16 三角恒等变换重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 16 三角恒等变换重难点专题 常考结论及公式 结论一：降幂公式 2 1 cos 2sin 2   − = ， 2 1 cos 2 cos 2   + = ， sin 2 sin cos 2    = . 结论二：升幂公式 21 sin (sin cos ) 2 2   + = + ， 21 sin (sin cos ) 2 2   − = − 21 cos 2sin 2  − = ， 21 cos 2cos 2  + = . 结论三：积化和差公式 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2      = + + − , 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2      = + − − , 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2      = + + − , 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2      = − + − − . 结论四：和差化积公式 sin sin 2sin cos 2 2       + − + = , sin sin 2cos sin 2 2       + − − = , cos cos 2cos cos 2 2       + − + = , cos cos 2sin sin 2 2       + − − = − . 结论五：万能代换公式 2 2 tan sin 2 1 tan    = + ， 2 2 1 tan cos 2 1 tan    − = + ， 2 2 tan tan 2 1 tan    = − . 结论六：辅助角公式 2 2sin cos sin( )a b a b   + = + + ，其中角为辅助角，且点 ( , )a b 为角终 边上一点，故有 tan b a  = 成立. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 题型一 三角恒等变换的化简 【例 1】求下列各式的值： (1) 2 3 4 cos cos cos cos 9 9 9 9     ； (2) 2 1sin 35 2 cos10 cos80 −   ； (3) ( )sin50 1 3 tan10 +  . 【跟踪训练 1】 ( )( ) ( )( )1 tan1 1 tan 2 1 tan 44 1 tan 45+  +  +  +  =__________． 题型二 给角求值型问题 【例 2】 π 2 cos cos π= 5 5 （ ） A．4 B． 1 4 C．2 D． 1 2 【跟踪训练 2】计算（1） 2 3 tan12 3 sin12 (4cos 12 2) − − ； （2） cos 40 sin50 (1 3 tan10 ) . sin 70 1 cos 40 + + + 题型三 给值求值型问题 【例 3】已知函数 ( ) 2 2 1 cos 1 sin sin cos 1 cos 1 sin x x f x x x x x − − = + + + ， π ,0 4 x    −    (1)化简 ( )f x ； (2)若 π ,0 4     −    ， ( ) 2 3 3 f  = ，求 4 4sin cos + 的值． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 3】已知0 2     ，函数 ( ) 5sin 6 f x x   −  =   ，若 ( ) ( ) 1f f = = ，则 ( )cos  − =（ ） A． 23 25 B． 23 25 − C． 3 5 D． 3 5 题型四 给值求角型问题 【例 4】已知 π π 4   ， 3π π 2   ， 4 sin 2 5  = ， ( ) 2 cos 10  + = − ，则 − =（ ） A． 3 π 4 B． π 4 C． 5 π 4 D． π 2 【跟踪训练 4】已知 ( ) 1 tan 2  − = ， 1 tan 7  = − ，且 ， (0, )  ，则2 − =（ ） A． 3 4  − B． 4  C． 3 4  D． 4  − 题型五 在三角形背景下的三角恒等变换的应用问题 【例 5】已知 ABC，角 , ,A B C所对应的边分别为 , ,a b c，且sin sin cos cosA B A B+ = + ， 则 ABC是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【跟踪训练 5】已知 ABC，则“sin cos 1A A+  ”是“ ABC是钝角三角形”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型六 利用三角恒等变换证明恒等式 【例 6】证明三角恒等式： ( )4 2 4 2 3 2sin sin 2 5cos cos3 cos 2 1 cos 4 x x x x x x+ + − = + ． 【跟踪训练 6】求证： ( )2 2 tan tan 2 3 sin cos 2sin 2 tan 2 tan 3            + − = −  −   ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型七 与三角恒等变换结合的最值与范围问题 【例 7】已知 2 23 2 1x xy y− + = ( ), Rx y ，则 2 2x y+ 的最小值为（ ） A． 10 6− B． 10 6+ C．2 10 6+ D．2 10 6− 【跟踪训练 7】若函数 ( ) cos sinf x a b x c x= + + 的图象经过点 ( )0,1 和 π , 4 a   −    ，且 当 π 0, 2 x        时， ( ) 2f x  恒成立，则实数 a的取值范围是______. 题型八 与辅助角公式结合的综合问题 【例 8】（多选）已知函数 ( ) cos 2 3 sin 2f x x x= + ，则（ ） A． ( )f x 的最小正周期为 π 2 B． ( )f x 的图象关于直线 ( ) π Z 2 k x k=  对称 C． ( )f x 在 19π 11π , 12 6       上单调递增 D． ( ) ( ) 1g x f x= − 在 505π,505π− 上的零点个数是 4041 【跟踪训练 8】（多选）已知函数 ( ) ( )sin 3cos 0f x x x  = −  在 0,2 上恰有 3 个 零点，则（ ） A． 7 5 6 3   B． ( )f x 在 5 11 , 7 10        上单调递减 C．函数 ( ) ( ) 2g x f x= − 在 , 2 2         上最多有 3 个零点 D． ( )f x 在 , 2 2         上恰有 2 个极值点 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 课后突破训练 1．已知 2 6 sin 7  = ， ( ) 10 cos 5  − = ，且 3 0 4    ， 3 0 4    ，则sin =（ ） A． 9 15 35 B． 11 10 35 C． 15 35 D． 10 35 2．已知 ,0 , 2 2 m R     −      ,如果有 3 3 sin 0, cos 0 2 m m        + + = − + + =    , 则cos( ) + 的值为（ ） A． 1− B．0 C．0.5 D．1 3．若 5 sin 2 5  = ， ( ) 10 sin 10  − = ，且 π ,π 4        ， 3 π, π 2        ，则 + =（ ） A． 7π 4 B． π 4 C． 4π 3 D． 5π 3 4．在 ABC中，已知 2sin sin cos 2 A B C = ，则 ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 5．已知a ，b ， ，R，满足sin cos a + = ，cos sin b + = ， 2 20 4a b +  ， 有以下2个结论： ①存在常数 a ，对任意的实数bR，使得 ( )sin  + 的值是一个常数； ②存在常数b ，对任意的实数 aR ，使得 ( )cos  − 的值是一个常数. 下列说法正确的是（ ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 6．（多选）已知实数 x，y满足2 1x y+ = ，记 2 2 2 2 7 2 3 2 2 x y z x x y − = − + ，则 z的值可能是（ ） A．0 B． 2 2 C． 7 2 10 D．1 7．（多选）函数 ( ) sin cos ,( 0)f x a x b x ab= +  的图像关于 π 6 x = 对称，且 ( )0 8 5 f x a= ， 则（ ） A． 3b a= B． 0 π 4 cos 6 5 x   − =    C． 0 π 24 cos 2 3 25 x   − =    D． 0 π 7 sin 2 6 25 x   + =    8．若sin sin3 sin5x x x a+ + = ，cos cos3 cos5x x x b+ + = ，则 tan3x = ______结果用a ，b 表示. 9．设函数 ( ) sin( )f x x = + ，其中 0,| | 2     ，若 2 cos cos sin sin 0 3 3    − = 且图象 的两条对称轴间的最近距离是 2  ．若 , ,A B C是 ABC的三个内角，且 ( ) 1f A = − ，则 sin sinB C+ 的取值范围为__________． 10．求函数 3 3 2 sin 3 sin cos3 cos sin 2 cos 2 x x x x y x x + = + 的最小值. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 11．已知函数 2( ) 6sin cos 6 3 cos 3 3f x x x x= − + ． (1)求 ( )f x 的单调递增区间； (2)将 ( )f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标保持不变，再把所得的图象向 左平移 4  个单位长度，得到函数 ( )g x 的图象，求 ( )g x 在 , 12 24    −    上的值域． 12．如图，圆心角为 3  的扇形 AOB的半径为 2，点 C是弧 AB上一点，作这个扇形的内 接矩形CDEF ． (1)求扇形 AOB的周长； (2)当点 C在什么位置时，矩形CDEF 的面积最大？并求出面积的最大值． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 16 三角恒等变换重难点专题 常考结论及公式 结论一：降幂公式 2 1 cos 2sin 2   − = ， 2 1 cos 2 cos 2   + = ， sin 2 sin cos 2    = . 结论二：升幂公式 21 sin (sin cos ) 2 2   + = + ， 21 sin (sin cos ) 2 2   − = − 21 cos 2sin 2  − = ， 21 cos 2cos 2  + = . 结论三：积化和差公式 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2      = + + − , 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2      = + − − , 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2      = + + − , 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2      = − + − − . 结论四：和差化积公式 sin sin 2sin cos 2 2       + − + = , sin sin 2cos sin 2 2       + − − = , cos cos 2cos cos 2 2       + − + = , cos cos 2sin sin 2 2       + − − = − . 结论五：万能代换公式 2 2 tan sin 2 1 tan    = + ， 2 2 1 tan cos 2 1 tan    − = + ， 2 2 tan tan 2 1 tan    = − . 结论六：辅助角公式 2 2sin cos sin( )a b a b   + = + + ，其中角为辅助角，且点 ( , )a b 为角终 边上一点，故有 tan b a  = 成立. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 题型一 三角恒等变换的化简 【例 1】求下列各式的值： (1) 2 3 4 cos cos cos cos 9 9 9 9     ； (2) 2 1sin 35 2 cos10 cos80 −   ； (3) ( )sin50 1 3 tan10 +  . 【答案】(1) 1 16 (2) 1− (3)1 【分析】（1）先注意到 3 1 cos cos 9 3 2   = = ，再将式子乘以 8sin 9 8sin 9   ，利用倍角公式与诱导 公式可以化简得解； （2）本题逆用倍角公式与诱导公式即可求解； （3）先利用商数关系得到 sin10 tan10 cos10   =  ，再逆用余弦的和差公式化简得 2sin50 cos50 cos10    ，再用倍角公式与诱导公式化简得解. （1） 2 3 4 1 2 4 cos cos cos cos cos cos cos 9 9 9 9 2 9 9 9        = 2 4 2 2 4 8sin cos cos cos 4sin cos cos 1 19 9 9 9 9 9 9 2 2 8sin 8sin 9 9          =  =  4 4 8 sin2sin cos sin sin 1 1 1 1 199 9 9 9 2 2 2 2 16 8sin 8sin 8sin 8sin 9 9 9 9           −   =  =  =  =  = . （2） ( ) ( ) 2 21 1sin 35 2sin 35 1 2 2 cos10 cos80 cos10 cos 90 80 − − =     −  ( )2 1 1 2sin 35 2 cos10 sin10 − −  =   ( )cos 70 20cos70 sin 20 1 2cos10 sin10 sin 20 sin 20 − − −  −  = = = = −     （3） ( ) sin10sin50 1 3 tan10 sin50 1 3 cos10    +  =  +    1 3 2 cos10 sin10 2 2cos10 3 sin10 sin 50 sin 50 cos10 cos10   +   +   =  =    ( )2cos 60 10 2sin 50 cos50 sin 50 cos10 cos10  −    =  =   重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 ( )sin 90 10sin100 cos10 1 cos10 cos10 cos10  +   = = = =    【跟踪训练 1】 ( )( ) ( )( )1 tan1 1 tan 2 1 tan 44 1 tan 45+  +  +  +  =__________． 【答案】 232 【解析】由正切的和角公式得若 = π 4  + ，则 ( )( )1 tan 1 tan 2 + + = ，再根据此结论求 解即可得答案. 【详解】解：∵ = π 4  + ， ( ) tan tan tan 1 1 tan tan       + + = = −  ， ∴ tan tan tan tan 1   + + = ， ∴ ( )( )1 tan 1 tan 2 + + = ． ∴ ( )( ) ( )( )1 tan1 1 tan 2 1 tan 44 1 tan 45+  +  +  +  ( )( )( )( ) ( )( )( )1 tan1 1 tan 44 1 tan 2 1 tan 43 1 tan 22 1 tan 23 1 tan 45= +  +  +  +  +  +  +  23 23 2 2 2=2=    个 故答案为： 232 【点睛】本题考查正切的和角公式化简求值，解题的关键在于从题中发现若 = π 4  + ， 则 ( )( )1 tan 1 tan 2 + + = ，是中档题. 题型二 给角求值型问题 【例 2】 π 2 cos cos π= 5 5 （ ） A．4 B． 1 4 C．2 D． 1 2 【答案】B 【解析】采用构造二倍角的正弦公式的方法将原式变形为 π π 2π 2sin cos cos 5 5 5 π 2sin 5 ，再利用 二倍角公式的正弦公式化简求值. 【详解】因为 π π 2π 2sin cos cos π 2 5 5 5cos cos π= π5 5 2sin 5 2 2 sin πcos π 5 5 π 2sin 5 = 2 2 2sin πcos π 5 5 π 4sin 5 = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 4 sin π 5 π 4sin 5 = ， 所以 π 2 1 cos cos π 5 5 4 = . 故选：B. 【点睛】本题考查利用二倍角的正弦公式进行化简求值，对学生转化与计算能力要求较 高，难度一般. 【跟踪训练 2】计算（1） 2 3 tan12 3 sin12 (4cos 12 2) − − ； （2） cos 40 sin50 (1 3 tan10 ) . sin 70 1 cos 40 + + + 【答案】（1） 4 3− （2） 2 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式，即可求得答案（2）由三角函数和差角的 公式和二倍角公式，以及诱导公式逐步化简可得． 【详解】（1） 3 sin12 3cos12 1 sin 48 2    − = 3 sin12 3cos12 1 sin 48 2    − = ( )2 3 sin 12 60 1 sin 48 2    − = 4 3 sin 48 4 3 sin 48   − = = − . （2） cos 40 sin50 (1 3 tan10 ) sin 70 1 cos 40 + + + 2 sin10 cos 40 sin 50 1 3 cos10 sin 70 1 2cos 20 1       + + =  +     −  2 2sin50 cos50 cos 40 cos 40 1cos10 cos 20 2 cos 20 2 cos 20        + + = = 2 2 2cos 20 2 2 cos 20   = = . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式，三角函数的求值，涉及和差角的公式和二倍角公 式，涉及转化思想，等式的恒等变形，属于中档题． 题型三 给值求值型问题 【例 3】已知函数 ( ) 2 2 1 cos 1 sin sin cos 1 cos 1 sin x x f x x x x x − − = + + + ， π ,0 4 x    −    (1)化简 ( )f x ； (2)若 π ,0 4     −    ， ( ) 2 3 3 f  = ，求 4 4sin cos + 的值． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【答案】(1) ( ) cos sinf x x x= − (2) 17 18 【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简 ( )f x 的解析式. （2）利用平方的方法求得正确答案. 【详解】（1） π π ,0 , ,0 4 2 8 x x      −  −        ，cos 0,sin 0, tan 0 2 2 2 x x x    ， π cos sin 0,cos sin 2 sin 2 2 2 2 2 4 x x x x x  −  + = +    ， π π π , 2 4 8 4 x   +     ，所以 π cos sin 2 sin 0 2 2 2 4 x x x  + = +     ， ( ) 2 2 1 cos 1 sin sin cos 1 cos 1 sin x x f x x x x x − − = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2sin cos 2sin cos sin 2 2 2 2 2 sin cos 1 2cos 1 cos 2sin cos sin 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x        − − − +             = +       + − + +            2 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2 2 2 sin cos 2cos cos sin 2 2 2 x x x x x x x x     −       = +     +       2 2 sin cos sin 2 2 2sin cos cos cos sin 2 2 2 x x x x x x x x − = −  +  + 2 2 2 2 cos sinsin 2 22sin cos sin cos cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 x xx x x x x x x x x   −   = −  +     + −      2 2 2 sin 1 sin2sin cos 1 cos sin 2 x x x x x x − = −  +  ( ) 1 cos 2sin cos 1 sin 2 x x x x − = −  +  − cos sinx x= − . （2） π ,0 4     −    ， ( ) 2 3 cos sin 3 f   = − = ， 两边平方得 4 1 1 2sin cos ,sin cos 3 6    − = = − ， ( ) 2 4 4 2 2 2 2sin cos sin cos 2sin cos     + = + −  2 1 1 17 1 2 1 6 18 18   = −  − = − =    . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【跟踪训练 3】已知0 2     ，函数 ( ) 5sin 6 f x x   −  =   ，若 ( ) ( ) 1f f = = ，则 ( )cos  − =（ ） A． 23 25 B． 23 25 − C． 3 5 D． 3 5 【答案】B 【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得 2 6 3     ， 2 7 3 6     ，从而利用 ( )cos cos 6 6            − = − − −          即可求解. 【详解】解：令 ( ) 5sin 0 6 f x x   − =    = ，0 2x   ，则 6 x  = 或 7 6 x  = ， 令 ( ) 5sin 5 6 f x x   − =    = ，0 2x   ，则 2 3 x  = ， 又0 2     ， ( ) ( ) 1f f = = ， 所以 2 6 3     ， 2 7 3 6     ， 1 sin 6 5     − =    ， 1 sin 6 5     − =    ， 因为0 6 2    −  ， 2 6     −  ， 所以 2 6 cos 6 5     − =    ， 2 6 cos 6 5     − = −    ， 所以 ( )cos cos cos cos sin sin 6 6 6 6 6 6                            − = − − − = − − + − −                          2 6 2 6 1 1 23 5 5 5 5 25 −   = −= + ， 故选：B. 题型四 给值求角型问题 【例 4】已知 π π 4   ， 3π π 2   ， 4 sin 2 5  = ， ( ) 2 cos 10  + = − ，则 − =（ ） A． 3 π 4 B． π 4 C． 5 π 4 D． π 2 【答案】A 【分析】求出 − 的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式 求出 ( )sin  − 的值，即可得解. 【详解】因为 π π 4   ，则 π 2 2 2π  ，因为 4 sin 2 5  = ，则 π 2 2 π  ，可得 π π 4 2   ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 因为 3π π 2   ，则 π 5π 2 4   −  ， 5π 2π 4   +  ， 所以， 2 3cos 2 1 sin 2 5  = − − = − ， ( ) ( )2 7 2 sin 1 cos 10    + = − − + = − ， 所以， ( ) ( ) ( ) ( )sin sin 2 sin cos 2 cos sin 2          − = + − = + − +   7 2 3 2 4 2 10 5 10 5 2    = −  − − −  =        ， 所以， 3π 4  − = . 故选：A. 【跟踪训练 4】已知 ( ) 1 tan 2  − = ， 1 tan 7  = − ，且 ， (0, )  ，则2 − =（ ） A． 3 4  − B． 4  C． 3 4  D． 4  − 【答案】A 【分析】利用二倍角的正切公式求出 ( )tan 2  − ，再根据 ( ) ( )tan 2 tan 2    − = − +  结合两角和的正切公式求得 ( )tan 2 − ，根据 ( )tan tan   = − +  求出 tan，从而可得 , 的范围，即可得出2 − 的范围，即 可得解. 【详解】解：因为 ( ) 1 tan 2  − = ， 所以 ( ) ( ) ( )2 2tan 4 tan 2 1 tan 3       − − = = − − ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) tan 2 tan tan 2 tan 2 1 1 tan 2 tan            − + − = − + = =   − −  ， 由 1 tan 7  = − ，所以 , 2          ， 又 ( ) 1 1 12 7tan tan 1 1 3 1 2 7     − = − + = =     −  −    , 所以 0, 4         ， 故 ( )2 ,0  −  − ， 所以 3 2 4   − = − . 故选：A. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 题型五 在三角形背景下的三角恒等变换的应用问题 【例 5】已知 ABC，角 , ,A B C所对应的边分别为 , ,a b c，且sin sin cos cosA B A B+ = + ， 则 ABC是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦、余弦公式化简变形即可推理作答. 【详解】依题意， sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A B A B A B A B A B A B A B A B+ − + − + − + − + + − = + + − ， 则有2sin cos 2cos cos 2 2 2 2 A B A B A B A B+ − + − = ，在 ABC中， π π 2 2 2 A B− −   ，即 cos 0 2 A B−  ， 因此 tan 1 2 A B+ = ，又 π 0 2 2 A B+   ，于是得 π 2 4 A B+ = ，即 π 2 A B+ = ， 所以 ABC是直角三角形. 故选：A 【跟踪训练 5】已知 ABC，则“sin cos 1A A+  ”是“ ABC是钝角三角形”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】在三角形中，由sin cos 1A A+  先利用辅助角公式结合正弦函数性质求得角A 为 钝角成立，反之举反例得出必要性不成立，从而得出结论. 【详解】解： ABC中，0 A   ， sin cos 2 sin( ) 1 4 A A A  + = +  ， 2 sin( ) 4 2 A   +  ， 4 4 4 A     +  + ， 3 4 4 A    +  ， 2 A    ，所以 ABC是钝角三角形，充分性成立； 若 ABC是钝角三角形，角A 不一定是钝角，反例： 6 A  = ,此时 sin cos =sin cos 1 6 6 A A   + +  ，必要性不成立； 故选：A. 题型六 利用三角恒等变换证明恒等式 【例 6】证明三角恒等式： ( )4 2 4 2 3 2sin sin 2 5cos cos3 cos 2 1 cos 4 x x x x x x+ + − = + ． 【答案】证明见详解 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 【分析】左边将 23 sin 2 4 x展开化简，利用三倍角公式化简cos3x ， 可得 4 2 2 4 22sin 3sin cos cos 3cosx x x x x+ + + ，对前三项采用因式分解化简，最终全部转化为 关于余弦的式子即可得证. 【详解】证明： 先证左面： ( ) ( ) ( )2 2cos3 cos 2 cos2 cos sin2 sin 2cos 1 cos 2 1 cos cosx x x x x x x x x x x= + = − = − − − 34cos 3cosx x= − 所以 4 2 2 4 32sin 3sin cos 5cos (4cos 3cos )cosx x x x x x x+ + − − 4 2 2 4 22sin 3sin cos cos 3cosx x x x x= + + + ( )( )2 2 2 2 22sin cos sin cos 3cosx x x x x= + + + 2 2 22sin cos 3cosx x x= + + 22 2cos x= + 左边=右边 即 ( )4 2 4 2 3 2sin sin 2 5cos cos3 cos 2 1 cos 4 x x x x x x+ + − = + ，得证. 【跟踪训练 6】求证： ( )2 2 tan tan 2 3 sin cos 2sin 2 tan 2 tan 3            + − = −  −   ． 【答案】见试题解析. 【详解】试题分析：本题是一道三角函数的证明题，证明方向可以考虑由繁到简.思路 上可以先处理分式部分,化切为弦，分析分母的结构特点，结合两角差的正弦公式约去 分母，得到 sin cosa x b x+ 形式，用辅助角公式得证. 试题解析：证明：左边 sin sin 2 3 cos2 sin 2 cos cos2 sin        = − − sin 2 3 cos 2 = − 2sin 2 3     = − =    右边． 考点：同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正弦公式及二倍角公式. 题型七 与三角恒等变换结合的最值与范围问题 【例 7】已知 2 23 2 1x xy y− + = ( ), Rx y ，则 2 2x y+ 的最小值为（ ） A． 10 6− B． 10 6+ C．2 10 6+ D．2 10 6− 【答案】D 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设 x y t− = ， 1 2x y t − = ( )0t  ，从而表达出 1 1 2 ,x t y t t t = − = − ，结合基本不等式去除最小值； 法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值. 【详解】法一：∵ ( )( )2 23 2 2 1x xy y x y x y− + = − − = ， ∴可设 x y t− = ， 1 2x y t − = ( )0t  ， ∴ 1 1 2 ,x t y t t t = − = − ，代入所求式子得， 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 5 6 2 5 6 2 10 6x y t t t t t t t t     + = − + − = + −   − = −        ， 当且仅当 2 2 2 5t t = ， 2 10 5 t = 时等号成立.所以 2 2x y+ 的最小值为2 10 6− . 法二：设 2 2 2x y t+ = ， cos , sinx t y t = = ， 代入已知等式得， 2 2 2 2 2cos 3 sin cos 2 sin 1t t t   − + = ， ∴ 2 2 2 1 3 1 cos2 cos 3sin cos 2sin 1 sin 2 2 2t       − = − + = − + ( ) ( ) 3 1 3 10 3 10 3sin 2 cos2 sin 2 2 2 2 2 2     + − + = − +  ， 其中 10 sin 10  = ， 3 10 cos 10  = . ∴ 2 2 2 10 6 3 10 t  = − + ，所以 2 2x y+ 的最小值为2 10 6− . 故选：D 【跟踪训练 7】若函数 ( ) cos sinf x a b x c x= + + 的图象经过点 ( )0,1 和 π , 4 a   −    ，且 当 π 0, 2 x        时， ( ) 2f x  恒成立，则实数 a的取值范围是______. 【答案】 0,4 2 2 +  【分析】先根据 ( ) π 0 1, 4 f f a   = − =    将 ,b c转化为a 来表示，由此化简 ( )f x 的解析式， 对 a 进行分类讨论，根据 ( ) 2f x  恒成立列不等式来求得a 的取值范围. 【详解】因为 ( )f x 经过点 ( )0,1 和 π , 4 a   −    ，所以 (0) 1f a b= + = ， π 2 2 4 2 2 f a b c a   − = + − =    ，可得 1b c a= = − ，故 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 π ( ) (1 )cos (1 )sin (1 )(sin cos ) 2(1 )sin 4 f x a a x a x a a x x a a x   = + − + − = + − + = + − +    . 因为 π 0 2 x  ，所以 π π 3π 4 4 4 x +  ，所以 2 π sin 1 2 4 x    +     ， 当 1a  时，1 0a−  ，可得 π 1 2(1 )sin 2(1 ) 4 a a x a   −  − +  −    ， 所以1 ( ) 2(1 )f x a a  − + ，要使 2 ( ) 2f x−   恒成立， 只要 2(1 ) 2a a− +  ，即 0a  ，又 1a  ，从而0 1a  ； 当 1a = 时， ( ) 1 [ 2, 2]f x =  − ； 当 1a  时，1 0a−  ，所以 π 1 2(1 )sin 2(1 ) 4 a a x a   −  − +  −    ， 所以1 ( ) 2(1 )f x a a  − + ，要使 2 ( ) 2f x−   恒成立， 只要 2(1 ) 2a a− +  − ，解得 4 2 2a  + ，又 1a  ，从而1 4 2 2a  + . 综上所述，a的取值范围为0 4 2 2a  + . 故答案为： 0,4 2 2 +  【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解， 如本题中 ( ) 2f x  恒成立，就转化为 ( )f x 的值域，也即三角函数的值域来进行求解. 题型八 与辅助角公式结合的综合问题 【例 8】（多选）已知函数 ( ) cos 2 3 sin 2f x x x= + ，则（ ） A． ( )f x 的最小正周期为 π 2 B． ( )f x 的图象关于直线 ( ) π Z 2 k x k=  对称 C． ( )f x 在 19π 11π , 12 6       上单调递增 D． ( ) ( ) 1g x f x= − 在 505π,505π− 上的零点个数是 4041 【答案】BCD 【分析】作出函数 ( )y f x= 的图象，可判断 AD，求出 2 2 k k f x f x      + = −        即可判断 B，结合分段函数和三角函数的性质可判断 C 【详解】当 ( ) π π π , Z 2 k x k k  +  时，sin 2 0x  ，此时， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 ( ) π cos 2 3 sin 2 = cos 2 3 sin 2 = 2cos 2 3 f x x x x x x   = + + −    ， 又 ( ) 5π π π , Z 12 k x k k  +  时， π 2cos 2 0 3 x   −     ， ( ) 5π π π π , Z 12 2 k x k k+   +  时， π 2cos 2 0 3 x   −     ， 所以 ( ) π 5π 2cos 2 , π π 3 12π = 2cos 2 3 π 5π π 2cos 2 , π π 3 12 2 x k x k f x x x k x k    −   +      − =      − − +   +    ， ( )kZ 当 ( ) π π π π, Z 2 k x k k+   +  时，sin 2 0x  ，此时， ( ) π cos 2 3 sin 2 = cos 2 3 sin 2 = 2cos 2 3 f x x x x x x   = + − +    ， 又 ( ) π 7π π π , Z 2 12 k x k k+   +  时， π 2cos 2 0 3 x   +     ， ( ) 7π π π π, Z 12 k x k k+   +  时， π 2cos 2 0 3 x   +     ， 所以 ( ) π π 7π 2cos 2 , π π 3 2 12π = 2cos 2 3 π 7π 2cos 2 , π π π 3 12 x k x k f x x x k x k    − + +   +      + =       + +   +    ， ( )kZ 所以 ( ) π 5π 2cos 2 , π π 3 12 π 5π π 2cos 2 , π π 3 12 2 cos 2 3 sin 2 π π 7π 2cos 2 , π π 3 2 12 π 7π 2cos 2 , π π π 3 12 x k x k x k x k f x x x x k x k x k x k    −   +       − − +   +      = + =   − + +   +       + +   +    ， ( )kZ 结合图象可知 ( )f x 的最小正周期为 π，故 A 错误； 对于 B， cos 2 3 sin 2 ( Z) 2 2 2 k k k f x x x k         + = + + +             cos(2 ) 3 sin(2 )x k x k = + + + | cos(2 ) | 3 sin 2 ||x k x= + + ， cos 2 3 sin 2 ( Z) 2 2 2 k k k f x x x k         − = − + −             cos( 2 ) 3 sin( 2 )k x k x = − + − | cos(2 ) | 3 sin 2 ||x k x= − + | cos(2 2 ) | 3 sin 2 ||x k k x = − + + | cos(2 ) | 3 sin 2 ||x k x= + + ， 2 2 k k f x f x       + = −        ，∴其图象关于直线 ( ) π Z 2 k x k=  对称，则 B 正确． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 当 19π 11π , 12 6 x       时， ( ) π 2cos 2 3 f x x   = +    ．因为 19π 11π , 12 6 x       ， 所以 π 7π 2 ,4π 3 2 x   +     ，则 ( )f x 在 19π 11π , 12 6       上单调递增，故 C 正确． ( ) ( ) 1g x f x= − 在 505π,505π− 上的零点个数即为 ( ) , 1y f x y= = 的交点个数， 因为 ( ) ( )0 0 1 0g f= − = ， π π 1 0 2 2 g f     = − =        ，且 ( )f x 是偶函数， ( )f x 的最小正周期 为 π， 由图象可得当 ( 0,πx 时， ( ) , 1y f x y= = 有 4 个交点， 所以当 ( 0,πx 时， ( ) ( ) 1g x f x= − 有 4 个零点， 所以 ( 0,505πx 时， ( )g x 有505 4=2020 个零点， 所以 ( ) ( ) 1g x f x= − 在 505π,505π− 上的零点个数是2 2020 1 4041 + = ，故 D 正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：这道题关键在于两个绝对值的处理，去掉绝对值需要对内部的正 负进行讨论，得到对应的分段函数，然后画出图象即可判断每个选项 【跟踪训练 8】（多选）已知函数 ( ) ( )sin 3cos 0f x x x  = −  在 0,2 上恰有 3 个 零点，则（ ） A． 7 5 6 3   B． ( )f x 在 5 11 , 7 10        上单调递减 C．函数 ( ) ( ) 2g x f x= − 在 , 2 2         上最多有 3 个零点 D． ( )f x 在 , 2 2         上恰有 2 个极值点 【答案】BC 【分析】首先利用辅助角公式得 ( ) 2sin 3 f x x     = −    ，根据 x 范围得到 3 x   − 的范围， 结合图像列出不等式，则得到的范围，利用代入检验法即可判断 B 选项，对 C 选项 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 证明 ( )g x 达不到四个零点，再列举三个零点的情况即可，对 D 选项，找到一个值满 足 3 个极值点即可. 【详解】 ( ) sin 3 cos 2sin 3 f x x x x       = − = −    ， 0   0,2x  ， , 2 3 3 3 x         −  − −    ， 0  ， 函数 ( )f x 在[0,2 ] 上恰有 3 个零点， 故  )2 2 ,3 3    −  ，解得 7 5 6 3   ，故 A 错误， 当 5 11 , 7 10 x          ， 5 11 , 3 7 3 10 3 x         −  − −    ， 7 5 6 3   ， 5 6 , 7 3 2 7      −      ， 11 19 3 , 10 3 20 2      −     ， 而正弦函数 siny x= 在 3 , 2 2        上单调递减， 故函数 ( )f x 在 5 11 , 7 10        上单调递减正确，故 B 正确， 令 ( ) ( ) 2 0g x f x= − = ，即2sin 2 3 x     − =    ，解得 2 sin 3 2 x     − =    7 5 6 3   ， , 2 2 x         ， , 2 3 2 3 3 x         −  − −     ， 区间长度为 3 7 5 , 2 4 2          ，若 2 sin 2 y x= = 在某闭区间上有四个解， 则区间长度至少为 5 2  ，比如 11 , 4 4        ，则 2 sin 3 2 x     − =    不可能存在四个解， 当 8 5  = 时，即 8 2 sin 5 3 2 x   − =    ， 8 7 43 ,2 , , 2 5 3 15 15 x x            −         ， 则 8 3 5 3 4 x   − = 或 9 4  或 11 4  ，解得 65 96 x  = 或 155 96  或 185 96  ， 故最多有 3 个零点，故 C 正确. 当 3 2  = 时，此时 3 ( ) 2sin 2 3 f x x   = −    ，令 3 2 3 2 x k   − = + ， Zk , 解得 2 5 3 9 x k = + ， Zk ，则 2 5 ,2 3 9 2 k       +     ， 解得 1 13 , 12 6 k    −    ， Zk ， 0,1,2k = ， 当 0k = 时， 5 9 x = ，当 1k = 时， 11 9 x = ，当 2k = 时， 17 9 x = ， 此时 ( )f x 在 , 2 2         上有 3 个极值点，故 D 错误， 故选：BC. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 【点睛】关键点睛：首先利用辅助角公式将函数化成关于正弦的函数，然后整体法结合 图像得到关于的不等式，即可求出其范围，单调性问题可以通过代入检验，零点个数 和极值点个数问题，通过寻找特例去证明或反驳，这也是选择题常用的方法. 课后突破训练 1．已知 2 6 sin 7  = ， ( ) 10 cos 5  − = ，且 3 0 4    ， 3 0 4    ，则sin =（ ） A． 9 15 35 B． 11 10 35 C． 15 35 D． 10 35 【答案】A 【解析】易知 ( )( )sin sin   = − − ，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos和 ( )sin  − ，分别在 ( ) 15 sin 5  − = 和 15 5 − 两种情况下，利用两角和差正弦公式求得 sin，结合 的范围可确定最终结果. 【详解】 2 6 2 sin 7 2  =  且 3 0 4    ， 0 4     ， 2 5cos 1 sin 7   = − = . 又 3 0 4    ， 3 4 4    −  −  ， ( ) ( )2 15 sin 1 cos 5     − =  − − =  . 当 ( ) 15 sin 5  − = 时， ( )( ) ( ) ( )sin sin sin cos cos sin         = − − = − − − 2 6 10 5 15 15 7 5 7 5 35 =  −  = − ， 3 0 4    ， sin 0  ， 15 sin 35  = − 不合题意，舍去； 当 ( ) 15 sin 5  − = − ，同理可求得 9 15 sin 35  = ，符合题意. 综上所述： 9 15 sin 35  = . 故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解 cos时，易忽略 sin 的值所确定的 的更小的范围， 从而误认为cos的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 2．已知 ,0 , 2 2 m R     −      ,如果有 3 3 sin 0, cos 0 2 m m        + + = − + + =    , 则cos( ) + 的值为 A． 1− B．0 C．0.5 D．1 【答案】B 【解析】构造函数 ( ) 3 sinf x x x= + ，在 2 2 x   −   上为奇函数且单调递增，计算得到 2   = − ，计算得到答案. 【详解】构造函数 ( ) 3 sinf x x x= + ，在 2 2 x   −   上为奇函数且单调递增 0 , 2 2 2        −  −  变换 3 3 sin , sin 2 2 m m           + = − − + − = −        即 ( ) , 2 2 f f         = −  = −    ，即 2   + = ，cos( ) 0 + = 故选： B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，三角函数计算，构造函数 ( ) 3 sinf x x x= + 是解题的关键. 3．若 5 sin 2 5  = ， ( ) 10 sin 10  − = ，且 π ,π 4        ， 3 π, π 2        ，则 + =（ ） A． 7π 4 B． π 4 C． 4π 3 D． 5π 3 【答案】A 【分析】由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求解 【详解】因为 π ,π 4        ，所以 π 2 ,2π 2        ， 因为 5 sin 2 5  = ，所以 π 2 ,π 2        ，即 π π , 4 2        ， 所以 2 2 5 2 5cos 2 = 1 sin 2 1 = 5 5     − − = − − −     . 因为 π π , 4 2        ， 3 π, π 2        ，所以 π 5 , π 2 4     −     ， 因为 ( ) 10 sin 10  − = ， 所以 ( ) ( ) 2 2 10 3 10cos 1 sin 1 = 10 10       − = − − − = − − −     . 所以 ( ) ( ) ( ) ( )cos cos 2 =cos cos2 sin sin 2          + = − + − − − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 3 10 2 5 10 5 2 = = 10 5 10 5 2     −  − −            . 因为 π π , 4 2        ， 3 π, π 2        ， 所以 5 π,2π 4     +     ，所以 7π 4  + = . 故选：A 4．在 ABC中，已知 2sin sin cos 2 A B C = ，则 ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得， ( )2 1 cos 1 cos 2 2 A A= + ，再根据诱导公式可得 ( )cos cosA B C= − + ，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将 2sin sin cos 2 A B C = 化简 成 ( )cos 1B C− = ，所以B C= ，即可求得答案． 【详解】因为 ( ) ( )2 cos 1 1 sin sin cos 1 cos 1 2 2 2 A A CB C B= = + − +=   ， ( )cos cos cos sin sinB C B C B C+ = − ， 所以，cos cos +sin sin =1B C B C ，即 ( )cos 1B C− = ， 因为 ( ), 0,B C  ，所以 ( ),B C  −  − 所以B C= ，即 ABC为等腰三角形. 故选：A． 5．已知a ，b ， ，R，满足sin cos a + = ，cos sin b + = ， 2 20 4a b +  ， 有以下2个结论： ①存在常数 a ，对任意的实数bR，使得 ( )sin  + 的值是一个常数； ②存在常数b ，对任意的实数 aR ，使得 ( )cos  − 的值是一个常数. 下列说法正确的是（ ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立 【答案】B 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将 ( )sin  + 和 ( )cos  − 用a ，b 表示即可. 【详解】对于结论①， ∵sin cos a + = ，cos sin b + = ， ∴ 2 2 2sin 2sin cos cosa    = + + ， 2 2 2cos 2cos sin sinb    = + + ， ∴ ( )2 2 2 2sin cos 2cos sin 2 2sina b      + = + + = + + ， ∴ ( ) 2 2 2 sin 2 a b   + − + = ， ∴当 a 为常数，bR时， ( ) 2 2 2 sin 2 a b   + − + = 不是一个常数，故结论①不成立； 对于结论②， 方法一： ∵ ( )( )sin cos cos sinab    = + + sin cos sin sin cos cos sin cos       = + + + ( )cos sin cos sin cos     = − + + 又∵ ( ) ( )sin cos   + − ( )( )sin cos cos sin cos cos sin sin       = + + 2 2 2 2sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin           = + + + ( ) ( )2 2 2 2sin cos sin cos sin cos sin cos       = + + + sin cos sin cos   = + ∴ ( )cos sin cos sin cosab      = − + + ( ) ( ) ( )cos sin cos     = − + + − ( ) ( ) 2 2 cos cos 2 2 a b     + − = − + − 化简得 ( ) 2 2 2 cos ab a b  − = + ， ∴存在常数 0b = ，对任意的实数aR ，使得 ( )cos 0 − = ，故结论②成立. 方法二：（特值法） 当 π 2  = + 时， cos sin cos sin sin π 2 sin 0b      +   = + = + = − + =   ， ∴ π 2  − = ，∴ ( )cos cos 0 π 2  − = = . ∴存在常数 0b = ，对任意的实数aR ，使得 ( )cos 0 − = ，故结论②成立. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 故选：B. 【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在 性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量. 6．（多选）已知实数 x，y满足2 1x y+ = ，记 2 2 2 2 7 2 3 2 2 x y z x x y − = − + ，则 z的值可能是（ ） A．0 B． 2 2 C． 7 2 10 D．1 【答案】BCD 【分析】通过三角换元后借助于辅助角公式结合已知即可求得 z 的范围. 【详解】 ( )( )2 2 2 22 2 2 22 2 7 2 3 2 27 2 = 14 43 2 2 x y x x yx y z x yx x y − + +− = −− + 因为 2 27 2 0x y−  ， 2 23 2 2 z x x y= + + 设 cos , sinx r y r = = 故 1 2cos sin r   = + 3 2 cos 1 3 22 cos = 2 2cos sin z r r     + = + + 3 2 3 2 2 cos sin = cos 1 2 cos sin =1 2 2 z z z z       + +  − +     有解 所以 2 23 22 1 2 z z   − +      ，故 2 75 6 2 0 2 z z− +  即 ( )( )210 12 2 7 0 5 2 7 2 1 0z z z z− +   − −  所以 7 2 10 z  或 2 2 z  ，易知 0z  故选：BCD 【点睛】利用三角换元有效的减少了运算量进而使得问题更加清晰. 对辅助角公式有一个更加深入的理解，利用方程的等价转化简化问题. 7．（多选）函数 ( ) sin cos ,( 0)f x a x b x ab= +  的图像关于 π 6 x = 对称，且 ( )0 8 5 f x a= ， 则（ ） A． 3b a= B． 0 π 4 cos 6 5 x   − =    C． 0 π 24 cos 2 3 25 x   − =    D． 0 π 7 sin 2 6 25 x   + =    【答案】ABD 【分析】根据辅助角公式化简 ( )f x ，然后根据其图像关于 π 6 x = 对称，可得 ,a b之间的 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 关系，从而得到 0 4 sin 3 5 π x   + =    ，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为 ( )2 2( ) sin cos sinf x a x b x a b x = + = + + ， 其中 2 2 2 2 sin ,cos b a a b a b  = = + + 因为函数 ( )f x 的图像关于 π 6 x = 对称， 所以 2 2π 6 f a b   = +    ，即 2 21 3 2 2 a b a b+ = + 化简得 3b a= ，故 A 正确. 则 ( )0 0 0 0 8 sin sin 2 n 5 π si 3 f x a x b x a x a   = + = + =    即 0 4 sin 3 5 π x   + =    ， 因为 0 0 0 π π π π 4 cos cos sin 6 2 3 3 5 x x x        − = − + = + =              ，故 B 正确. 因为 0 0 0 π π π cos 2 cos π 2 cos 2 3 3 3 x x x        − = − + = − +              2 2 0 1 π 4 9 1 2sin 3 5 25 x       = − − + = − − = −              ，故 C 错误. 因为 2 0 0 0 0 π 2π π 2π π 7 sin 2 sin 2 cos 2 2sin 1 6 3 2 3 3 25 x x x x         + = + − = − + = + − =                故 D 正确. 故选:ABD. 8．若sin sin3 sin5x x x a+ + = ，cos cos3 cos5x x x b+ + = ，则 tan3x = ______结果用a ，b 表示. 【答案】 a b 【分析】由和差化积公式求出sin5 sin 2sin3 cos2x x x x+ = ，cos5 cos 2cos3 cos2x x x x+ = ， 从而得到 sin sin3 sin5 tan3 cos cos3 cos5 x x x x x x x + + = + + ，得到答案. 【详解】由和差化积公式得： 5 5 sin5 sin 2sin cos 2sin3 cos 2 2 2 x x x x x x x x + − + = = ， 5 5 cos5 cos 2cos cos 2cos3 cos 2 2 2 x x x x x x x x + − + = = ， ( )sin sin3 sin5 2sin3 cos2 sin3 sin3 2cos2 1x x x x x x x x+ + = + = + ， ( )cos cos3 cos5 2cos3 cos2 cos3 cos3 2cos2 1x x x x x x x x+ + = + = + ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 故 ( ) ( ) sin3 2cos2 1sin sin3 sin5 tan3 cos cos3 cos5 cos3 2cos2 1 x xx x x x x x x x x ++ + = = + + + ， 故 tan 3 a x b = . 故答案为： a b . 9．设函数 ( ) sin( )f x x = + ，其中 0,| | 2     ，若 2 cos cos sin sin 0 3 3    − = 且图象 的两条对称轴间的最近距离是 2  ．若 , ,A B C是 ABC的三个内角，且 ( ) 1f A = − ，则 sin sinB C+ 的取值范围为__________． 【答案】 3 ,1 2       【分析】利用两角差的余弦函数公式及余弦函数的图象和性质可求 6 k   = + ， Zk ， 结合范围 | | 2    ，可求 ，由题意可求周期为T = ，利用周期公式可求，从而可得 函数解析式，由题意可得 sin(2 ) 1 6 x  + = − ，结合范围0 A   ，可解得 2 3 A  = ，从而 3 B C  + = ，利用三角函数恒等变换的应用可将 sin sinB C+ 化为 sin( ) 3 B  + ，结合范围 0 3 B    ，利用正弦函数的图象和性质即可求其取值范围． 【详解】解：由题知， 2 cos cos sin sin cos( ) 0 3 3 3      − = + = ，  3 2 k    + = + ，得 6 k   = + ， Zk ， | | 2    ，取 0k = ，得 6   = ， 函数 ( )f x 图象的两条对称轴间的最近距离是 2  ， 周期为T = ，得 2 2 T   = = ， 得 ( ) sin(2 ) 6 f x x  = + ． 由 ( ) 1f A = − ，得 sin(2 ) 1 6 x  + = − ， A是 ABC的内角，0 A   ，  13 2 6 6 6 A     +  ，得 3 2 6 2 A   + = ， 2 3 A   = ，从而 3 B C  + = ． 由 3 1 sin sin sin sin( ) cos sin 3 2 2 B C B B B B  + = + − = + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 sin sin sin( ) 3 B C B   + = + ， 0 3 B    ， 2 3 3 3 B     +  ，  3 sin( ) 1 2 3 B   + ，即 3 sin sin ( 2 B C+  ，1]， 因此， sin sinB C+ 的取值范围是 3 ,1 2       ． 故答案为： 3 ,1 2       . 【点睛】本题考查了两角差的余弦函数公式，正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期 公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想． 10．求函数 3 3 2 sin 3 sin cos3 cos sin 2 cos 2 x x x x y x x + = + 的最小值. 【答案】 2− 【分析】首先利用三角恒等变换化简 3 3sin3 sin cos3 cosx x x x+ ，然后利用辅助角公式即 可求解. 【详解】由题意可知， 3 3sin3 sin cos3 cosx x x x+ 2 2sin3 sin sin cos3 cos cosx x x x x x=   +   1 cos 2 1 cos 2 sin3 sin cos3 cos 2 2 x x x x x x − + =  +  1 cos 2 (sin3 sin cos3 cos ) (cos3 cos sin3 sin ) 2 2 x x x x x x x x x= + + − 1 1 cos 2 cos 2 cos 4 2 2 x x x= + 1 cos 2 (1 cos 4 ) 2 x x= + 2 31 cos 2 2cos 2 cos 2 2 x x x=  = ， 故 3 3 2 sin 3 sin cos3 cos sin 2 cos 2 sin 2 2 sin(2 ) 2 cos 2 4 x x x x y x x x x x + = + = + = +  − ， 当且仅当sin(2 ) 1 4 x  + = − 时， min 2y = − . 从而函数 3 3 2 sin 3 sin cos3 cos sin 2 cos 2 x x x x y x x + = + 的最小值为 2− . 11．已知函数 2( ) 6sin cos 6 3 cos 3 3f x x x x= − + ． (1)求 ( )f x 的单调递增区间； (2)将 ( )f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标保持不变，再把所得的图象向 左平移 4  个单位长度，得到函数 ( )g x 的图象，求 ( )g x 在 , 12 24    −    上的值域． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 23 页 【答案】(1) 5 , ( Z) 12 12 k k k       − + +     (2)[3,6] 【分析】（1）通过降幂公式和辅助角公式将函数 ( )f x 化简，进而求出单调递增区间； （2）先通过图象变换求出函数 ( )g x ，利用正弦函数的性质即可求出函数的值域. (1) ( ) 3sin 2 3 3 cos 2f x x x= − 6sin 2 3 x   = −   ， 由 2 2 2 ( ) 2 3 2 k x k k     − +  −  + Z ， 得 5 ( ) 12 12 k x k k    − +   + Z ， 故 ( )f x 的单调递增区间为 5 , ( ) 12 12 k k k       − + +     Z ． (2)由题意得， 2 ( ) 6sin 4 6sin 4 4 3 3 g x x x        = + − = +          ， 因为 , 12 24 x     −    ，所以 2 5 4 , 3 3 6 x     +     ， max( ) 6sin 6 2 g x  = = ， min 5 ( ) 6sin 3 6 g x  = = ， 故 ( )g x 在 , 12 24    −    上的值域为[3,6]． 12．如图，圆心角为 3  的扇形 AOB的半径为 2，点 C是弧 AB上一点，作这个扇形的内 接矩形CDEF ． (1)求扇形 AOB的周长； (2)当点 C在什么位置时，矩形CDEF 的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】(1) 2 4 3  + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 24 页 (2) 2 3 3 【分析】（1）先由公式求弧 AB长，即可得到周长； （2）设 AOC  = ，即可由三角函数表示出CF OF OE EF OF OE= −、 、 ， ，即可得矩 形CDEF 面积与 的函数式，最后进行变换得 4 3 2 3 sin 2 3 6 3 S     = + −    ，即可讨论最 值最值成立的条件. （1） 由题，弧 AB长为 2 2 3 3    = ，故扇形 AOB的周长为： 2 4 3  + ； （2） 设 , 0, , 2 3 AOC OC       =  =    ，则 cosOF OC =  ， 2sin sin , tan 60 3 DE DE CF OC OE  = =  = = ， 所以 2sin 2cos 3 EF OF OE  = − = − ， 所以矩形CDEF 的面积 ( )2 3 1 cos 22sin 2cos 2sin 2sin 2 33 S EF CF     −  =  = −  = −    4 3 3 1 2 3 4 3 2 3 2 3 sin 2 cos 2 sin 2 3 2 2 3 3 6 3 3         = + − = + −         ， 5 2 , 6 6 6       +     ，所以当 6   = 时，S取得最大值 2 3 3 ， 即当 C在弧 AB中点时，矩形CDEF 的面积最大，最大值为 2 3 3 .