14 三角函数概念及诱导公式综合应用重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 14 三角函数概念及诱导公式综合应用重难点专题 常考结论及公式 结论一：两角对称的部分结论 （1） ,  终边相同 2 ,k k Z   = +  . （2） ,  终边关于 x 轴对称 2 ,k k Z   =− +  . （3） ,  终边关于 y 轴对称 2 ,k k Z    = − +  （4） ,  终边关于原点对称 2 ,k k Z    = + +  结论二：诱导公式的说明 奇变偶不变，符号看象限.“奇”与“偶”指的是 2 k   中的整数 k 是奇数还是 偶数.“变”与“不变”是指函数名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 是偶 数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在 2 k   中，将 看成锐角时 2 k   所 在的象限. 结论三：几个重要的结论 （1）当0 2    时，有sin tan    恒成立. （2） 2(sin cos ) 1 2sin cos    =  ； 2 2(sin cos ) (sin cos ) 2   + + − = ； （3）在平面直角坐标系中，以 x 轴的非负半轴为角 的始边，当角 的终边过点 ( , )x y 时，则 2 2 sin y x y  = + ， 2 2 cos x x y  = + ， tan y x  = . （4）在 ABC 中，由 A B C + + = 知，sin( ) sinA B C+ = ，cos( ) cosA B C+ = − ， tan( ) tanA B C+ = − ， sin cos 2 2 A B C+ = ，cos sin 2 2 A B C+ = . （5）在 ABC 中， sin sinA B A B   .特别地，当 ABC 为锐角三角形时，恒有 sin cosA B 成立. 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 题型一 利用三角函数线比较大小 【例 1】已知函数 ( )y f x= 是 ( 1,1)− 上的偶函数，且在区间 ( 1,0)− 是单调递增的， , ,A B C 是锐角 ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 A． (sin ) (cos )f A f A B． (sin ) (cos )f A f B C． (cos ) (sin )f C f B D． (sin ) (cos )f C f B 【答案】C 【分析】根据锐角三角形的角度范围和诱导公式，对三角函数结果转化，同时借助 ( )y f x= 函数的奇偶性和单调性，代入即可求解. 【详解】对于 A，由于不能确定 sinA, sinB的大小，故不能确定 f(sinA)与 f(sinB)的大小， 故 A 错； 对于 B，∵ A,B,C是锐角三角形 ABC的三个内角， ∴ 2 A B  +  ，得 2 A B   − ， 注意到不等式的两边都是锐角，两边取正弦， 得 sin sin( ) 2 A B   − ， 即 sin cosA B ， 又∵ ( )y f x= 定义在 ( 1,1)− 上的偶函数，且在区间 ( 1,0)− 上单调递增， ∴ ( )y f x= 在（0，1）上是减函数，由 sin A＞cos B， 可得 (sin ) (cos )f A f B ， 故 B 错； 对于 C，∵A,B,C是锐角三角形 ABC的三个内角， 2 B C  +  ， 得 2 C B   − ， 注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦， 得 cos cos( ) 2 C B   − ， 即 cos sinC B ， ∵ ( )y f x= 在（0，1）上是减函数， 由 cos sinC B ，可得 ( ) ( )cos sinf C f B＞ ， 故 C 正确； 对于 D，由对 B 选项的证明可得 (sin ) (cos )f C f B ，故 D 错； 故选：C. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 1】（多选）已知sin sin  ，那么下列命题正确的是（ ） A．若角 、 是第一象限角，则cos cos  B．若角 、 是第二象限角，则 tan tan  C．若角 、 是第三象限角，则cos cos  D．若角 、 是第四象限角，则 tan tan  【答案】BCD 【分析】利用三角函数线逐项判断可得出合适的选项. 【详解】设角 、 的终边分别为射线OP 、OQ ． 对于 A，如图 1，sin sinMP NQ =  = ， 此时cos OM = ，cos ON = ，OM ON ，所以cos cos  ，故 A 错误； 对于 B，如图 2，sin sinMP NQ =  = ， 此时 tan AC = ， tan AB = ，且 AC AB ，所以 tan tan  ，故 B 正确； 对于 C，如图 3，sin sinMP NQ =  = ， 此时cos OM = ，cos ON = ，且OM ON ，所以cos cos  ，故 C 正确； 对于 D，如图 4，sin sinMP NQ =  = ， AB AC ，即 tan tan  ，故 D 正确． 故选：BCD. 题型二 扇形弧长及面积公式的应用 【例 2】已知圆 O与直线 l相切于点 A，点 P，Q同时从点 A出发，P沿直线 l匀速向右、 Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点 Q运动到如图所示的位置时，点 P也停 止运动，连接 OQ，OP，则阴影部分的面积 1S ， 2S 的大小关系是（ ） A． 1 2S S B． 1 2S S 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 C． 1 2S S= D．先 1 2S S ，再 1 2S S= ，最后 1 2S S 【答案】C 【分析】根据给定条件求出扇形 AOQ与 OAP 面积，再由面积的关系即可判断作答. 【详解】因圆 O与直线 l相切，则OA AP⊥ ，于是得 AOP 面积 1 2 OAPS OA AP=  ， 令弧 AQ的弧长为 l，扇形 AOQ面积 1 1 2 2 S lr l OA= =  ， 依题意 =l AP，即 OAPS S= ，令扇形 AOB面积为 S ，则有 1 2S S S S + = + ，即 1 2S S= ， 所以阴影部分的面积 1S ， 2S 的大小关系是 1 2S S= . 故选：C 【跟踪训练 2】如图，A ，B 是半径为 1 的圆周上的定点，P 为圆周上 的动点， APB 是锐角，大小为（弧度制）.图中阴影区域的面积的 最大值为（ ） A． sin + B．4 4sin + C．2 2cos + D．4 4cos + 【答案】A 【分析】根据题意得，当 P 为弧 AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，再分析条 件求解即可. 【详解】如下图所示，设圆的圆心为O，分别连接OP ，OA，OB ， AB， 观察图形可知，当 P 为弧 AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值， 由圆的性质得 2 2AOB APB =  = ，所以 ( ) 1 2 2 2 AOP BOP     = = − = − 面积S的最大值为： ( ) ( )2 2 1 1 1 sin sin 2 2 2 POB POAS S OP OB OP OA           + + = +    − +    −△ △ sin = + . 故选：A. 题型三 同角间的三角函数关系及诱导公式的基本应用 【例 3】已知 1 sin 3 3 x   − =    ，且0 6 x    ，则 2 sin cos 6 3 x x      + − +        的值为 ___________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【答案】 4 2 3 【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得cos 3 x   −    的值，再结合诱导公式可求得 所求代数式的值. 【详解】 0 6 x    ， 6 3 3 x    −  −  ，又 1 sin 0 3 3 x   − =     ， 0 3 3 x     −  ， 2 2 2cos 1 sin 3 3 3 x x       − = − − =        . ∴ 2 2 sin sin cos 6 2 3 3 3 x x x           + = − − = − =              , 2 2 2 cos cos cos 3 3 3 3 x x x            + = − − = − − = −              . 2 4 2 sin cos 6 3 3 x x        + − + =        . 故答案为： 4 2 3 . 【跟踪训练 3】已知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 sin 2 cos cos cos 2 2 9 cos sin 3 sin sin 2 f                      − + + −       =   − − − − +    ，若角 的 终边过点 ( )4 3P ,− . (1)求 2 f     +    的取值. (2)求 2 1 4cos 6sin cos  − 的值. 【答案】(1) 4 3 − (2) 25 136 【分析】（1）由诱导公式化简 ( )f  ，化简 ( ) 2 f   + ，由三角函数定计算出 tan可得结 论． （2）由平方关系化待求式为关于sin ,cos 的齐次式，然后弦化切，代入（1）的结论 计算． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【详解】（1） ( ) ( )( )( )( ) ( ) sin cos sin sin tan cos sin sin cos f           − − − − = = − − 角 的终边过点 ( ) 3 4,3 , tan 4 P −  = − ， 1 4 tan 2 2 tan 3 f           + = − + = = −        . （2） 2 2 2 2 1 sin cos = 4cos 6sin cos 4cos 6sin cos         + − − 2tan 1 25 4 6tan 136   + = = − 题型四 三角形中的诱导公式应用 【例 4】（多选）已知角 A，B ，C 是 ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A． ( )cos cosB C A+ = − B．若sin 2 sin 2A B= ，则 ABC是等腰三角形 C．若sin sinA B ，则 A B D．若 ABC是锐角三角形，则sin cosB A 【答案】ACD 【分析】对 A， ( ) ( )cos cos πB C A+ = − ； 对 B，sin 2 sin 2A B= 得 A B= 或 π 2 A B+ = ； 对 C，由正弦定理得 sin 1 sin b B a A =  ； 对 D，由锐角三角形角的范围得 π 2 A B − ，则 π sin cos cos 2 B B A   = −     【详解】对 A， ( ) ( )cos cos π cosB C A A+ = − = − ，A 对； 对 B，sin 2 sin 2A B= ，则2 2A B= 或2 2 πA B+ = ，即 A B= 或 π 2 A B+ = ，故 ABC为等 腰三角形或直角三角形，B 错； 对 C，由正弦定理得 sin sin a b A B = ，则 sin 1 sin b B a A =  ，则b a ，则 A B ，C 对； 对 D， ABC是锐角三角形，则 π π π ,π , 0, , 0, 2 2 2 A B A B       +               ，则 π 2 A B − ， π sin cos cos 2 B B A   = −     ，D 对. 故选：ACD 【跟踪训练 4】 , ,A B C   是三角形的三个内角，下列选项能判断 ABC为等腰三角形 的是（ ） A． ( ) ( )sin sinA B C A B C+ − = − + B．sin cos 2 2 A B C A B C+ − − + = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 C．sin sin 2 2 A B C A B C+ − − + = D． 2sin 3cosA A= 【答案】C 【分析】根据诱导公式和三角函数基本关系式即可判定. 【详解】对于选项 A，存在以下两种情况： ①： A B C+ − = A B C− + ， 所以2 2B C= ， 所以B C= . ②： 180 ( )A B C A B C+ − = − − + ， 所以2 180A= ， 所以 90A= ， 故选项 A 错误； 对于选项 B，存在以下情况： 90 2 2 A B C A B C+ − − + + = , 解得 90A= ，故选项错误; 对于选项 C， 2 2 A B C A B C+ − − + = 或 180 2 2 A B C A B C+ − − + + = 解得B C= 或 180A= (舍去) 故 ABC为等腰三角形， 故选项 C 正确； 对于选项 D， 2sin 3cosA A= ， 所以 22sin 3cosA A= ， 所以 22(1 cos ) 3cosA A− = ， 解得 22cos 3cos 2 0A A+ − = ， 所以 ( )( )2cos 1 cos 2 0A A− + = ， 记得 1 cos cos 2 2 A A= = −或 （舍去）， 所以 60A= ，但是不能判断 ABC为等腰三角形，故选项错； 故答案为：C. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 题型五 诱导公式与函数的结合 【例 5】已知函数 3 1( ) 1 3 1x f x x= + + − ，若 1 (sin( )) 6 2019 f  − = ，则 2 (cos( )) 3 f   − = __________. 【答案】 2018 2019 【分析】首先求得 ( ) ( ) 1f x f x− + = ，利用诱导公式得到 s 2 c nos( 6 ) 3 i      − −   =  − ，然 后由 2 (sin( )) (cos( )) 1 6 3 f f    − + − = 求得 2 (cos( )) 3 f   − . 【详解】函数 3 1( ) 1 3 1x f x x= + + − ， 则有 ( )( )f x f x− + ( ) 3 3 1 1 2 3 1 3 1x x x x − = − + + + + − − 1 3 2 1 3 1 x x − = + = − ， 又 2 2 cos( ) cos 3 3       − = −    cos sin 2 6 6          = + − = − −        ， 2 (sin( )) (cos( )) 6 3 f f     − + − (sin( )) ( sin( )) 1 6 6 f f    = − + − − = ， 则 2 (cos( )) 3 f   − 1 (sin( )) 6 f  = − − 1 2018 1 2019 2019 = − = . 故答案为： 2018 2019 【跟踪训练 5】若 ( )cos cos 2f x x= ，则 ( )sin15f  =_____. 【答案】 3 2 − 【分析】由诱导公式可知sin15 cos75 = ，所以 ( ) ( )sin15 cos75 cos150f f =  = ，再根 据诱导公式，即可求出结果. 【详解】 ( ) ( ) ( ) 3 sin15 cos75 cos150 cos 180 30 cos30 2 f f =  =  = −  = −  = − . 故答案为： 3 2 − . 【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 题型六 三角函数的交叉综合题 【例 6】三角形 ABC是锐角三角形，若角 θ终边上一点 P的坐标为 ( )sin cos cos sin A B A B− −， ，则 sin sin   ＋ cos cos   ＋ tan tan   的值是________. 【答案】-1 【分析】根据三角形 ABC是锐角三角形，可得90 180A B +  ，从而 0 90 90B A  −   ，判断出sin cosA B ，sin cosB A ，即可判断 P点象限，化简可 得答案. 【详解】因为 ABC为锐角三角形，所以0 90A B C   ， ， ，则90 180A B +  , 所以0 90 90B A  −   ， 所以sin sin 90 cosA B B（ ） − = ，同理sin cosB A ， 故sin cos 0,cos sin 0A B A B−  −  ， 即点 P 位于第四象限，所以 sin sin   ＋ cos cos   ＋ tan 1 1 ( 1) 1 tan   = − + + − = − ， 故答案为： 1− . 【跟踪训练 6】某次帆船比赛 LOGO（如图 1）的设计方案如下：在 Rt△ABO中挖去以 点 O为圆心，OB为半径的扇形 BOC（如图 2），使得扇形 BOC的面积是 Rt△ABO面积 的一半．设∠AOB＝ (rad)，则 tan   的值为_________． 【答案】 1 2 【分析】设BO a= ，AB b= ，进而表示出三角形BAO的面积和扇形BOC 的面积，然后 建立关系式可得到 tan   的值． 【详解】设BO a= ，AB b= ，则三角形BAO的面积为 2 ab ，扇形BOC 的面积为 2 2    ， 则 2 4 2 ab    = ，故 2 b a = ， 因为 tan b a  = ，所以 1 tan 2   = . 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了扇形的面积公式，考查了学生分析问题、 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 解决问题能力，属于中档题． 题型七 开放性试题探究 【例 7】如图，直线 AB与单位圆相切于点O，射线OP 从OA出发，绕 着点O逆时针旋转，在旋转分入过程中，记 (0 )AOP x x  =   ，OP 经过的单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S，记 ( )S f x= ，对函数 ( )f x 有如下四个判断： ①当 3 4 x  = 时， 3 1 4 2 S  = + ； ② (0, )x  时， ( )f x 为减函数； ③对任意 0, 2 x       ，都有 2 2 f x f x        − + + =        ； ④对任意 0, 2 x       ，都有 ( ) 2 2 f x f x    + = +    其中判断正确的序号是__________． 【答案】①③ 【分析】先求出 1 sin 2 2 S x x= − ，再逐一判断每个选项的正误得到答案. 【详解】 如图，设圆心为 ,C OP交圆于另一点D，连接 ,CO CD， 则 2 2OCD AOP x =  = 1 1 1 2 1 1 1 sin 2 sin 2 2 2 2 S x x x x =   −    = − 当 3 4 x  = 时， 3 1 3 3 1 sin 4 2 2 4 2 S    = − = + ，故①正确； 1 cos 2 0,S x S = −   在 (0, ) 上为增函数，故②错误； 当 0, 2 x       时， 1 1 sin( 2 ) sin( 2 ) 2 2 2 2 2 2 f x f x x x x x            − + + = − − − + + − + =        故③正确； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 当 0, 2 x       时， 1 1 1 sin( 2 ) sin 2 , ( ) sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f x x x x x f x x x         + = + − + = + + + = − +    ( ) 2 2 f x f x     +  +    故④错误. 故答案为①③． 【点睛】本题考查了三角函数值，三角函数的单调性及函数性质，意在考查学生的计算 能力和应用能力. 【跟踪训练 7】已知 k 是正整数，且1 2017k  ，则满足方程sin1 sin2 sink  + ++ = sin1 sin2 sink    的 k 有________个 【答案】11 【详解】由三角函数的单调性及值域，可知 1 ? 2 1sin sin sink   ，∴除 1k = 外只有当 等式 1 2 1 ? 2sin sin sink sin sin sink+ ++  =   的左右两边均为 0 时等式成立，则 1k = 、 359、360、719、720 、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，满足条 件的正整数 k 有 11 个，故答案为 11. 课后突破训练 1．设 2  是第一象限角，且 cos cos = − ，则 是第（ ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解析】计算得到720 180 720k k   +  ， Zk ，再根据cos 0  得到答案. 【详解】∵ 2  是第一象限角，∴360 90 360 2 k k     +  ， Zk ， ∴720 180 720k k   +  ， Zk ， ∴ 为第一象限角或第二象限角或终边在 y 轴正半轴上的轴线角， ∵ cos cos = − ，∴cos 0  ，∴ 是第二象限角. 故选： B . 【点睛】本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2．如图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和 N是 小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M，N在 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 大圆内所绘出的图形大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处的位置为点M，以切点A 在如图 上运动为例，记直线OM 与此时小圆 1O 的交点为 1M ，利用弧长公式计算，可知小圆的 圆弧 1AM 与圆弧 AM 的长相等，可得点 1M 与点M重合，即动点M 在线段MO上运动， 同理可知，此时点N 在与MO垂直的线段上运动，再通过观察四个选项可得答案. 【详解】如图所示： 由题意可知，小圆 1O 总与大圆O相内切，且小圆 1O 总经过大圆 的圆心O， 设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处的位置为点M， 则大圆圆弧MA与小圆M 转过的圆弧相等， 以切点A 在如图上运动为例，记直线OM 与此时小圆 1O 的交点为 1M ， 记 0, 2 AOM      =     ，则 1 1 1 1OM O M OO  = = ， 所以 1 1 1 1 1 1M O A M OO OM O = + 2= ， 所以大圆圆弧MA的长为 1 1l  =  = ，小圆圆弧 1AM 的长为 2 1 2 2 l  =  = ， 所以 1 2l l= ， 所以小圆的圆弧 1AM 与圆弧 AM 的长相等， 所以点 1M 与点M重合，即动点M 在线段MO上运动， 同理可知，此时点N 在与MO垂直的线段上运动， 点A 在其它位置类似可得，M 、 N 的轨迹为互相垂直的线段. 观察四个选项可知，只有选项A 符合. 故选：A. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，解题关键是利用弧长公式得到弧长相等.属于中 档题. 3．在三角形 ABC 中， 2 B   = ， 1BC = ，以点C 为圆心、CB长为半径作圆，交三角形 ABC 斜边于点D，其中所有角度的大小用弧度制表示，则下列结论正确的个数为（ ） （1） 2 tan log 0 sin C C C C +  + ； （2） sin 1 tan1 1 2 C C −       ； （3） ( )2 2 21 tan 0C C C− +  ； （4） sin 1 2 tan C C C +  . A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据当 (0, ) 2 C   时，sin tanC C C  ，结合对数函数、指数函数的性质以及 不等式的性质，判断出（1）（2）（3）（4）的正误，得到答案. 【详解】根据题意，可知C 为锐角，满足 tan sin 0C C  ， 所以 tan sin 1, 1 0 sin tan C C C C C C +  −  + ， 所以有 sin 1 tan 2 tan 1 log 0, ( ) 1 sin 2 C C C C C C −+   + ， 故（1）错误，（2）正确； 因为当 (0, ) 2 C   时，有sin tanC C C  ， 所以 sin tan tan 1 2 tan 2 tan C C C C C C + +  = ，所以（4）错误； 因为当 (0, ) 2 C   时，有sin tanC C C  ，且cos 0C  ， ( )2 2 2 2 2 2 21 tan tan tanC C C C C C C− + = − + ( )2 2 2tan 1 tanC C C= + − 2 2 2 sin 0 cos C C C − =  ，所以（3）正确； 即错误的有（1）（4）两个， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有三角函数的有关性 质，指数函数和对数函数的性质，以及不等式的性质，属于较难题目. 4．设 ，那么 （ ） A． B． C． D． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 【答案】B 【详解】试题分析：由诱导公式得 ， ， ， ，故答案为 B． 考点：1、三角函数的诱导公式；2、同角三角函数的基本关系． 5．定义在 R 上的偶函数 ( )f x ，满足 ( 2) ( )f x f x+ = ，且 ( )f x 在[ 3, 2]− − 上是减函数，又  、是锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（ ） A． (sin ) (sin )f f  B． (cos ) (cos )f f  C． (sin ) (cos )f f  D． (sin ) (cos )f f  【答案】C 【分析】根据函数奇偶性、单调性以及周期性可得出 ( )f x 在[0,1]上是增函数，根据锐 角三角形的性质可知0 2 2      −   ，从而0 cos cos( ) sin 1 2       − =  ，即得 (sin ) (cos )f f  . 【详解】因为 ( )f x 是 R 上的偶函数，且在[ 3, 2]− − 上是减函数， 所以 ( )f x 在[2,3]上是增函数， 又因为 ( 2) ( )f x f x+ = ，则函数 ( )f x 的周期 2T = ， 所以 ( )f x 在[0,1]上是增函数， 因为 、是锐角三角形的两个内角， 所以 2    +  ，即0 2 2      −   ， 所以0 cos cos( ) sin 1 2       − =  ， 所以 (sin ) (cos )f f  . 故选：C 6．（多选）已知 2 2tan 2 tan 1 0x y− − = ，则下列式子成立的是（ ） A． 2 2sin 2sin 1y x= + B． 2 2sin 2sin 1y x= − − C． 2 2sin 2sin 1y x= − D． 2 2sin 1 2cosy x= − 【答案】CD 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 【解析】对原式进行切化弦，整理可得： 2 2 2 2 2 2sin cos 2sin cos cos cosx y y x y x −  =  ， 结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵ 2 2tan 2 tan 1 0x y− − = ， 2 2 2 2 sin sin 2 1 0 cos cos x y x y −  − = ， 整理得 2 2 2 2 2 2sin cos 2sin cos cos cosx y y x y x −  =  ， ∴ ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 cos 1 sin sin cos cos sin cosx y y x y y x− − −  = + ， 即 2 2 2 2 2 2 21 cos sin sin cos sin cos cosx y y x y x x− − +  −  = ， 即 2 2 2sin 1 2cos 2sin 1y x x= − = − ，∴C、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形. 7．（多选）在平面直角坐标系 xOy中，点 ( )1 cos ,sinP   ， 2 π π cos ,sin 3 3 P        + +          ， 3 π π cos ,sin 6 6 P        − −          ，则下列说法正确的是（ ） A．线段 2OP 与 3OP 的长均为 1 B．线段 2 3P P 的长为 1 C．当 π 3  = 时，点 1P ， 2P 关于 y 轴对称 D．当 13π 12  = 时，点 1P ， 3P 关于 x 轴对称 【答案】ACD 【分析】对于 A，直接代入公式计算即可；对于 B，由 2 3P OP π 2 = 结合勾股定理即可求 得 2 3P P 的长；对于 C，将 π 3  = 代入 1 2,P P 坐标即可；对于 D，将 13π 12  = 代入 1 2,P P 坐标 即可. 【详解】由勾股定理可得 2 22 π π cos sin 1 3 3 OP       = + + + =        ，同理可得 3 1OP = ，故 A 正确； 由题意得 2 3 π π π 3 6 2 P OP = + = ，由勾股定理得 2 3 2P P = ，故 B 错误； 当 π 3  = 时， 1 π π cos ,sin 3 3 P       即 1 1 3 , 2 2 P        ， 2 2π 2π cos ,sin 3 3 P       即 2 1 3 , 2 2 P   −     ，点 1P ， 2P 关于 y 轴对称，故 C 正确； 当 13π 12  = 时， 3 n π π13 13π π cos ,si 12 6 12 6 P      − −          ，即 3 π cos ,sin 12 1 π 2 P   −    ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 1 13 13 cos ,sin 12 2 π π 1 P       即 1 π cos , s π in 12 12 P   − −    ，故点 1P ， 3P 关于 x 轴对称，故 D 正确.故 选:ACD. 8．已知函数 2 2 2017 sin , 0 ( ) cos( ), 0 x x x x f x x x x x   + +  =  − + + +  是奇函数，则sin =_____________. 【答案】-1 【详解】当 0x  时， 0x−  ， ∵函数 ( )f x 为奇函数， ∴ ( ) ( )f x f x− = − ， 即 ( ) ( ) ( )2 2 2( ) 2017 2017 cosx x sin x x x sinx x x x  − + − + − = − − = − − + + +  ( )2 cosx x x = − − + ， ∴ ( )2017 cos sinx x = + =且 ， ∴ 2 , 2 k k Z   = − +  ． ∴sin sin[2017 ( 2 )] sin( ) 1 2 2 k    =  − + = − = − ． 答案： 1− 9．已知 1 sin cos 4 x y+ = ，则 2sin sinx y− 的最大值为____________ 【答案】 9 16 【分析】由已知求得   1 sin cos 1,1 4 x y= −  − ，可得 3 cos ,1 4 y    −    ，利用同角三角函数 基本关系可得 2 2 1sin sin cos 1 2 x y y   − = − −    ，利用二次函数性质即可求解. 【详解】 1 sin cos 4 x y+ = ，  sin 1,1x −   1 sin cos 1,1 4 x y = −  − ， 3 5 cos , 4 4 y     −    ，即 3 cos ,1 4 y    −    ( ) 2 2 2 21 3 1sin sin cos 1 cos cos cos cos 1 4 4 2 x y y y y y y   − = − − − = − − = − −    又 3 cos ,1 4 y    −    ， 利用二次函数的性质知，当 3 cos 4 y = − 时， ( ) 2 2 max 3 1 9 sin sin 1 4 2 16 x y   − = − − − =    武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 故答案为： 9 16 10．如果锐角 满足 sin 1 4 log tan tan 3      + = −    ，则 tanlog cos  的值是___________． 【答案】 1 2 【分析】利用换底公式 1 log log a b b a = ，转化为 ( )tan cot 3 log sin 4    + = − ，以及 2 2sin cos 1 + = ，得到 3cos sin = ，那么 2tan cos 1 log cos log cos 2    = = ，其中用到了 log logm n aa n b b m = . 【详解】解： 锐角 满足 ( )sin 4 log tan cot 3   + = − ， 锐角 满足 ( )tan cot 3 log sin 4    + = − ， ( ) 3 4tan cot sin   −  + = ，即 ( ) 4 3 1 sin tan cot    = + ， 4 3 1 sin sin cos cos sin       =   +    ， 3 3 4sin cos sin   = ， 3cos sin = ，  是锐角，cos 0  ， 2 sincos tan cos      = = ， 2tan coscos 1 1 log cos log cos log cos 2 2      = = = ， 综上所述，结论是： tan 1 log cos 2   = ． 故答案为： 1 2 11．在 ABC中，cos sinA B ，则 ABC的形状为____________. 【答案】钝角三角形 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质，结合诱导公式进行求解即可. 【详解】在 ABC中，因为cos sin 0A B  ，所以 (0, ) 2 A   ， 当 (0, ) 2 B   时，由cos sin cos cos( ) 2 2 2 A B A B A B A B       −   −  +  2 2 C C    −    ，此时 ABC是钝角三角形； 当 2 B  = 时，cos 1A  显然不成立； 当 ( , ) 2 B   时， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 cos sin sin( ) cos( ) 2 2 2 2 A B B B A B B A B A      = − = −   −  −    + ， 所以 B 为锐角，此时 ABC是钝角三角形， 综上所述： ABC是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形 12．已知 ( ) ( )3 33sin cos 4 ,f x a x b x x a b R= + +  ，且 ( )sin10 5f = ，则 ( )cos100f = _____. 【答案】3 【分析】利用诱导公式得出cos100 sin10= − ，计算出 ( ) ( ) 8f x f x+ − = ，可得出 ( ) ( )sin10 sin10 8f f+ − = ，结合题中条件可得出 ( ) ( )cos100 sin10f f= − 的值. 【详解】 ( )cos100 cos 90 10 sin10= + = − ，又 ( ) ( )3 33sin cos 4 ,f x a x b x x a b R= + +  ， ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 33 3sin cos 4 sin cos 4f x f x a x b x x a x b x x + − = + + + − + − + 3 3 3 33 3sin cos 4 sin cos 4 8a x b x x a x b x x= + + − − + = ， ( ) ( ) ( ) ( )sin10 cos100 sin10 sin10 8f f f f+ = + − = ， 因此， ( ) ( )cos100 8 sin10 8 5 3f f= − = − = . 故答案为：3 . 【点睛】本题考查利用诱导公式、函数的奇偶性求值，计算出 ( ) ( )f x f x+ − 为常数是解 题的关键，考查计算能力，属于中等题. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 14 三角函数概念及诱导公式综合应用重难点专题 常考结论及公式 结论一：两角对称的部分结论 （1） ,  终边相同 2 ,k k Z   = +  . （2） ,  终边关于 x 轴对称 2 ,k k Z   =− +  . （3） ,  终边关于 y 轴对称 2 ,k k Z    = − +  （4） ,  终边关于原点对称 2 ,k k Z    = + +  结论二：诱导公式的说明 奇变偶不变，符号看象限.“奇”与“偶”指的是 2 k   中的整数 k 是奇数还是 偶数.“变”与“不变”是指函数名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 是偶 数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在 2 k   中，将 看成锐角时 2 k   所 在的象限. 结论三：几个重要的结论 （1）当0 2    时，有sin tan    恒成立. （2） 2(sin cos ) 1 2sin cos    =  ； 2 2(sin cos ) (sin cos ) 2   + + − = ； （3）在平面直角坐标系中，以 x 轴的非负半轴为角 的始边，当角 的终边过点 ( , )x y 时，则 2 2 sin y x y  = + ， 2 2 cos x x y  = + ， tan y x  = . （4）在 ABC 中，由 A B C + + = 知，sin( ) sinA B C+ = ，cos( ) cosA B C+ = − ， tan( ) tanA B C+ = − ， sin cos 2 2 A B C+ = ，cos sin 2 2 A B C+ = . （5）在 ABC 中， sin sinA B A B   .特别地，当 ABC 为锐角三角形时，恒有 sin cosA B 成立. 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 题型一 利用三角函数线比较大小 【例 1】已知函数 ( )y f x= 是 ( 1,1)− 上的偶函数，且在区间 ( 1,0)− 是单调递增的， , ,A B C 是锐角 ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 A． (sin ) (cos )f A f A B． (sin ) (cos )f A f B C． (cos ) (sin )f C f B D． (sin ) (cos )f C f B 【跟踪训练 1】（多选）已知sin sin  ，那么下列命题正确的是（ ） A．若角 、 是第一象限角，则cos cos  B．若角 、 是第二象限角，则 tan tan  C．若角 、 是第三象限角，则cos cos  D．若角 、 是第四象限角，则 tan tan  题型二 扇形弧长及面积公式的应用 【例 2】已知圆 O与直线 l相切于点 A，点 P，Q同时从点 A出发，P沿直线 l匀速向右、 Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点 Q运动到如图所示的位置时，点 P也停 止运动，连接 OQ，OP，则阴影部分的面积 1S ， 2S 的大小关系是（ ） A． 1 2S S B． 1 2S S C． 1 2S S= D．先 1 2S S ，再 1 2S S= ，最后 1 2S S 【跟踪训练 2】如图，A ，B 是半径为 1 的圆周上的定点，P 为圆周上 的动点， APB 是锐角，大小为（弧度制）.图中阴影区域的面积的 最大值为（ ） A． sin + B．4 4sin + C．2 2cos + D．4 4cos + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型三 同角间的三角函数关系及诱导公式的基本应用 【例 3】已知 1 sin 3 3 x   − =    ，且0 6 x    ，则 2 sin cos 6 3 x x      + − +        的值为 ___________. 【跟踪训练 3】已知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 sin 2 cos cos cos 2 2 9 cos sin 3 sin sin 2 f                      − + + −       =   − − − − +    ，若角 的 终边过点 ( )4 3P ,− . (1)求 2 f     +    的取值. (2)求 2 1 4cos 6sin cos  − 的值. 题型四 三角形中的诱导公式应用 【例 4】（多选）已知角 A，B ，C 是 ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A． ( )cos cosB C A+ = − B．若sin 2 sin 2A B= ，则 ABC是等腰三角形 C．若sin sinA B ，则 A B D．若 ABC是锐角三角形，则sin cosB A 【跟踪训练 4】 , ,A B C   是三角形的三个内角，下列选项能判断 ABC为等腰三角形 的是（ ） A． ( ) ( )sin sinA B C A B C+ − = − + B．sin cos 2 2 A B C A B C+ − − + = C．sin sin 2 2 A B C A B C+ − − + = D． 2sin 3cosA A= 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型五 诱导公式与函数的结合 【例 5】已知函数 3 1( ) 1 3 1x f x x= + + − ，若 1 (sin( )) 6 2019 f  − = ，则 2 (cos( )) 3 f   − = __________. 【跟踪训练 5】若 ( )cos cos 2f x x= ，则 ( )sin15f  =_____. 题型六 三角函数的交叉综合题 【例 6】三角形 ABC是锐角三角形，若角 θ终边上一点 P的坐标为 ( )sin cos cos sin A B A B− −， ，则 sin sin   ＋ cos cos   ＋ tan tan   的值是________. 【跟踪训练 6】某次帆船比赛 LOGO（如图 1）的设计方案如下：在 Rt△ABO中挖去以 点 O为圆心，OB为半径的扇形 BOC（如图 2），使得扇形 BOC的面积是 Rt△ABO面积 的一半．设∠AOB＝ (rad)，则 tan   的值为_________． 题型七 开放性试题探究 【例 7】如图，直线 AB与单位圆相切于点O，射线OP 从OA出发，绕 着点O逆时针旋转，在旋转分入过程中，记 (0 )AOP x x  =   ，OP 经过的单位圆O内区域（阴影部分）的面积为S，记 ( )S f x= ，对函数 ( )f x 有如下四个判断： ①当 3 4 x  = 时， 3 1 4 2 S  = + ； ② (0, )x  时， ( )f x 为减函数； ③对任意 0, 2 x       ，都有 2 2 f x f x        − + + =        ； ④对任意 0, 2 x       ，都有 ( ) 2 2 f x f x    + = +    其中判断正确的序号是__________． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 7】已知 k 是正整数，且1 2017k  ，则满足方程sin1 sin2 sink  + ++ = sin1 sin2 sink    的 k 有________个 课后突破训练 1．设 2  是第一象限角，且 cos cos = − ，则 是第（ ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 2．如图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和 N是 小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M，N在 大圆内所绘出的图形大致是（ ） A． B． C． D． 3．在三角形 ABC 中， 2 B   = ， 1BC = ，以点C 为圆心、CB长为半径作圆，交三角形 ABC 斜边于点D，其中所有角度的大小用弧度制表示，则下列结论正确的个数为（ ） （1） 2 tan log 0 sin C C C C +  + ； （2） sin 1 tan1 1 2 C C −       ； （3） ( )2 2 21 tan 0C C C− +  ； （4） sin 1 2 tan C C C +  . A．1 B．2 C．3 D．4 4．设 ，那么 （ ） A． B． C． D． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 5．定义在 R 上的偶函数 ( )f x ，满足 ( 2) ( )f x f x+ = ，且 ( )f x 在[ 3, 2]− − 上是减函数，又  、是锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（ ） A． (sin ) (sin )f f  B． (cos ) (cos )f f  C． (sin ) (cos )f f  D． (sin ) (cos )f f  6．（多选）已知 2 2tan 2 tan 1 0x y− − = ，则下列式子成立的是（ ） A． 2 2sin 2sin 1y x= + B． 2 2sin 2sin 1y x= − − C． 2 2sin 2sin 1y x= − D． 2 2sin 1 2cosy x= − 7．（多选）在平面直角坐标系 xOy中，点 ( )1 cos ,sinP   ， 2 π π cos ,sin 3 3 P        + +          ， 3 π π cos ,sin 6 6 P        − −          ，则下列说法正确的是（ ） A．线段 2OP 与 3OP 的长均为 1 B．线段 2 3P P 的长为 1 C．当 π 3  = 时，点 1P ， 2P 关于 y 轴对称 D．当 13π 12  = 时，点 1P ， 3P 关于 x 轴对称 8．已知函数 2 2 2017 sin , 0 ( ) cos( ), 0 x x x x f x x x x x   + +  =  − + + +  是奇函数，则sin =_____________. 9．已知 1 sin cos 4 x y+ = ，则 2sin sinx y− 的最大值为____________ 10．如果锐角 满足 sin 1 4 log tan tan 3      + = −    ，则 tanlog cos  的值是___________． 11．在 ABC中，cos sinA B ，则 ABC的形状为____________. 12．已知 ( ) ( )3 33sin cos 4 ,f x a x b x x a b R= + +  ，且 ( )sin10 5f = ，则 ( )cos100f = _____.