15 三角函数图象与性质重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 15 三角函数图象与性质重难点专题 常考结论及公式 结论一： 三角函数的值域的三个基本类型 （1） ( ) sin( )f x A x b = + + 或 ( ) cos( )f x A x b = + + 型，解题思路为由 x + 整体的取值范围和正弦函数和余弦函数的性质来确定. （2） 2( ) sin sinf x a x b x c= + + 或 2( ) cos cosf x a x b x c= + + 型，解题思路是令 sint x= 或 cost x= 转化为关于 t 的一元二次函数，注意要根据具体题目中的条件来确 定新元的取值范围. （3） sin ( ) sin a x b f x c x d + = + 型，可以反解出sin x ，根据sin x 的范围确定因变量的范围即 可. 结论二：三角函数的单调性 求 ( ) sin( )f x A x b = + + ， ( ) cos( )f x A x b = + + 和 ( ) tan( )f x A x b = + + 其中 0, 0A   型的函数单调区间的求法是把 x + 看作为正弦函数、余弦函数和正 切函数中的 x ，根据同增异减的法则和这三个函数的单调区间得出关于 x + 的不等 式，再进一步解出 x 的范围即可. 结论三：三角函数的对称中心 ( ) sin( )f x A x b = + + 的对称中心为 0( , )x b ，其中 0 ,x k k Z  + =  ； ( ) cos( )f x A x b = + + 的对称中心为 0( , )x b ，其中 0 , 2 x k k Z    + = +  ； ( ) tan( )f x A x b = + + 的对称中心为 0( , )x b ，其中 0 , 2 k x k Z   + =  . 结论四：三角函数的对称轴 ( ) sin( )f x A x b = + + 的对称轴方程为 0x x= ，其中 0 , 2 x k k Z    + = +  ； ( ) cos( )f x A x b = + + 的对称轴方程为 0x x= ，其中 0 ,x k k Z  + =  ；正弦函 数和余弦函数的对称轴均经过函数图象的最高点或最低点. 结论五：由部分函数图象确定解析式的方法 确定 ( ) sin( )f x A x b = + + ( 0, 0)A   图象的步骤与方法：（1）求 ,A b：确 定函数的最大值M 和最小值m ，则 2 M m A − = ， 2 M m b + = ；（2）求：确定函数 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 的周期T ，则可得 2 T   = ；（3）求常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知 点代入（此时 , ,A b 已知）或代入图象与直线 y b= 的交点求解（此时要注意交点在上 升区间上还是在下降区间上）；②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某 一个点为突破口. 题型一 三角函数性质的基本运用 【例 1】设函数 ( ) π cos 2 3 f x x   = −    ，则下列结论正确的是（ ） A． ( )f x 的图象关于直线 π 12 x = − 对称 B． ( )f x 的图象关于点 π ,0 6       对称 C． 6 y f x   = +    是偶函数 D． ( )f x 在区间 π 0, 3       上单调递增 【跟踪训练 1】（多选）先将函数 ( ) sinf x x= 的图像向右平移 π 6 个单位长度后，再将横 坐标缩短为原来的 1 2 ，得到函数 ( )g x 的图像，则关于函数 ( )g x ，下列说法正确的是（ ） A．在 π 0, 4       上单调递增 B．图像关于直线 5π 6 x = 对称 C．在 π π , 4 2       上单调递减 D．最小正周期为 π，图像关于点 π ,0 12       对称 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型二 与三角函数结合类的图象判断问题 【例 2】函数 ( )2( ) 1 sinf x x x= − 在区间[ , ]−  上的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练 2】函数 cos siny x x x= − 的图像可能是（ ） A． B． C． D． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型三 三角函数与不等式的结合问题 【例 3】若 sin cos π log cos log sin , 0 2 x xx x x         ，则 x 的取值范围是_________________. 【跟踪训练 3】若不等式 ( ) π sin π 0 6 x a b x   − − +     对  1,1x − 恒成立，则a b+ 的值等 于______． 题型四 三角函数的值域问题 【例 4】函数 2sin 2 2 cosy x x= + 的定义域为 3π , 4    −    ，值域为 3 ,2 2 2   −    ，则 α 的取 值范围是（ ） A． 3π 0, 4       B．[0,π] C． π ,0 4   −    D． π ,π 2       【跟踪训练 4】（多选）已知函数 ( ) 1 cos cos f x x x = + ，则（ ） A． ( )f x 的最小值为 2 B． ( )f x 的图象关于 y 轴对称 C． ( )f x 的图象关于直线 πx = 对称 D． ( )f x 的图象关于 π ,0 2       中心对称 题型五 已知三角函数单调性求参数范围问题 【例 5】已知函数 ( ) π sin 6 f x x   = +    （其中 0  ）在 π 0 6       ， 上单调递增，在 π π 3 2       ， 上 单调递减，则的取值范围为（ ） A． ( 01， B． ( 0 2， C． 1 2， D． ( )1 2， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 5】（多选）已知函数 ( ) ( )tan 2 0 3 f x x      = +     ，则下列说法不正确的是 （ ） A．若 ( )f x 的最小正周期是 2  ，则 1 = B．当 1 = 时， ( )f x 图象的对称中心的坐标都可以表示为 ( ),0 2 6 k k    −     Z C．当 1 2  = 时， ( ) 6 f f     −  −    D．若 ( )f x 在区间 , 3         上单调递增，则 1 0 3   题型六 与三角函数零点有关的综合问题 【例 6】已知函数 π ( ) sin ( 0) 3 f x x    = +     在 π ,π 3       上恰有 3 个零点，则的取值范围 是（ ） A． 8 11 14 , 4, 3 3 3            B． 11 14 17 ,4 , 3 3 3            C． 11 14 17 , 5, 3 3 3            D． 14 17 20 ,5 , 3 3 3            【跟踪训练 6】已知函数 ( ) ( ) π sin 0 3 f xx     = +     ， ( ) 1 2 f x = 在区间 0,π 上有且仅有 2 个零点，对于下列 4 个结论： ①的取值范围是 11 5 , 6 2      ； ②在区间 ( )0,π 上存在 1x ， 2x ，满足 ( ) ( )1 2 2f x f x− = ； ③ ( )f x 在区间 π 0, 15       上单调递减； ④ ( )f x 在区间 ( )0,π 有且仅有 1 个极大值点； 其中所有正确结论的编号为______. 题型七 三角函数中的创新试题 【例 7】（多选）已知函数 ( ) ( ) ( )sin cos cos sinf x x x= + ，则下列结论正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的一个周期为2π B．函数 ( )f x 在 π 0, 2       上单调递减 C．函数 ( )f x 的最大值为 2 D．函数 ( )f x 图象关于直线 πx = 对称 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【跟踪训练 7】设 ( ) sinf x a x= + ，若存在 1 2 5 , , , , 3 6 nx x x        ，使 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nf x f x f x f x−+ + + = 成立的最大正整数n 为 9，则实数a 的取值范围 是__________. 课后突破训练 1．下列函数中，以 π 2 为周期且在区间 π π , 4 2       上单调递增的是（ ） A． ( ) sinf x x= B． ( ) cosf x x= C． ( ) sin2f x x= D． ( ) cos2f x x= 2．函数 ln cos x y x x = + 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 ( ) 5 cos2 2sinf x ax ax= − − 在区间 1,2− 上的最小值为 7 2 ，则 a的取值范围 为（ ） A． π π , , 6 12     − −  +       B． π π , , 12 6     − −  +       C． π π ,0 0, 6 12     −        D． π π ,0 , 6 12     −  +       4．已知函数 ( ) π 2sin 2 6 f x x   = +    ，对于任意的 )3,1a  − ，方程 ( ) ( )0f x a x m=   恰 有一个实数根，则 m的取值范围为（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 A． 7π 3π , 12 4       B． π 5π , 2 6      C． π 5π , 2 6       D． 7π 3π , 12 4      5．已知函数 π ( ) sin ( 0) 4 f x x    = +     在区间[0, ] 上有且仅有 4 条对称轴，则下列四个 结论正确的是（ ） A． ( )f x 在区间 (0,π)上有且仅有 3 个不同的零点 B． ( )f x 的最小正周期可能是 π 4 C．的取值范围是 13 17 , 4 4      D． ( )f x 在区间 π 0, 16       上单调递增 6．函数 2sin π (0 1) ( ) lg ( 1) x x f x x x   =   ，若a b c、 、 互不相等，且 ( ) ( ) ( )f a f b f c= = ，则 a b c+ + 的取值范围是（ ） A． ( )1,100 B． ( )1,11 C． ( )2,101 D． 2,11 7．已知函数 ( ) π cos ( 0) 3 f x x    = −     在 π π , 6 4      上单调递增，且当 π π , 4 3 x       时， ( ) 0f x  恒成立，则的取值范围为（ ） A． 5 22 17 0, , 2 3 2             B． 4 17 0, 8, 3 2             C． 4 28 0, 8, 3 3             D． 5 22 0, ,8 2 3             8．将函数 ( ) 2sin 1f x x= − 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，再向下平移 1 个单位长度，最后向左平移 ( 0)   个单位长度，得到函数 ( )g x 的图象.若对任意 1 0, 2 x       ，都存在 2 ,0 2 x    −   ，使得 ( ) ( )1 2f x g x= ，则 的值可能是（ ） A． 4  B． 5 12  C． 7 12  D． 3 4  9．（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动 力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史 是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 (3, 3 3)A − 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用 时 120 秒.经过 t秒后，水斗旋转到 P点，设点 P的坐标为 ( , )x y ，其纵坐标满足 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 ( ) sin( ) 0, 0,| | 2 y f t R t t        = = +       ，则下列叙述 正确的是（ ） A．水斗作周期运动的初相为 3  − B．在水斗开始旋转的 60 秒（含）中，其高度不断增加 C．在水斗开始旋转的 60 秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 3 D．当水斗旋转 100 秒时，其和初始点 A的距离为 6 10．在函数 ( ) ( )( )sin 2 0f x x  = −  图象与 x轴的所有交点中，点 ,0 2       离原点最近，则 可以等于__________（写出一个值即可）． 11．已知函数 ( ) ( )2sin 0, 2 f x x        = +      的部分图象如图 所示，则满足条件 ( ) 5 4 f x f    + −      ( ) 7 0 3 f x f    +        的最小 正偶数 x为___________. 12．已知函数 ( ) ( )( )2sin 0,f x x    = +   ，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐 标相差 4  ，将函数 ( )f x 向左平移 6  个单位得到的图像关于 y轴对称且 ( )0 0f  ． (1)求函数 ( )f x 的解析式： (2)若 11 0, 12 x       ，方程 ( ) ( ) ( )2 2 3 0f x a f x a+ − + − = 存在 4 个不相等的实数根，求实 数 a的取值范围． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 15 三角函数图象与性质重难点专题 常考结论及公式 结论一： 三角函数的值域的三个基本类型 （1） ( ) sin( )f x A x b = + + 或 ( ) cos( )f x A x b = + + 型，解题思路为由 x + 整体的取值范围和正弦函数和余弦函数的性质来确定. （2） 2( ) sin sinf x a x b x c= + + 或 2( ) cos cosf x a x b x c= + + 型，解题思路是令 sint x= 或 cost x= 转化为关于 t 的一元二次函数，注意要根据具体题目中的条件来确 定新元的取值范围. （3） sin ( ) sin a x b f x c x d + = + 型，可以反解出sin x ，根据sin x 的范围确定因变量的范围即 可. 结论二：三角函数的单调性 求 ( ) sin( )f x A x b = + + ， ( ) cos( )f x A x b = + + 和 ( ) tan( )f x A x b = + + 其中 0, 0A   型的函数单调区间的求法是把 x + 看作为正弦函数、余弦函数和正 切函数中的 x ，根据同增异减的法则和这三个函数的单调区间得出关于 x + 的不等 式，再进一步解出 x 的范围即可. 结论三：三角函数的对称中心 ( ) sin( )f x A x b = + + 的对称中心为 0( , )x b ，其中 0 ,x k k Z  + =  ； ( ) cos( )f x A x b = + + 的对称中心为 0( , )x b ，其中 0 , 2 x k k Z    + = +  ； ( ) tan( )f x A x b = + + 的对称中心为 0( , )x b ，其中 0 , 2 k x k Z   + =  . 结论四：三角函数的对称轴 ( ) sin( )f x A x b = + + 的对称轴方程为 0x x= ，其中 0 , 2 x k k Z    + = +  ； ( ) cos( )f x A x b = + + 的对称轴方程为 0x x= ，其中 0 ,x k k Z  + =  ；正弦函 数和余弦函数的对称轴均经过函数图象的最高点或最低点. 结论五：由部分函数图象确定解析式的方法 确定 ( ) sin( )f x A x b = + + ( 0, 0)A   图象的步骤与方法：（1）求 ,A b：确 定函数的最大值M 和最小值m ，则 2 M m A − = ， 2 M m b + = ；（2）求：确定函数 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 的周期T ，则可得 2 T   = ；（3）求常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知 点代入（此时 , ,A b 已知）或代入图象与直线 y b= 的交点求解（此时要注意交点在上 升区间上还是在下降区间上）；②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某 一个点为突破口. 题型一 三角函数性质的基本运用 【例 1】设函数 ( ) π cos 2 3 f x x   = −    ，则下列结论正确的是（ ） A． ( )f x 的图象关于直线 π 12 x = − 对称 B． ( )f x 的图象关于点 π ,0 6       对称 C． 6 y f x   = +    是偶函数 D． ( )f x 在区间 π 0, 3       上单调递增 【答案】C 【分析】对于 A，求出函数的对称轴，可知不存在 Zk 使得对称轴为直线 π 12 x = − ，A 错误； 对于 B，求出函数的对称中心，可知不存在 Zk 使其一个对称中心为 π ,0 6       ，B 错误； 对于 C，由 ( )f x 求出 6 f x   +    ，利用诱导公式，结合偶函数的定义，可得 C 正确； 对于 D，当 π 0, 3 x       时，求出整体 π 2 3 u x= − 的范围，验证 cosy u= 不是单调递增，D 错误. 【详解】由 π 2 = π, Z 3 x k k−  解得 π π , Z 6 2 k x k= +  ， 所以函数 ( ) π cos 2 3 f x x   = −    的对称轴为 π π , Z 6 2 k x k= +  ， 由 π π π 6 2 12 k + = − 解得 1 Z 2 k = −  ，故 A 错误； 由 π π 2 = π+ , Z 3 2 x k k−  解得 5π π , Z 12 2 k x k= +  ， 所以函数 ( ) π cos 2 3 f x x   = −    的对称中心为 5π π ,0 , Z 12 2 k k   +     ， 由 5π π π 12 2 6 k + = 解得 1 Z 2 k = −  ，故 B 错误； 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 π cos 2 cos2 6 6 3 y f x x x       = + = + − =          ，而 ( ) ( )cos 2 cos 2 cos 2x x x − = − =  ， 所以 6 y f x   = +    是偶函数，C 正确； 令 π 2 3 u x= − ，当 π 0, 3 x       时， π π π 2 , 3 3 3 x   −  −    即 π π , 3 3 u    −    ， 此时 cosy u= 在 π π , 3 3 u    −    不是单调递增函数，故 D 错误. 故选：C. 【跟踪训练 1】（多选）先将函数 ( ) sinf x x= 的图像向右平移 π 6 个单位长度后，再将横 坐标缩短为原来的 1 2 ，得到函数 ( )g x 的图像，则关于函数 ( )g x ，下列说法正确的是（ ） A．在 π 0, 4       上单调递增 B．图像关于直线 5π 6 x = 对称 C．在 π π , 4 2       上单调递减 D．最小正周期为 π，图像关于点 π ,0 12       对称 【答案】ABD 【分析】由题意，利用三角函数的图象变换，整理函数解析式，根据整体代入的方法可 得答案. 【详解】先将函数 ( ) sinf x x= 的图像向右平移 π 6 个单位长度后，可得 π sin 6 y x   = −    的 图像， 再将横坐标缩短为原来的 1 2 ，得到函数 π ( ) sin 2 6 g x x   = −    的图像， 则当 π 0, 4 x       时， π π π 2 , 6 6 3 x   −  −    ，故 ( )g x 单调递增，故 A 正确； 当 5π 6 x = 时， ( ) 1g x = − ，为最小值，故 ( )g x 的图像关于直线 5π 6 x = 对称，故 B 正确； 当 π π , 4 2 x       时， π π 5π 2 , 6 3 6 x   −     ，此时 ( )g x 不单调，故 C 不正确； 由题意可得 ( )g x 的最小正周期为 π，当 π 12 x = 时， ( ) 0g x = ，故 ( )g x 的图像关于点 π ,0 12       对称，故 D 正确， 故选：ABD. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型二 与三角函数结合类的图象判断问题 【例 2】函数 ( )2( ) 1 sinf x x x= − 在区间[ , ]−  上的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用定义判断奇偶性，排除 AD；再代入特殊点排除 C 选项. 【详解】定义域为[ , ]−  ，又 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2( ) 1 sin 1 sinf x x x x x f x − = − − − = − − = −   ， 故 ( )2( ) 1 sinf x x x= − 在[ , ]−  上为奇函数，排除 AD； 又 2π π π ( ) 1 sin 0 2 4 2 f   = −     ，故排除 C 选项， 故选：B 【跟踪训练 2】函数 cos siny x x x= − 的图像可能是（ ） A． B． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断函数的对称性，从而判断 C、D，再利用特 殊值即可判断 A，从而得解； 【详解】解： ( ) cos siny f x x x x= = − 定义域为R ， 且 ( ) ( ) ( )cos sin cos sinf x x x x x x x− = − − − − = − − − cos sinx x x= − + ， 即 ( ) ( )f x f x−  且 ( ) ( )f x f x−  − ，故 ( )f x 不具有奇偶性， 所以函数图象不关于 y 轴对称也不关于原点对称，故排除 C、D； 又 1 3 cos sin 0 6 6 6 6 2 6 2 f            − = − − − − = − +                 ， cos sin 0 2 2 2 2 f          − = − − − − =            ， 且当 ,0 2 x    −    时 sin 0x  ，cos 0x  ， cos 0x x−  ，则 ( ) cos sin 0f x x x x= −  ，故排 除 A， 故选：B 题型三 三角函数与不等式的结合问题 【例 3】若 sin cos π log cos log sin , 0 2 x xx x x         ，则 x 的取值范围是_________________. 【答案】 π 0, 4       【分析】先对 sin coslog cos log sin ,x xx x 进行化解，化解后求得 1 cos sin sin x x x   ，根据 三角函数性质求得 x 的取值范围. 【详解】 sin coslog cos log sin ,x xx x 得 sin cos log cos 1 log sin x x x x  进行换底得 lgcos lgsin 1 lgsin lgcos x x x x  化解得 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 2 lg cos 1 lgsin x x       ，解得 lgcos 1 1 lgsin x x −   得 sin1 log cos 1x x−   ，所以 1 sin sin sinlog sin log cos log sinx x xx x x −   ，因为 π 0, , 2 x       0 sin 1,x  所以 1 cos sin sin x x x   ，当cos sinx x 时，得 π 0, 4 x       ，当 1 cos sin x x  时，因为0 cos 1, x 所以 x R .所以 x 的取值范围是 π 0, 4       . 故答案为： π 0, 4       【跟踪训练 3】若不等式 ( ) π sin π 0 6 x a b x   − − +     对  1,1x − 恒成立，则a b+ 的值等 于______． 【答案】 5 6 【分析】作出 y＝ π sin π 6 x   +    在[－1，1]上的图像，作出符合题意的 y＝ x a b− − 的图 像即可求出 a、b，从而得到答案． 【详解】设函数 y= π sin π 6 x   +    ， ( ) , , x a b x a f x x a b x a b x a − + −  = − − =  − − ，下面分析它们的 性质，以作出它们的图像. ①对函数 y= π sin π 6 x   +    ，  1,1x − 时， π 5π 7π π [ , ] 6 6 6 x+  − ， ∴当 5π π π 0 6 6 x− + 或 π 7π π π 6 6 x + ，即 1 1 6 x− − 或 5 1 6 x 时， π sin π 0 6 x   +    ； 当 π 0 π π 6 x +  ，即 1 5 6 6 x−   时， π sin π 0 6 x   +     ． ②对 ( ) , , x a b x a f x x a b x a b x a − + −  = − − =  − − ， 则 ( )f x 在 ( ),a− 上单调递减，在 ( ),a + 上单调递增，且 ( )f x 的图像关于直线 x a= 对 称. 若不等式 ( ) π sin π 0 6 x a b x   − − +    对  1,1x − 恒成立， 则当 1 1 6 x− − 或 5 1 6 x 时， 0x a b− − ；当 1 5 6 6 x−   时， 0x a b− − ． 为使 f(x)满足上述条件，其图像仅能如图所示： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 1 5 0 6 6 f f      − = =        ， 1 5 16 6 2 3 a − +  = = ，又 5 5 1 0 6 6 3 f b   = − − =    ，则 1 2 b = ， 1 1 5 3 2 6 a b + = + = ﹒ 故答案为： 5 6 ﹒ 题型四 三角函数的值域问题 【例 4】函数 2sin 2 2 cosy x x= + 的定义域为 3π , 4    −    ，值域为 3 ,2 2 2   −    ，则 α 的取 值范围是（ ） A． 3π 0, 4       B．[0,π] C． π ,0 4   −    D． π ,π 2       【答案】A 【分析】由同角三角函数关系化简后换元，得二次函数，利用二次函数单调性可知 2 1 2 t−   ，即 2 cos 1 2 x−   ，据此结合余弦函数图象与性质可得 的范围. 【详解】由 2 2 2sin 2 2 cos 1 cos 2 2 cos (cos 2) 3y x x x x x= + = − + = − − + ， 令 cost x= ，得： 2( 2) 3y t= − − + ，二次函数开口向下，对称轴为 2 1t =  ， 因为 cos 1t x=  ，所以函数为递增函数， 因为当 2 3π cos( ) 2 4 t = − = − 时， 3 2 y = − ，当 1t = 时， 2 2y = ， 所以 2 1 2 t−   ，即 3π [ , ] 4 x  − 时， 2 cos ,1 2 x    −    ，使函数的值域为 3 ,2 2 2   −    ， 所以由余弦函数图象与性质可知， 3π 0 4   ，所以 的取值范围是： 3π 0 4       ， ． 故选：A 【跟踪训练 4】（多选）已知函数 ( ) 1 cos cos f x x x = + ，则（ ） A． ( )f x 的最小值为 2 B． ( )f x 的图象关于 y 轴对称 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 C． ( )f x 的图象关于直线 πx = 对称 D． ( )f x 的图象关于 π ,0 2       中心对称 【答案】BCD 【分析】选项 A, ( )f x 的值可以为负，所以 A 不正确；选项 B, ( )f x 为偶函数，其图 像关于 y 轴对称，所以 B 正确；选项 C, ( ) ( )f x f x− = + ，所以 ( )f x 的图像关于直 线 πx = 对称，所以 C 正确；选项 D， π π 2 2 f x f x     − = − +        ，所以 ( )f x 的图象关于 π ,0 2       中心对称.所以 D 正确. 【详解】解：选项 A. 当cos 0x  时， ( )f x 的值为负，所以 A 不正确. 选项 B. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 cos cos cos cos x x x f x f x x = − =− + + = − ， 所以 ( )f x 为偶函数，其图像关于 y 轴对称，所以 B 正确. 选项 C. ( ) ( ) ( ) 1 1 π cos π cos cos π cos f x x x x x + = + + = − − + ( ) ( ) ( ) 1 1 π cos π cos cos π cos f x x x x x − = − + = − − − 所以 ( ) ( )f x f x− = + ，所以 ( )f x 的图像关于直线 πx = 对称，所以 C 正确. 选项 D， π π 1 1 cos sin π2 2 sin cos 2 f x x x x x     − = − + = +         −    ， π π 1 1 [cos ] sin π2 2 sin cos 2 f x x x x x     − + = − + + = +         +    ， 所以 π π 2 2 f x f x     − = − +        ，所以 ( )f x 的图象关于 π ,0 2       中心对称.所以 D 正确. 故选：BCD 题型五 已知三角函数单调性求参数范围问题 【例 5】已知函数 ( ) π sin 6 f x x   = +    （其中 0  ）在 π 0 6       ， 上单调递增，在 π π 3 2       ， 上 单调递减，则的取值范围为（ ） A． ( 01， B． ( 0 2， C． 1 2， D． ( )1 2， 【答案】C 【分析】利用 ( )f x 在 π 0 6       ， 上单调递增，在 π π 3 2       ， 上单调递减得到 π 6 x + 的范围可得 答案. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 【详解】当 π 0, 6 x       时， π π π π , 6 6 6 6     +  +    x ，所以 π π π 6 6 2  +  ，解得 2  ， 当 π π , 3 2       x 时， π π π π π 6 3 6 2 6 ，     +  + +    x ，因为 2  ，所以 π π 7π 2 6 6  +  ， 所以 π π π 3 6 2  +  ，解得 1  ，综上所述，1 2  . 故选：C. 【跟踪训练 5】（多选）已知函数 ( ) ( )tan 2 0 3 f x x      = +     ，则下列说法不正确的是 （ ） A．若 ( )f x 的最小正周期是 2  ，则 1 = B．当 1 = 时， ( )f x 图象的对称中心的坐标都可以表示为 ( ),0 2 6 k k    −     Z C．当 1 2  = 时， ( ) 6 f f     −  −    D．若 ( )f x 在区间 , 3         上单调递增，则 1 0 3   【答案】BCD 【分析】对于 A.根据正切函数最小正周期公式T   = 计算即可；对于 B.整体代入正切函 数的对称中心公式计算即可；对于 C.写出函数解析式代入计算即可；对于 D.整体代入 正切函数的单调区间，求出关于的单增区间，再根据题意列出不等式计算出取值范 围. 【详解】当 ( )f x 的最小正周期是 2  时， 2 2 T    = = ，则 1 = ，故 A 选项正确； 当 1 = 时， ( ) tan 2 3 f x x   = +    ，所以令2 3 2 k x   + = ，kZ，解得 4 6 k x   = − ，kZ， 所以函数 ( )f x 的对称中心的坐标为 ( ),0 4 6 k k    −     Z ，故 B 选项不正确； 当 1 2  = 时， ( ) tan 3 f x x   = +    ， ( ) ( )0 tan tan 3 6 6 f f f       − = =  − =    ，故 C 选项 不正确； 令 2 2 3 2 k x k      − +  +  + ， kZ，解得 ( ) 5 2 12 2 12 k k x k         −   + Z ，所以函 数 ( )f x 的单调递增区间为 ( ) 5 , 2 12 2 12 k k k           − +     Z ，因为 ( )f x 在区间 , 3         上单 调递增，所以 5 2 12 3 2 12 k k            −    +   ，解得 3 5 1 2 4 2 12 k k − +≤ ≤ ， kZ，另一方面 2 2 3 3 T      = − =≥ ， 3 4   ，所以 ( ) 1 3 2 12 4 k k+ Z≤ ，又因为 0  ，所以由 0k = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 得 1 0 12   ，由 1k = ，得 1 7 4 12 ≤ ≤ ，所以的取值范围是 1 0, 12       1 7 , 4 12       ，故 D 选项不正确． 故选:BCD 题型六 与三角函数零点有关的综合问题 【例 6】已知函数 π ( ) sin ( 0) 3 f x x    = +     在 π ,π 3       上恰有 3 个零点，则的取值范围 是（ ） A． 8 11 14 , 4, 3 3 3            B． 11 14 17 ,4 , 3 3 3            C． 11 14 17 , 5, 3 3 3            D． 14 17 20 ,5 , 3 3 3            【答案】C 【分析】先由零点个数求出3 6  ，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】 π ,π 3 x       ， π π π π ,π 3 3 3 3 x     +  + +    ，其中 2π π 4π π 3   −  ，解得：3 6  ， 则 π π 4π 3 3 3  +  ，要想保证函数在 π ,π 3       恰有三个零点，满足① 1 1 1 1 π π π+2 π 2π+2 π 3 3 π 4π+2 π<π 5π+2 π 3 k k k k     +    +   ， 1k Z ，令 1 0k = ，解得： 11 14 , 3 3        ；或要满足② 2 2 2 2 π π 2 π π+2 π 3 3 π 2 π+3π<π 2 π+4π 3 k k k k     +    +   ， 2k Z ， 令 2 1k = ，解得： 17 5, 3        ；经检验，满足题意，其他情况均不满足3 6  条件， 综上：的取值范围是 11 14 17 , 5, 3 3 3            . 故选：C 【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要 考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到 π π 2 3 T T −  ， 从而求出3 6  ，再进行求解. 【跟踪训练 6】已知函数 ( ) ( ) π sin 0 3 f xx     = +     ， ( ) 1 2 f x = 在区间 0,π 上有且仅有 2 个零点，对于下列 4 个结论： ①的取值范围是 11 5 , 6 2      ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 ②在区间 ( )0,π 上存在 1x ， 2x ，满足 ( ) ( )1 2 2f x f x− = ； ③ ( )f x 在区间 π 0, 15       上单调递减； ④ ( )f x 在区间 ( )0,π 有且仅有 1 个极大值点； 其中所有正确结论的编号为______. 【答案】①② 【分析】对于①：令 π 3 z x= + ，求出 z 的范围，根据 ( ) 1 2 f x = 在区间 0,π 上有且仅 有 2 个零点即可限制 π 3 x + 的取值范围，从而得到的取值范围； 对于②：在 z 的范围内可以找到一个最大值一个最小值满足条件； 对于③：当 π 0, 15 x       时，求出 z 的范围，判断是否在 siny z= 的减区间内； 对于④：根据条件， 5π 2 z = 对应的 x 也可能为一个极大值点. 【详解】对于①：   π π π π 3 3 , 3 0,πx x      +  +    ， ， 令 π 3 z x= + ，则 π π π 3 3 ,z     +    由题意， 1 sin 2 z = 在 π π π 3 3 ,   +    上只能有两解 5π 6 z = 和 13π 6 z = ， 13π π 17π π 6 3 6 ,  +  解得 11 5 6 2   ，所以①成立； 对于②：因为在 π π π 3 3 ,z     +    上必有 π 3π sin sin 2 2 2 − = ，故在 (0,π)上存在 1 2,x x 满足 ( )1 2( )f x f x− 2= ，所以②成立； 对于③：当 π 0, 15 x       时， π π π 3 15 3 ,z    +    ，由于 11 6  5 2  ，故 π π π π , 3 15 3 2 , 3 z       +         ， 此时 siny z= 是增函数，从而 ( )f x 在 0, π 15       上单调递增. 所以③不成立； π 2 z = 对应的 x（显然在 ( )0,π 上)一定是极大值点，因 5π 2 z = 对应的 x 值有可能在 ( )0,π 上， 故④结论错误； 综上，①②成立. 故答案为：①② 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用整体思想，根据 π 3 z x= + 整体的范围结合 siny z= 的图象解决零点个数，单调性，最值个数，对称性等问题. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 题型七 三角函数中的创新试题 【例 7】（多选）已知函数 ( ) ( ) ( )sin cos cos sinf x x x= + ，则下列结论正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的一个周期为2π B．函数 ( )f x 在 π 0, 2       上单调递减 C．函数 ( )f x 的最大值为 2 D．函数 ( )f x 图象关于直线 πx = 对称 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的周期性、单调性、最值、对称性等知识对选项进行分析，从而 确定正确答案. 【详解】由 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2π sin cos 2π cos sin 2π sin cos cos sinf x x x x x f x+ = + + + = + = ， 所以 ( )f x 是周期为2π的周期函数，A 正确： 由 cosy x= 在 π 0, 2       上单调递减及复合函数的单调性知， ( )sin cosy x= 在 π 0, 2       上单调递 减， 由 siny x= 在 π 0, 2       上单调递增，可知 ( )cos siny x= 在 π 0, 2       上单调递减， 所以函数 ( )f x 在 π 0, 2       上单调递减，故 B 正确； 当 0x = 时， ( ) π 0 sin1 cos0 1 sin1 1 sin 1.5 2 6 f = + = +  + =  ， 故函数 ( )f x 的最大值不是 2 ，故 C 错误； ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2π sin cos 2π cos sin 2π sin cos cos sinf x x x x x f x− = − + − = + = ， ( )f x\ 关于直线 πx = 对称，故 D 正确. 故选：ABD 【跟踪训练 7】设 ( ) sinf x a x= + ，若存在 1 2 5 , , , , 3 6 nx x x        ，使 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nf x f x f x f x−+ + + = 成立的最大正整数n 为 9，则实数a 的取值范围 是__________. 【答案】 15 17 7 3 , , 14 16 16 7     − − − −       【分析】依题意 ( ) ( ) ( ) ( ) min max min max 8 9 f x f x f x f x     ，分类讨论作出函数简图，求得最值解不等式组即 可 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 【详解】 5 3 6 x     1 sin 1 2 x   1 sin 1 2 a a x a +  +  + 依题意 ( ) ( ) ( ) ( ) min max min max 8 9 f x f x f x f x     （1）当 1 2 a  − 时, 函数草图如下图所示, 此时, ( ) ( ) min max 1 , 1 2 f x a f x a= + = + , 则 8 4 1 9 9 1 2 a a a a +  +   +  +   7 3 16 7 a−   − 满足条件; （2）当 1 1 2 a−   − 时, 函数草图如下图所示, 此时, ( ) ( ) min max 5 0, max , 2 6 f x f x f f       = =           , 则 ( ) ( ) ( ) ( ) min max min max 8 9 f x f x f x f x     无解 （3）当 1a = − 时, 函数草图如下图 此时, ( ) min 0f x = , ( ) max 1 2 f x a   = − +    , 则 1 0 2 1 0 2 a a     − +         − +    , 无解; （4）当 1a  − 时, 函数草图如下图所示, 此时, ( ) ( )min 1f x a= − + , ( ) max 1 2 f x a   = − +    , 则 ( ) ( ) 1 8 1 2 1 9 1 2 a a a a    − +  − +       − +  − +    武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 解得 15 17 14 16 a−   − , 满足条件 故答案为： 15 17 7 3 , , 14 16 16 7     − −  − −       课后突破训练 1．下列函数中，以 π 2 为周期且在区间 π π , 4 2       上单调递增的是（ ） A． ( ) sinf x x= B． ( ) cosf x x= C． ( ) sin2f x x= D． ( ) cos2f x x= 【答案】D 【分析】根据函数的周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项， ( ) sinf x x= ， ( ) π π π 0 0, 0 sin 1 0 2 2 2 f f f     = + = = =         ，A 选项不 符合. B 选项， ( ) cosf x x= ， ( ) π π π 0 1, 0 cos 0 1 2 2 2 f f f     = + = = =         ，B 选项不符合. C 选项， ( ) sin2f x x= ， π π π π π sin 1, sin π 0, 4 2 2 4 2 f f f f         = = = =                 ，C 选项不 符合. D 选项， ( ) cos2f x x= ， ( ) π cos 2 π cos2 cos 2 2 f x x x x   + = + = − =    ， 所以 ( )f x 是周期为 π 2 的周期函数； π π π , 2 π 4 2 2 x x    ，此时 cos2 0y x=  且 cos2y x= 在 π π , 4 2       上递减， 则 ( ) cos2f x x= 在 π π , 4 2       上递增，符合题意，D 选项正确. 故选：D 2．函数 ln cos x y x x = + 的部分图象大致为（ ） A． B． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 C． D． 【答案】D 【分析】分别根据奇偶性和特殊值判断即可. 【详解】易知函数 ln cos x y x x = + 为偶函数，所以其图象关于 y轴对称，排除 A，B 项； 又当 x = 时， ln ln cos 1 0y      = + = − +  ，排除 C 选项. 故选：D． 3．已知函数 ( ) 5 cos2 2sinf x ax ax= − − 在区间 1,2− 上的最小值为 7 2 ，则 a的取值范围 为（ ） A． π π , , 6 12     − −  +       B． π π , , 12 6     − −  +       C． π π ,0 0, 6 12     −        D． π π ,0 , 6 12     −  +       【答案】A 【分析】根据二倍角得余弦公式化简，从而问题可转化为 1 sin 2 ax = 在区间 1,2− 上有解， 再分 0a  ， 0a = 和 a<0三种情况讨论即可得出答案. 【详解】解： 2 2 1 7( ) 5 cos2 2sin 2sin 2sin 4 2 sin 2 2 f x ax ax ax ax ax   = − − = − + = − +    ， 因为函数 ( ) 5 cos2 2sinf x ax ax= − − 在区间 1,2− 上的最小值为 7 2 ， 所以 1 sin 2 ax = 在区间 1,2− 上有解， 当 0a  时，由  1,2x − ，得  ,2ax a a − ， 则有 0 π 2 6 a a      ，解得 π 12 a  ， 当 0a = 时， 1 sin 0 2 ax =  ，与题意矛盾， 当 a<0时，由  1,2x − ，得  2 ,ax a a − ， 则有 0 π 6 a a    −   或 0 7π 2 6 a a     −  ，解得 π 6 a  − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 综上 a的取值范围为 π π , , 6 12     − −  +       . 故选：A. 4．已知函数 ( ) π 2sin 2 6 f x x   = +    ，对于任意的 )3,1a  − ，方程 ( ) ( )0f x a x m=   恰 有一个实数根，则 m的取值范围为（ ） A． 7π 3π , 12 4       B． π 5π , 2 6      C． π 5π , 2 6       D． 7π 3π , 12 4      【答案】D 【分析】将方程的根的问题转化为函数 ( )y f x= 的图象与直线 y a= 有且仅有1个交点， 画出图象，数形结合得到不等式组，求出 m的取值范围. 【详解】方程 ( ) ( )0f x a x m=   恰有一个实数根，等价于函数 ( )y f x= 的图象与直线 y a= 有且仅有 1 个交点． 当0 x m  得： π π π 2 ,2 6 6 6 x m   +  +    ， 结合函数 ( )y f x= 的图象可知， π 4π 5π 2 , 6 3 3 m   +     ， 解得： 7π 3π , 12 4 m       . 故选：D 5．已知函数 π ( ) sin ( 0) 4 f x x    = +     在区间[0, ] 上有且仅有 4 条对称轴，则下列四个 结论正确的是（ ） A． ( )f x 在区间 (0,π)上有且仅有 3 个不同的零点 B． ( )f x 的最小正周期可能是 π 4 C．的取值范围是 13 17 , 4 4      D． ( )f x 在区间 π 0, 16       上单调递增 【答案】C 【分析】根据已知，利用整体代换技巧以及三角函数的性质进行求解判断. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 【详解】因为函数 π ( ) sin ( 0) 4 f x x    = +     在区间[0, ] 上有且仅有 4 条对称轴， 令 π π π, Z 4 2 x k k + = +  ，则 ( )1 4 π , Z 4 k x k  + =  ， 所以 ( )1 4 π 0 π 4 k  +   有 4 个整数 k 符合， 由 ( )1 4 π 0 π 4 k  +   得， ( )1 4 0 1 4 k  +   ，0 1 4 4k  +  ， 则 0,1,2,3k = ，所以1 4 3 4 1 4 4+    +  ，所以 13 17 4 4   ，故 C 正确； 对于 A，当 (0,π)x ， π π π , π 4 4 4 x    +  +    ，因为 13 17 4 4   ，所以 π 7π 9π π , 4 2 2    +     ， 当 π π 7π , 4 4 2 x   +     时， ( )f x 在区间 (0,π)上有且仅有 3 个不同的零点， 当 π π 9π , 4 4 2 x   +     时， ( )f x 在区间 (0,π)上有且仅有 4 个不同的零点，故 A 错误； 对于 B，周期 2π T  = ，因为 13 17 4 4   ，则 4 1 4 17 13   ，所以 8π 8π 17 13 T  ， 因为 π 8π 8π , 4 17 13       ，故 B 错误； 对于 D，当 π 0, 16 x       ， π π π π , 4 4 16 4 x     +  +    ，因为 13 17 4 4   ， 所以 π π 29π 33π , 16 4 64 64    +     ，因为 33π π 64 2  ，所以 ( )f x 在区间 π 0, 16       上不一定单调递增， 故 D 错误. 故选：C. 6．函数 2sin π (0 1) ( ) lg ( 1) x x f x x x   =   ，若a b c、 、 互不相等，且 ( ) ( ) ( )f a f b f c= = ，则 a b c+ + 的取值范围是（ ） A． ( )1,100 B． ( )1,11 C． ( )2,101 D． 2,11 【答案】C 【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数 ( )f x 的图像，再利用图像 数形结合即可发现a 、b 、 c 间的关系和范围，最后求得所求范围. 【详解】函数 ( )f x 的图像如图所示： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 设a b c  ，由函数图像数形结合可知： 1 2 1 2 a b+ =  = ， 0 lg 2c  ， 1 100c   2 101a b c  + +  ． 故选：C． 7．已知函数 ( ) π cos ( 0) 3 f x x    = −     在 π π , 6 4      上单调递增，且当 π π , 4 3 x       时， ( ) 0f x  恒成立，则的取值范围为（ ） A． 5 22 17 0, , 2 3 2             B． 4 17 0, 8, 3 2             C． 4 28 0, 8, 3 3             D． 5 22 0, ,8 2 3             【答案】B 【分析】由已知，分别根据函数 ( )f x 在区间 π π , 6 4      上单调递增，在 π π , 4 3 x       时， ( ) 0f x  恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解. 【详解】由已知，函数 ( ) π cos ( 0) 3 f x x    = −     在 π π , 6 4      上单调递增， 所以 ( )1 1 1 π 2 π π 2 π Z 3 k x k k−  −   ，解得： ( )1 1 1 2 π 2 π2π π Z 3 3 k k x k     −   +  ， 由于 ( )1 1 1 Z π , π , 6 4 2 π 2 π2π π 3 3 k k k                − +  ，所以 1 1 2 ππ 2π 6 3 2 ππ π 4 3 k k       −    +  ，解得： ( )1 1 1 4 12 4 8 Z 3 k k k−   +  ① 又因为函数 ( ) π cos ( 0) 3 f x x    = −     在 π π , 4 3 x       上 ( ) 0f x  恒成立， 所以 ( )2 2 2 π π π 2 π 2 π+ Z 2 3 2 k x k k−  −   ，解得： ( )2 2 2 2 π 2 ππ 5π Z 6 6 k k x k     −   +  ， 由于 ( )2 2 2 2 π 2 ππ 5π , Z 6 π , 4 6 π 3 k k k     − +             ，所以 2 2 2 ππ π 4 6 2 ππ 5π 3 6 k k       −    +  ，解得： ( )2 2 2 2 5 8 6 Z 3 2 k k k−   +  ② 又因为 0  ，当 1 2 0k k= = 时，由①②可知： 0 4 4 3 2 5 3 2         −     −   ，解得 4 0 3        ， ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 当 1 2 1k k= = 时，由①②可知： 0 28 8 3 22 17 3 2               ，解得 17 8 2        ， . 所以的取值范围为 4 17 0, 8, 3 2             . 故选：B. 【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法， 将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助 我们进行求解. 8．将函数 ( ) 2sin 1f x x= − 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，再向下平移 1 个单位长度，最后向左平移 ( 0)   个单位长度，得到函数 ( )g x 的图象.若对任意 1 0, 2 x       ，都存在 2 ,0 2 x    −   ，使得 ( ) ( )1 2f x g x= ，则 的值可能是（ ） A． 4  B． 5 12  C． 7 12  D． 3 4  【答案】C 【分析】由题意易得 ( )g x 在 ,0 2   −    上的值域包含 ( )f x 在 0, 2       上的值域，再分析 ( )g x 的最值判断值域的包含关系，结合选项排除即可 【详解】由题， ( ) ( ) ( )2 2sin 1 1 4sin 3g x x x = + − − = + −   ，又对任意 1 0, 2 x       ，都 存在 2 ,0 2 x    −   ，使得 ( ) ( )1 2f x g x= ，故 ( )g x 在 ,0 2   −    上的值域包含 ( )f x 在 0, 2       上的值域.又当 1 0, 2 x       时，  1 1( ) 2sin 1 1,1f x x= −  − ，即 ( )g x 在 ,0 2   −    上的值域包 含 1,1− .又当 ,0 2 x    −     时， , 2 x      −    +  + ，且 ( ) ( )4sin 3 1g x x = + − = 有解， 故区间 , 2     −    + 包含 2 , 2 x k k Z  = +  ，排除 AB；又当 3 4   = 时， ( ) 3 4sin 3 2 2 3,1 4 g x x    = + −  −     ，因为2 2 3 1−  − ，故 2 2 3,1 − 不包含 1,1− 不 合题意排除 D；当 7 12   = 时 ( ) 7 4sin 3 12 g x x   = + −    ，此时 7 7 , 12 12 12 x     +     ，故 ( )min 4sin 3 4sin 3 1 12 6 g x   = −  − = − ，故此时 ( )g x 在 ,0 2   −    上的值域包含 1,1− 满足 条件.综上所述 7 12   = 满足条件 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 故选：C 9．（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动 力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史 是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 (3, 3 3)A − 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用 时 120 秒.经过 t秒后，水斗旋转到 P点，设点 P的坐标为 ( , )x y ，其纵坐标满足 ( ) sin( ) 0, 0,| | 2 y f t R t t        = = +       ，则下列叙述正确的是（ ） A．水斗作周期运动的初相为 3  − B．在水斗开始旋转的 60 秒（含）中，其高度不断增加 C．在水斗开始旋转的 60 秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 3 D．当水斗旋转 100 秒时，其和初始点 A的距离为 6 【答案】AD 【分析】求出圆的半径 R ，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用 正弦函数的性质依次判断各选项即可． 【详解】对于 A，由 (3, 3 3)A − ，知 2 23 ( 3 3) 6R = + − = ， 120T = ，所以 2 60T    = = ； 当 0=t 时，点 P在点 A位置，有 3 3 6sin− = ，解得 3 sin 2  = − ，又 | | 2    ，所以 3   = − ， 故 A 正确； 对于 B，可知 ( ) 6sin 60 3 f t t    = −    ，当 ( 0,60t ， 2 , 60 3 3 3 t      −  −    ，所以函数 ( )f x 先增 后减，故 B 错误； 对于 C，当 ( 0,60t ， 2 , 60 3 3 3 t      −  −    ， 3 sin ,1 60 3 2 t      −  −       ，所以点 P 到 x 轴的距 离的最大值为 6，故 C 错误； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 对于 D，当 100t = 时， 4 60 3 3 t    − = ， P 的纵坐标为 3 3y = − ，横坐标为 3x = − ，所以 | | 3 3 6PA = − − = ，故 D 正确． 故选：AD． 【点睛】方法点睛：求函数 ( )sin ( 0, 0)y A x B A  = + +   解析式的步骤： (1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则A 2 M m− = ， 2 M m B + = . (2)求，确定函数的周期T ，则 2π .T  = (3)求 ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还 是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 10．在函数 ( ) ( )( )sin 2 0f x x  = −  图象与 x轴的所有交点中，点 ,0 2       离原点最近，则 可以等于__________（写出一个值即可）． 【答案】 π 3 （答案不唯一） 【分析】先求出 ( )f x 与 x轴的所有交点，再结合题意得到 π 2 2 2 k   + 恒成立，整理得 π 0 2 k k    +     ，分类讨论 1k  ， 1k  − 与 1 1k−   三种情况，结合恒成立可得到 π 0 2   ，从而得解. 【详解】因为 ( ) ( )( )sin 2 0f x x  = −  ， 令 ( ) 0f x = ，即 ( )sin 2 0x − = ，得2 π, Zx k k− =  ，即 π, Z 2 2 k x k  = +  ，则 ( )f x 图 象与 x轴的所有交点为 π,0 , Z 2 2 k k   +     ， 因为其中点 ,0 2       离原点最近，所以 π , Z 2 2 2 k k    +  恒成立， 不等式两边平方整理得 π 0 2 k k    +     ， 当 1k  时， π 0 2 k  +  ，因为 0  ，故 π 0 2 k  +  恒成立； 当 1k  − 时， π 0 2 k  +  ，即 π 2 k   − 恒成立，因为 π π 2 2 k −  ，则 π 2   ，故 π 0 2   ； 当 1 1k−   ，即 0k = 时，显然上述不等式恒成立， 综上，由于上述分类情况要同时成立，故 π 0 2   ，所以 可以等于 π 3 . 故答案为： π 3 （答案不唯一）. 11．已知函数 ( ) ( )2sin 0, 2 f x x        = +      的部分图象如图所示，则满足条件 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 ( ) 5 4 f x f    + −      ( ) 7 0 3 f x f    +        的最小正偶数 x为___________. 【答案】4 【分析】先根据图象求出函数 ( )f x 的解析式，再求出 5 ( ), ( ) 4 3 f f   − 的值，然后求解三 角不等式可得最小正偶数. 【详解】由图可知 3 5 3 4 6 12 4 T    = − = ，即 2 T    = = ，所以 2 = ； 由五点法可得2 12 2    + = ，即 3   = ； 所以 2 n 2) 3 ( sif x x   = +    . 因为 15 ( ) 6 1 4 3 2sinf    −  =   − = − ， ( ) 7 ( ) 2sin 5 0 3 f  = = ； 所以由 ( ) 5 4 f x f    + −      ( ) 7 0 3 f x f    +        可得0 ( ) 1 f x ； 由0 2sin 2 1 3 x    +     ，即 1 0 sin 2 3 2 x    +     ， ∴2 2 3 Z2 , 6 k kx k    ++    或 2 2 Z 3 2 , 6 k kx k  +   +  + ， 解得 , Z 6 12 k x k k   −   −  或 , Z 4 3 k x k k   +   +  ， 令 1k = ，可得 6 12 x     或 4 3 x     ， 所以最小正偶数 x 为 4. 故答案为：4. 12．已知函数 ( ) ( )( )2sin 0,f x x    = +   ，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐 标相差 4  ，将函数 ( )f x 向左平移 6  个单位得到的图像关于 y轴对称且 ( )0 0f  ． (1)求函数 ( )f x 的解析式： (2)若 11 0, 12 x       ，方程 ( ) ( ) ( )2 2 3 0f x a f x a+ − + − = 存在 4 个不相等的实数根，求实 数 a的取值范围． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 23 页 【答案】(1) ( ) 2sin(2 ) 6 f x x  = + ； (2)1 3a< ? 或4 5a  . 【分析】（1）根据给定函数的性质，求出，再由平移后的图象特征求出 并判断作答. （2）由给定方程可得 ( ) 1f x = 或 ( ) 3f x a= − ，根据 ( ) 3f x a= − 根的情况结合图形求解 作答. (1) 因函数 ( )f x 图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差 4  ，则 ( )f x 的周期 2 T    = = ，解得 2 = ， 有 ( ) 2sin(2 )f x x = + ，依题意 ( ) 2sin(2 ) 6 3 f x x   + = + + 的图像关于 y轴对称， 则有 , Z 3 2 k k    + = +  ，即 , Z 6 k k   = +  ，而   ，即有 5 6  = − 或 6   = ， 当 5 6  = − 时， 5 (0) 2sin( ) 0 6 f  = −  ，不符合要求，当 6   = 时， (0) 2sin 0 6 f  =  ， 所以函数 ( )f x 的解析式是 ( ) 2sin(2 ) 6 f x x  = + . (2) 由（1）知， ( ) 2sin(2 ) 6 f x x  = + ，当 11 [0, ] 12 x   时， (2 ) [ ,2 ] 6 6 x   +  ， ( ) [ 2,2]f x  − ， 由 ( ) ( ) ( )2 2 3 0f x a f x a+ − + − = 得：[ ( ) 1][ ( ) ( 3)] 0f x f x a− − − = ，即 ( ) 1f x = 或 ( ) 3f x a= − ， 由 ( ) 1f x = ，即 1 sin(2 ) 6 2 x  + = ，而 11 [0, ] 12 x   ，解得 0x = 或 3 x  = ，即 ( ) 1f x = 在 11 [0, ] 12  上有两个根， 方程 ( ) ( ) ( )2 2 3 0f x a f x a+ − + − = 在 11 [0, ] 12  上存在 4 个不相等的实数根， 当且仅当 ( ) 3f x a= − 且 3 1a−  在 11 [0, ] 12  上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数 ( )y f x= 在 11 [0, ] 12 x   上的图象和直线 3y a= − ，如图， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 24 页 方程 ( ) 3( 4)f x a a= −  在 11 [0, ] 12  上有两个不等实根，当且仅当函数 ( )y f x= 在 11 [0, ] 12 x   上的图象和直线 3( 4)y a a= −  有两个公共点， 观察图象知： 2 3 0a−  −  或1 3 2a −  ，解得1 3a< ? 或4 5a  ， 所以实数 a的取值范围是1 3a< ? 或4 5a  . 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价 转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.