2 sin 2 sin sin 1,2 2 2 4 S ab C R A R B C R= =    =  ， 2 2 2R   ， 3 38 sin sin sin 8,16 2abc R A B C R   =  =   ，C、D 选项不一定正确； 对于 A 选项，由于b c a+  ， ( ) 8bc b c abc +   ，A 选项正确； 对于 B 选项， ( ) 8ab a b abc+   ，即 ( ) 8ab a b+  成立，但 ( ) 16 2ab a b+  不一定成立. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等 式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 3．若O是 ABC垂心， 6 A   = 且sin cos sin cosB CAB C BAC+ 2 sin sinm B CAO= ，则m =（ ） A． 1 2 B． 3 2 C． 3 3 D． 3 6 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 【答案】D 【分析】利用垂心的性质，连接CO并延长交 AB于D，得到CD AB⊥ ，把已知条件中的式 子化简，得到 ( ) cos cos 2 sin sin C B AB AC m AD DO C B + =  + ，再两边同乘以 AB，利用数量积、正弦 定理进行整理化简，得到 3 cos cos 3 sin 2 C B m B+ =  ，再把cosC 化为 5 cos 6 B   −    ，整理 后得到m 值. 【详解】在 ABC 中，sin sin 0B C  ， 由 sin cos sin cosB CAB C BAC+ uuur uuur 2 sin sinm B CAO= uuur ， 得 cos cos 2 sin sin C B AB AC m AO C B + =  ， 连接CO并延长交 AB于D， 因为O是 ABC 的垂心，所以CD AB⊥ ， AO AD DO= + ， 所以 ( ) cos cos 2 sin sin C B AB AC m AD DO C B + =  + 同乘以 AB得， ( ) cos cos 2 sin sin C B AB AB AC AB m AD DO AB C B  +  =  +  2cos cos cos 2 2 cos sin sin C B c bc A m AD AB m b A c C B + =   =   因为 6 A  = ，所以 2 cos cos 3 3 sin sin 2 C B c bc mbc C B + = 由正弦定理可得 3 cos sin cos sin 3 sin sin 2 C C B C m B C+ = 又 sin 0C  ，所以有 3 cos cos 3 sin 2 C B m B+ =  ， 而 5 6 C A B B  = − − = − ， 所以 5 3 1 cos cos cos sin 6 2 2 C B B B   = − = − +    ， 所以得到 1 sin 3 sin 2 B m B= ， 而 sin 0B  ，所以得到 3 6 m = ， 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、 三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 4．（多选）在 ABC中， , ,a b c分别为 , ,A B C   的对边，（ ） A．若 sin sin a b B A = ，则 ABC为等腰三角形 B．若 cos cos a b B A = ，则 ABC为等腰三角形 C．若 sin cosa b C c B= + ，则 π 4 C = D．若 tan tan tan 0A B C+ +  ，则 ABC为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】A 选项，利用正弦定理得到a b= ，证明出等腰三角形；B 选项，利用正弦定理定 理得到 1 1 sin 2 sin 2 2 2 A B= ，从而 A B= 或 π 2 A B+ = ，即 ABC为等腰三角形或直角三角形； C 选项，由正弦定理得到 tan 1C = ，求出 π 4 C = ；D 选项，利用正切的和角公式得到 tan tan tan tan tan tanC A B C A B+ + = ，结合 tan tan tan 0A B C+ +  ，得到 tan tan tan 0C A B  ， 证明出 ABC为钝角三角形. 【详解】A 选项，因为 sin sin a b B A = ，所以 sin sina A b B= ， 由正弦定理得： 2 2a b= ，所以a b= ，故 ABC为等腰三角形，A 正确； B 选项，因为 cos cos a b B A = ，所以 cos cosa A b B= ， 由正弦定理得：sin cos sin cosA A B B= ，即 1 1 sin 2 sin 2 2 2 A B= ， 所以2 2A B= 或2 2 πA B+ = ，故 A B= 或 π 2 A B+ = ， 则 ABC为等腰三角形或直角三角形，B 错误； sin cosa b C c B= + ，由正弦定理得：sin sin sin sin cosA B C C B= + ， 又因为 ( )sin sin sin cos sin cosA B C B C C B= + = + ，所以sin sin sin cosCB C B= ， 因为 ( )0,πB ，所以sin 0B  ，所以sin cosCC = ，故 tan 1C = ， 因为 ( )0,πC ，所以 π 4 C = ，C 正确； 因为 ( ) tan tan tan tan 1 tan tan A B C A B A B + = − + = − − ， 所以 tan tan tan tan tan tanC C A B A B− = − − ，即 tan tan tan tan tan tanC A B C A B+ + = ， 因为 tan tan tan 0A B C+ +  ，所以 tan tan tan 0C A B  ， 结合 πA B C+ + = ，所以 tan , tan , tanC A B一负二正，所以 ABC为钝角三角形， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 D 正确. 故选：ACD 5．在 ABC中， , 3, 30= = =a x b B ，若该三角形有两解，则 x的取值范围是__________． 【答案】 ( )3,6 【分析】利用正弦定理列出关系式，将 sina b B， ， 的值代入表示出sin A，根据 B 的度数确 定出A 的范围，要使三角形有两解确定出A 的具体范围，利用正弦函数的值域求出 x 的范围 即可 【详解】解：由 sin sin a b A B = 可得 sin sin 6 a B x A b = = 因为 30B = ，所以0 150A    要使三角形有两解，所以30 150A  且 90 ,A  所以 1 sin 1 2 A  ，即 1 1 2 6 x   ，解得3 6x  ， 故答案为： ( )3,6 6．如图所示，客轮以速度2v 由 A至 B再到 C匀速航行，货轮从 AC 的中点 D 出发，以速度 v沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知 AB BC⊥ ，且 50AB BC= = 海里．若两船同时出发，则两船相遇之处距 C点__________海里． 【答案】 50 6 3 【分析】若在 AB边上的点E处，设 AE x= ，由利用余弦定理求得 21250 50DE x x= + − ， 则到达点E所需时间分别为 , 2 DE AE v v ，可得 2 2 0 2 DE AE v v     −         ，从而得相遇之处在BC 边 上的点F ，设CF m= ，结合余弦定理，由条件得 21250 50 100 2 m m m v v + − − = ，解出即可． 【详解】首先判断相遇之处在 AB边上还是BC 边上， ∵ 50AB BC= = ， ∴ 1 25 2 2 AD CD AC= = = ， 若在 AB边上的点E处，设 AE x= ， 则 2 2(25 2) 2 25 2 cos45DE x x = + −  21250 50x x= + − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 到达点E所需时间分别为 , 2 DE AE v v ， 2 2 2 2 2 1 1250 50 2 4 DE AE x x x v v v      − = + − −           2 2 1 3 50 1250 4 x x v   = − +    2 2 3 100 5000 0 4 3 9 x v    = − +        ， 说明点D到达点E的时间大于点A 到达点E的时间； ∴相遇之处在BC 边上的点F ，设CF m= ， 则 2 2(25 2) 2 25 2 cos45DF m m = + −  21250 50m m= + − ， ∴由点D到达点F 所需时间为 21250 50DF m m v v + − = ， 由点A 经点 B 到达点F 所需时间为 100 2 2 AB BF m v v + − = ， 由条件可得 2 DF AB BF v v + = ， 即 21250 50 100 2 m m m v v + − − = ，即 ( ) ( ) 224 1250 50 100m m m+ − = − ， 化简，得 23 5000 0m − = ， ∴ 50 6 40.8 3 m =  或 50 6 3 m = − （舍去）， 故两船相遇之处距点C 点 50 6 3 海里 故答案为： 50 6 3 7．设 ABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，给出下列命题： ①若 2 2 2a b c+  ，则 2 C   ； ②若 2ab c ，则 3 C   ； ③若 3 3 3a b c+ = ，则 2 C   ； ④若 ( )2ab a b c + ，则 2 C   ； ⑤若 ( )2 2 2 2 22a b c a b+  ，则 3 C   . 其中正确的是______.（写出所有正确命题的编号） 【答案】①③⑤ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 【解析】①直接可以用余弦定理得出 cos 0C  ，②用余弦定理和 2 2 2a b ab+  可求出cosC 的 范围，③中将 3 3 3a b c+ = 变形为 3 3 1 a b c c     + =        ，可得 3 3 2 2 1 a b a b c c c c         = +  +                ，即 2 2 2a b c+  ，可得出 2 C   ，④和⑤运用基本不等式可向②进行转化. 【详解】①因为 2 2 2a b c+  所以余弦定理得 2 2 2 cos 0 2 a b c C ab + − =  所以 2 C   ，故正确 ②因为 2ab c 所以 2 2 2 22 2 1 cos 2 2 2 2 a b c ab c ab ab C ab ab ab + − − − =   = ，所以0 3 C    ，故错误 ③因为 3 3 3a b c+ = 所以 3 3 1 a b c c     + =        所以0 1,0 1 a b c c     所以 3 3 2 2 1 a b a b c c c c         = +  +                即 2 2 2a b c+  ，故 2 C   ，故正确 ④因为 ( )2ab a b c + ，所以 2ab c a b  + 所以 2 2 2 2 2 2 2 4 2 ab a b c a b a b ab    =  + + +  因为 2 2 2a b ab+  ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 a b a b c ab a b ab ab   = + + 由②知0 3 C    ，故错误 ⑤因为 ( )2 2 2 2 22a b c a b+  所以 2 2 2 2 2 2a b a c b  + ，因为 2 2 2a b ab+  所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b c ab ab  = +  由②知0 3 C    ，故正确 故答案为：①③⑤ 【点睛】本题考查的是用余弦定理和基本不等式来判断三角形中角的范围，较难. 8．已知三角形 ABC 中， 3 A  = ，D是BC 边上一点，且满足 2BD DC= ，则 AD BC 的最大值是 __________． 【答案】 3 1 3 + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 【分析】根据题意，得到 1 2 3 3 AD AB AC= + ，则有 2 2 2 21 2 1 4 2( ) 3 3 9 9 9 AD AB AC c b bc   = + = + +    ， 再由余弦的定理，得到 2 2 2BC b c bc= + − ，进而得到 ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 2 ( ) 9 AD c b bc BC b c bc + + = + − ，利用判别式法 或者换元法，进行化简和计算，可得答案. 【详解】∵ 1 2 3 3 AD AB AC= + ， 2 2 2 21 2 1 4 2( ) 3 3 9 9 9 AD AB AC c b bc   = + = + +    ． 由余弦定理得 2 2 2BC b c bc= + − ，则 ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 2 ( ) 9 AD c b bc BC b c bc + + = + − ， 方法一：判别式法：令 2 2 2 2 4 2c b bc y b c bc + + = + − ， 2 2(4 ) (2 ) (1 ) 0y b y bc y c− + + + − = 有解， 2 2Δ (2 ) 4(4 )(1 ) 3 24 12 0y y y y y= + − − − = − + −  ，解得4 2 3 4 2 3y−   + 2 2 ( ) 1 ( ) 9 AD y BC = ．∴ 3 1 3 AD BC +  方法二：换元法 ( ) 2 2 2 2 22 2 2 1 4 2 ( ) 4 2 1 ( ) 99 1 b b AD c b bc c c BC b c bc b b c c   + + + +  = = + −   + −    ． 令 b t c = 上式 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 4 1 6 34 2 1 4 2 1 99 1 9 1 3 1 t t tt t t t t t t t t − + + −+ + − = = = + − + − + − + 令2 1t m− = ，则有 ( ) 22 2 1 4 4 2 3 33 31 t m mt t m m − = =  +− + + ，  2 2 ( ) 4 2 3 ( ) 9 AD BC +  ，∴ 3 1 3 AD BC +  故答案为： 3 1 3 + 9．1643 年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使 其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于 120° 时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角 120°）， 该点称为费马点.已知 ABC中，其中 60A = ， 2BC = ， P 为费马点，则PB PC PA+ − 的 取值范围是______. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 【答案】 2 3 [ ,2) 3 【分析】设 , , , (0 60 )PA m PB n PC t PAC  = = =  =    ，进而得到 , ,PBA PAB PCA   ， 然后在 PBC中通过余弦定理得到 n ， t 的关系式，在 PAC△ 和 PAB中，通过正弦定理得 到 ,t m的关系式和 ,m n的关系式，然后借助三角函数的性质和函数的性质求得答案. 【详解】如图，根据题意，设 , , , (0 60 )PA m PB n PC t PAC  = = =  =    ，则 = 60PBA PAB PCA   = = −， ， 在 PBC中，由余弦定理有 2 2 4 1 cos120 2 2 n t nt + −  = = − ， 也即 4n t nt+ = + ① 在 PAC△ 中，由正弦定理有 sin sin(60 ) t m   = − ， 在 PAB中，由正弦定理有 sin sin(60 ) m n   = − ， 故 sin sin(60 ) sin(60 ) sin m t m n      = −   − =  ，则 2nt m= ，由①， 2 4n t m+ = + ②， 且 2sin(60 ) sin 4 sin sin(60 ) m m m     − + = + − ， 所以 2 2 2 4 sin(60 ) sin 1 sin sin(60 )m     − + = + − ， 设 sin(60 ) sin x   − = ，则 3 1 3 cos sin 12 2 2 sin tan 2 x     − = = − ， 由题意， tan (0, 3)  ，所以 1 3 ( , ) tan 3  + ，所以 ,( )0x + ， 而 2 4 1 1 x m x + = + ，由对勾函数的性质可知 2 4 1 [2, ) m +  + ， 所以 2 3 (0, ] 3 m ，由②， 2 2 4 4 4 PB PC PA m m m m + − = + − = + + 在 2 3 (0, ] 3 上单调递减， 所以 2 3 [ ,2) 3 PB PC PA+ −  . 10．设锐角三角形 ABC的内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知 cos cosa b A a B= − ． (1)求证：B＝2A； (2)求 b c a + 的取值范围． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 23 页 【答案】(1)证明过程见解析. (2) ( )2 1, 3 2+ + 【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到 ( )sin sinA B A= − ，结合角的范围，得到 2B A= ； （2）利用正弦定理得到 2 1 5 4 cos 4 4 b A c a   = + −   +  ，根据三角形为锐角三角形，得到 π π , 6 4 A       ， 2 3 cos , 2 2 A        ，从而求出取值范围. 【详解】（1） cos cosa b A a B= − ， 由正弦定理得：sin sin cos sin cosA B A A B= − ， 由积化和差公式可得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 sin sin sin sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B A B A A B A B B A A B= + + − − + − − = − − − ， 因为 ( ) ( ) 1 1 sin sin 2 2 A B B A− = − − ， 所以 ( )sin sinA B A= − ， 因为三角形 ABC为锐角三角形，故 π , 0, 2 A B       ， 所以 π π , 2 2 B A   −  −    ， 故 A B A= − ，即 2B A= ； （2）由（1）知： 2B A= ， 由正弦定理得： ( )sin 2 sinsin sin sin 2 sin 3 sin sin sin A B Ab c B C A A a A A A + ++ + + = = = ， 其中 ( ) 2sin3 sin 2 sin 2 cos cos2 sin 2sin cos cos2 sinA A A A A A A A A A A= + = + = + ， 因为sin 0A  ， 所以 2 22sin cos s cos 2c sin cos s co 2 in os 2co 2 s s 2 in A A A A A A b c A A A a A + = = ++ + + 2 2 2 2 1 5cos 2cos 1 4cos 2cos 1 4 2cos 4 cos 4 2 A A A AA A=   + − = + − = +  + −  ， 由 π 2 0, 2 B A   =     得： 4 π 0,A       ， 由 π π π 3 0, 2 C A B A   = − − = −     ，解得： π π , 6 3 A       ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 24 页 结合 π 0, 2 A       可得： π π , 6 4 A       ， 2 3 cos , 2 2 A        ， 故 2 1 5 4 cos 4 4 b A c a   = + −   +  在 2 3 cos , 2 2 A        上单调递增， 所以 2 1 34cos 2cos 1 4 2 1,4 3 1 2 4 b c A A a +   = + −   + −  + −    ， 即 ( )2 1, 3 2b c a +  + + . 11．在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 2 2c ab= ． (1)求 cosC 的最小值； (2)证明： π 6 C A−  ． 【答案】(1) 2 1 2 − (2)证明见解析 【分析】（1）结合余弦定理、基本不等式求得cosC 的最小值. （2）结合正弦定理、基本不等式求得 1 sin( ) 2 C A−  ，进而证得 π 6 C A−  . 【详解】（1）由余弦定理， 2 2 2 22 2 2 2 cos 1 2 2 2 2 a b c ab c ab ab C ab ab ab + − − − =  = = − ， 当且仅当a b= ，即 4: : 1:1: 2a b c = 时等号成立． （2）方法一： 当C A 时， π 0 6 C A−   ． 当C A 时，设线段 AC 的中垂线交 AB于点 D． ( )2 22 2 2 2 2 2 2 , 2cos c a cb b c AD DB c AD A b c a b c a − = = = − = + − + − ． 在 CDB△ 中，由正弦定理， sin sin( ) B CD AD C A DB DB = = − ． 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 AD b b DB a b a b =  = −       ，当且仅当 2 2 , 2 a b a a b= − = 时等号成立. 故 sin 1 sin( ) 2 2 B C A−   ， 由（1） 2 cos 1 0 2 C  −  ．故 π 0 2 C A C −   ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 25 页 则 π 6 C A−  ． 方法二： 由正弦定理， 2 2sin sin sin ( 2 sin sin )C A A B A− = − ． 由二倍角公式， 2 2 1sin sin (cos 2 cos 2 ) 2 S C A A C= − = − ． 而 1 [cos( ) cos( )] sin( )sin( ) 2 S A C A C A C A C C A C A= − + + − − − − = − + ， 故 2 2 sin 2sin ( 2 sin sin ) sin 1 sin( ) sin sin 2 2 B A B A B C A B B     −  − =  =  ， 当且仅当 2 2 sin 2 sin sin ,sin sin , 2 2 A B A A B a b= − = = 时第一个等号成立. 由（1） 2 cos 1 0 2 C  −  ，故 π 0 2 C A C −   ． 则 π 6 C A−  ． 12．如图，已知 ABC是边长为 1 的正三角形，M，N 分别是边 AB， AC 上的点，线段 MN 经过 ABC的中心 G，设 2 3 3 MGA        =      ． （1）分别记 AGM ， AGN 的面积为 1S ， 2S ，试将 1S ， 2S 表示为 的 函数． （2）求 2 2 1 2 1 1 y S S = + 的最大值与最小值． 【答案】(1) ( ) 1 sin 2 12sin 30 3 3 S        =    +   ， ( ) 2 sin 2 12sin 30 3 3 S        =    −    ． (2) 最 大值 240,最小值 216 【分析】（1）根据点G 是正 ABC的中心，可求得 AG，进而利用正弦定理求得MG，然后 利用三角形面积公式求得 1S ，同理可得 2S ； （2）把（1）中求得 1S 和 2S 代入求得函数的解析式，进而根据 的范围和正弦函数的单调 性求得函数的最大值和最小值． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 26 页 【详解】（1） 点G 是正 ABC的中心， 2 3 3 3 AG AD = = ． 在 AMG 中， 30BAG = ， 180 30 150AMG   = − − = − ， ( ) ( ) ( ) sin30 3 3 sin 150 6sin 150 6sin 30 AG MG      = = = − − + ． 在 ANG 中，同理，可得 ( ) 3 6sin 30 NG  = −  ． 1 1 sin 2 S AG MG  =  ( ) sin 2 12sin 30 3 3        =     +   ， ( )2 1 sin 180 2 S AG NG =  − ( ) sin 2 12sin 30 3 3        =    −    ． （2） ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 2 144sin 30 144sin 301 1 sin sin y S S     + −  = + = + ( ) ( ) 2 2 72 1 cos 60 2 1 cos 2 60 72(2 cos 2 ) sin sin      − + + − −   − = = ( )2 2 2 144 72 1 2sin 72 144 sin sin    − − = = + 2 3 3     ，当 2   = 时， min 216y = ； 当 3   = 或 2 3   = 时， max 240y = ． 【点睛】本题考查解三角形的问题，考查学生综合分析问题和解决问题的能力，由一定综合 性． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 19 解三角形重难点专题 常考结论及公式 结论一：三角形中的常见结论 （1）角度关系及对应三角函数值关系： A B C + + = ；sin sin( )A B C= + ； cos cos( )A B C= − + ； sin cos 2 2 A B C+ = ；cos sin 2 2 A B C+ = ； （2）对任意 ABC 中，都有sin 0A  ，且有sin sinA B A B a b     ，特别地， 当 ABC 为锐角三角形时，必有sin cosA B 成立. （3）在 ABC 中，若sin 2 sin 2A B= ，则 A B= 或 2 A B  + = . （4）在 ABC 中， tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = . （5）射影定理： cos cosa b C c B= + ， cos cosb a C c A= + ， cos cosc a B b A= + . （6）角平分线定理： AD为 ABC 的角平分线，则 AB BD AC CD = . （7）在 ABC 中，恒有 2 2 2cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C+ + + = 成立. （8）在 ABC 中，给定 A B、 的正弦值或余弦值，则C 的正弦值或余弦值有解（即存在） 的充要条件是cos cos 0A B+  . 结论二：正弦定理的变形 （1） sin sina B b A= ， sin sin b A a B = ， sin sin a B A b = ； （2） 2 sina R A= ， 2 sinb R B= ， 2 sinc R C= ； （3）sin 2 a A R = ，sin 2 b B R = ， sin 2 c C R = ； （4） : : sin :sin :sina b c A B C= ； （5） 2 sin sin sin sin a b c a R A B C A + + = = + + ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 结论三：判断三角形解的个数 （1）已知三边，只有一解； （2）已知两边及其夹角，只有一解； （3）知道两角及一边，只有一解； （4）已知两边和一角（非夹角），则有以下情况：在 ABC 中， , ,a b c 为角 , ,A B C 所对 边的边长，已知 ,a b和 A，求B . 若 A为锐角时，① sina b A ，无解；② sina b A= ，一解（直角）；③ sinb A a b  ， 二解（一锐一钝角）；④a b，一解（锐角）； 若 A为直角或钝角时，①a b，无解；②a b ，一解（锐角）； 结论四：判断三角形的形状 通常情况下是判断是否有边相等或者角相等，然后考虑最大角的余弦值正负情况.若角 C 为 ABC 内角的最大角，则有： 2 2 2cos 0C c a b ABC   +  为锐角三角形； 2 2 2cos 0C c a b ABC=  = +  为直角三角形； 2 2 2cos 0C c a b ABC   +  为钝角三角形； 特别地，当 3 3 3a b c+ = 时，必有 ABC 为锐角三角形； 结论五：常见的三角形面积公式 在 ABC 中， , ,a b c 为角 , ,A B C 所对边的边长，R 和 r 分别 ABC 外接圆和内切圆 的半径， ( ) 1 2 p a b c= + + .则有以下面积公式： （1） 1 2 ABC aS a h =  （其中 ah 为边 BC 上的高）； （2） 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABCS ab C ac B bc A = = = ； （3） 22 sin sin sin 4 ABC abc S R A B C R  = = ； （4）海伦或秦九韶公式： ( )( )( )ABCS p p a p b p c = − − − ； （5） 1 ( ) 2 ABCS a b c r pr = + + = ； （6） 2 2 2sin sin sin sin sin sin 2sin( ) 2sin( ) 2sin( ) ABC a B C b A C c A B S B C A C A B  = = = + + + ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 （7） ( )2 2 2 2 1 1 1 sin cos sin cos sin 2 sin 2 2 2 4 ABCS c B B b C C c B b C = + = + ； （8） (sin sin sin )ABCS Rr A B C = + + ； （9） 4 cos cos cos 2 2 2 ABC A B C S Rr = ； （10） ( )2 2 2 1 tan ( 90 ) 4 ABCS a b c C C = + −  ； （11） ( ) tan 2 ABC A S p p a = − ； （12） ( ) 22 21 2 ABCS AB AC AB AC = − ；特别地，当 ( )1 1,AB x y= ， ( )2 2,AC x y= ， 代入公式化简得 1 2 2 1 1 2 ABCS x y x y = − . 题型一 解三角形中解的个数的判断 【例 1】张老师在整理试题时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在 ABC中， , ,a b c分 别是角 , ,A B C的对边，已知 2b = ， 45A= ，求边 c ．显然缺少条件，张老师打算补充条件， 给出 a 的大小，使得 c 有两解，则可以给出的 a 的范围是______． 【跟踪训练 1】在 ABC中，若 120A= ， 10c = ，如果 ABC可解，则边 a的取值范围是______． 题型二 三角形形状的判断 【例 2】已知 ABC的三条边 , ,a b c和与之对应的三个角 , ,A B C满足等式 cos cos cos cos cos cosa B b C c A b A c B a C+ + = + + 则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【跟踪训练 2】已知 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，给出以下命题： ①若 tan tan tan 0A B C+ +  ，则 ABC为锐角三角形； ②若 cos cosa A b B= ，则 ABC为等腰三角形； ③若 cos cosb C c B b+ = ，则 ABC为等腰三角形； 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 ④若 cos cos cos a b c A B C = = ，则 ABC为等边三角形. 以上命题中，所有真命题的序号为_________________． 题型三 解三角形的实际应用问题 【例 3】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如 图，点E，H ，G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高 度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距 的差”则海岛的高 AB =（ ） A．  + 表高 表距 表目距的差 表高 B．  − 表高 表距 表目距的差 表高 C．  + 表高 表距 表目距的差 表距 D．  − 表高 表距 表目距的差 表距 【跟踪训练 3】如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到C ．现有甲、乙 两位游客从A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为50 / minm ．在甲出发2min后，乙从A 乘 缆车到 B ，在 B 处停留1min后，再从 B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为 130 / minm ，山路 AC 长为 1260 m ，经测量 12 cos 13 A = ， 3 cos 5 C = ． （1）求索道 AB的长； （2）问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min，乙步行 的速度应控制在什么范围内？ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型四 正弦定理与余弦定理在平面几何中的应用 【例 4】在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 3, 2, 45a c B= = = ． （1）求sinC 的值； （2）在边 BC上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC = − ，求 tan DAC 的值． 【跟踪训练 4】如图，D是直角 ABC 斜边BC上一点， AB AD= ，记 CAD  = , ABC  = . （1）证明sin cos2 0 + = ； （2）若 3AC DC= ，求的值. 题型五 三角形的面积类问题 【例 5】已知 ABC的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，B 为钝角．若 ABC的面积为S，且 ( )2 2 24bS a b c a= + − ． (1)证明： 2 B A  = + ； (2)求 sin sinA C+ 的最大值． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【跟踪训练5】在 ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，已知 cos cos 2 cosa B b A c C+ = ． (1)求C ； (2)若 1c = ，求 ABC面积的取值范围． 题型六 解三角形中的最值和范围问题 【例 6】在锐角三角形 ABC中，B=60°，AB=1，则 AB边上的高的取值范围是（ ） A． 3 ,1 4        B． 3 3 , 4 2        C． 3 , 3 2        D． 3 , 3 4        【跟踪训练 6】 ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求 A； （2）若 BC=3，求 ABC周长的最大值. 课后突破训练 1．在锐角 ABC中， 4BC = ，sin sin 2sinB C A+ = ，则中线 AD的取值范围是（ ） A． (2,2 3 B． )2, 13 C． )2 3,4 D． )2 3, 13 2．已知 ABC 的内角A 、 B 、C 满足 ( ) ( )sin 2 si 1 n s n 2 iA A B C C A B+ − + = − − + ，面积S满 足1 2S  ，记 a 、b 、 c 分别为A 、 B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A． ( ) 8bc b c+  B． ( ) 16 2ab a b+  C．6 12abc  D．12 24abc  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 3．若O是 ABC垂心， 6 A   = 且sin cos sin cosB CAB C BAC+ 2 sin sinm B CAO= ，则m =（ ） A． 1 2 B． 3 2 C． 3 3 D． 3 6 4．（多选）在 ABC中， , ,a b c分别为 , ,A B C   的对边，（ ） A．若 sin sin a b B A = ，则 ABC为等腰三角形 B．若 cos cos a b B A = ，则 ABC为等腰三角形 C．若 sin cosa b C c B= + ，则 π 4 C = D．若 tan tan tan 0A B C+ +  ，则 ABC为钝角三角形 5．在 ABC中， , 3, 30= = =a x b B ，若该三角形有两解，则 x的取值范围是__________． 6．如图所示，客轮以速度2v 由 A至 B再到 C匀速航行，货轮从 AC 的中点 D 出发，以速度 v沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知 AB BC⊥ ，且 50AB BC= = 海里．若两船同时出发，则两船相遇之处距 C点__________海里． 7．设 ABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，给出下列命题： ①若 2 2 2a b c+  ，则 2 C   ； ②若 2ab c ，则 3 C   ； ③若 3 3 3a b c+ = ，则 2 C   ； ④若 ( )2ab a b c + ，则 2 C   ； ⑤若 ( )2 2 2 2 22a b c a b+  ，则 3 C   . 其中正确的是______.（写出所有正确命题的编号） 8．已知三角形 ABC 中， 3 A  = ，D是BC 边上一点，且满足 2BD DC= ，则 AD BC 的最大值是 __________． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 9．1643 年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使 其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于 120° 时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角 120°）， 该点称为费马点.已知 ABC中，其中 60A = ， 2BC = ， P 为费马点，则PB PC PA+ − 的 取值范围是______. 10．设锐角三角形 ABC的内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知 cos cosa b A a B= − ． (1)求证：B＝2A； (2)求 b c a + 的取值范围． 11．在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 2 2c ab= ． (1)求 cosC 的最小值； (2)证明： π 6 C A−  ． 12．如图，已知 ABC是边长为 1 的正三角形，M，N 分别是边 AB， AC 上的点，线段 MN 经过 ABC的中心 G，设 2 3 3 MGA        =      ． （1）分别记 AGM ， AGN 的面积为 1S ， 2S ，试将 1S ， 2S 表示为 的 函数． （2）求 2 2 1 2 1 1 y S S = + 的最大值与最小值．