12 函数的图象重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 12 函数的图象重难点专题 常考结论及公式 结论一：利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线.要注意研究：（1）确定函数的定义域；（2）化简 函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性和对称性等）；（4）特殊 点和特殊线，其中特殊点常包括函数图象与坐标轴的交点、极值点与最值点、区间端点 等，特殊线主要指渐近线和对称轴. 结论二：图象变换 （1）平移变换：口诀为“左加右减，上加下减”.对于函数 ( )y f x= 向左平移 ( 0)k k  个单位时可得到 ( )y f x k= + ；对于函数 ( )y f x= 向右平移 ( 0)k k  个单位时可得到 ( )y f x k= − ；对于函数 ( )y f x= 向上平移 ( 0)k k  个单位时可得到 ( )y f x k= + ； 对于函数 ( )y f x= 向下平移 ( 0)k k  个单位时可得到 ( )y f x k= − . （2）对称变换：① ( )y f x= 与 ( )y f x= − 关于 x 轴对称； ② ( )y f x= 与 ( )y f x= − 关于 y 轴对称； ③ ( )y f x= 与 ( )y f x= − − 关于原点对称； ④ xy a= 与 logay x= 其中（ 0a  且 1a  ）关于 y x= 对称； ⑤ ( )y f x= 与 (2 )y f a x= − 关于 x a= 对称； ⑥ ( )y f x= 与 (2 )y f a x= − − 关于 ( ,0)a 对称； ⑦ ( )y f x= 与 (2 )y f a x b= − − + 关于 ( , ) 2 b a 对称. （3）翻折变换：①将 ( )y f x= 保留 x 轴上方图象，将 x 轴下方图象翻折到 x 轴上方可 得到 | ( ) |y f x= 的图象； ②将 ( )y f x= 保留 y 轴右边图象，并作其关于 y 轴对称的图象可得到 (| |)y f x= 的图 象. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （4）伸缩变换：①将 ( )y f x= 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 a 倍 可得 ( )y f ax= 的图象； ②将 ( )y f x= 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍可得 ( )y af x= 的 图象； 题型一 画出具体函数的图象 【例 1】作出下列函数的图象. (1) 1 ( { 2 1012})y x x= −  − −, , ,, ； (2) 2 1 1 x y x + = − ； (3) 2| 2 | 1y x x= − + ． 【答案】(1)图象见解析(2)图象见解析(3)图象见解析 【分析】（1）由定义域，图象为一条直线上 5 个孤立的点； （2）先作函数 3 y x = 的图象，把它向右平移一个单位得到函数 3 1 y x = − 的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数 2 1 1 x y x + = − 的图象 （3）先作 2 2y x x= − 的图象，保留 x 轴上方的图象，再把 x 轴下 方的图象对称翻到 x 轴上方．再把它向上平移 1 个单位，即得到 2| 2 | 1y x x= − + 的图象 (1) { 2, 1,0,1,2}x − − ，∴图象为一条直线上 5 个孤立的点；如 下图． (2) 2 1 3 2 1 1 x y x x + = = + − − ， 先作函数 3 y x = 的图象，把它向右平移一个单位得到函数 3 1 y x = − 的 图象，再把它向上平移两个单位便得到函数 2 1 1 x y x + = − 的图象．如下图． (3)先作 2 2y x x= − 的图象，保留 x 轴上方的图象，再把 x 轴下方的图象对称翻到 x 轴上 方．再把它向上平移 1 个单位，即得到 2| 2 | 1y x x= − + 的图象，如下图所示． 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 1】作出下列函数的大致图象： （l） 12 xy −= ； （2） 1 2 2 x y   = −    ； （3） | |2 xy −= − ； （4） 1 2 | 1 | xxy x − =  − . 【答案】见解析 【分析】根据函数图象的变换规则及指数函数的图象与性质作出函数图象. 【详解】（l）函数 1 1 2 2 2 x xy −   = =     的图象为指数函数 1 2 x y   =     的图象的纵坐标伸长为原 来的 2 倍，如图 1 所示； （2）函数 1 2 x y   =     的图象向下平移两个单位的到函数 1 2 2 x y   = −    的图象，将函数 1 2 2 x y   = −    在 x 轴上方的图象不变、x 轴下方的图象沿 x 轴翻折即可得到函数 1 2 2 x y   = −    的图象，如图 2 所示； （3）作出 1 , 0 2 2 2 , 0 x x x x y x −    −   = − =     −  的图象如图 3 所示； （4）作出 2 , 11 2 1 2 , 1 x x x xx y x x  − =  =  − −  的图象如图 4 所示. 【点睛】本题考查指数函数的图象与性质、函数图象的变换，属于中档题. 题型二 知图选式类图象辨识题型 【例 2】已知函数 ( )f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 A． 2 ( ) e ex x x f x − = + B． ( ) 3 e ex x f x x −+ = C． 2 ( ) e ex x x f x − = − D． ( ) 2 e ex x f x x −+ = 【答案】D 【分析】根据函数图象知 ( )f x 定义域为 ( ,0) (0, )− + 且为偶函数，确定各项函数定义 域，判断奇偶性，应用排除法确定答案. 【详解】由题图： ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )− + ，排除 A； 当 3 3 3 e e e e e e ( ) , ( ) ( ) ( ) x x x x x x f x f x f x x x x − − −+ + + = − = = − = − − ，故 3 e e ( ) x x f x x −+ = 是奇函数，排 除 B. 当 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 , e e e e e ex x x x x x xx x f x f x f x − − − − = − = = − = − − − − ，故 2 ( ) e ex x x f x − = − 是奇函数，排 除 C. 故选：D 【跟踪训练 2】已知函数 ( )f x 的图象如图所示，则 ( )f x 的解析式 可能是（ ） A． ( ) 1 1 = + x f x a （0 1a  ） B． ( ) 1 1 = + x f x a （ 1a  ） C． ( ) 2 1 1 = + f x ax （0 1a  ） D． ( ) 2 1 1 = + f x ax （ 1a  ） 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性由排除法即可得正确选项. 【详解】对于 A：当0 1a  时， xy a= 单调递减，可得 ( ) 1 1 = + x f x a 单调递增，而由所 给 ( )f x 的图象可知 ( )f x 单调递减，故选项 A 不正确； 对于 B 和 C：当0 1a  或 1a  时， ( ) 2 1 1 = + f x ax 定义域为R ， 且 ( ) ( ) ( )2 2 1 1 11 f x f x axa x − = = = ++ − 为偶函数， 因为 2y ax= 在 ( ),0− 上单调递减，所以 ( ) 2 1 1 = + f x ax 在 ( ),0− 上单调递增 而所给 ( )f x 的图象不关于 y 轴对称，且在 ( ),0− 上单调递减，故选项B和C都不正确， 由排除法可知选项 B 正确； 故选：B. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 题型三 知式选图类图象辨识题型 【例 3】函数 ( ) 3 22 x x x f x = + 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再代入特殊值计算 ( )5f ，即可判断选项. 【详解】由题意得 ( )f x 的定义域为 R， ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 222 xx x x f x f x xx − − − = = − = − ++ − ，所以 ( )f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项 B，D． 又 ( ) 125 5 2 32 25 f =  + ，排除选项 C. 故选：A． 【跟踪训练 3】函数 ( ) ( )2log 4 1xf x x= + − 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】特殊值检验即可. 【详解】由题知， ( ) ( )2log 4 1xf x x= + − , 当 0x = 时， ( ) ( )020 log 4 1 0 1f = + − = ，故 D 错误； 当 2x = 时， ( ) ( ) ( )2 22 22 log 4 1 2 log 4 2 2 1f = + −  − =  ，故 B 错误； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 当 1 2 x = − 时， ( ) 1 2 2 2 2 1 1 3 1 1 log 4 1 =log log 2 1 2 2 2 2 2 f −     − = + + +  + =          ，故 C 错误； 故选：A 题型四 与实际应用问题结合的函数图象问题 【例 4】一质点从正方形的一个顶点A 出发，沿着正方形的边顺时 针运动一周后回到A 点，假设质点运动过程中的速度大小不变，则 质点到点A 的距离 s随时间 t 变化的大致图象为（ ） A． · B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象，分段讨论，即可得到. 【详解】 如图，当该质点运动到 AB 段的 G 点时，s AG= ， AG 长度逐渐增大，变化图象为一条 上升的线段； 当该质点运动到 BC 段的 E 点时， 2 2 s AE AB BE= = + ， AB 不变， BE 逐渐增大，变 化图象为一段上升的曲线； 当该质点运动到 CD 段的 F 点时， 2 2 s AF AD DF= = + ， AD 不变， DF 逐渐减小， 变化图象为一段下降的曲线； 当该质点运动到 AD 段的 H 点时， s AH= ， AH 长度逐渐减小，变化图象为一段下降 的线段. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 综上可知，只有 D 选项满足情况. 故选：D. 【跟踪训练 4】下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ） ①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. 其中 y 表示离开家的距离，t 表示所用时间. A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②① 【答案】A 【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像. 【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为 0，故图像④符合； 对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合； 对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合； 故选：A. 题型五 利用函数图象解不等式 【例 5】（多选）函数 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 0, 3 , 0 3 , 3 x a x a f x a x a a x a x a − −   =     −  ，若不等式 ( 2) (4 ) 0f x f a x+ + −  恒成立，则 a 的值可以为（ ） A． 1 3 B． 1 2 C．1 D． 3 2 【答案】AB 【分析】利用数形结合的思想，作分段函数的图象，明确函数的对称性，结合函数图象 变换，可得答案. 【详解】作出函数 ( )f x 的大致图象如图所示， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 ( )f x 的图象关于点 (2 ,0)a 中心对称，故 (4 ) ( )f a x f x− = − ，由 ( 2) (4 ) 0f x f a x+ + −  ， 得 ( 2) ( ) 0f x f x+ −  ，即 ( 2) ( )f x f x+  ， 即 ( )y f x= 的图象向左平移2个单位后得到 ( 2)y f x= + 的图象一定在 ( )y f x= 的图象上 方，如图， 2 2BB a =  ，即 1a  ，所以 a 的取值范围为(0,1)． 故选：AB. 【跟踪训练 5】（多选）函数 ( ) 1f x a x a= + − − ， ( ) 2 1g x ax x= − + ，其中 0a  .记   , max , , m m n m n n m n  =   ，设 ( ) ( ) ( ) max ,h x f x g x= ，若不等式 ( ) 1 2 h x  恒有解，则实数 a 的值可以是（ ） A．1 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】CD 【分析】将问题转化为 ( ) min 1 2 h x ；分别在 2a  和0 2a  的情况下，得到 ( )f x 与 ( )g x 的大致图象，由此可得确定 ( )h x 的解析式和单调性，进而确定 ( ) min h x ，由 ( ) min 1 2 h x  可确定a 的取值范围，由此可得结论. 【详解】由题意可知：若不等式 ( ) 1 2 h x  恒有解，只需 ( ) min 1 2 h x 即可. ( ) 1, 2 1 , x x a f x a x x a +  =  + −  ， 令 2 1 1ax x x− + = + ，解得： 0x = 或 2 x a = ； 令 2 1 2 1ax x a x− + = + − ，解得： 2x = − 或 2x = ； ①当 2 a a  ，即 2a  时，则 ( )f x 与 ( )g x 大致图象如下图所示， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 2 ,0 2 , g x x h x f x x a g x x a       =      ， ( )h x 在 ( ,0− 上单调递减，在 )0, + 上单调递增， ( ) ( ) ( ) min 0 0 1h x h g = = = ，不合题意； ②当 2 a a  ，即0 2a  时，则 ( )f x 与 ( )g x 大致图象如下图所示， ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 ,0 2 , 2 g x x h x f x x g x x     =     ， ( )h x 在 ( ,0− ， , 2a  上单调递减， 0,a ， )2, + 上单调递增； 又 ( ) ( )0 0 1h g= = ， ( ) ( )2 2 2 2 1h g a= = − + ， 若 ( ) min 1 2 h x ，则需 ( ) ( )min 2h x h= ，即 1 2 2 1 2 a − +  ，解得： 2 2 1 4 a −  ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 综上所述：实数a 的取值集合 2 2 1 0, 4 M  − =     ， 1 M ， 1 2 M ， 1 3 M ， 1 4 M ，AB 错误，CD 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化 为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定 ( )f x 与 ( )g x 图象的相对位置，从 而得到 ( )h x 的单调性，结合单调性来确定最值. 题型六 利用函数图象解决函数零点（方程的根）问题 【例 6】定义在R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )4f x f x= − ， ( ) ( ) 0f x f x+ − = ，且当  0,2x 时， ( ) 3 5 3 8 f x x x= + ，则方程 ( )2 4 0f x x− + = 所有的根之和为（ ） A．44 B．40 C．36 D．32 【答案】A 【分析】根据题中所给的函数性质可得 ( )f x 的周期为8且关于 (4,0)中心对称，再画函数 分析 ( )y f x= 与 2 2 x y = − 的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可. 【详解】由 ( ) ( ) 0, ( ) (4 )f x f x f x f x+ − = = − 可得函数 ( )f x 为奇函数，且关于 2x = 对称， 又由题意 ( ) ( )f x f x− = − ，故 ( ) (4 ) (4 )f x f x f x= − = − + ， 所以函数 ( )f x 关于 (4,0)中心对称，且 ( ) (4 ) (4 )f x f x f x= − = − + ，故函数 ( )f x 的周期为 8 .又当 [0,2]x 时， 35( ) 3 8 f x x x= + ，此时 215( ) 3 0 8 f x x = +  ， 故函数 ( )f x 在[0,2]上单调递增，综上可画出 ( )y f x= 的部分图象， 又方程 ( )2 4 0f x x− + = 的根，即 ( )y f x= 与 2 2 x y = − 的交点， 由图可知：函数 ( )f x 的最大值为 (2) 11f = ， 当 2=11 2 x − 时， 26x = ，此时直线与曲线交于最高点， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 所以 ( )y f x= 与 2 2 x y = − 在 (4, )+ 上有5个交点，根据函数的对称性可知：在 ( ,4)− 也 有5个交点，并且两两关于 (4,0)中心对称，加上 (4,0)共 11 个， 故其根之和为5 8 4=44 + ， 故选：A . 【跟踪训练 6】已知函数 ( ) 2 1 4 1, 0 2 , 0 x x x x f x x −  + +  =   ，若方程 ( ) 0f x a− = 恰好有三个实数 根，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】1 2a  【分析】作出函数的图象，原题可转化为函数 ( )y f x= 与 y a= 的图象有三个交点时， 求数 a 的取值范围的问题，数形结合即可得出. 【详解】函数 ( ) 2 1 4 1, 0 2 , 0 x x x x f x x −  + +  =   的图象如图所示， 因为 ( ) 0f x a− = 恰好有三个实数根， 即函数 ( )y f x= 与 y a= 的图象有三个交点， 由图象可知，实数a 的取值范围是1 2a  . 故答案为：1 2a  . 题型七 数形结合思想的综合应用 【例 7】已知函数 ( )   (  1 2 3 , 1,2 1 , 2,8 2 x x f x f x x  − −   =    −     ，则下列结论正确的是_________. ① ( ) ( )2 7f f= ； ②函数 ( )f x 有 5 个零点； ③函数 ( )f x 在 3,6 上单调递增； ④函数 ( )f x 的值域为 2,4− 【答案】③ 【分析】根据解析式直接计算 (2), (7)f f 即可判断①，由解析式画出函数在[1,8]上的图 象可判断②，③，计算 3 (3) 2 f f   = −     ， (6) (3)f f= − 结合图象即可求值域，判断④. 【详解】因为 ( )   (  1 2 3 , 1,2 1 , 2,8 2 x x f x f x x  − −   =    −     ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 所以 (2) 1 | 2 2 3| 0= −  − =f ， 7 7 7 1 (7) 1 2 3 2 4 4 2 f f f     = − = = −  − =        ，故①错误； 当2 4x  时， ( ) 1 | 3 | 2 x f x f x   = − = − + −    ， 当4 8x  时， 1 ( ) 1 3 2 4 2 x x f x f f x     = − = = − −        ， 所以画出函数的图象如下所示， 由图可得函数有 4 个零点，故 B 错误，函数在[3,6]上单调递增，故③正确； 3 3 (3) 1 2 3 1 2 2 f f   = − = − +  − = −    ， (6) (3) 1= − =f f ， 故函数的值域为[ 1,1]− ，故④错误； 故答案为：③ 【点睛】本题主要考查了函数的图象，分段函数，函数的零点，值域，单调性，数形结 合的思想，属于中档题. 【跟踪训练 7】已知 ( )f x 为定义在 R上的奇函数，当 0x  时，有 ( ) ( )1f x f x+ = − ，且 当  )0,1x 时， ( ) ( )2log 1f x x= + ，下列命题正确的是（ ） A． ( ) ( )2021 2022 0f f+ − = B．函数 ( )f x 在定义域上是周期为 2 的函数 C．直线 y x= 与函数 ( )f x 的图象有 2 个交点 D．函数 ( )f x 的值域为 1,1− 【答案】A 【分析】首先 0x  时，函数变形为 ( ) ( )2f x f x+ = ，再结合函数是奇函数，可计算求 值，并判断选项 B；根据条件，可判断 ( )2 ,2 1x n n + 和 ( )2 1,2 2x n n + + 时，函数的值 域，即可判断 D；再结合条件，以及 D 选项，即可判断 C. 【详解】 函数 ( )y f x= 是R 上的奇函数， ( )0 0f = ，由题意可得 ( ) ( )1 0 0f f= − = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 当 0x  时， ( ) ( ) ( )2 1f x f x f x+ = − + = ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2021 2022 2021 2022 1 0 0f f f f f f + − = − = − = ，A 选项正确； 当 0x  时， ( ) ( )1f x f x+ = − ，则 2 6 1 6 log 5 5 5 f f     = − = −        ， 2 4 4 9 log 5 5 5 f f     − = − = −        ， 4 4 6 2 5 5 5 f f f        −  − + =            ， 则函数 ( )y f x= 不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若 x 为奇数时， ( ) ( )1 0f x f= = ， 若 x 为偶数，则 ( ) ( )0 0f x f= = ，即当 Zx 时， ( ) 0f x = ， 当 0x  时， ( ) ( )2f x f x+ = ，若 Nn ，且当 ( )2 ,2 1x n n + 时， ( )2 0,1x n−  ， ( ) ( ) ( )2 0,1f x f x n= −  ， 当 ( )1,2x 时，则 ( )1 0,1x−  ， ( ) ( ) ( )1 1,0f x f x = − −  − ， 当 ( )2 1,2 2x n n + + 时， ( )2 1,2x n−  ，则 ( ) ( ) ( )2 1,0f x f x n= −  − ， 所以，函数 ( )y f x= 在 )0, + 上的值域为 ( )1,1− ， 由奇函数的性质可知，函数 ( )y f x= 在 ( ),0− 上的值域为 ( )1,1− ， 由此可知，函数 ( )y f x= 在R 上的值域为 ( )1,1− ，D 选项错误； 如下图所示： 由图象可知，当 1 1x−   时，函数 y x= 与函数 ( )y f x= 的图 象只有一个交点， 当 1x  − 或 1x  时， ( ) ( )1,1f x  − ，此时，函数 y x= 与函数 ( )y f x= 没有交点， 则函数 y x= 与函数 ( )y f x= 有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A. 课后突破训练 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 1．函数 ( ) 1 e x f x x = − 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性排除 A,再根据函数在 1x = 处函数值的正负排除 B 和 C,得出 结果. 【详解】 ( ) ( ) 1 1 e e x x f x f x x x − − = − = − = − ,  ( )f x 为偶函数,排除 A. ( )1 1 e<0f = − ,排除 B 和 C. 故选:D. 2．如图， ABC是边长为 2 的等边三角形，点 E 由 A 沿线段 AB 向 B 移动，过点 E 作 AB的垂线 l，设 AE x= ，记 ABC位于直 线 l 左侧的图形的面积为 y，那么 y 与 x 的函数关系的图象大致 是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 【分析】建立 y 关于 x 的关系式，分为E点在 AB中点左侧和右侧分类讨论，结合函数 图象变化情况即可求解. 【详解】因为 ABC是边长为 2 的等边三角形，所以当 AE x= 时，设直线 l 与 AC 交点 为 F ，当E点在 AB中点左侧时， 3EF x= ， ( )2 1 3 3 0 1 2 2 AEFS x x x x=  =   ，此时 函数为下凸函数；当E点在 AB中点右侧时， ( ) ( ) ( ) 21 3 2 3 2 2 2 2 BEFS x x x= −  − = −△ ，此时 左侧部分面积为： ( ) ( ) ( ) 2 223 3 32 2 2 3 1 2 4 2 2 ABC BEFS S x x x− =  − − = − − +   ，此 时函数为上凸函数，C 项符合. 故选：C 3．已知函数 ( )y f x＝ （ x D ），若存在 0x D ，使 ( ) ( )0 0 0f x f x+ − ＝ ，则称点 ( )( )0 0,x f x 是函数 ( )y f x＝ 的一个“H 点”.则函数 2 4 , 0, ( ) 4, 0, x x x g x x x  −  =  +  “H 点”的个数为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“H 点”的特征，利用数形结合判断存在的个数. 【详解】由 ( ) ( )0 0 0f x f x+ − ＝ ，若 ( )( )0 0,x f x 是函数 ( )y f x＝ 的一个“H 点”，则其关于原 点的对称点为 ( )( )0 0,x f x− − ，即 ( )( )0 0,x f x− − ，所以“H 点”关于原点的对称点也在函数 图像上， 所以要判断函数 2 4 , 0, ( ) 4, 0, x x x g x x x  −  =  +  “H 点”的个数，需要知道函数图像上关于原点的 对称点有多少个，作函数 ( )g x 在 ( ,0− 上的部分图像关于原点对称的图像，如图所示， 与 ( )g x 在 ( )0,+ 上的部分图像有两个交点， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 所以函数 2 4 , 0, ( ) 4, 0, x x x g x x x  −  =  +  “H 点”的个数为 4. 故选：C 4．已知函数 ( ) ( )lg 1f x x= + ，若 ( ) ( )( )f a f b a b=  ，则（ ） A． ( )( )1 1 1a b− −  B． ( )( )1 1 1a b− − = C． ( )( )1 1 1a b− −  D．以上选项均有可能 【答案】C 【分析】作出函数 ( ) ( )lg 1f x x= + 的图象结合 ( ) ( )( )f a f b a b=  可得到 a,b 的取值范 围以及 a,b 之间的关系式，整理变形即可判断出答案. 【详解】作出函数 ( ) ( )lg 1f x x= + 的图象，如图： 由题意可知， ( ) ( )lg 1 lg 1a b− + = + ，且由图象可知， 1 0 , 0a b ab−     ， 所以即 ( ) ( ) ( )( )lg 1 lg 1 lg 1 1 0a b a b+ + + = + + = ， 所以 ( )( )1 1 1a b+ + = ，即 0ab a b+ + = ，a b ab+ = − ， 即 ( )( )1 1 1 1 2 1a b ab a b ab− − = − − + = +  ， 故选：C 5．已知函数 f(x)的图像如图所示，则函数 f(x)的解析式可能是（ ） A． ( )( ) 4 4 | |x xf x x−= + B． ( ) 2( ) 4 4 log | |x xf x x−= − C． ( ) 2( ) 4 4 log | |x xf x x−= + D． ( ) 1 2 ( ) 4 4 log | |x xf x x−= + 【答案】C 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 【分析】 ( ) (4 4 ) | |x xf x x−= + ， f(1)≠0，A 不正确； 2( ) (4 4 ) log | | x xf x x−= − 是奇函数，不满足题意，B 不正确； 1 2 ( ) (4 4 ) log | |x xf x x−= + ，当 x∈(0，1)时， ( ) 0f x  ，不满足题意，D 不正确. 【详解】由函数 f(x)的图像知函数 f(x)是偶函数，且当 x=1 时，f(1)=0. ( ) (4 4 ) | |x xf x x−= + 是偶函数，但是 f(1)≠0，A 不正确； 2( ) (4 4 ) log | | x xf x x−= − 是奇函数，不满足题意，B 不正确； 1 2 ( ) (4 4 ) log | |x xf x x−= + 是偶函数，f(1)=0，但当 x∈(0，1)时， ( ) 0f x  ，不满足题意， D 不正确. 故选：C. 6．设函数 ( ) 2 , 1, 2 4, 1. x ax x f x ax x − +  =  −  若 1 2, Rx x  ，且 1 2x x ，使 ( ) ( )1 2f x f x= 成立，则 实数 a 的取值范围是（ ） A． ( 3),− B． ( ),2− C． )2,5 D． )2,+ 【答案】A 【分析】分 2a  和 2a  讨论，当 2a  时根据二次函数性质可知符合题意，对 2a  时 得到边界点时纵坐标的大小关系得到不等式，解出范围，最后总结即可. 【详解】当 1x  时, 2( )f x x ax= − + 的对称轴为 2 a x = , 当 1 2 a  ,即 2a  时,此时 1 2, 1x x  ,使得 ( ) ( )1 2f x f x= ; 当 1 2 a  ,即 2a  时, ( )f x 在 ( ,1]− 上单调递增,在 (1, )+ 上也递增, 要想 1 2 R,x x  ,且 1 2x x ,使得 ( ) ( )1 2f x f x= ,则 1 2 4a a− +  − ,得 3a  , 又 2a  ,则2 3a  . 综上 ( ,3)a − 故选：A. 7．（多选）设函数  2( ) min | 2 |, ,| 2 |f x x x x= − + 其中min{ , , }x y z 表示 x，y，z 中的最小 者．下列说法正确的有（ ） A．函数 ( )f x 为偶函数 B．当 [1, )x + 时，有 ( 2) ( )f x f x−  C．方程 1 ( ) 2 f x = 有 6 个实数解 D．当 [ 4,4]x − 时， | ( 2) | ( )f x f x−  【答案】ABC 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 【分析】在同一直角坐标系中画出 | 2 |y x= − ， 2y x= ， | 2 |y x= + ，进而得 ( )f x 的解析， 结合图象可得奇偶性，由图象平移、两图象的关系以及特殊值，即可得到所求结论． 【详解】在同一直角坐标系中画出函数 | 2 |y x= − ， 2y x= ， | 2 |y x= + 的图象如图（1） 所示， 由图象可知： 2 2 , 1 ( ) , 1 1 2 , 1 x x f x x x x x  + −  = −    − ， 进而可得 ( )f x 的图象，如图（2） 显然有 ( ) ( )f x f x− = ，可得 ( )f x 为偶函数；故 A 正确； 又当 1x 时， ( ) | 2 |f x x= − ， ( 2)f x− 的图象可看作 ( )f x 的图象右移 2 个单位得到，显然 1x 时， ( )f x 的图象在 ( 2)f x− 图象之上，故当 [1x ， )+ 时，有 ( 2) ( )f x f x− ，故 B 正 确； 由 ( )f x 的图象可知直线 1 2 y = 与 ( )y f x= 的图象有 6个交点，故 1 ( ) 2 f x = 有 6个实数根， 故 C 正确； 若 [ 4x − ， 4]， 3 1 1 3 1 2 , 2 2 4 2 2 f f f       − = − = =            ，显然 3 3 2 2 2 f f     −         ，故 D 不正 确， 故选：ABC． 8．（多选）已知定义在R 上的函数 ( )y f x= 满足条件 ( ) 3 2 f x f x   + = −    ，且函数 3 4 y f x   = −    为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（ ） A． ( )f x 为周期函数 B． ( )f x 为R 上的偶函数 C． ( )f x 为R 上的单调函数 D． ( )f x 的图象关于点 3 ,0 4   −    对称 【答案】ABD 【分析】由周期性的定义可判断 A，由奇偶性的定义可判断 B，由偶函数的单调性的特 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 点可判断 C，由奇函数的对称性结合图像平移可判断 D 【详解】对于A ： 函数 ( ) 3 2 f x f x   + = −    ， ( ) 3 3 2 f x f x    + = − +    ( ) ( )3f x f x = + ( )f x\ 是周期为3的函数，故A 正确； 对于 B： ( ) 3 2 f x f x   + = −    ， 9 3 9 4 2 4 f x f x      − + = − −        即 3 9 4 4 f x f x     − = − −        又 ( )f x 的周期为3， 9 9 3 3 4 4 4 f x f x f x        − = − + = +            3 3 4 4 f x f x      − = − +        又 3 4 y f x   = −    是奇函数， 3 3 4 4 f x f x      − = − − −        3 3 4 4 f x f x      + = − −        ,令 3 4 x t+ = ，则 ( ) ( )f t f t= − ( )f t 是偶函数，即 ( )f x 是偶函数，故 B 正确； 对于 C：由 B 知 ( )f x 是偶函数， ( )f x 在 ( )0−， 和 ( )0 +， 上的单调性相反， ( )f x 在 R 上不单调，故 C 错误； 对于 D： 函数 3 4 y f x   = −    为奇函数， 3 4 y f x    = −    的图象关于点 ( )0 0， 对称， 3 4 y f x   = −    的函数图象是由 ( )y f x= 的图象向右平移 3 4 个单位得到的， ( )y f x = 的函数图象关于点 3 ,0 4   −    对称，故 D 正确． 故选：ABD 9．已知函数 ( )y f x= 是定义域为 R 的偶函数，当 0x  时， 16 1 ( ) , ( ) 2 log , x f x x   =    0 2 2 x x    ， 若关于 x 的方程 2[ ( )] ( ) 0( , )f x af x b a b R+ + =  有且仅有 7 个不同实数根，则a b+ = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 ___________ 【答案】 1− 【分析】根据题意，作出函数 ( )f x 的图像，令 ( )t f x= ，将原问题转化为图像交点问 题，即可求解. 【详解】根据题意，作出函数 ( )f x 的图像，如下， . 由关于 x 的方程 2[ ( )] ( ) 0( , )f x af x b a b R+ + =  有且仅有 7 个不同实数根， 结合图像，令 ( )t f x= ，则关于 t 的方程 2 0t at b+ + = 有两个根，且 1 1t = ， 2 1 1 4 t  ， 故 21 0a b+ + = ，即 1a b+ = − . 故答案为： 1− . 10．若方程 2 3 +2 =0x x a− − 有四个不同的根，则a 的取值范围是 _______． 【答案】 1 0, 4       【分析】结合函数图像的变换可作出 ( ) 2= 3 +2f x x x− 的图像，将问题转化为 ( )f x 与 =y a有四个交点，结合图像即可得到a 的取值范围. 【详解】由于 ( ) 2= 3 +2f x x x− 的图像是由 2 3 2y x x−= + 的图像保留 x 轴上方的图像的 同时，将 x 轴下方的图像关于 x 轴向上翻折得到的图像， 故由此作出函数 ( ) 2= 3 +2f x x x− 的图像，如图， . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 若方程 2 3 +2 =0x x a− − 有四个不同的根，则函数 ( ) 2= 3 +2f x x x− 与 =y a有四个交点， 因为 2 2 3 1= 3 +2= 2 4 y x x x− − −       ，所以 ( )f x 在 ( )1,2 上的最大值为 3 1 = 2 4 f       ， 所以结合图像，可得 1 0 4 a  ，即 1 0, 4 a       . 故答案为： 1 0, 4       ． 11．作出下列函数的图象： (1) ( ) 1 1f x x x= − + + ； (2) ( ) 2 2 4 3, 0 , 0 4 3, 0 x x x f x x x x x x − + −   = =  + +  ； (3) ( )    )( )1,3f x x x=  − ，其中 x 表示不大于 x 的最大整数． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析. 【分析】根据题意写出分段函数的解析式，然后作图即得. （1） 因为函数 ( ) 2 , 1 1 1 2, 1 1 2 , 1 x x f x x x x x x −  −  = − + + = −     ， 画出其图象如图所示： ； （2） 函数的图象是两段抛物线与一个点，画出其图象如图所示． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 （3） 由题可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 x x f x x x − −      =       ，画出其图象如图所示： 12．已知函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) 22 3 2f x f x x x+ − = − − ，函数 ( )g x 是R 上单调递增的一次 函数，且满足 ( ) 1 3 4 2 g g x x= +   . (1)证明： x R， ( ) ( )f x g x ； (2)已知函数 ( ) ( ) ( ) , 0 = , <0 f x x h x g x x     ， ①画出函数 ( )h x 的图像； ②若 ( ) ( ) ( )h a h b h c= = 且a ，b ， c 互不相等时，求 + +a b c 的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 23 页 (2)①函数 ( )h x 的图像见解析；② )0,2 【分析】（1）先由赋值法求得函数 ( )f x 的解析式，再由待定系数法求得函数 ( )g x 的解 析式，利用作差法即可比较 ( )f x 与 ( )g x 的大小； （2）①根据一次函数和二次函数图像的性质作出分段函数 ( )h x 图像即可； ②根据函数的图像得到 ( ) ( ) ( )0 1h a h b h c = =  ，再根据函数图像得到a ，b ， c 的取值 范围，即可求解. （1）证明：由 ( ) ( ) 22 3 2f x f x x x+ − = − − ，得： ( ) ( ) 22 3 2f x f x x x− + = − + ； 联立 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 +2 = 3 2 +2 = 3 +2 f x f x x x f x f x x x − − − − −    ，消去 ( )f x− 得： ( ) 2 2f x x x= − + ； 又由函数 ( )g x 是R 上单调递增的一次函数，设 ( )g x kx b= + （ 0k  ）， 则 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 4 2 g g x g kx b k kx b b k x kb b x= + = + + = + + = +   ， 即 2 1= 4 3 + = 2 k kb b      ，且 0k  ，解得： 1 = 2 =1 k b      ； 所以 ( ) 1 1 2 g x x= + ， 对于 x R，有 ( ) ( ) 2 2 21 3 3 72 1 1 2 2 4 16 f x g x x x x x x x   − = − + − − = − + − = − − −    ， 对 x R， ( ) ( ) 7 0 16 f x g x−  −  ，则 ( ) ( )f x g x ； 综上： x R， ( ) ( )f x g x . （2）由（1）得， ( ) 2 +2 , 0 = 1 +1, <0 2 x x x h x x x −      ； ①作出 ( )h x 的函数图像，如图所示： ②不妨设a b c  ，由①函数 ( )h x 的图像可得： ( ) ( ) ( )  )0,1h a h b h c= =  ， 即 2 0a−   ，0 1b  ，1 2c  ，且等号同时成立，又 1 2 2b c+ =  = ，即0 2a b c + +  . 故 + +a b c 的取值范围为 )0,2 . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 12 函数的图象重难点专题 常考结论及公式 结论一：利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线.要注意研究：（1）确定函数的定义域；（2）化简 函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性和对称性等）；（4）特殊 点和特殊线，其中特殊点常包括函数图象与坐标轴的交点、极值点与最值点、区间端点 等，特殊线主要指渐近线和对称轴. 结论二：图象变换 （1）平移变换：口诀为“左加右减，上加下减”.对于函数 ( )y f x= 向左平移 ( 0)k k  个单位时可得到 ( )y f x k= + ；对于函数 ( )y f x= 向右平移 ( 0)k k  个单位时可得到 ( )y f x k= − ；对于函数 ( )y f x= 向上平移 ( 0)k k  个单位时可得到 ( )y f x k= + ； 对于函数 ( )y f x= 向下平移 ( 0)k k  个单位时可得到 ( )y f x k= − . （2）对称变换：① ( )y f x= 与 ( )y f x= − 关于 x 轴对称； ② ( )y f x= 与 ( )y f x= − 关于 y 轴对称； ③ ( )y f x= 与 ( )y f x= − − 关于原点对称； ④ xy a= 与 logay x= 其中（ 0a  且 1a  ）关于 y x= 对称； ⑤ ( )y f x= 与 (2 )y f a x= − 关于 x a= 对称； ⑥ ( )y f x= 与 (2 )y f a x= − − 关于 ( ,0)a 对称； ⑦ ( )y f x= 与 (2 )y f a x b= − − + 关于 ( , ) 2 b a 对称. （3）翻折变换：①将 ( )y f x= 保留 x 轴上方图象，将 x 轴下方图象翻折到 x 轴上方可 得到 | ( ) |y f x= 的图象； ②将 ( )y f x= 保留 y 轴右边图象，并作其关于 y 轴对称的图象可得到 (| |)y f x= 的图 象. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （4）伸缩变换：①将 ( )y f x= 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 a 倍 可得 ( )y f ax= 的图象； ②将 ( )y f x= 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍可得 ( )y af x= 的 图象； 题型一 画出具体函数的图象 【例 1】作出下列函数的图象. (1) 1 ( { 2 1012})y x x= −  − −, , ,, ； (2) 2 1 1 x y x + = − ； (3) 2| 2 | 1y x x= − + ． 【跟踪训练 1】作出下列函数的大致图象： （l） 12 xy −= ； （2） 1 2 2 x y   = −    ； （3） | |2 xy −= − ； （4） 1 2 | 1 | xxy x − =  − . 题型二 知图选式类图象辨识题型 【例 2】已知函数 ( )f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ） A． 2 ( ) e ex x x f x − = + B． ( ) 3 e ex x f x x −+ = C． 2 ( ) e ex x x f x − = − D． ( ) 2 e ex x f x x −+ = 【跟踪训练 2】已知函数 ( )f x 的图象如图所示，则 ( )f x 的解析式 可能是（ ） A． ( ) 1 1 = + x f x a （0 1a  ） B． ( ) 1 1 = + x f x a （ 1a  ） C． ( ) 2 1 1 = + f x ax （0 1a  ） D． ( ) 2 1 1 = + f x ax （ 1a  ） 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型三 知式选图类图象辨识题型 【例 3】函数 ( ) 3 22 x x x f x = + 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练 3】函数 ( ) ( )2log 4 1xf x x= + − 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 题型四 与实际应用问题结合的函数图象问题 【例 4】一质点从正方形的一个顶点A 出发，沿着正方形的边顺时 针运动一周后回到A 点，假设质点运动过程中的速度大小不变，则 质点到点A 的距离 s随时间 t 变化的大致图象为（ ） A． · B． C． D． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 4】下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ） ①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. 其中 y表示离开家的距离，t表示所用时间. A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②① 题型五 利用函数图象解不等式 【例 5】（多选）函数 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 0, 3 , 0 3 , 3 x a x a f x a x a a x a x a − −   =     −  ，若不等式 ( 2) (4 ) 0f x f a x+ + −  恒成立，则 a的值可以为（ ） A． 1 3 B． 1 2 C．1 D． 3 2 【跟踪训练 5】（多选）函数 ( ) 1f x a x a= + − − ， ( ) 2 1g x ax x= − + ，其中 0a  .记   , max , , m m n m n n m n  =   ，设 ( ) ( ) ( ) max ,h x f x g x= ，若不等式 ( ) 1 2 h x  恒有解，则实数 a 的值可以是（ ） A．1 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 题型六 利用函数图象解决函数零点（方程的根）问题 【例 6】定义在R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )4f x f x= − ， ( ) ( ) 0f x f x+ − = ，且当  0,2x 时， ( ) 3 5 3 8 f x x x= + ，则方程 ( )2 4 0f x x− + = 所有的根之和为（ ） A．44 B．40 C．36 D．32 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 6】已知函数 ( ) 2 1 4 1, 0 2 , 0 x x x x f x x −  + +  =   ，若方程 ( ) 0f x a− = 恰好有三个 实数根，则实数 a 的取值范围是__________. 题型七 数形结合思想的综合应用 【例 7】已知函数 ( )   (  1 2 3 , 1,2 1 , 2,8 2 x x f x f x x  − −   =    −     ，则下列结论正确的是_________. ① ( ) ( )2 7f f= ； ②函数 ( )f x 有 5 个零点； ③函数 ( )f x 在 3,6 上单调递增； ④函数 ( )f x 的值域为 2,4− 【跟踪训练 7】已知 ( )f x 为定义在 R上的奇函数，当 0x  时，有 ( ) ( )1f x f x+ = − ，且 当  )0,1x 时， ( ) ( )2log 1f x x= + ，下列命题正确的是（ ） A． ( ) ( )2021 2022 0f f+ − = B．函数 ( )f x 在定义域上是周期为 2 的函数 C．直线 y x= 与函数 ( )f x 的图象有 2 个交点 D．函数 ( )f x 的值域为 1,1− 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 课后突破训练 1．函数 ( ) 1 e x f x x = − 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 2．如图， ABC是边长为 2 的等边三角形，点 E由 A沿线段 AB 向 B移动，过点 E作 AB的垂线 l，设 AE x= ，记 ABC位于直 线 l左侧的图形的面积为 y，那么 y与 x的函数关系的图象大致 是（ ） A． B． C． D． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 3．已知函数 ( )y f x＝ （ x D ），若存在 0x D ，使 ( ) ( )0 0 0f x f x+ − ＝ ，则称点 ( )( )0 0,x f x 是函数 ( )y f x＝ 的一个“H点”.则函数 2 4 , 0, ( ) 4, 0, x x x g x x x  −  =  +  “H点”的个数为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．已知函数 ( ) ( )lg 1f x x= + ，若 ( ) ( )( )f a f b a b=  ，则（ ） A． ( )( )1 1 1a b− −  B． ( )( )1 1 1a b− − = C． ( )( )1 1 1a b− −  D．以上选项均有可能 5．已知函数 f(x)的图像如图所示，则函数 f(x)的解析式可能是（ ） A． ( )( ) 4 4 | |x xf x x−= + B． ( ) 2( ) 4 4 log | |x xf x x−= − C． ( ) 2( ) 4 4 log | |x xf x x−= + D． ( ) 1 2 ( ) 4 4 log | |x xf x x−= + 6．设函数 ( ) 2 , 1, 2 4, 1. x ax x f x ax x − +  =  −  若 1 2, Rx x  ，且 1 2x x ，使 ( ) ( )1 2f x f x= 成立，则 实数 a 的取值范围是（ ） A． ( 3),− B． ( ),2− C． )2,5 D． )2,+ 7．（多选）设函数  2( ) min | 2 |, ,| 2 |f x x x x= − + 其中min{ , , }x y z 表示 x，y，z中的最小 者．下列说法正确的有（ ） A．函数 ( )f x 为偶函数 B．当 [1, )x + 时，有 ( 2) ( )f x f x−  C．方程 1 ( ) 2 f x = 有 6 个实数解 D．当 [ 4,4]x − 时， | ( 2) | ( )f x f x−  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 8．（多选）已知定义在R 上的函数 ( )y f x= 满足条件 ( ) 3 2 f x f x   + = −    ，且函数 3 4 y f x   = −    为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（ ） A． ( )f x 为周期函数 B． ( )f x 为R 上的偶函数 C． ( )f x 为R 上的单调函数 D． ( )f x 的图象关于点 3 ,0 4   −    对称 9．已知函数 ( )y f x= 是定义域为 R的偶函数，当 0x  时， 16 1 ( ) , ( ) 2 log , x f x x   =    0 2 2 x x    ， 若关于 x的方程 2[ ( )] ( ) 0( , )f x af x b a b R+ + =  有且仅有 7 个不同实数根，则a b+ = ___________ 10．若方程 2 3 +2 =0x x a− − 有四个不同的根，则a 的取值范围是 _______． 11．作出下列函数的图象： (1) ( ) 1 1f x x x= − + + ； (2) ( ) 2 2 4 3, 0 , 0 4 3, 0 x x x f x x x x x x − + −   = =  + +  ； (3) ( )    )( )1,3f x x x=  − ，其中 x 表示不大于 x的最大整数． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 12．已知函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) 22 3 2f x f x x x+ − = − − ，函数 ( )g x 是R 上单调递增的一次 函数，且满足 ( ) 1 3 4 2 g g x x= +   . (1)证明： x R， ( ) ( )f x g x ； (2)已知函数 ( ) ( ) ( ) , 0 = , <0 f x x h x g x x     ， ①画出函数 ( )h x 的图像； ②若 ( ) ( ) ( )h a h b h c= = 且a ，b ， c 互不相等时，求 + +a b c 的取值范围.