重难点11 三角函数的图象与性质的综合应用9大题型（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

重难点11 三角函数的图象与性质的综合应用 【全国通用】 1、三角函数的图象与性质的综合应用 三角函数是高考考查的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，三角函数的图象与性质主要从以下几个方面进行考查： (1)三角函数的图象，涉及三角函数图象变换问题以及由部分图象确定函数解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度较低； (2)利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、周期性、零点等问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度中等。 (3)三角恒等变换的化简求值是高考命题的热点，常与三角函数的图象与性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多以选择题、填空题的形式考查，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合来研究最值、范围问题，多以解答题形式考察，此时要灵活求解，试题难度中等。 知识点1 三角函数的图象变换规律 1．平移变换与伸缩变换法则 (1)平移变换 函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换； (2)伸缩变换 ①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的（倍）（纵坐标y不变）； ②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A（倍）（横坐标x不变）． 2．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 知识点2 三角函数的单调性问题的求解策略 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 知识点3 三角函数的值域与最值问题的求解策略 1．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 2．求三角函数最值的基本思路 (1)将问题化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，结合三角函数的图象和性质求解. (2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. (3)利用导数判断单调性从而求解. 知识点4 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略 1．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 3．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 知识点5 三角恒等变换的综合应用 1．三角恒等变换的综合应用的解题策略 三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题. 【题型1 三角函数的图象识别与应用】 【例1】（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数与函数的图象交点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线与直线的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 三角函数的图象变换问题】 【例2】（2026·浙江·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式2-3】（2026·重庆九龙坡·一模）将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【题型3 三角函数的定义域、值域和最值】 【例3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式3-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 三角函数的单调性】 【例4】（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·湖北荆州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型5 三角函数的奇偶性】 【例5】（2026·陕西西安·三模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【变式5-1】（2025·全国·二模）函数是上的偶函数，则（ ） A．0 B． C． D． 【变式5-2】（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·安徽·模拟预测）函数．若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【题型6 三角函数的对称性与周期性】 【例6】（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数在上单调递增，且其图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·海南·模拟预测）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 D．与的图象关于轴对称 【变式6-3】（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 三角函数中ω的最值与范围问题】 【例7】（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【变式7-1】（2025·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【变式7-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 三角恒等变换与三角函数综合】 【例8】（2026·河北邢台·一模）若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·新疆·二模）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求不等式的解集. 【变式8-3】（2025·广东·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合． 【题型9 三角函数新定义问题】 【例9】（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·河南·三模）定义行列式，已知函数 ，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·广东江门·模拟预测）若，且，则的值叫做的“区间长度”.已知函数. (1)当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； (2)设关于的不等式解集的“区间长度”为. （i）若，求的值； （ii）求的最大值. 【变式9-3】（2025·陕西·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”．使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，设为连续函数”，若，，求的值； (3)已知是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，且，恒成立，若存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数． 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·一模）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·云南大理·二模）若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（   ） A． B．3 C．2 D． 5．（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 8．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 二、多选题 9．（2026·江苏镇江·模拟预测）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 10．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为 B．的对称轴方程为 C． D．若关于的方程在上有两个根，则 11．（2026·四川广安·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 三、填空题 12．（2026·广东茂名·一模）函数在上的单调递增区间是 ． 13．（2026·广东佛山·一模）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是 . 14．（2026·河北·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C分别为图象与x轴的交点，且为正三角形，则 ．    四、解答题 15．（2026·安徽淮南·一模）已知函数的最大值为1，为常数． (1)求函数在上的单调递增区间； (2)求使成立的的取值集合． 16．（2026·河北·一模）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 17．（2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． 18．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，. (1)求函数的最大值及所对应的值； (2)若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 19．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点11 三角函数的图象与性质的综合应用 【全国通用】 1、三角函数的图象与性质的综合应用 三角函数是高考考查的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，三角函数的图象与性质主要从以下几个方面进行考查： (1)三角函数的图象，涉及三角函数图象变换问题以及由部分图象确定函数解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度较低； (2)利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、周期性、零点等问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度中等。 (3)三角恒等变换的化简求值是高考命题的热点，常与三角函数的图象与性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多以选择题、填空题的形式考查，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合来研究最值、范围问题，多以解答题形式考察，此时要灵活求解，试题难度中等。 知识点1 三角函数的图象变换规律 1．平移变换与伸缩变换法则 (1)平移变换 函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换； (2)伸缩变换 ①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的（倍）（纵坐标y不变）； ②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A（倍）（横坐标x不变）． 2．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 知识点2 三角函数的单调性问题的求解策略 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 知识点3 三角函数的值域与最值问题的求解策略 1．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 2．求三角函数最值的基本思路 (1)将问题化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，结合三角函数的图象和性质求解. (2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. (3)利用导数判断单调性从而求解. 知识点4 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略 1．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 3．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 知识点5 三角恒等变换的综合应用 1．三角恒等变换的综合应用的解题策略 三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题. 【题型1 三角函数的图象识别与应用】 【例1】（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解. 【解答过程】由于， 故为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD, 又，故排除B， 故选：A. 【变式1-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数与函数的图象交点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】在同一坐标系内作出函数的图象即可得解. 【解答过程】函数定义域为，最小正周期为，，当时，， 函数在定义域上是增函数，当时，，当时，， 因此函数与函数的图象交点横坐标只能在区间上， 在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图： 观察图象知，函数与函数的图象交点个数为5. 故选：B. 【变式1-2】（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解. 【解答过程】由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C； 又由当时，排除A，B; 故选：D． 【变式1-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线与直线的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解题思路】作出与的大致图象，由图象即可判断交点个数. 【解答过程】，， ， 作出与的大致图象，易知共有3个交点. 故选：A.    【题型2 三角函数的图象变换问题】 【例2】（2026·浙江·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出平移变换后函数的解析式，然后计算即可. 【解答过程】函数的图象向左平移个单位得到： ， 所以， 故选：A. 【变式2-1】（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求得平移后的函数解析式，再结合对称中心求解即可. 【解答过程】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ，此函数图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，. 故选：C. 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解题思路】根据三角函数的图象变换规则进行选择. 【解答过程】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象. 故选：A. 【变式2-3】（2026·重庆九龙坡·一模）将函数的图象平移得到的图象，且直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【解题思路】根据题意结合函数对称性可得，解得，进而图象变换逐项分析判断即可. 【解答过程】若，则， 因为直线为曲线在y轴右侧的首条对称轴， 则，解得，得，， A：将函数的图象向左平移个单位，得，不合题意，故A错误； B：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故B错误； C：将函数的图象向左平移个单位，得，符合题意，故C正确； D：将函数的图象向右平移个单位，得，不合题意，故D错误； 故选：C. 【题型3 三角函数的定义域、值域和最值】 【例3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【解答过程】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】由周期公式求得，然后由换元法即可求解. 【解答过程】由题意，解得，， 所以的最大值为3. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【解答过程】因为，所以，则， 所以. 故选：B. 【变式3-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先化简函数的解析式，然后根据是奇函数求出的值，然后根据正弦函数的性质和的范围确定的最大值. 【解答过程】因为， 所以. 因为为奇函数，所以. 所以. 当时，， 所以， 所以的最大值为. 故选：D. 【题型4 三角函数的单调性】 【例4】（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间. 【解答过程】由，得， 故的单调减区间为， 对比各选项，只有C符合. 故选：C. 【变式4-1】（2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】整体法逐一判断各选项中的函数在上的单调性即可. 【解答过程】当时，. 由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意； 由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意； 当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意； 当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 【变式4-2】（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可. 【解答过程】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调， 所以，则，解得， 当时，， 且，， 所以，解得 ，结合，得的取值范围为． 故选：D． 【变式4-3】（2026·湖北荆州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三角函数图象的平移变换，可求出的表达式，结合正弦函数性质，求出该函数的单调递增区间，即可判断A，结合正弦函数的单调性可一一判断BCD，即得答案. 【解答过程】由题意知将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 故， 令，即， 即函数的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，A正确； 对于B，当时，， 由于在上不单调，故不是的单调增区间，B错误； 对于C，时，， 由于在上不单调，故不是的单调增区间，C错误； 对于D，时，， 由于在上单调递减，故是的一个单调减区间，D错误； 故选：A. 【题型5 三角函数的奇偶性】 【例5】（2026·陕西西安·三模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据奇函数得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【解答过程】因为是奇函数， 故，，检验符合，所以. 故选：D. 【变式5-1】（2025·全国·二模）函数是上的偶函数，则（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据偶函数性质，结合正弦函数对称性解题即可. 【解答过程】是上的偶函数，即关于对称，则， 则，则，解得. ，则. 故选：D. 【变式5-2】（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解. 【解答过程】对于A，根据图象可知，函数的定义域为R，， 所以以为周期的偶函数，故A错误； 对于B，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故B错误； 对于C，，，函数的定义域为R，， 所以以为周期的奇函数，故C错误； 对于D，，函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以以为周期的奇函数，故D正确. 故选：D. 【变式5-3】（2025·安徽·模拟预测）函数．若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出，结合奇函数的定义可得或，再分类探讨得解. 【解答过程】函数的定义域为R，， 存在，函数为奇函数，则或， 当时，为奇函数，则函数是偶函数， 于是，解得，当时，，C符合，ABD不符合； 当时，，此时 或，当且仅当时为奇函数，与矛盾， 所以实数的值可以是. 故选：C. 【题型6 三角函数的对称性与周期性】 【例6】（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数在上单调递增，且其图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用对称轴得出，结合单调性得出，代入数值可得答案. 【解答过程】因为的图象关于直线对称，所以，即， 因为在上，即上单调递增， 显然，则，可得，故 综上，，则，故. 故选：D. 【变式6-1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由对称中心求出，再结合余弦曲线的对称轴，利用整体的思想即可求图象的对称轴方程. 【解答过程】因为函数的图象关于点中心对称， 所以 ，有 ， 为偶数时，所以，为奇数时，所以. 令，得， 所以图象的对称轴方程为， 当时，图象的一条对称轴方程为. 故选：C. 【变式6-2】（2025·海南·模拟预测）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 D．与的图象关于轴对称 【答案】D 【解题思路】根据相邻对称轴之间的距离求出周期后可判断A的正误，利用代入检验法可判断B的正误，利用平移变换的规律求出平移后图象对应的解析可判断C的正误，利用坐标变换可判断D的正误， 【解答过程】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为，故最小正周期为， 故A错误； 对于B，由A可得，故， 而，故的图象不关于点对称， 故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位长度后， 所得图象对应的解析式为， 故的图象左平移个单位长度得不到的图象，故C错误； 对于D，， 而， 所以与的图象关于轴对称，故D正确； 故选：D. 【变式6-3】（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【解答过程】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：D． 【题型7 三角函数中ω的最值与范围问题】 【例7】（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【解答过程】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式7-1】（2025·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合正弦函数图象列式进行求解即可. 【解答过程】由 令，则． 设，则在上恰有两个极值点和两个零点， 如图，， 解得． 故选：A. 【变式7-2】（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【解答过程】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B. 【变式7-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【解答过程】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故选：B. 【题型8 三角恒等变换与三角函数综合】 【例8】（2026·河北邢台·一模）若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】运用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数的解析式形式，结合函数零点的定义、换元法，特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【解答过程】 ， 令，得， 因为函数 在 上恰有两个零点， 所以方程在内有两个不相等的实根， 因为， 所以， 所以有. 故选：A. 【变式8-1】（2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后再利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值. 【解答过程】由， 根据二倍角公式得， 当时，所以，结合正弦函数图像可知， 时，的最小值为, 最大值为，故， 因此，所以的最小值为. 故选：B. 【变式8-2】（2026·新疆·二模）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，化简函数为，结合正弦函数的性质，即可求解； （2）由（1）知，把不等式转化为，结合正弦函数的性质，进而求得不等式的解集. 【解答过程】（1）解：由函数 ， 所以的最小正周期为. （2）解：由（1）知：函数， 则不等式，可得，即， 可得，解得， 因为，当时，可得；当时，可得， 所以不等式的解集为. 【变式8-3】（2025·广东·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先根据恒等变换公式化简函数解析式，再通过函数过点求出的值，进而求解出函数解析式； （2）通过三角函数图像变化求解的解析式，再通过整体代换的方法求解三角函数不等式即可. 【解答过程】（1）， 由图知，过点，即，则， 由图得，，解得． 所以． （2）由题得，， 由，得，则， 所以， 解得， 因此，使成立的的取值集合是． 【题型9 三角函数新定义问题】 【例9】（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将点代入葫芦曲线的方程可得，再代入即可得解. 【解答过程】将点代入葫芦曲线的方程可得，即， 由，，可得，因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C. 【变式9-1】（2025·河南·三模）定义行列式，已知函数 ，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据定义运算，利用三角恒等变形化解可得，分析在区间的值域，结合二次函数性质，建立不等式可解. 【解答过程】由题中所给定义可知， ， 当时，， 所以，所以， 当时，，， 所以，解得； 当时，，，， 所以，解得， 综上，a的取值范围是． 故选：C. 【变式9-2】（2025·广东江门·模拟预测）若，且，则的值叫做的“区间长度”.已知函数. (1)当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； (2)设关于的不等式解集的“区间长度”为. （i）若，求的值； （ii）求的最大值. 【答案】(1)解集的“区间长度”为； (2)（i）或；（ii）的最大值为. 【解题思路】（1）由定义直接计算即可； （2）（i）不等式解集为或，设的两个根为，设的两个根为，结合三角函数的性质计算可求得的值；（ii）由（i）可得，即，利用基本不等式，结合三角函数的性质计算可求得的最大值. 【解答过程】（1）当时，， 由，可得，故或， 又函数的定义域为，所以或， 所以解集的“区间长度”为； （2）（i），，其中， 故不等式的解为或， 设的两个根为，其中，且， 设的两个根为，其中，且， 所以，又，所以， 其中，即， 由诱导公式得，即， 又，解得或，故或， 所以 ， 或 ，所以或， （ii）由（i）可得，即， 即， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 所以或， 由于，故，所以， 所以舍去，故， 所以， 因为，，所以， 由，可得， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 【变式9-3】（2025·陕西·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”．使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，设为连续函数”，若，，求的值； (3)已知是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，且，恒成立，若存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数． 【答案】(1)是“余弦周期函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用余弦函数的周期性，检验是否存在常数使得对所有成立，通过选取并利用余弦函数周期为的整数倍的性质进行验证； （2）根据正弦周期函数的定义，由推导出与的关系式，结合已知函数值代入特殊点，通过解整数参数方程确定具体表达式，进而计算函数值； （3）方法一：首先分情况讨论系数的取值，在时直接得出周期函数结论，在时利用迭代关系，并借助余弦函数的单调区间及余弦周期条件，通过选取适当的整数使得函数值落入单调区间，从而由余弦值相等推出自变量相等，最终导出对任意成立； 方法二：假设不是周期函数，则存在使，当时，取适当整数使与均落在内，由余弦周期条件得，利用余弦函数在上的单调性可得，即，矛盾，故必为周期函数. 【解答过程】（1）， 则， 故， 所以是“余弦周期函数”． （2）因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”， 所以对所有成立． 即或． 若， 则， 则，． 则， 所以． 若， 则， 则，，矛盾． 综上，． （3）证明：法一：若，则由可知为周期函数． 若，则对任意，存在正整数，使得且． 由可得，， 由是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，可得， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 即， 所以对，都有， 故是周期函数． 若，则同理可证（取为负整数即可）． 综上，是周期函数，得证． 法二：假设不是周期函数， 则与均不恒成立． 显然． 因为不恒成立， 所以存在，使得， 因为， 所以存在，使得且， 其中若，取为负整数；若，取为正整数． 由可得，， 由是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，可得， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 即，矛盾，假设不成立． 综上，是周期函数，得证． 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【解答过程】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C. 2．（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用余弦型函数的对称性进行求解即可. 【解答过程】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D. 3．（2025·河北·一模）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】化简，由三角函数的图象变换，得到，结合的图象关于轴对称，求得，进而得到答案. 【解答过程】由函数， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称，可得， 解得， 又因为，所以的最小值为. 故选：B. 4．（2026·云南大理·二模）若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【解题思路】利用辅助角公式化简函数，再利用指定区间上有唯一零点及周期情况列式求解. 【解答过程】函数， 由得，是函数图象的一条对称轴， 则，，解得，； 当时， ， 由函数在有唯一零点，得，解得， 所以当时，取得最大值． 故选：A. 5．（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【解答过程】因为函数， 对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据零点个数得，再根据，结合三角函数的图象与性质，求得，或，，从而得到，再根据三角函数在指定区间上的单调性得到答案. 【解答过程】因为函数，其中，若在恰有两个零点， 所以， 所以， 所以， 又因为，即， 所以或， 解得，或，， 结合，所以符合题意， 所以， 又因为当，，，即 所以的单调增区间为 函数在上的单调增区间为， 故选：D. 7．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】C 【解题思路】利用函数的图象过点，代入解析式中即可求得的值，判断A选项；根据的值可写出函数的解析式，再写出对称中心即可判断B选项；通过图象平移得到的解析式，进而可求得对称轴，判断C选项；利用的解析式写出的解析式，可判断单调性. 【解答过程】对于A选项，由图可知，函数的图象过点， ，， ，解得， ，，故A正确； 对于B选项，，令，则， 的图象关于 对称， 当时，函数关于对称，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位长度，得到， 则的对称轴为，故C错误； 对于D选项，函数， 当时，， 函数在上单调递减，故D正确. 故选：C. 8．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 【答案】C 【解题思路】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合该函数的性质逐项分析判断即可. 【解答过程】 . 选项A：最小正周期，故A错误； 选项B：求的单调递增区间： 令，，解得，， 所以区间包含（递增）和（递减），故B错误； 选项C：的图象向左平移个单位长度后得到： ， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 选项D：令，即， 则，，即，， 当时，；当时，； 若在区间上恰有一个零点，则， 所以实数的取值范围为，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2026·江苏镇江·模拟预测）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解题思路】求出函数的解析式，再逐一判断即可. 【解答过程】由题意可得， 对于A，由题意可得，故A正确； 对于B，当时，， 因为函数在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，令，得， 当时，，故C正确； 对于D，因为关于中心对称， 所以关于中心对称，故D错误. 故选：AC. 10．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为 B．的对称轴方程为 C． D．若关于的方程在上有两个根，则 【答案】ABD 【解题思路】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再借助余弦函数的图象性质逐项求解判断. 【解答过程】观察函数的图象，函数的最小正周期，则， 由，得，而，解得， 因此， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得的对称轴方程为，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到， 在上单调递增，函数值从增大到，当且仅当时， 直线与函数在上的图象有两个交点，即在上有两个根，D正确. 故选：ABD. 11．（2026·四川广安·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【解题思路】利用二倍角公式、辅助角公式化简得由，对AB直接代入验证即可，对C代入得，结合其函数特点即可判断；对D，代入后分两种情况讨论即可. 【解答过程】由， 对于A：，所以的图象不关于直线对称，故A错误； 对于B：，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：由，所以， 所以，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由，所以， 所以， 所以，或， 所以，或， 可取，此时，， 所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（2026·广东茂名·一模）函数在上的单调递增区间是 ． 【答案】 【解题思路】先求出函数的单调递增区间，然后根据所给条件进一步求出函数在上的单调递增区间即可. 【解答过程】由， 得， 当时，在上的单调递增区间为， 当时，在上的单调递增区间为， 故答案为：． 13．（2026·广东佛山·一模）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】根据正弦函数性质列不等式求解即可. 【解答过程】函数零点满足，，即，， 因为且，所以为正整数， 因为函数在区间上至少有2个零点， 所以即至少有两个正整数解， 为保证区间至少包含两个正整数，该区间须至少能覆盖一对连续的正整数和， 所以，即，为使该不等式有解，须满足， 得，又，所以，当时，所以，即的最小值为. 故答案为：. 14．（2026·河北·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C分别为图象与x轴的交点，且为正三角形，则 ．    【答案】 【解题思路】根据正三角形的高与边的关系可得，再根据五点作图法可得，进而可得所求值. 【解答过程】由函数，函数的最大值为，即的高为. 又因为，由正三角形边和高的关系得，即，. 所以，根据五点作图可知，令，得， 所以，. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·安徽淮南·一模）已知函数的最大值为1，为常数． (1)求函数在上的单调递增区间； (2)求使成立的的取值集合． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用三角恒等变换先化简得，利用最大值为1求出，进而求在的单调增区间即可求解； （2）由得，利用三角函数的性质解不等式即可求解. 【解答过程】（1）函数 ， 因为的最大值为1， 所以，解得，所以． 令， 解得：， 又因为，则取交集，所以在的单调递增区间为； （2）因为，即，可得：． 所以． 解得： 综上：成立的的取值集合是． 16．（2026·河北·一模）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解； （2）利用三角函数图象变换法则求得，将方程根的问题转化为函数在上的图象与有两个交点，画出图像，数形结合求解即可. 【解答过程】（1） ， 所以的最小正周期为， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）由题可知，， 当时，，由得， 由得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 令，则，即， 又函数在上有2个零点等价于函数在上的图象与有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是． 17．（2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）由图象可得，求出，求出周期进而求出，由，求出，得解； （2）由求出，由求得，再根据由正弦定理求出，得解. 【解答过程】（1）由图知：，解得：，； 又，即，则，； 由，得，又，则； 故的解析式为：. （2）因为，即，又，解得； 所以，则或（舍去）； 在中，由正弦定理知：，故； ； 则， 故的周长为. 18．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，. (1)求函数的最大值及所对应的值； (2)若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 【答案】(1)当时，. (2)，. 【解题思路】（1）利用三角恒等变形，结合辅助角公式，即可求正弦型函数的最大值； （2）利用正弦函数图象，可研究方程根的个数及参数范围. 【解答过程】（1）由， ，则， 当，即时，. （2），则， 由正弦函数在上的图象如下， 所以方程在上有两个不同实根，则， 由对称性知，，解得：. 19．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）由求出，令，则，利用诱导公式及二倍角公式求解； （2）设的周期为，分别由①②③判断相应范围，判断选①和③；由①③分别求范围，取其交集. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为，所以． 当时，， 因为，所以． 令，则， 所以 ， 所以． （2）对于①：因为，所以，则，解得； 对于②：因为，所以，则，解得； 对于③：因为，所以，则，解得； 因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③． 由，得， 即的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $