18 平面向量数量积的综合应用重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 18 平面向量数量积重难点专题 常考结论及公式 结论一：极化恒等式 极化恒等式： ( ) ( ) 2 2 4 a b a b a b + − − = . 结论二：投影及投影向量 设 a 与b 的夹角为 ，则a 在b 上的投影为 | | cosa  或 | | a b b ，a 在b 上的投影向量 为 | | | | a b b b b 或 2 a b b b . 结论三：柯西不等式的向量形式及坐标形式 设 a 与b 的夹角为 ，且 1 1( , )a x y= ， 2 2( , )b x y= ，则有 | || | cosa b a b = | || |a b ，变形得 ( ) 2 2 2 a b a b （柯西不等式的向量形式），代入坐标得 2 1 2 1 2( )x x y y+ 2 2 2 2 1 1 2 2( )( )x y x y+ + ，注意的是取等的条件为a b或者是 1 2 2 1 0x y x y− = . 结论四：与平面几何有关的向量结论 （1）在 ABC 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，D是边 BC 的中点，则有 ( ) 1 2 AD AB AC= + 和 2 2 2 2 c b a AB AC + − = .也可以得到中线长公式： ( ) 2 2 2 2 2 21 2 2 2 | | 4 4 4 c b AB AC c b a AD AB AC + + + − = + = = . （2）在 ABCD中，平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和.其向量的等价形 式为： ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2AD CB AB AC AB AC AB AC+ = + + − = + . 结论五：三角形“四心”向量形式的充要条件 （1）平面向量中的三角形的基本定理的重要结论：在 ABC 中， O是 ABC 所在平面内一点，则有 0OBC OAC OABS OA S OB S OC  + + = B C A 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （2）O是 ABC 的重心 0OA OB OC+ + = . 若 O 是 ABC 的 重 心 ， 则 1 3 BOC AOC AOB ABCS S S S   = = = ， 故 0OA OB OC+ + = ， 1 ( ) 3 PG PA PB PC= + +  G 为 ABC 的重心. （3）若O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA= = ， 若O是 ABC （非直角三角形）的垂心，则 : : tan : tan : tanBOC AOC AOBS S S A B C   = . 故 tan tan tan 0AOA BOB COC+ + = . （4）若 O 是 ABC 的外心  | | | | | |OA OB OC= = (或 2 2 2 OA OB OC= = ),也有 : : sin : sin : sin sin 2 : sin 2 : sin 2BOC AOC AOBS S S BOC AOC AOB A B C   =    = ， 故 sin 2 sin 2 sin 2 0AOA BOB COC+ + = . （5）若O是 ABC 的内心，则充要条件的第一个等价形式为： 0 | | | | | | | | | | | | AB AC BA BC CA CB OA OB OC AB AC BA BC CA CB       − = − = − =            引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 , ,AB BC CA 的单位向量为 1 2 3, ,e e e ， 则 刚 才 O 是 ABC 的 内 心 的 充 要 条 件 可 以 写 成 ： ( ) ( ) ( )1 3 1 2 2 3 0OA e e OB e e OC e e+ = + = + = .也可以是 若O是 ABC 的内心，由 : : : :BOC AOC AOBS S S a b c   = ，故O是 ABC 内心充要条件 的第二个形式为 0aOA bOB cOC+ + = .（或sin sin sin 0AOA BOB COC+ + = ） ; 向量 ( )( 0) | | | | ACAB AB AC  +  所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所 在直线). 结论六：向量夹角的判断 设 a 与b 的夹角为 ，且 1 1( , )a x y= ， 2 2( , )b x y= ，则 为锐角的充要条件为 0a b  且 a b，或者 1 2 1 2 1 2 2 1 0 0 x x y y x y x y +   −  ； 为直角角的充要条件为 0a b = =，或者 1 2 1 2 0x x y y+ = ； 为钝角的充要条件为 0a b  且 a b，或者 1 2 1 2 1 2 2 1 0 0 x x y y x y x y +   −  . （5） | || | cos | || |a b a b a b= ，向量a 与b 同向时有 | || |a b a b= ；向量a 与b 反向 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 时有 | || |a b a b= − . 结论七：线段的定比分点结论 设 1P 、 2P 是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 1P 、 2P 的任一点，则一定存在实数，使 1 2PP PP= ，叫做点 P 分 1 2PP 所成的比.有三种情况： 0  (内分) (外分) 0  ( 1  − ) (外分) 0  ( 1 0−   ) (1)定比分点坐标公式：若点 1 1 1( )P x y， ， 2 2 2( )P x y， ，为实数，且 1 2PP PP= ，则点 P 坐标为 1 2 1 2( ) 1 1 x x y y    + + + + ， ，我们称为点 P 分 1 2PP 所成的比. (2)点 P 的位置与的范围的关系： ①当 0  时， 1PP 与 2PP 同向共线，这时称点 P 为 1 2PP 的内分点； ②当 0  ( 1  − )时， 1PP 与 2PP 反向共线，这时称点 P 为 1 2PP 的外分点. (3)若 P 分有向线段 1 2PP 所成的比为，点M 为平面内的任一点，则 1 2 1 MP MP MP   + = + ； 特别地 P 为 1 2PP 的中点 1 2 2 MP MP MP + = . 题型一 平面向量数量积的基本运用 【例 1】如图，在边长为 4 的等边 ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近点 B ）， 点 F 为BC的中点，则FE EC =（ ） A． 3 4 − B． 5 6 − C． 10 3 − D．– 3 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 1】在 ABC中， 3BC = ， 4AC = ， 30C = ，则BC CA =________． 题型二 利用数量积判定三角形形状问题 【例 2】在三维空间中，三个非零向量 , ,OA OB OC 满足 , ,OA OB OB OC OC OA⊥ ⊥ ⊥ ， 则 ABC是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形 【跟踪训练 2】已知在 ABC中，若 2 AB AB AC BA BC CA CB=  +  +  ，则 ABC是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型三 向量的数量积最值问题 【例 3】如图，在平行四边形 ABCD中，M是 BC的中点，且 AD=DM，N是线段 BD上 的动点，过点N 作 AM的垂线，垂足为 H，当 AM MN 最小时，HC =（ ） A． 1 3 4 4 AB AD+ B． 1 1 4 2 AB AD+ C． 1 3 2 4 AB AD+ D． 3 1 4 2 AB AD+ 【跟踪训练 3】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术 之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲 是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形 示意图．已知正八边形 ABCDEFGH 的边长为2 2 ，M 是正八边 形 ABC DEFGH− 边上任意一点，则MA MB 的最大值为（ ） A．30 4 2+ B．28 8 2+ C．26 16 2+ D．24 16 2+ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型四 夹角的最值问题 【例 4】已知 e 为单位向量， 1a e = ，2023 2022b a e= + ，当 ,a b 取到最大值时，a e− 等于（ ） A． 2023 B． 2023 2023 C． 2022 D． 2022 2022 【跟踪训练 4】已知平面向量a OA= ，b OB= ，c OC= ，满足 2 4 1OC AC OA = − ， 2 4 1OB CB OC = − ，则向量 4a b− 与 2c b− 所成夹角的最大值是（ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 题型五 平面向量与三角形的四心问题 【例 5】 ABC中， AH 为BC 边上的高且 3BH HC= ，动点 P 满足 21 4 AP BC BC = − ， 则点 P 的轨迹一定过 ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【跟踪训练 5】（多选）下列命题中正确的是（ ） A．不存在 4 个平面向量，两两不共线，其中任意两个向量之和与其余两个向量之和垂 直 B．设 1 2P P、 、…、 nP 是单位圆 O上的任意 n点，则在圆 O上至少可以找到一点 M，使 得 1 2 nMP MP MP n+ + +  C．任意四边形 ABCD中，M N、 分别为 AD BC、 的中点，G为MN 的中点，O为平面 内任意一点，则 1 ( ) 4 OG OA OB OC OD= + + + D． ABC中，点 O为外心，H为垂心，则OH OA OB OC= + + 题型六 与不等式恒成立（能成立）有关的向量问题 【例 6】已知向量a 、b 满足 1a = ，a 与b 的夹角为 π 3 ，若存在实数 x ， 2xa b a b+  + 有解，则 b 的取值范围是（ ） A． 1 0, 2       B． 1 1, 2   −    C． 0,1 D． 1 ,1 2   −    武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【跟踪训练 6】已知单位向量 a ，b ，若对任意实数 x ， 3 2 xa b+ ≥ 恒成立，则向量a ， b 的夹角的取值范围为（ ） A． π 3π , 4 4      B． π 2π , 3 3       C． π π , 4 2      D． π π , 3 2       课后突破训练 1．已知a 与b 是非零向量，且a b  ，则 a b= 是 ( )a b+ 与 ( )a b− 垂直的（ ） A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 2．已知 ( )3, 1a = − ， ( )1,2b = ，则下列结论中正确的个数为（ ） ①与b 同向共线的单位向量是 5 2 5 , 5 5        ② a 与b 的夹角余弦值为 2 5 ③向量 a 在向量b 上的投影向量为 1 2 , 5 5       ④ 1 5 a b b   − ⊥    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知 1 2,e e 为单位向量，且 1 22 2e e+  ，若非零向量a 满足 1 2a e a e   ，则 ( )1 22a e e a  + 的最大值是（ ） A． 3 3 4 B． 3 3 2 C． 3 6 2 D． 3 6 4 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 4．如图,在平行四边形 ABCD中, 1 2,cos 2 AB BAD=  = , E是边BC 的中点, F 是CD上靠 近D的三等分点,若 8AE BF = ,则 AD =（ ） A．4 B．4 2 C．4 3 D．8 5．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径， 在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示 的勒洛三角形中，已知 2AB = ，P 为弧 AC 上的点且 45PBC = ，则BP CP 的值为（ ） A．4 2− B．4 2+ C． 4 2 2− D． 4 2 2+ 6．在 ABC中， 1, 90AC BC C= =  = ．P为 AB边上的动点，则PB PC 的取值范围是 （ ） A． 1 ,1 4   −    B． 1 ,1 8   −    C． 1 ,2 4   −    D． 1 ,2 8   −   7．奔驰定理：已知O是 ABC内的一点， BOC ， AOC， AOB的面积 分别为 AS ， BS ， CS ，则 0A B CS OA S OB S OC +  +  = .“奔驰定理”是平面向 量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形 ABC 内一点，且满足： 2 3 3 2OA OB OC AB BC CA+ + = + + ，则 AOB ABC S S =△ △ （ ） A． 2 5 B． 1 2 C． 1 6 D． 1 3 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 8．（多选）在给出的下列命题中，正确的是（ ） A．设O A B C、 、 、 是同一平面上的四个点，若 (1 ) ( )OA m OB m OC m R=  + −   ，则点 、 、A B C 必共线 B．若向量 ,a b是平面 上的两个向量，则平面 上的任一向量 c 都可以表示为 ( )c a b R   = + 、 ，且表示方法是唯一的 C．已知平面向量OA OB OC、 、 满足 , | | | | AB AC OA OB OA OC AO AB AC     =  = +    则 ABC 为等 腰三角形 D．已知平面向量OA OB OC、 、 满足 | | | | ( 0)OA OB OC r r= = |=| ，且 0OA OB OC+ + = ，则 ABC 是等边三角形 9．（多选）如图，在四边形 ABCD中，AB AD AC+ = ，| | 2 | | 2= =AD AB ， 1AB AD = ，E为CD的中点，AE与DB相交于 F，则下列说法一定正 确的是（ ） A． 1 2 3 3 AF AB AD= + B．BF 在 AB上的投影向量为0 C． 1AF AB = D．若 1 2  = DEF ，则 3 tan 3  = 10．平面向量a ，b 满足 4a = ，a 与 a b− 的夹角为135 ，记 ( ) ( )1 Rm ta t b t= + −  ，当 m 取最小值时，a m =___________. 11．在等腰梯形 ABCD中，已知 / / , 2, 1, 60AB DC AB BC ABC= =  = ，动点E和F 分别 在线段BC和DC 上，且 1 , 6 BE BC DF DC  = = ，则 AE AF 的最大值为__________． 12．如图，在四边形 ABCD中， 60 , 3B AB = = ， 6BC = ，且 3 , 2 AD BC AD AB=  = − ，则实数的值为_________，若 ,M N 是线 段 BC上的动点，且 | | 1MN = ，则DM DN 的最小值为_________． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 18 平面向量数量积重难点专题 常考结论及公式 结论一：极化恒等式 极化恒等式： ( ) ( ) 2 2 4 a b a b a b + − − = . 结论二：投影及投影向量 设 a 与b 的夹角为 ，则a 在b 上的投影为 | | cosa  或 | | a b b ，a 在b 上的投影向量 为 | | | | a b b b b 或 2 a b b b . 结论三：柯西不等式的向量形式及坐标形式 设 a 与b 的夹角为 ，且 1 1( , )a x y= ， 2 2( , )b x y= ，则有 | || | cosa b a b = | || |a b ，变形得 ( ) 2 2 2 a b a b （柯西不等式的向量形式），代入坐标得 2 1 2 1 2( )x x y y+ 2 2 2 2 1 1 2 2( )( )x y x y+ + ，注意的是取等的条件为a b或者是 1 2 2 1 0x y x y− = . 结论四：与平面几何有关的向量结论 （1）在 ABC 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，D是边 BC 的中点，则有 ( ) 1 2 AD AB AC= + 和 2 2 2 2 c b a AB AC + − = .也可以得到中线长公式： ( ) 2 2 2 2 2 21 2 2 2 | | 4 4 4 c b AB AC c b a AD AB AC + + + − = + = = . （2）在 ABCD中，平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和.其向量的等价形 式为： ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2AD CB AB AC AB AC AB AC+ = + + − = + . 结论五：三角形“四心”向量形式的充要条件 （1）平面向量中的三角形的基本定理的重要结论：在 ABC 中， O是 ABC 所在平面内一点，则有 0OBC OAC OABS OA S OB S OC  + + = B C A 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （2）O是 ABC 的重心 0OA OB OC+ + = . 若 O 是 ABC 的 重 心 ， 则 1 3 BOC AOC AOB ABCS S S S   = = = ， 故 0OA OB OC+ + = ， 1 ( ) 3 PG PA PB PC= + +  G 为 ABC 的重心. （3）若O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA= = ， 若O是 ABC （非直角三角形）的垂心，则 : : tan : tan : tanBOC AOC AOBS S S A B C   = . 故 tan tan tan 0AOA BOB COC+ + = . （4）若 O 是 ABC 的外心  | | | | | |OA OB OC= = (或 2 2 2 OA OB OC= = ),也有 : : sin : sin : sin sin 2 : sin 2 : sin 2BOC AOC AOBS S S BOC AOC AOB A B C   =    = ， 故 sin 2 sin 2 sin 2 0AOA BOB COC+ + = . （5）若O是 ABC 的内心，则充要条件的第一个等价形式为： 0 | | | | | | | | | | | | AB AC BA BC CA CB OA OB OC AB AC BA BC CA CB       − = − = − =            引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 , ,AB BC CA 的单位向量为 1 2 3, ,e e e ， 则 刚 才 O 是 ABC 的 内 心 的 充 要 条 件 可 以 写 成 ： ( ) ( ) ( )1 3 1 2 2 3 0OA e e OB e e OC e e+ = + = + = .也可以是 若O是 ABC 的内心，由 : : : :BOC AOC AOBS S S a b c   = ，故O是 ABC 内心充要条件 的第二个形式为 0aOA bOB cOC+ + = .（或sin sin sin 0AOA BOB COC+ + = ） ; 向量 ( )( 0) | | | | ACAB AB AC  +  所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所 在直线). 结论六：向量夹角的判断 设 a 与b 的夹角为 ，且 1 1( , )a x y= ， 2 2( , )b x y= ，则 为锐角的充要条件为 0a b  且 a b，或者 1 2 1 2 1 2 2 1 0 0 x x y y x y x y +   −  ； 为直角角的充要条件为 0a b = =，或者 1 2 1 2 0x x y y+ = ； 为钝角的充要条件为 0a b  且 a b，或者 1 2 1 2 1 2 2 1 0 0 x x y y x y x y +   −  . （5） | || | cos | || |a b a b a b= ，向量a 与b 同向时有 | || |a b a b= ；向量a 与b 反向 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 时有 | || |a b a b= − . 结论七：线段的定比分点结论 设 1P 、 2P 是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 1P 、 2P 的任一点，则一定存在实数，使 1 2PP PP= ，叫做点 P 分 1 2PP 所成的比.有三种情况： 0  (内分) (外分) 0  ( 1  − ) (外分) 0  ( 1 0−   ) (1)定比分点坐标公式：若点 1 1 1( )P x y， ， 2 2 2( )P x y， ，为实数，且 1 2PP PP= ，则点 P 坐标为 1 2 1 2( ) 1 1 x x y y    + + + + ， ，我们称为点 P 分 1 2PP 所成的比. (2)点 P 的位置与的范围的关系： ①当 0  时， 1PP 与 2PP 同向共线，这时称点 P 为 1 2PP 的内分点； ②当 0  ( 1  − )时， 1PP 与 2PP 反向共线，这时称点 P 为 1 2PP 的外分点. (3)若 P 分有向线段 1 2PP 所成的比为，点M 为平面内的任一点，则 1 2 1 MP MP MP   + = + ； 特别地 P 为 1 2PP 的中点 1 2 2 MP MP MP + = . 题型一 平面向量数量积的基本运用 【例 1】如图，在边长为 4 的等边 ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近点 B ）， 点 F 为BC的中点，则FE EC =（ ） A． 3 4 − B． 5 6 − C． 10 3 − D．– 3 【答案】C 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【分析】由已知可推得，FE BE BF= − 1 1 6 3 BA BC= − ，EC BC BE= − 1 5 6 6 BA BC= − + ， 进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果. 【详解】由已知， 4BA = ， 4BC = ， 60ABC = ， 所以 cosBA BC BA BC ABC =   1 4 4 8 2 =   = . 由已知D是 AC 的中点，所以 ( ) 1 2 BD BA BC= + ， ( ) 1 1 3 6 BE BD BA BC= = + ， 1 2 BF BC= . 所以FE BE BF= − ( ) 1 1 6 2 BA BC BC= + − 1 1 6 3 BA BC= − ， EC BC BE= − ( ) 1 6 BC BA BC= − + 1 5 6 6 BA BC= − + ， 所以， 1 1 1 5 6 3 6 6 FE EC BA BC BA BC      = −  − +        2 21 7 5 36 36 18 BA BA BC BC= − +  − 1 7 5 16 8 16 36 36 18 3 10 = −  +  −  = − . 故选：C. 【跟踪训练 1】在 ABC中， 3BC = ， 4AC = ， 30C = ，则BC CA =________． 【答案】 6 3− 【分析】由题得，BC 与CA的夹角为150，结合平面向量数量积公式解决即可. 【详解】由题知， 3BC = ， 4AC = ， 30C = ， 所以BC与CA的夹角为150， 所以 3 cos150 3 4 6 3 2 BC CA BC CA    =   = − = −     ， 故答案为： 6 3− . 题型二 利用数量积判定三角形形状问题 【例 2】在三维空间中，三个非零向量 , ,OA OB OC 满足 , ,OA OB OB OC OC OA⊥ ⊥ ⊥ ， 则 ABC是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三 角形 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【答案】A 【分析】根据已知条件推出 0ACAB   ，得 CAB 为锐角．同理可得 ,ABC BCA  也为 锐角．由此可得答案. 【详解】因为 , ,OA OB OB OC OC OA⊥ ⊥ ⊥ ， 所以 0, 0, 0OA OB OB OC OC OA =  =  = ， ( ) ( )AB AC OB OA OC OA = −  − 2 2| | 0OB OC OA OB OC OA OA OA=  −  −  + =  ， 所以cos 0 | | | | AB AC CAB AB AC   =   ， 即知 CAB 为锐角．同理可知 ,ABC BCA  也为锐角． 故 ABC是锐角三角形． 故选：A． 【跟踪训练 2】已知在 ABC中，若 2 AB AB AC BA BC CA CB=  +  +  ，则 ABC是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用平面向量的加法、减法法则以及数量积的运算律即可求解. 【详解】由题可知 2 AB AB AC BA BC CA CB−  =  +  ， 所以 ( ) ( )AB AB AC BC BA CA − =  − ， 即 AB CB BC BC =  , 所以 0AB BC BC BC +  = 即 ( ) 0BC AB BC + = ， 所以 0BC AC = ，所以BC AC⊥ ， 所以 ABC是直角三角形. 故选:A. 题型三 向量的数量积最值问题 【例 3】如图，在平行四边形 ABCD中，M是 BC的中点，且 AD=DM，N是线段 BD上 的动点，过点N 作 AM的垂线，垂足为 H，当 AM MN 最小时，HC =（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 A． 1 3 4 4 AB AD+ B． 1 1 4 2 AB AD+ C． 1 3 2 4 AB AD+ D． 3 1 4 2 AB AD+ 【答案】C 【分析】先分析得出点N 与点D重合时，MH 的模最大，即 AM MN 最小，进而得解． 【详解】 | || | cos ,AM MN AM MN AM MN=  ， 由图易知，向量 ,AM AN 所成的角为钝角， 所以 cos , 0AM AN  ， NH AM⊥ ，  | || |AM MN AM MH= − ，当 AM MN 最小时，MH 的模最大， 数形结合易知点N 与点D重合时，MH 的模最大，即 AM MN 最小， AD DM= ，DH AM⊥ ， H 是 AM 的中点， 则 1 1 1 1 1 1 3 1 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 HC HM MC AM BC AB BC BC AB BC AB AD= + = + = + + = + = + ． 故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积及平面向量基本定理的运用，考查逻辑推理能力， 属于中档题． 【跟踪训练 3】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术 之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔 断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形 ABCDEFGH 的边长为 2 2 ， M 是正八边形 ABC DEFGH− 边上任意一点，则MA MB 的最大值为（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 A．30 4 2+ B．28 8 2+ C．26 16 2+ D．24 16 2+ 【答案】D 【分析】取 AB的中点 O，连接 MO，通过转化得 2 2MA MB MO = − ，则转化为求 | |MO 的 最大值，由图得当点 M与点 F或点 E重合时， | |MO 取得最大值，计算 | |MO 最值即可. 【详解】如图，取 AB的中点 O，连接MO，连接 ,BE OE，分别过点C ，点D作 BE 的 垂线，垂足分别为 ,I J ， 所以 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2MA MB MO OA MO OB MO OA MO OA MO OA MO = +  + = +  − = − = − ， 当点M与点 F或点 E重合时， | |MO 取得最大值， 易得四边形CDJI 为矩形， ,BCI DEJ 为等腰直角三角形，则 2 2IJ = ， 2BI EJ= = ，则 4 2 2BE = + ， 2BO = ， 2 MO 取得最大值为 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 26 16 2BO BE+ = + + = + ， 所以MA MB 的最大值为24 16 2+ ， 故选：D. 题型四 夹角的最值问题 【例 4】已知 e 为单位向量， 1a e = ，2023 2022b a e= + ，当 ,a b 取到最大值时，a e− 等于（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 A． 2023 B． 2023 2023 C． 2022 D． 2022 2022 【答案】A 【分析】根据已知条件构造向量并作出图形，利用向量的相等的坐标关系及夹角的定义， 结合锐角三角函数的定义及基本不等式，最后利用向量的减法的坐标表示及向量的模公 式即可求解. 【详解】依题意，设 ( )1,0e OE= = ， ( ),a OA b a= = ， ( ),b OB x y= = ， 因为 1a e = ，所以1 0 1b a +  = ，则 1b = ，故 ( )1,a OA a= = ， 因为2023 2022b a e= + ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( )2023 ,2023 1, 2022,0 2023,x y a a= + = ，即 1 2023 x a y =   =  ， 所以 1, 2023 a b OB   = =     ， 不妨设 0a  ，则向量 , ,a b e 如图所示， 因为 ,a b AOB AOE BOE= = − ， 3 tan , ta 202 nAOE a BOE a  =  = ， 所以 ( ) 2 tan tan t 3 an tan 1 t t 202 a 3 202 n an 1 a AOE BOE BOA AOE BOE A a OE BO aE −  −   =  − = = −   + 2022 1011 2023 2023a a =  + ， 当且仅当 2023 a a = ，即 2023a = 时，等号成立， 易知 π 0 2 BOA   ， tany BOA=  在 π 0, 2       上单调递增， 所以当 ,a b 取到最大值时， tany BOA=  取得最大值，此时 2023a = ， 所以 ( )0, 2023a e EA− = = , 故此时 2023a e EA− = = . 故选：A. 【跟踪训练 4】已知平面向量a OA= ，b OB= ，c OC= ，满足 2 4 1OC AC OA = − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 2 4 1OB CB OC = − ，则向量 4a b− 与 2c b− 所成夹角的最大值是（ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 【答案】A 【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到 2 2 4 4 1c a c a−  = − ， 2 2 4 4 1b b c c−  = − ，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简 得到 ( ) ( ) 2 2 4 3 cos 4 4 4 a b a b  − = + − ，利用基本不等式可求得 3 cos 2   ，由此可得 的 最大值. 【详解】 ( ) 2 2 4 4 4 4 1OC AC OC OC OA OC OC OA OA =  − = −  = − ， 即 2 24 4 1c a c a−  = − ， ( ) 22 2 4 4 2 1c a c a c a −  + = − = ； ( ) 2 2 4 4 4 4 1OB CB OB OB OC OB OB OC OC =  − = −  = − ， 即 2 24 4 1b b c c−  = − ， ( ) 22 2 4 4 2 1b b c c b c −  + = − = ； 设向量 4a b− 与 2c b− 所成夹角为 ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 4 8 cos 4 2 4 a b c b a c a b b c b a b c b a b  −  −  −  −  +  = = −  − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 2 4 4 2 1 4 4 4 4 4 4 4 a a b b a b a c a b c b a b a b a b − + −  + − +  −  + − + = = = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 43 3 3 2 4 4 2 4 4 4 4 a b a b a b a b − − = +   = − − （当且仅当 4 3a b− = 时 取等号）； 又  0,π  ， max π 6  = . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角 的计算公式，将向量夹角的余弦值表示为关于 ( ) 2 4a b− 的函数的形式，利用基本不等 式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 题型五 平面向量与三角形的四心问题 【例 5】 ABC中， AH 为BC 边上的高且 3BH HC= ，动点 P 满足 21 4 AP BC BC = − ， 则点 P 的轨迹一定过 ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】设 4BC a= ， AH b= ，以H 为原点，HC 、HA方向为 x 、 y 轴正方向建立空 间直角坐标系，根据已知得出点 , ,A B C的坐标，设 ( ),P x y ，根据 21 4 AP BC BC = − 列式 得出点 P 的轨迹方程为 x a= − ，即可根据三角形四心的性质得出答案. 【详解】设 4BC a= ， AH b= ， 以 H 为原点，HC 、HA方向为 x 、 y 轴正方向如图建立空间直角坐标系， 3BH HC= ， 3BH a = ， HC a= ， 则 ( )0,0H ， ( )3 ,0B a− ， ( ),0C a ， ( )0,A b ，则 ( )4 ,0BC a= ， 设 ( ),P x y ，则 ( ),AP x y b= − ， 21 4 AP BC BC = − ， ( ) 21 4 4 4 ax a = − ，即 x a= − ， 即点 P 的轨迹方程为 x a= − ， 而直线 x a= − 平分线段BC ，即点 P 的轨迹为线段BC 的垂直平分线， 根据三角形外心的性质可得点 P 的轨迹一定过 ABC的外心， 故选：A. 【跟踪训练 5】（多选）下列命题中正确的是（ ） A．不存在 4 个平面向量，两两不共线，其中任意两个向量之和与其余两个向量之和垂 直 B．设 1 2P P、 、…、 nP 是单位圆 O上的任意 n点，则在圆 O上至少可以找到一点 M，使 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 得 1 2 nMP MP MP n+ + +  C．任意四边形 ABCD中，M N、 分别为 AD BC、 的中点，G为MN 的中点，O为平面 内任意一点，则 1 ( ) 4 OG OA OB OC OD= + + + D． ABC中，点 O为外心，H为垂心，则OH OA OB OC= + + 【答案】BCD 【分析】对 A：设 O为正三角形 ABC的内心，P为内切圆圆周上一点， ( ) ( ) 0PA PB PC PO+  + = ，所以PA PB+ 与PC PO+ 垂直，所以选项 A错误； 对 B：取 1 2 nOP OP OP+ + + 的反向延长线与单位圆的交点为M，则MO与 1 2 nOP OP OP+ + + 共线同向时，有 1 2 nMP MP MP+ + + 1 2 nn MO OP OP OP n + + + +  ，所以选项 B正确； 对 C：因为OA OB OC OD+ + + = 4 2 2 4OG GM GN OG+ + = ，所以选项 C正确； 对 D：作直径 BD，连接 AD，可得四边形 AHCD为平行四边形，所以 OH OA AH OA DC OA OC OD OA OB OC= + = + = + − = + + ，所以选项 D 正确. 【详解】解：对 A：如图所示，O为正三角形 ABC的内心，P为内切圆圆周上一点，满 足 , , ,PA PB PC PO两两不共线，而 ( ) ( ) ( )( )PA PB PC PO PO OA PO OB PO OC PO+  + = + + + + + ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 4 0PO OA OB PO OC PO OC PO OC PO OC= + + + = − + = − = ， 所以PA PB+ 与PC PO+ 垂直，所以选项 A错误； 对 B：如图，当 1n = 时， 1 1MP MO OP= + ，当MO与 1OP 共 线同向时， 1 1 1MP MO OP MO= +  = ； 当 2n = 时， ( )1 2 1 2 1 22MP MP MO OP MO OP MO OP OP+ = + + +  + + ， 当MO与 1 2OP OP+ 共线同向时，有 ( )1 2 1 22 2 2MO OP OP MO OP OP+ + = + +  ； 同理，可取 1 2 nOP OP OP+ + + 的反向延长线与单位圆的交点为M，则MO与 1 2 nOP OP OP+ + + 共线同向时，有 1 2 nMP MP MP+ + + 1 2 1 2n nMO OP MO OP MO OP nMO OP OP OP= + + + + + +  + + + + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 1 2 nn MO OP OP OP n= + + + +  ，所以选项 B正确； 对 C：因为 ( ) ( ) ( ) ( )OA OB OC OD OG GA OG GB OG GC OG GD+ + + = + + + + + + + ( ) ( ) ( )4 4OG GA GB GC GD OG GA GD GB GC= + + + + = + + + + + 4 2 2 4OG GM GN OG= + + = ， 所以 1 ( ) 4 OG OA OB OC OD= + + + ，所以选项 C正确； 对 D：如图，作直径 BD，连接 AD，则 AD⊥AB，又因为 H为三角形 ABC的垂心， 所以 CH⊥AB，所以 CH // AD，同理 AH //CD，所以四边形 AHCD为平行四边形， 所以 OH OA AH OA DC OA OC OD OA OB OC= + = + = + − = + + ， 所以选项 D 正确. 故选：BCD. 题型六 与不等式恒成立（能成立）有关的向量问题 【例 6】已知向量a 、b 满足 1a = ，a 与b 的夹角为 π 3 ，若存在实数 x ， 2xa b a b+  + 有解，则 b 的取值范围是（ ） A． 1 0, 2       B． 1 1, 2   −    C． 0,1 D． 1 ,1 2   −    【答案】C 【分析】对 2xa b a b+  + 两边同时平方，根据向量数量积的运算律，整理为关于 x 的 一元二次不等式有解，利用判别式即可求解. 【详解】对不等式 2xa b a b+  + 两边同时平方， 得 ( ) ( ) 2 2 2xa b a b+  + ，即 2 2 2 2 2 4 4 2x a xa b b a a b b+  +  +  + ， 因为 1 cos 2 a b a b a b b =    = , 所以 2 2 2 2 4 1x x b b b b+ +  + + ， 整理得 2 2 2 3 1 0x b x b b+ + − −  有解， 所以 2 2 4 4(3 1) 0b b b = − − −  得 2 2 1 0b b− −  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 解得 1 1 2 b−   ，又因为 0b  ，所以0 1b  ， 故选:C. 【跟踪训练 6】已知单位向量 a ，b ，若对任意实数 x ， 3 2 xa b+ ≥ 恒成立，则向量a ， b 的夹角的取值范围为（ ） A． π 3π , 4 4      B． π 2π , 3 3       C． π π , 4 2      D． π π , 3 2       【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出a b 的范围，再利用向量夹角公 式求解作答. 【详解】a ，b 是单位向量，由 3 2 xa b+ ≥ 得： 2 23 1( ) 2( ) 0 4 4 xa b x a b x+   +  +  ， 依题意，不等式 2 12( ) 0 4 x a b x+  +  对任意实数 x 恒成立，则 24( ) 1 0a b =  −  ， 解得 1 1 2 2 a b−    ，而cos , | || | a b a b a b a b    = =  ，则 1 1 cos , 2 2 a b−     ， 又0 , πa b    ，函数 cosy x= 在[0, ] 上单调递减，因此 π 2π , 3 3 a b    ， 所以向量a ，b 的夹角的取值范围为 π 2π , 3 3       . 故选：B 课后突破训练 1．已知a 与b 是非零向量，且a b  ，则 a b= 是 ( )a b+ 与 ( )a b− 垂直的（ ） A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 【答案】C 【分析】利用条件证明必要性和充分性即可. 【详解】因为a 与b 是非零向量，且a b  ，当 a b= 时， ( ) ( ) 2 22 2 0a b a b a b a b+  − = − = − = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 所以 ( )a b+ 与 ( )a b− 垂直，故充分性成立， 若 ( )a b+ 与 ( )a b− 垂直， 则 ( ) ( ) 2 22 2 0a b a b a b a b+  − = − = − = 因为a 与b 是非零向量，且a b  ， 所以 2 2 a b a b=  = ， 所以必要性成立， 故若a 与b 是非零向量，则 a b= 是 ( )a b+ 与 ( )a b− 垂直的充要条件， 故选：C. 2．已知 ( )3, 1a = − ， ( )1,2b = ，则下列结论中正确的个数为（ ） ①与b 同向共线的单位向量是 5 2 5 , 5 5        ② a 与b 的夹角余弦值为 2 5 ③向量 a 在向量b 上的投影向量为 1 2 , 5 5       ④ 1 5 a b b   − ⊥    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可. 【详解】解： 5 2 5 , 5 5 b b   =      ，故①正确； 1 2 cos , 1010 5 a b a b a b  = = =  ，故②错误； 向量a 在向量b 上的投影向量为 2 5 2 5 1 2 cos , 10 , , 10 5 5 5 5 b a b b a      =   =         ，故③ 正确； 1 1 2 3 1 1 2 0 5 5 5 a b b       −  = −  + − −  =            ，故④正确； 故选:C. 3．已知 1 2,e e 为单位向量，且 1 22 2e e+  ，若非零向量a 满足 1 2a e a e   ，则 ( )1 22a e e a  + 的最大值是（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 A． 3 3 4 B． 3 3 2 C． 3 6 2 D． 3 6 4 【答案】D 【解析】设 ( )1 1,0e = ， ( )2 cos ,sine  = ，由 1 22 2e e+  ，计算可得 1 cos 4   − ，设 ( )cos , sina r r = ， 0r  ，由 1 2a e a e   ，计算可得 ( )cos cos   − ，可推出 ( )2 2 πk k = + Z 时，等号成立，计算可得 ( ) ( ) 1 22 2cos cos a e e a     + = + − ( )3cos   − 3cos= ，结合 2 1 cos cos 2 2cos 1 4   = = −  − ，可求出 6 6 cos 4 4 −   ，从而可求出 ( )1 22a e e a  + 的最大值. 【详解】由题意，可设 ( )1 1,0e = ， ( )2 cos ,sine  = ，则 ( )1 22 1 2cos ,2sine e  + = + ， 由 1 22 2e e+  ，可得 ( ) 2 21 2cos +4sin 4 +  ，整理得 1 cos 4   − ， 设 ( )cos , sina r r = ， 0r  ， 由 1 2a e a e   ，可得 ( ) ( ) ( ) ( )cos , sin 1,0 cos , sin cos ,sinr r r r        ， 即 cos cos cos sin sinr r r     + ，所以 ( )cos cos   − ， 当 ( )cos cos  = − 时， ( )2 πk k  = − + Z 或 ( )2 πk k  = − + + Z ， 即 ( )2 2 πk k = + Z 或 ( )2 πk k = Z ， 因为 1 cos 4   − ，所以 ( )2 πk k = Z 不符合题意， 故 ( )cos cos  = − 时， ( )2 2 πk k = + Z . 而 ( ) ( ) 1 22 2 cos cos cos sin sin 2cos cos a e e r r r ra          + + + = = + − ， 因为 ( )cos cos   − ，所以 ( )1 22a e e a  + ( )3cos   − ， 当 ( )2 2 πk k = + Z 时，等号成立，此时 ( ) ( )3cos 3cos 2 π 3cosk   − = − = ， 因为 ( ) 2 1 cos cos 2 2 π cos2 2cos 1 4 k   = − = = −  − ，所以 2 3cos 8   ，即 6 6 cos 4 4 −   ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 所以 ( )1 22a e e a  + ( ) 3 6 3cos 3cos 4    − =  . 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量与三角函数的综合问题，解题的关键是设出题 中向量的坐标，利用平面向量的坐标运算及三角函数的运算性质，将所求不等式转化为 三角函数关系式，进而求出最大值.考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于难 题． 4．如图,在平行四边形 ABCD中, 1 2,cos 2 AB BAD=  = , E是边BC 的中点, F 是CD上靠 近D的三等分点,若 8AE BF = ,则 AD =（ ） A．4 B．4 2 C．4 3 D．8 【答案】A 【分析】将 ,AE BF 通过平面向量基本定理转化到 ,AB AD上,展开计算,再将 1 2,cos 2 AB BAD=  = 代入即可求得 AD . 【详解】解:由题知 1 cos 2 BAD = ,所以 π 3 BAD = , 记 AD m= ,因为 2,AB = 且 ABCD为平行四边形, 所以 ( ) ( )AE BF AB BE BC CF = +  + 1 2 2 3 AB AD AD AB     = +  −        2 22 1 1 3 2 3 AB AD AB AD AB AD=  − + −  2 22 2 1 cos 3 3 2 AB AD BAD AB AD=   − + 22 8 8 3 3 2 m m = − + = , 解得: 16 3 m = − (舍)或 4m = . 故选:A 5．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径， 在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 的勒洛三角形中，已知 2AB = ，P 为弧 AC 上的点且 45PBC = ，则BP CP 的值为（ ） A．4 2− B．4 2+ C． 4 2 2− D． 4 2 2+ 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】 以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴，垂直于BC方向为 y ，建立平面直角坐标系， 因为 45PBC = ， 2PB = ,所以 (2cos 45 ,2sin 45 )P ，即 ( 2, 2)P ， 且 (0,0), (2,0),B C 所以 ( ) ( )2, 2 , 2 2, 2BP CP= = − ， 所以 2 2 2 2 4 2 2BP CP = − + = − ， 故选:C. 6．在 ABC中， 1, 90AC BC C= =  = ．P为 AB边上的动点，则PB PC 的取值范围是 （ ） A． 1 ,1 4   −    B． 1 ,1 8   −    C． 1 ,2 4   −    D． 1 ,2 8   −   【答案】B 【分析】以C 为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线 AB所在直线方程为 1y x= − + ， 设 ( ), 1P t t− + ，得到 2 3 1 2 4 8 PB PC t    = − −    ，利用二次函数的性质即可求出其值域. 【详解】以C 为坐标原点，CA，CB所在直线分别为 x 轴， y 轴，建立直角坐标系， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 则 ( ) ( )0,1 , 1,0A B ，直线 AB所在直线方程为 1y x= − + ， 设 ( ), 1P t t− + ，  0,1t ，则 ( )1 , 1PB t t= − − ， ( ), 1PC t t= − − ， ( ) ( ) 2 2 3 1 1 1 2 4 8 PB PC t t t t    = − − + − = − −    ， 当 0=t 时， ( ) max 1PB PC = ，当 3 t 4 = 时， ( ) min 1 8 PB PC = − ， 故其取值范围为 1 ,1 8   −    ， 故选：B. 7．奔驰定理：已知O是 ABC内的一点， BOC ， AOC， AOB的面积分别为 AS ， BS ， CS ，则 0A B CS OA S OB S OC +  +  = .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因 为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为 三角形 ABC 内一点，且满足： 2 3 3 2OA OB OC AB BC CA+ + = + + ，则 AOB ABC S S =△ △ （ ） A． 2 5 B． 1 2 C． 1 6 D． 1 3 【答案】D 【分析】直接根据向量的基本运算得到3 2 0OA OB OC+ + = ，再结合“奔驰定理”即可 求解结论． 【详解】解： O为三角形 ABC 内一点，且满足 2 3 3 2OA OB OC AB BC CA+ + = + + ，  2 3 3( ) 2( ) ( ) 3 2 0OA OB OC OB OA OC OB OA OC OA OB OC+ + = − + − + −  + + = ， 0A B CS OA S OB S OC +  +  = ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页  1 3 AOB AOB C ABC AOB BOC AOC A B C S S S S S S S S S S = = = + + + + △ △ △ △ △ △ ， 故选：D． 8．（多选）在给出的下列命题中，正确的是（ ） A．设O A B C、 、 、 是同一平面上的四个点，若 (1 ) ( )OA m OB m OC m R=  + −   ，则点 、 、A B C 必共线 B．若向量 ,a b是平面 上的两个向量，则平面 上的任一向量 c 都可以表示为 ( )c a b R   = + 、 ，且表示方法是唯一的 C．已知平面向量OA OB OC、 、 满足 , | | | | AB AC OA OB OA OC AO AB AC     =  = +    则 ABC 为等 腰三角形 D．已知平面向量OA OB OC、 、 满足 | | | | ( 0)OA OB OC r r= = |=| ，且 0OA OB OC+ + = ，则 ABC 是等边三角形 【答案】ACD 【解析】对于 A，根据共线定理判断 A、B、C三点共线即可；对于 B，根据平面向量的 基本定理，判断命题错误；对于 C，根据向量的运算性质可得 OA为 BC的垂线且 OA 在 BAC 的角平分线上，从而可判断 C；对于 D，根据平面向量的线性表示与数量积运 算得出命题正确； 【详解】对于 A， ( )1 ( )m OB m OC m ROA =  + −   ， ∴ ( )OA OC m OB OC− = − ，∴ CA mCB= ，且有公共点 C， ∴则点 A、B、C共线，命题 A正确； 对于 B，根据平面向量的基本定理缺少条件 ,a b 不共线，故 B错误； 对于 C，由于 OA OB OA OC =  ，即 ( )  0OA OB OC − = ，  0OA CB = ， 得 OA CB⊥ ，即 OA为 BC的垂线， 又由于 | | | | AB AC AO AB AC    = +    ，可得 OA在 BAC 的角平分线上， 综合得 ABC 为等腰三角形，故 C正确； 对于 D，平面向量OA、OB 、OC 满足 ( )0OA OB OC r r= = =  ，且 0OA OB OC+ + = ， ∴  OOA B OC+ = − ，∴ 2 2 2   2OA OA OB OB OC+  + = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 即 2 2 2 22 cos ,r r OA OB r r++ = ，∴ 1 cos , 2 OA OB = − ， ∴OA、OB 的夹角为120，同理OA、OC 的夹角也为120， ∴ ABC是等边三角形，故 D正确； 故选 ACD. 【点睛】本题主要考查利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，属于中档 题. 9．（多选）如图，在四边形 ABCD中， AB AD AC+ = ， | | 2 | | 2= =AD AB ， 1AB AD = ， E为CD的中点， AE与DB相交于 F，则下列说法一定正确的是（ ） A． 1 2 3 3 AF AB AD= + B．BF 在 AB上的投影向量为0 C． 1AF AB = D．若 1 2  = DEF ，则 3 tan 3  = 【答案】ABC 【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断. 【详解】解：因为在四边形 ABCD中，AB AD AC+ = ，所以四边形 ABCD为平行四边形， 又 | | 2 | | 2= =AD AB ， 1AB AD = ，所以 60BAD = ， 对于 A： 1 2 AE AD DE AD AB= + = + ，设 AF AE= = 1 1 2 2 AD AB AD AB     + = +    ， 因为 , ,B F D三点共线， 所以 1 1 2  + = ，解得 2 3  = ，所以 1 2 3 3 AF AB AD= + ，故选项 A 正确； 对于 B：设 ,BF AB 的夹角为 ，因为 1AB = ， 2, 3AD BD= = ， 所以 2 2 2AD AB BD= + ，所以BD AB⊥ ，即 = 90， 所以BF 在 AB上的投影向量为 | | cos 0 0 | | | | AB AB BF AB AB   =  = ，故选项 B 正确； 对于C：由题意， 1 2 3 3 AF AB AB AD AB    = +  =    21 2 1 2 1 1 2 1 3 3 3 3 2 AB AB AD+  = +    = ，故选项 C 正确； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 对于 D： 2 21 4 4 21 | | 9 9 9 3 AF AB AD AB AD= + +  = ，则cos FAB = 1 21 7| || | 21 3 AF AB AF AB  = = ， 若 3 tan 3  = ，则 30 = ，又因为 1 1 30 2 2 DEF FAB =  =  = ， 所以 2 60FAB  = = ，不满足cos FAB = 21 7 ，故选项 D 不正确. 故选：ABC. 10．平面向量a ，b 满足 4a = ，a 与 a b− 的夹角为135 ，记 ( ) ( )1 Rm ta t b t= + −  ，当 m 取最小值时，a m =___________. 【答案】8 【分析】设OA a= ，OB b= ，作出图像，根据平面向量基本定理可知 , ,m a b起点相同， 终点在直线 AB上， 可知 min m 及夹角，由向量数量积定义可求得结果. 【详解】设OA a= ，OB b= ，则a b BA− = ，如图所示， a 与 a b− 的夹角为135 ， 135OAB = ， 45OAC = ； ( ) ( )1 Rm ta t b t= + −  且 ( )1 1t t+ − = ， , ,m a b 起点相同时，终点共线，即在直线 AB上， 当m AB⊥ 时， m 最小，又 4a = ， min 2 2m = ，此时a 与m的夹角为45 ， 4 2 2 cos45 8a m  =  = . 故答案为: 8 . 11．在等腰梯形 ABCD中，已知 / / , 2, 1, 60AB DC AB BC ABC= =  = ，动点E和F 分别 在线段BC和DC 上，且 1 , 6 BE BC DF DC  = = ，则 AE AF 的最大值为__________． 【答案】3 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 【分析】运用数量积的定义求得 AB AD ， AB DC ， AD BC ，BC DC ，确定的取 值范围，再由向量的三角形法则和基本不等式及函数单调性，即可得到所求最大值． 【详解】解：由题可得图形如下： 由于 1 2 1 1 2 AB AD =   = ， 2 1 cos0 2AB DC =   = ， 1 1 1 1 2 2 AD BC =   = ， 1 1 1 1 2 2 BC DC    =   − = −    ， 因为 1 , 6 BE BC DF DC  = = ，所以 0 1 1 11 60 1 6             ， 则 ( ) ( ) ( ) 1 6 AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC     = +  + = +  +    1 1 1 1 1 1 1 2 6 6 6 2 6 2 AB AD AB DC BC AD BC DC      =  +  +  +  = +  + +  −    11 1 12 3 2   = + + ， 1 ,1 6        ， 当且仅当 1 3 2   = ，即 6 3  = 时取等号，即取最小值，函数 11 1 12 3 2 y   = + + 在 1 6 , 6 3         上单调递减，在 6 ,1 3        上单调递增， 当 1 = 时， 11 1 11 1 1 7 12 3 2 12 3 2 4   + + = + + = ；当 1 6  = 时， 11 1 11 1 2 3 12 3 2 12 12   + + = + + = ， 所以 AE AF 的最大值为3 . 故答案为：3． 12．如图，在四边形 ABCD中， 60 , 3B AB = = ， 6BC = ，且 3 , 2 AD BC AD AB=  = − ， 则实数的值为_________，若 ,M N 是线段BC 上的动点，且 | | 1MN = ，则DM DN 的 最小值为_________． 【答案】 1 6 13 2 【分析】可得 120BAD = ，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点 B 为坐 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 23 页 标原点，BC所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，设点 ( ),0M x ，则点 ( )1,0N x+ （其 中0 5x  ），得出DM DN 关于 x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 DM DN 的最小值. 【详解】 AD BC= ， //AD BC ， 180 120BAD B = − = ， cos120AB AD BC AB BC AB  =  =  1 3 6 3 9 2 2     =    − = − = −    ， 解得 1 6  = ， 以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ， ( )6 6,0BC C= ， , ∵ 3, 60AB ABC=  = ，∴A 的坐标为 3 3 3 , 2 2 A        , ∵又∵ 1 6 AD BC= ,则 5 3 3 , 2 2 D        ，设 ( ),0M x ，则 ( )1,0N x+ （其中0 5x  ）， 5 3 3 , 2 2 DM x   = − −    ， 3 3 3 , 2 2 DN x   = − −    ， ( ) 2 225 3 3 3 21 134 2 2 2 2 2 2 DM DN x x x x x      = − − + = − + = − +          ， 所以，当 2x = 时，DM DN 取得最小值 13 2 . 故答案为： 1 6 ； 13 2 . 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考 查计算能力，属于中等题.