17 平面向量基本定理及线性运算重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 17 平面向量基本定理及线性运算重难点专题 常考结论及公式 结论一：多个向量和的计算 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量 的终点的向量，即 1 2 2 3 1 1n n nA A A A A A A A−+ + + = .特别地，一个封闭图形首尾连接而 成的向量和为零向量. 结论二：中点公式的向量形式 （1）若P为线段 AB 的中点，O为平面内任一点，则 ( ) 1 2 OP OA OB= + . （2）已知点P为线段 AB 的中点，若 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则P 的坐标为 1 2 1 2, 2 2 x x y y+ +      . 结论三：与共线向量定理有关的结论 （1）已知OA OB OC = + （ , 为实数），若点 , ,A B C三点共线，则 1 + = . （2）若 1e 与 2e 不共线，且 2 2 0e e + = ，则 0 = = . 结论四：三角形中的重心结论 已知 ABC 的顶点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 3 3( , )C x y ，则 ABC 的重心G 的坐标 为 1 2 3 1 2 3, 3 3 x x x y y y+ + + +      ，且有 0GA GB GC+ + = 成立. 结论五：单位向量的求法 与向量a 同向的单位向量可表示为： | | a a . 题型一 平面向量数乘运算的性质运用 【例 1】设 , , ,A B C D是平面直角坐标系中不同的四点，若 ( ),AC AB R =  ( ),AD AB R =  且 1 1 2   + = ，则称 ,C D是关于 ,A B的“好点对”．已知 ,M N 是关于 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 ,A B的“好点对”, 则下面说法正确的是（ ） A．M 可能是线段 AB的中点 B． ,M N 可能同时在线段BA延长线上 C． ,M N 可能同时在线段 AB上 D． ,M N 不可能同时在线段 AB的延长线上 【答案】D 【详解】试题分析： 解：若M 是线段 AB的中点，则 1 2  = ,从而 1 1 2 0   =  = 这是不可能的，所以选项 A 不正确. 若 ,M N 同时在线段BA延长线上，则有 1, 1  −  − ，与 1 1 2   + = 矛盾，所以选项 B 不正确. 若 ,M N 同时在线段 AB上，则有0 1,0 1     ，所以 1 1 2   +  与 1 1 2   + = 矛盾， 所以选项 C 不正确. 若 ,M N 同时在线段 AB的延长线上，则有 1, 1   ，所以 1 1 0 2    +  与 1 1 2   + = 矛 盾，所以选项 D 正确. 故选：D 考点：数乘向量的概念与性质. 【跟踪训练 1】（多选）设点M 是 ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若 1 1 2 2 AM AB AC= + ，则点M 是边BC 的中点 B．若 2AM AB AC= − ，则点M 在边BC 的延长线上 C．若 AM BM CM= − − ，则点M 是 ABC的重心 D．若 AM xAB y AC= + ，且 1 2 x y+ = ，则 MBC的面积是的 ABC面积的 1 2 【答案】ACD 【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点 M的位置（D 中若能判断 M 位置也是一定得出面积比值）. 【详解】A中： 1 1 2 2 AM AB AC= + , 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 AM AB AC AM AB AC AM = +  − = − 即： BM MC= ,则点M 是边BC 的中点 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 B. 2AM AB AC= − , AM AB AB AC BM CB − = −  = 则点M 在边CB的延长线上，所 以 B 错误. C. 设 BC中点 D,则 AM BM CM= − − , 2AM BM CM MB MC MD= − − = + = ，由重心性质可 知 C 成立. D． AM xAB y AC= + 且 1 2 x y+ = 2 2 2 ,2 2 1AM xAB y AC x y = + + = 设 2AD AM= 所以 2 2 ,2 2 1AD xAB y AC x y= + + = ，可知 , ,B C D三点共线，所以 MBC的面积是 ABC 面积的 1 2 故选择 ACD 【点睛】通过向量加减运算，进行化简去判断点 M 的位置，难度较大. 题型二 平面向量共线定理的运用 【例 2】若a 和b 是两个不共线的非零向量，a 和b 起点相同，且a ，tb ， 1 ( ) 3 a b+ 三个 向量的终点在同一条直线上．则 t 的值是（ ） A． 1 3 B． 1 2 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，设 ( ) 1 , , 3 OA a OB tb OC a b= = = + ，则 A，B，C三点共线， 由向量共线法则即可求解. 【详解】解：设 ( ) 1 , , 3 OA a OB tb OC a b= = = + ，由题意 A，B，C三点共线，并且 ,a b 不 共线， 作下图： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 ( ) 1 2 1 3 3 3 AC a b a a b= + − = − + ， AB tb a= − ，由于 A，B，C三点共线， 有 AC AB= ， 2 1 3 3 a b tb a − + = − ， 2 1 0 3 3 a tb      − + − =        ， 2 1 , 3 2 t = = ； 故选：B. 【跟踪训练 2】已知 O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 D 满足： AB AC OD OA AB AC     = + +     ，则点 D一定在 ABC的______线所在直线上． 【答案】角 A的平分 【分析】根据 , AB AC AB AC 分别表示平行于 ,AB AC 的单位向量， AB AC AB AC + 平分 BAC 求 解. 【详解】解：因为 AB AC OD OA AB AC     = + +     ， 所以 AB AC AD AB AC     = +     ， 而 , AB AC AB AC 分别表示平行于 ,AB AC 的单位向量， 所以 AB AC AB AC + 平分 BAC ，即 AD平分 BAC ， 所以点 D一定在 ABC的角 A的平分线所在直线上， 故答案为：角 A的平分 题型三 平面向量的线性运算的基本考查 【例 3】在平面四边形 ABCD中，已知 ABC的面积是 ACD的面积的 3 倍.若存在正实 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 数 ,x y使得 1 1 3 1AC AB AD x y    = − + −       成立，则 3 1 x y + 的值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】连接BD，设 AC 与BD交于点O，过点 B 作BE AC⊥ 于点E，过点D作DF AC⊥ 与点F ，由面积比得3DF BE= ，再利用 , ,A O C三点共线可得出 ,x y的关系，从而可求 解． 【详解】如图，连接BD，设 AC 与BD交于点O，过点 B 作BE AC⊥ 于点E，过点D作 DF AC⊥ 与点F . 若 ACB△ 的面积是 ADC△ 的面积的 3 位，则3DF BE= . 根据相似三角形的性质可知，3DO OB= ， 所以 ( )3 DA AO OA AB+ = + ，所以 1 3 4 4 AO AB AD= +  设 3 . 4 4 AC AO AB AD   = = + 因为 1 1 3 1AC AB AD x y    = − + −       ， 所以 1 1 1 3 3 y x     − = −       ，所以 3 1 10 x y + = . 故选：A. 【跟踪训练 3】已知平面上四点O A B C、 、 、 ，若 1 2 3 3 OB OA OC= + ，则 _________． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【答案】 2 3 【详解】试题分析：因为 1 2 3 3 OB OA OC= + ，所以 1 2 1 2 1 1 2 2 , , 3 3 3 3 3 3 3 3 OB OB OA OC OB OA OC OB+ = + − = − 1 2 2 , 2 , . 3 3 3 AB AB BC AB BC AC = = = 考点：向量表示 题型四 平面向量线性运算与基本不等式的交叉综合问题 【例 4】如图，在△ABC中，M为线段 BC的中点，G为线段 AM上一点且 2AG GM= ， 过点 G的直线分别交直线 AB、AC于 P、Q两点， ( 0)AB xAP x=  ， ( 0AC y AQ y=  ）， 则 1 1 1x y + + 的最小值为（ ） A． 3 4 B．1 C． 4 3 D．4 【答案】B 【分析】由 1 1 2 2 AM AB AC= + 可得 3 3 x y AG AP AQ= + ，根据三点共线向量性质可得 1 3 3 x y + = ，再结合均值不等式即可求出结果． 【详解】由于M为线段 BC的中点，则 1 1 2 2 AM AB AC= + 又 2AG GM= ，所以 3 2 AM AG= ，又 ( 0)AB xAP x=  ， ( 0AC y AQ y=  ） 所以 3 2 2 2 x y AG AP AQ= + ，则 3 3 x y AG AP AQ= + 因为 , ,G P Q三点共线，则 1 3 3 x y + = ，化得 ( )1 4x y+ + = 由 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 4 1 4 1 4 1 x y x y x y x y x y y x y x     + + + = + + + = + +   + =         + + + +      当且仅当 1 1 x y y x + = + 时，即 2, 1x y= = 时，等号成立， 1 1 1x y + + 的最小值为 1 故选：B 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【跟踪训练 4】若点G 是 ABC所在平面上一点，且 0,AG BG CG H → + + = 是直线BG 上 一点， AH xAB= + y AC ，则 2 24x y+ 的最小值是（ ）． A．2 B．1 C． 1 2 D． 1 4 【答案】C 【分析】根据向量的运算确定 G的位置，可得 B、H、D三点共线，利用三点共线得 2 1x y+ = ，再由不等式求最值即可. 【详解】设 ( )G x y, ， 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y ， 因为 0AG BG CG+ + = ，所以 1 2 3 3 x x x x + + = ， 1 2 3 3 y y y y + + = ， 所以点 G是 ABC的重心， 设点 D是 AC的中点，则 2AC AD= ，B、G、D共线，如图， 又 2AH xAB y AD= + ． 因为 B、H、D三点共线，所以 2 1x y+ = ， 所以 ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 4 2 2 2 x y x y x y + + = +  = ，当且仅当 2x y= ，即 1 2 x = ， 1 4 y = 时取等号， 即 2 24x y+ 的最小值是 1 2 . 故选：C． 题型五 新定义问题 【例 5】定义域为 ,a b 的函数 ( )y f x= 的图象的两个端点为A ､ B ， ( ),M x y 是 ( )f x 的 图象上任意一点，其中 ( )1x a b = + − ，(  0,1 )，向量 ( )1ON OA OB = + − ，若不 等式 MN k 恒成立，则称函数 ( )f x 在 ,a b 上“ k 阶线性近似”.若函数 1 y x x = − 在  1,2 上“ k 阶线性近似”，则实数 k 的取值范围为（ ） A． 3 2, 2   − +   B． 3 2, 2   + +   C． )0, + D． )1,+ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 【答案】A 【分析】由题意易知点M ，N 的横坐标相等， MN k 恒成立，即 max k MN ，将恒成 立问题转化为函数的最值问题，进而求解. 【详解】由题意知，点M ， N 的横坐标相等，由 MN k 恒成立，即 max k MN ， 因为向量 ( )1ON OA OB = + − ，所以点A ､ B ､N 三点共线. 由 N 在线段 AB上，得 1,0A ， 3 2, 2 B       ， 因此 AB的方程为 ( ) 3 1 2 y x= − ， 由图象可知： ( ) 1 3 3 1 1 2 2 2 x MN x x x x   = − − − = − +    3 2 2  − ， 3 2 2 k  − ， 故选：A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 【跟踪训练 5】已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义非零向量 ( , )OM a b= 的“相伴函数”为 sin cos ( )y a x b x x= + R ，向量 ( , )OM a b= 称为函数 sin cos ( )y a x b x x= + R 的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合 为S (1)已知 R ， ( ) cos( ) 2cosh x x x= + + ，若函数 ( )h x 为集合S中的元素，求其“相 伴向量”的模的取值范围； (2)已知点 ( , )M a b 满足条件： 3a = ，0 3b  ，若向量OM 的“相伴函数” ( )y g x= 在 0x x= 处取得最大值，当b 在区间 (0, 3]变化时，求 0tan2x 的取值范围； (3)当向量 ( 3,1)OM = 时，“相伴函数”为 ( )f x ，若 11 0, 6 x       ，方程 2 ( ) (2 ) ( ) 3 0f x a f x a+ − + − = 存在 4 个不相等的实数根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[1,3] (2)[ 3,0)− (3) (1,3] (4,5) 【分析】（1）把 ( )h x 化为 sin cosa x b x+ 形式得“相伴向量”OM ，求出模后可得其范围； （2）写出“相伴函数” ( )y g x= ，根据辅助角公式得最大值及最大值点 0x ，由b 的范围得 0x 的范围，再得出 02x 的范围后可得 0tan2x 的取值范围； （3）由定义得 ( )f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 2 ( ) (2 ) ( ) 3 0f x a f x a+ − + − = 得 ( ) 1f x = 或 ( ) 3f x a= − ， ( ) 1f x = 求得两根，然后作出函 数 ( )f x ， 11 0, 6 x       的图象，由图象可得 ( ) 3f x a= − 且 3 1a−  有两根的a 的范围． 【详解】（1） ( ) cos( ) 2cos cos cos sin sin 2cos sin sin (2 cos )cosh x x x x x x x x    = + + = − + = −  + + ， ∴函数 ( )h x 的相伴向量 ( sin ,2 cos )OM  = − + ， 2 2(sin ) (2 cos ) 5 4cosOM   = + + = + ， ∴cos 1 = 时， max 5 4 3OM = + = ；cos 1 = − 时， min 5 4 1OM = − = . ∴ OM 的取值范围为[1，3] （2）OM 的相伴函数 2 2( ) sin cos sin( )g x a x b x a b x = + = + + 其中 2 2 cos a a b  = + ， 2 2 sin b a b  = + . 当 2 2 x k   + = + ， Zk ，即 0 2 2 x k   = − + ， Zk 时， ( )g x 取得最大值， ∴ 0 1 3 tan tan 2 2 tan a x k b b       = − + = = =    ， ∵0 3b  ，∴ 0tan [ 3, )x  + ， ∴ 0 , ( ) 3 2 x k k k Z        + +    ，∴ 0 2 2 2 , 2 ( ) 3 x k k k Z        + +    . ∴ 0tan 2 [ 3,0)x  − . （3） 3 1 ( ) 3 sin cos 2( sin cos ) 2sin 2 2 6 f x x x x x x   = + = + = +    ， 当 11 0, 6 x       时， , 2 6 6 x      +     ， 由 2 ( ) (2 ) ( ) 3 0f x a f x a+ − + − = ，得： ( ( ) 1)( ( ) ( 3)) 0f x f x a− − − = ， ∴ ( ) 1f x = 或 ( ) 3f x a= − ， 由 ( ) 1f x = ，即 1 sin 6 2 x   + =    ，而 11 0, 6 x       ，解得 0x = 或 2 3 x  = ， 即∴ ( ) 1f x = 在 11 0, 6 x       上有两个根， 方程 2 ( ) (2 ) ( ) 3 0f x a f x a+ − + − = 在 11 0, 6 x       上存在 4 个不相等的实数根， 当且仅当 ( ) 3f x a= − 且 3 1a−  在 11 0, 6 x       上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数 ( )y f x= 在 11 0, 6 x       上的图像和直线 3y a= − ，如图， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 方程 ( ) 3( 4)f x a a= −  在 11 0, 6 x       上有两个不等实根， 当且仅当函数 ( )y f x= 在 11 0, 6 x       上的图像和直线 3( 4)y a a= −  有两个公共点， 观察图像知： 2 3 0a−  −  或1 3 2a −  ， 解得1 3a< ? 或4 5a  ， 所以实数 a 的取值范围是 (1,3] (4,5) . 题型六 平面向量基本定理有关的数学文化问题 【例 6】黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比 例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618，就像圆周率在应 用时取3.14一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名 画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴 弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形 ( tan )Golden Rec gle 的长宽之比为黄金 分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美 感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个 很好的例子，达 芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也 符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000 多年前，古希腊雅典学派 的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为 L的线段 分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比 为 5 1 0.618. 2 −  其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我 国数学家独立创造的.如图，在矩形 ABCD中， AC ，BD相交于点O，BF AC⊥ ， DH AC⊥ ， AE BD⊥ ，CG BD⊥ ， 5 1 2 BE BO − = ，则BF =（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 A． 3 5 5 5 2 10 BA BG − + + B． 3 5 5 5 2 10 BA BG − − + C． 5 1 5 5 2 10 BA BG − − + D． 3 5 5 2 5 BA BG − + 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解． 【详解】解： 5 1 2 BE BO − = ，显然BE DG= ， 1 2 BO OD BD= = ， 所以 5 1 5 5 2 2 2 BG BO BO  − − = − =     ，  2 5 5 105 5 BO BG BG + = = − ， 5 1 5 1 3 5 5 1 ( ) 2 2 2 2 BF BA AF BA AO BA BO BA BA BO − − − − = + = + = + − = + ，  3 5 5 2 5 BF BA BG − = + ， 故选：D． 【跟踪训练 6】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中 末比”问题：将一线段 AB分为两线段 AC，CB，合得其中较长的一段 AC是全长与另一 段 CB的比例中项，即满足 5 1 2 AC BC AB AC − = = ，后人把这个数称为黄金分割数，把点 C称为线段 AB的黄金分割点，在△ABC中，若点 P，Q为线段 BC的两个黄金分割点， 设 1 1 2 2= ,AP x AB y AC AQ x AB y AC+ = + ，则 1 1 2 2 x y x y + =（ ） A． 5 1 2 + B．2 C． 5 D． 5 ＋1 【答案】C 【分析】本题主要是根据黄金分割点写出定比分点，然后在△ABC中，将 ,AB AC 作为 基底向量表示 ,AP AQ，根据系数一致可得出 x1，x2，y1，y2的值，即可得出结果． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 【详解】由题意， 5 1 3 5 1 ( ) 2 2 AP AB BP AB BC AB AC AB  − − = + = + − = + −     3 5 3 5 5 1 3 5 1 2 2 2 2 AB AC AB AC  − − − − = − + = +     ， 同理， 5 1 5 1 3 5 5 1 ( ) 2 2 2 2 AQ AB BQ AB BC AB AC AB AB AC − − − − = + = + = + − = + 所以 x1＝y2＝ 5 1 2 − ，x2＝y1＝ 3 5 2 . 所以 1 1 2 2 5 1 3 5 5 3 5 5 1 x y x y − − + = + = − − . 故选：C 【点睛】本题主要考查黄金分割点的知识，定比分点的向量形式，以及向量的数乘和线 性运算．本题有一定的综合性，属中档题． 课后突破训练 1．在 ABC中，已知 D是 AB边上一点，若 2 ,3DA BD CD CA BC= = + ，则 =（ ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 【答案】C 【分析】由 2DA BD= 可得D为线段 AB的三等分点中靠近 B 的点，由向量的加(减)法及 数乘运算可得3 2CD CA BC= − ，即可求得 2 = − . 【详解】解：如图所示： 因为 2DA BD= ， 所以D为线段 AB的三等分点中靠近 B 的点， 所以 2 2 ( ) 3 3 CD CA AD CA AB CA CB CA= + = + = + − = 2 2 1 2 3 3 3 3 CA CA CB CA BC− + = − , 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 所以3 2CD CA BC= − ， 所以 2 = − . 故选：C. 2．如图所示，已知点G 是 ABC的重心，过点G 作直线分别交 AB，AC 两边于M ，N 两点，且 AM xAB= ， AN yAC= ，则2x y+ 的最小值为（ ） A． 3 2 2 3 + B． 4 2 3 C．3 2 2+ D．4 2 【答案】A 【分析】由平面向量的线性运算可得 1 1 1 ( ) 3 AG AM AN x y = + ，由M ，G ，N 三点共线， 知 1 1 3 x y + = ，再根据基本不等式中的“乘 1 法”，即可得解． 【详解】因为点G 是 ABC的重心，且 AM xAB= ， AN yAC= ， 所以 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 3 2 3 AG AB AC AM AN x y =  + = + ， 因为M ，G ，N 三点共线，所以 1 1 1 ( ) 1 3 x y + = ，即 1 1 3 x y + = ， 所以 1 1 1 1 2 1 2 (2 )( ) (2 1) (3 2 2) 3 3 3 x y x y x y x y y x + = + + = + + +  + ， 当且仅当 2x y y x = ，即 2y x= 时，等号成立， 所以2x y+ 的最小值为 3 2 2 3 + ． 故选：A． 3．点 P是 ABC所在平面上一点，若 1 1 2 3 AP AB AC= + ，则 ABP与 ACP△ 的面积之 比是（ ） A． 3 2 B．3 C． 1 3 D． 2 3 【答案】D 【分析】如图，延长 AP 交 BC 于点D，设 AD AP= ，则 2 3 AD AB AC   = + ，根据平面 向量共线定理得推理求出，从而可确定 ,D P的位置，即可得出答案. 【详解】如图，延长 AP 交BC 于点D， 设 AD AP= ，则 2 3 AD AB AC   = + ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 因为 , ,B C D共线， 所以 1 2 3   + = ，解得 6 5  = ， 所以 5 6 AP AD= ， 3 2 5 5 AD AB AC= + ， 则 5 5 , 6 6 ABP ABD ACP ACDS S S S= = ， 由 3 2 5 5 AD AB AC= + ， 得 ( ) ( ) 3 2 5 5 AD AB AC AD− = − ，即 3 2 5 5 BD DC= ， 所以 2 3 BD CD = ， 所以 2 3 ABD ACD S S = ， 所以 5 26 5 3 6 ABD ABP ACP ACD S S S S = = . 故选：D. 4．如图，在△ABC中，点 P满足 3BP PC= ，过点 P的直线与 AB、AC所在的直线分别 交于点M、N，若 AM AB= ， ( )0, 0AN AC  =   ，则 3 + 的最小值为（ ） A．3 B．12 C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据 3BP PC= 和向量的线性运算可得 1 3 1 4 4  + = ，再利用“1”的代换结合基本 不等式可求 3 + 的最小值. 【详解】连接 AP ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 因为 3BP PC= ，故 ( )3AP AB AC AP− = − ，故 1 3 4 4 AP AB AC= + ， 故 1 3 4 4 AP AM AN   = + ， 而 , ,P M N 三点共线，故 1 3 1 4 4  + = ， 故 ( ) 1 3 5 3 4 4 4 3 2 4 3              + = + +         + = + ， 当且仅当 1 = = 时等号成立， 故 3 + 的最小值为 4， 故选：C 5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”， 它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若 DA m= ，DC n= ， 2 3 AF AE= ，则DE =（ ） A． 6 4 13 13 m n+ B． 4 6 13 13 m n+ C． 6 9 13 13 m n+ D． 9 6 13 13 m n+ 【答案】B 【分析】由已知可得出 2 3 DE FB= ，利用平面向量的线性运算得出 13 2 4 9 3 9 DE AB AD= − ， 再结合平面的基本定理可得结果. 【详解】由题意得 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 3 3 3 3 3 9 DE FB AB AF AB AE AB AD DE= = − = −  = − + ， 所以 13 2 4 9 3 9 DE AB AD= − ，即 6 4 4 6 13 13 13 13 DE DC DA m n= + = + ， 故选：B． 6．（多选）设O、A 、B 是平面上任意三点，定义向量的运算： ( )det ,OA OB OA OB=  ， 其中OA由向量OA以点O为旋转中心逆时针旋转直角得到（若OA为零向量，规定OA 也是零向量）.对平面向量a 、b 、 c ，下列说法正确的是（ ） A． ( ) ( )det , det ,a b b a= 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 B．对任意 R ， ( ) ( )det , det ,a b b a b+ = C．若a 、b 为不共线向量，满足 ( ),yb c xa yx + = R ，则 ( ) ( ) det , det , a c x a b = ， ( ) ( ) det , det ,b y c b a = D． ( ) ( ) ( )det , det , det , 0a b c b c a c a b+ + = 【答案】BD 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断 A 选项；利用 A 选项中的结论结合题 中定义可判断 B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断 C 选项；对a 、b 是否共 线进行分类讨论，结合题中定义可判断 D 选项. 【详解】设向量a 、b 在平面直角坐标系中的坐标分别为 ( )1 2,a a a= ， ( )1 2,b b b= ， 设 ( )cos , sina r r = ，则 ( ) ( )2 1 π π cos , sin sin , cos , 2 2 a r r r r a a          = + + = − = −          ， 同理可得 ( )2 1,b b b = − ， 所以， ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 1 2det , , ,a b a b a a b b a b a b=  = −  = − + ， ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2 2 1det , , ,b a b a b b a a a b a b=  = −  = − + ，则 ( ) ( )det , det ,a b b a ，A 错； 对任意的 R ，由 A 选项可知， 0b b = ， 当 a 、b 不共线时， ( ) 1 2 2 1det , 0a b a b a b= −  ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )det , det , det , det ,a b b b a b b a b b a b a a b   + = − + = −  + = −  = − = ，B 对； 因为 xa yb c+ = ，所以， c b xa b yb b xa b    =  +  =  ， 所以， ( ) ( ) ( ) ( ) det , det , det , det , b c c bc b x a b b a a b  = = =  ，同理可得 ( ) ( ) ( ) ( ) det , det , det , det , c a a c y b a a b = = ，C 错； 当 a 、b 不共线时，由 C 选项可知， ( ) ( ) ( ) ( ) det , det , det , det , c b a c c a b a b a b = + ， 所以， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )det , det , det , det , det ,a b c c b a a c b b c a c a b= + = − − ， 所以， ( ) ( ) ( )det , det , det , 0a b c b c a c a b+ + = . 任取两个向量m 、 n ，对任意的实数 p ， ( ) ( ) ( )det , det ,m pn m pn p m n p m n =  =  = ， 当 a 、b 共线时，设存在 kR 使得b ka= ，且 ( )det , 0a b = ， 所以， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )det , det , det , det , det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b+ + =  + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 ( ) ( ) ( ) ( )det , det , det , det , 0k b c a k c b a k b c a k b c a= + = − = ， 综上所述， ( ) ( ) ( )det , det , det , 0a b c b c a c a b+ + = ，D 对. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的 含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可. 7．设向量 ( )2 22, cos , , sin 2 a b         = + − = +    ,其中 , ,   R .若 2a b= ,则   的最小 值为________. 【答案】 6− 【解析】根据向量关系建立等式，求出 1 2 4 u  ，即可求得   的最小值. 【详解】由题：向量 ( )2 22, cos , , sin 2 a b         = + − = +    ,其中 , ,   R， 若 2a b= ,即 2 22 2 , cos 2sin     + = − = + ( )   22 2 2cos 2sin sin 2sin 1 sin 1 2 2,2      − − = − − = − −  −= − ， 所以 ( ) 2 2 2 22u− − −  即 2 2 4 9 4 2 4 9 4 2 u u u u  − +   − +  − ，解得： 1 2 4 u  ， 2 2 2 2 u u    − = = − ， 当 1 4 u = 时，   取得最小值 6− . 故答案为： 6− 【点睛】此题考查根据向量的线性关系求解参数的范围，熟练掌握基本运算，涉及转化 与化归思想. 8．如图，在平行四边形 ABCD中，E，F 分别为边 AB，BC 的中点，连接CE，DF ， 交于点G ，若CG CD CB = + （， R ），则   = __________． 【答案】 1 2 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可. 【详解】根据平行线分线段成比例可得 1 22 , 1 1 1 5 2 2 4 CG CE = = + + 而 1 2 1 2 , , 2 5 5 5 CE CD CB CG CE CD CB= + = = + 故 1 15 . 2 2 5   = = 即答案为 1 2 . 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题. 9．已知 ,a b是两个非零向量，且 | | 2a = ， 2 2a b+ = ，则 | |a b b+ + 的最大值为_____． 【答案】2 2 【分析】构造 =a b m b n+ = ， ，从而可知m n⊥ ，于是 | |a b b+ + 的最大值可以利用基本 不等式得到答案. 【详解】由题意，令 =a b m b n+ = ， ，所以 | | | | 2m n a− = = ， | | | 2 | 2m n a b+ = + = ，所以 | | | |m n m n− = + ，所以m n⊥ ，所以 ( )2 2| | | | | | 2 | | | | 2 2a b b m n m n+ + = +  + = ，当且 仅当 | | | | 2m n= = ，且m n⊥ 时取等号.故答案为2 2 . 【点睛】本题主要考查平面向量的几何意义，模，基本不等式等知识，考查学生的运算 求解能力，难度较大. 10．向量集合 ( ) , , ,S a a x y x y R= =  ,对于任意 , S  ,以及任意 ( )0,1 ,都有 ( )1 S  + −  ,则称S为“C 类集”,现有四个命题: ①若S为“C 类集”,则集合  ,M a a S R =   也是“C 类集”; ②若S ,T 都是“C 类集”,则集合  ,M a b a S b T= +   也是“C 类集”; ③若 1 2,A A 都是“C 类集”,则 1 2A A 也是“C 类集”; ④若 1 2,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则 1 2A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号) 【答案】①②④ 【解析】因为集合 ( ) , , ,S a a x y x y R= =  ,对于任意 , S  ,且任意 ( )0,1 ,都有 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 ( )1 S  + −  ,可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S中的向量所表示的点的连线段 上所表示的点都在S上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案. 【详解】 集合 ( ) , , ,S a a x y x y R= =  ,对于任意 , S  , 且任意 ( )0,1 ,都有 ( )1 S  + −  可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S中的向量所表示的点的连线段上所表示的点 都在S上,因此可以理解它的图象成直线 对于①,  ,M a a S R =   ,向量a 整体倍,还是表示的是直线,故①正确; 对于②,因为S ,T 都是“C 类集”,故  ,M a b a S b T= +   还是表示的是直线,故②正确; 对于③,因为 1 2,A A 都是“C 类集”,可得 1 2A A 是表示两条直线,故③错误; 对于④, 1 2,A A 都是“C 类集”,且交集非空,可得 1 2A A 表示一个点或者两直线共线时还是 一条直线. 综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识 求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 11．已知 ABC中，点 E，F分别在边 AB，AC上，且满足 ,AE mEB AF nFC= = ，连接 BF，CE，交点为 P. (1)当点 P为 ABC的重心时，求 m，n的值； (2)当 3, 4m n= = 时，证明： 3 1 8 2 AP AB AC= + ． 【答案】(1) 1m n= = (2)证明见解析 【分析】（1）当点 P为 ABC的重心时，点 E，F分别为边 AB，AC的中点，从而即可 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 求解； （2）由 B，P，F三点共线，可得存在实数，使得 ( ) ( ) 4 1 1 5 AP AB AF AB AC   = + − = + − ，同理由 E，P，C三点共线，可得存在实数 ，使得 ( ) ( ) 3 1 1 4 AP AE AC AB AC   = + − = + − ，然后根据平面向量基本定理建 立方程组，求解方程组即可得答案. （1） 解：当点 P为 ABC的重心时，点 E，F分别为边 AB，AC的中点，所以 1m n= = ； （2） 证明：当 3, 4m n= = 时， 因为 B，P，F三点共线，所以存在实数，使得 ( ) ( ) 4 1 1 5 AP AB AF AB AC   = + − = + − ， 同理由 E，P，C三点共线，可得存在实数，使得 ( ) ( ) 3 1 1 4 AP AE AC AB AC   = + − = + − ， 因为 ,AB AC 不共线，所以 ( ) 3 4 4 1 1 5      =   − = −  ，解得 3 8 1 2    =   =  ， 所以 3 1 8 2 AP AB AC= + ． 12．如图所示，在 ABO中， 1 = 3 OC OA， 1 2 OD OB= ，AD与 BC相交于点M．设OA a= ， OB b= ． （1）试用向量a ，b 表示OM ； （2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设OE OA= ，OF OB= ， 其中 , R  ．当 EF与 AD重合时， 1 = ， 1 2  = ，此时 1 2 + 5   = ；当 EF与 BC重合 时， 1 3  = ， 1 = ，此时 1 2 5   + = ；能否由此得出一般结论：不论 E，F在线段 AC， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 BD上如何变动，等式 1 2 5   + = 恒成立，请说明理由． 【答案】（1） 1 2 5 5 OM a b= + ；（2）能得出结论，理由详见解析. 【解析】（1）设 AM MD= ，CM MB= ，可得 ( ) 1 1 2 1 OM a b    = + + + ， ( ) 1 3 1 1 OM a b    = + + + ，联立可解得 1 5 m = ， 2 5 n = ； （2）设EM MF= ，可得 1 OE OF OM   + = + ，又OE OA= ，OF OB= ，故 1 1 OM a b     = + + + ，即 1 2 5 5 1 1 a b a b     + = + + + ，即得解 【详解】（1）设 ( )R, ROM ma nb m n= +   ，由 A，D，B三点共线， 可知存在 （ R ，且 1a  − ）使得 AM MD= ， 则 ( )OM OA OD OM− = − ，又 1 2 OD OB= ， 所以 ( ) 1 1 2 1 OM a b    = + + + ， ∴ ( ) 1 1 2 1 m n     = +   = + ，即 2 1m n+ = ①， 由 B，C，M三点共线， 可知存在 （ R  ，且 1  − ）使得CM MB= ， 则 ( )OM OC OB OM− = − ，又 1 3 OC OA= ， 所以 ( ) 1 3 1 1 OM a b    = + + + ， ∴ ( ) 1 4 1 1 m n     = +   =  + 即3 1m n+ = ② 由①②得 1 5 m = ， 2 5 n = ，故 1 2 5 5 OM a b= + ． （2）能得出结论． 理由：由于 E，M，F三点共线， 则存在实数 （ R  ，且 1  − ），使得EM MF= ， 于是 1 OE OF OM   + = + ， 又OE OA= ，OF OB= ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 所以 1 1 1 OA OB OM a b        + = = + + + + ， 所以 1 2 5 5 1 1 a b a b     + = + + + ， 从而 1 5 1 2 5 1      = +   =  + ，所以消去 得 1 2 5   + = ． 【点睛】本题考查了向量的线性运算综合问题，考查了向量共线基本定理的应用，考查 了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 17 平面向量基本定理及线性运算重难点专题 常考结论及公式 结论一：多个向量和的计算 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量 的终点的向量，即 1 2 2 3 1 1n n nA A A A A A A A−+ + + = .特别地，一个封闭图形首尾连接而 成的向量和为零向量. 结论二：中点公式的向量形式 （1）若P为线段 AB 的中点，O为平面内任一点，则 ( ) 1 2 OP OA OB= + . （2）已知点P为线段 AB 的中点，若 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则P 的坐标为 1 2 1 2, 2 2 x x y y+ +      . 结论三：与共线向量定理有关的结论 （1）已知OA OB OC = + （ , 为实数），若点 , ,A B C三点共线，则 1 + = . （2）若 1e 与 2e 不共线，且 2 2 0e e + = ，则 0 = = . 结论四：三角形中的重心结论 已知 ABC 的顶点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 3 3( , )C x y ，则 ABC 的重心G 的坐标 为 1 2 3 1 2 3, 3 3 x x x y y y+ + + +      ，且有 0GA GB GC+ + = 成立. 结论五：单位向量的求法 与向量a 同向的单位向量可表示为： | | a a . 题型一 平面向量数乘运算的性质运用 【例 1】设 , , ,A B C D是平面直角坐标系中不同的四点，若 ( ),AC AB R =  ( ),AD AB R =  且 1 1 2   + = ，则称 ,C D是关于 ,A B的“好点对”．已知 ,M N 是关于 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 ,A B的“好点对”, 则下面说法正确的是（ ） A．M 可能是线段 AB的中点 B． ,M N 可能同时在线段BA延长线上 C． ,M N 可能同时在线段 AB上 D． ,M N 不可能同时在线段 AB的延长线上 【跟踪训练 1】（多选）设点M 是 ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若 1 1 2 2 AM AB AC= + ，则点M 是边BC 的中点 B．若 2AM AB AC= − ，则点M 在边BC 的延长线上 C．若 AM BM CM= − − ，则点M 是 ABC的重心 D．若 AM xAB y AC= + ，且 1 2 x y+ = ，则 MBC的面积是的 ABC面积的 1 2 题型二 平面向量共线定理的运用 【例 2】若a 和b 是两个不共线的非零向量，a 和b 起点相同，且a ，tb ， 1 ( ) 3 a b+ 三个 向量的终点在同一条直线上．则 t 的值是（ ） A． 1 3 B． 1 2 C．1 D．2 【跟踪训练 2】已知 O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 D 满足： AB AC OD OA AB AC     = + +     ，则点 D一定在 ABC的______线所在直线上． 题型三 平面向量的线性运算的基本考查 【例 3】在平面四边形 ABCD中，已知 ABC的面积是 ACD的面积 的 3 倍.若存在正实数 ,x y使得 1 1 3 1AC AB AD x y    = − + −       成立，则 3 1 x y + 的值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 3】已知平面上四点O A B C、 、 、 ，若 1 2 3 3 OB OA OC= + ，则 _________． 题型四 平面向量线性运算与基本不等式的交叉综合问题 【例 4】如图，在△ABC中，M为线段 BC的中点，G为线段 AM上一点且 2AG GM= ， 过点 G的直线分别交直线 AB、AC于 P、Q两点， ( 0)AB xAP x=  ， ( 0AC y AQ y=  ）， 则 1 1 1x y + + 的最小值为（ ） A． 3 4 B．1 C． 4 3 D．4 【跟踪训练 4】若点G 是 ABC所在平面上一点，且 0,AG BG CG H → + + = 是直线BG 上 一点， AH xAB= + y AC ，则 2 24x y+ 的最小值是（ ）． A．2 B．1 C． 1 2 D． 1 4 题型五 新定义问题 【例 5】定义域为 ,a b 的函数 ( )y f x= 的图象的两个端点为A ､ B ， ( ),M x y 是 ( )f x 的 图象上任意一点，其中 ( )1x a b = + − ，(  0,1 )，向量 ( )1ON OA OB = + − ，若不 等式 MN k 恒成立，则称函数 ( )f x 在 ,a b 上“ k 阶线性近似”.若函数 1 y x x = − 在  1,2 上“ k 阶线性近似”，则实数 k 的取值范围为（ ） A． 3 2, 2   − +   B． 3 2, 2   + +   C． )0, + D． )1,+ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 5】已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义非零向量 ( , )OM a b= 的“相伴函数”为 sin cos ( )y a x b x x= + R ，向量 ( , )OM a b= 称为函数 sin cos ( )y a x b x x= + R 的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合 为S (1)已知 R ， ( ) cos( ) 2cosh x x x= + + ，若函数 ( )h x 为集合S中的元素，求其“相 伴向量”的模的取值范围； (2)已知点 ( , )M a b 满足条件： 3a = ，0 3b  ，若向量OM 的“相伴函数” ( )y g x= 在 0x x= 处取得最大值，当b 在区间 (0, 3]变化时，求 0tan2x 的取值范围； (3)当向量 ( 3,1)OM = 时，“相伴函数”为 ( )f x ，若 11 0, 6 x       ，方程 2 ( ) (2 ) ( ) 3 0f x a f x a+ − + − = 存在 4 个不相等的实数根，求实数a 的取值范围. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型六 平面向量基本定理有关的数学文化问题 【例 6】黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比 例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618，就像圆周率在应 用时取3.14一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名 画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴 弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形 ( tan )Golden Rec gle 的长宽之比为黄金 分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美 感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个 很好的例子，达 芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也 符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000 多 年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金 分割.所谓黄金分割，指的是把长为 L的线段分为两部分，使其中 一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割 比为 5 1 0.618. 2 −  其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有 古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形 ABCD中， AC ，BD相交于 点O，BF AC⊥ ，DH AC⊥ ，AE BD⊥ ，CG BD⊥ ， 5 1 2 BE BO − = ，则BF =（ ） A． 3 5 5 5 2 10 BA BG − + + B． 3 5 5 5 2 10 BA BG − − + C． 5 1 5 5 2 10 BA BG − − + D． 3 5 5 2 5 BA BG − + 【跟踪训练 6】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中 末比”问题：将一线段 AB分为两线段 AC，CB，合得其中较长的一段 AC是全长与另一 段 CB的比例中项，即满足 5 1 2 AC BC AB AC − = = ，后人把这个数称为黄金分割数，把点 C称为线段 AB的黄金分割点，在△ABC中，若点 P，Q为线段 BC的两个黄金分割点， 设 1 1 2 2= ,AP x AB y AC AQ x AB y AC+ = + ，则 1 1 2 2 x y x y + =（ ） A． 5 1 2 + B．2 C． 5 D． 5 ＋1 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 课后突破训练 1．在 ABC中，已知 D是 AB边上一点，若 2 ,3DA BD CD CA BC= = + ，则 =（ ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 2．如图所示，已知点G 是 ABC的重心，过点G 作直线分别交 AB，AC 两边于M ，N 两点，且 AM xAB= ， AN yAC= ，则2x y+ 的最小值为（ ） A． 3 2 2 3 + B． 4 2 3 C．3 2 2+ D．4 2 3．点 P是 ABC所在平面上一点，若 1 1 2 3 AP AB AC= + ，则 ABP与 ACP△ 的面积之 比是（ ） A． 3 2 B．3 C． 1 3 D． 2 3 4．如图，在△ABC中，点 P满足 3BP PC= ，过点 P的直线与 AB、 AC所在的直线分别交于点 M、N，若 AM AB= ， ( )0, 0AN AC  =   ，则 3 + 的最小值为（ ） A．3 B．12 C．4 D．16 5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称 为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个 大正方形，如图所示，若DA m= ，DC n= ， 2 3 AF AE= ，则DE =（ ） A． 6 4 13 13 m n+ B． 4 6 13 13 m n+ C． 6 9 13 13 m n+ D． 9 6 13 13 m n+ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 6．（多选）设O、A 、B 是平面上任意三点，定义向量的运算： ( )det ,OA OB OA OB=  ， 其中OA由向量OA以点O为旋转中心逆时针旋转直角得到（若OA为零向量，规定OA 也是零向量）.对平面向量a 、b 、 c ，下列说法正确的是（ ） A． ( ) ( )det , det ,a b b a= B．对任意 R ， ( ) ( )det , det ,a b b a b+ = C．若a 、b 为不共线向量，满足 ( ),yb c xa yx + = R ，则 ( ) ( ) det , det , a c x a b = ， ( ) ( ) det , det ,b y c b a = D． ( ) ( ) ( )det , det , det , 0a b c b c a c a b+ + = 7．设向量 ( )2 22, cos , , sin 2 a b         = + − = +    ,其中 , ,   R .若 2a b= ,则   的最小 值为________. 8．如图，在平行四边形 ABCD中，E，F 分别为边 AB，BC 的中点，连接CE，DF ，交于点G ，若CG CD CB = + （， R ），则   = __________． 9．已知 ,a b是两个非零向量，且 | | 2a = ， 2 2a b+ = ，则 | |a b b+ + 的最大值为_____． 10．向量集合 ( ) , , ,S a a x y x y R= =  ,对于任意 , S  ,以及任意 ( )0,1 ,都有 ( )1 S  + −  ,则称S为“C 类集”,现有四个命题: ①若S为“C 类集”,则集合  ,M a a S R =   也是“C 类集”; ②若S ,T 都是“C 类集”,则集合  ,M a b a S b T= +   也是“C 类集”; ③若 1 2,A A 都是“C 类集”,则 1 2A A 也是“C 类集”; ④若 1 2,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则 1 2A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号) 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 11．已知 ABC中，点 E，F分别在边 AB，AC上，且满足 ,AE mEB AF nFC= = ，连接 BF，CE，交点为 P. (1)当点 P为 ABC的重心时，求 m，n的值； (2)当 3, 4m n= = 时，证明： 3 1 8 2 AP AB AC= + ． 12．如图所示，在 ABO中， 1 = 3 OC OA， 1 2 OD OB= ，AD与 BC相交于点M．设OA a= ，OB b= ． （1）试用向量a ，b 表示OM ； （2）在线段 AC上取点 E，在线段 BD上取点 F，使 EF过点 M．设OE OA= ，OF OB= ，其中 , R  ．当 EF与 AD重合时， 1 = ， 1 2  = ，此 时 1 2 + 5   = ；当 EF与 BC重合时， 1 3  = ， 1 = ，此时 1 2 5   + = ；能否由此得出一般 结论：不论 E，F在线段 AC，BD上如何变动，等式 1 2 5   + = 恒成立，请说明理由．