06 函数的值域重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 06 函数的值域重难点专题 常考结论及公式 结论一：对勾函数的图象与性质 对于形如 b y ax x = + 的函数的图象与性质： (1)形如 ( 0, 0) b y ax a b x = +   的图象与性质 右图可推出以下性质，函数的定义域为  | 0x x  ，值域为 ( ), 2 2 ,ab ab − − +  ， 函数为奇函数，单调增区间为 , b a   − −    和 , b a   +    ，单调减区间为 ,0 b a   −     和 0, b a        ，故当 0x  时，函数在 b x a = 时， 取得最小值2 ab ；当 0x  时，函数在 b x a = − 时，取得 最大值 2 ab− ; (2)形如 ( 0, 0) b y ax a b x = +   的图象与性质 右图可推出以下性质，函数的定义域为 | 0x x  ，值域为 R，函数为奇函数，单调增区间为 ( ),0− 和 ( )0,+ . 结论二：函数值域的常见求法 （1）观察法：有些函数解析式形式较为简单，根据基本初等函数的性质直接观察得出 值域。如 2 1 1 y x = + 的值域为 | 0 1y y  ， 24y x= − 的值域为 0,2 . （2）反解法：形如 ( 0) cx d y ac ax b + =  + 型，或者通过换元转化为此类型的函数，可以 转化为 d by x ay c − = − ，根据 x 的范围，列出关于 y 的不等式解出 y 的范围，即为值域. （3）换元法：运用代数或三角代换,将所给函数转化成值域容易确定的另一函数,从而求得 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 原函数的值域.形如 y ax b cx d= +  + ( 0ac  )的函数常用此法. （4）分离常数法：如 ( 0) cx d y a ax b + =  + 的函数值域可用此法. （5）根的判别式法：把函数转化为关于 x 的二次方程 ( , ) 0F x y = ，通过方程有实根，判别 式 0  ，从而求得原函数的值域。形如 2 1 1 1 2 2 2 2 a x b x c y a x b x c + + = + + （ 1a ， 2a 不同时为 0）的函数 值域常用此法. （6）利用单调性求最值: 通过确定函数在定义域内（或某个定义域的子集上）的单调性求 出函数值域的方法为单调性法。考虑用单调性法求值域常见的有： y ax b cx d= + + + 和 b y ax x = + 的形式. （7）不等式法（基本不等式和柯西不等式）:通常利用基本不等式 2 a b ab + （ ,a b R +）和柯西不等式 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )a b a b a a b b+ + + 或者其变形来求部分函数的最 值. （8）图象法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象来求函数的值域. 通常对于分段函数和含绝对值的函数多用此法. （9）配方法：对于二次函数或者通过换元法转化为二次函数型的函数都可以用配方法. （10）导数法:只要对于给定函数解析式，并且可以求函数的导数，一般情况下都可以 用导数来研究函数的极值和最值. 题型一 分离常数法求函数值域 【例 1】高斯是德国著名的数学家，近代数学家奠基者之一，享有“数学王子”的称号， 用其名字命名的“高斯函数”设 xR ，用 x 表示不超过 x的最大整数，则  y x= 称为高 斯函数，例如： 2.1 3− = − ， 3.1 3= ，已知函数 2 ( ) 1 x f x x + = + ，  0,1x ，则函数  ( )y f x= 的值域是（ ） A． 1,2 B． ( )1,2 C． ( )0,1 D． 2 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 1】函数 ( ) 2 2 1 3 2 x f x x x − = + + 的值域为________． 题型二 换元法求函数值域 【例 2】已知实数 x ， y ，满足 2 2 1x y− = ，则 2 1 2 y x x + 的取值范围是__________． 【跟踪训练 2】已知 0x  ， 0y  ，a x y= + ， 2 2b x xy y= + + ，c m xy= .若 a，b，c 构成三角形的三边，则 m的取值范围是_______. 题型三 反解法求函数的值域 【例 3】函数 2 1 2 x y x − = + ；①  5,10x 的值域是__________； ② ( ) ( )3, 2 2,1x − − − 的值域是__________． 【跟踪训练 3】已知函数 ( ) 1 = + x f x x ，若  2,2a  − ， 1 ,2 2 x        使不等式 2 10( ) 2 3 f x m am − + 成立，则实数m 的取值范围为______． 题型四 利用根的判别式法求函数的最值 【例 4】函数 ( ) 2 2 1 2 x x f x x x − + = − + 的值域是___________. 【跟踪训练 4】已知 0a  ，函数 2 2( ) 2f x ax x x x= − + − 的最大值为 2 ，则实数a 的 值为_____. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型五 利用函数的单调性求函数的最值 【例 5】已知函数 ( ) 21 1f x x x x= + − − + ，若对于 ( ) ( ), 1 1,2, ,iy y y f x x i n  =  =∣ ， 不等式 1 2 1 2022n ny y y y−+ + +  恒成立，则正整数n 的最小值为__________. 【跟踪训练 5】设 ( ) 3f x x t= − + + ，若存在实数 (, )m n m n ，使得 ( )f x 的定义域和值 域都是[ , ]m n ，则实数 t 的取值范围为_______. 题型六 不等式法求函数的最值 【例 6】若正实数 , ,a b c满足2 2 , 2ab a b abc a b c= + = + + ，则 c 的最大值为________. 【跟踪训练 6】已知正实数 ,a b满足 ( ) 3 3 8 10 5 11 a a bb +  + ++ ，则3 2a b+ 的最小值是________. 课后突破训练 1．函数 2 2 2 2 x y x − = + 的值域是（ ） A． ( 1− ，1] B． ( 1,1)− C．[ 1− ，1] D． ( 2,2)− 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 2．已知函数 ( )  ) 1 , 2, 1 1 2, 1, 2 1 1 , , 2 2 x x x f x x x x x  +  − −     = −  −       −      ， ( ) 2g x ax= − ，  2,2x − ，若对于任意  1 2,2x  − ， 总存在  0 2,2x  − ，使 ( ) ( )0 1g x f x= 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A． 7 , 4   − −    B． 7 , 4   +   C． 7 7 , 4 4   −    D． 7 7 , , 4 4     − − +       3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 xR ， 用 x 表示不超过 x 的最大整数，则  y x= 称为高斯函数.例如： 5,1 6− = − ，  3 = .已 知函数 ( ) 2 1 x f x x = + ，则函数 ( )y f x =  的值域为（ ） A． 1− B． 1,0− C． 1 D． 0,1 4．已知函数 ( )f x 的值域为 3 3 , 2 8   −    ，则函数 ( ) ( ) ( )1 2g x f x f x= + − 的值域为（ ） A． 1 7 , 2 8       B． 1 ,1 2       C． 3 ,1 4       D． 1 7 0, , 2 8      +       5．函数 ( ) 2 1 2 2 2 f x x x x x= − − + + − 的最大值为（ ）． A． 2 B． 3 2 C． 5 2 D．2 6．设函数 2 ( ) 2 x f x x = − 在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为 M，m则M m+ =（ ） A．4 B．6 C．10 D．24 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 7．（多选）若函数 2 4 1y ax x= + + 的值域为 )0, + ，则a 的可能取值为( ) A． 6− B．0 C．2 D．4 8．（多选）已知函数 ( ) 1 1 x f x x + = + ，则（ ） A．函数 f(x)的定义域为 R B．函数 f(x)的增区间为 ( ,0]− C．函数 f(x)的值域为 ( ,1]− D．关于 a的不等式 ( 1) (2 1)f a f a−  + 的解集为 ( )2,1− 9．函数 1 y x x = − 在  1,2 上的值域为________． 10．函数 2 1y x x= − + − 的值域是___________. 11．已知 ( ) ( ) ( ) 1, 1 2 1, 1 x x f x x x − +  =  −  ，则函数 ( ) ( )( ) ( )2F x f f x f x= − 的值域为________. 12．已知 0x  ，设 2 2 1 3 4 xy t x y y + = + − + ， ①当 1y = 时， t 的最大值为______. ②当 0y  时， t 的最大值为______. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 06 函数的值域重难点专题 常考结论及公式 结论一：对勾函数的图象与性质 对于形如 b y ax x = + 的函数的图象与性质： (1)形如 ( 0, 0) b y ax a b x = +   的图象与性质 右图可推出以下性质，函数的定义域为  | 0x x  ，值域为 ( ), 2 2 ,ab ab − − +  ， 函数为奇函数，单调增区间为 , b a   − −    和 , b a   +    ，单调减区间为 ,0 b a   −     和 0, b a        ， 故当 0x  时，函数在 b x a = 时，取得最小值 2 ab ；当 0x  时，函数在 b x a = − 时，取得最大值 2 ab− ; (2)形如 ( 0, 0) b y ax a b x = +   的图象与性质 右图可推出以下性质，函数的定义域为 | 0x x  ，值域为 R，函数为奇函数，单调增区间为 ( ),0− 和 ( )0,+ . 结论二：函数值域的常见求法 （1）观察法：有些函数解析式形式较为简单，根据基本初等函数的性质直接观察得出 值域。如 2 1 1 y x = + 的值域为 | 0 1y y  ， 24y x= − 的值域为 0,2 . （2）反解法：形如 ( 0) cx d y ac ax b + =  + 型，或者通过换元转化为此类型的函数，可以 转化为 d by x ay c − = − ，根据 x 的范围，列出关于 y 的不等式解出 y 的范围，即为值域. （3）换元法：运用代数或三角代换,将所给函数转化成值域容易确定的另一函数,从而求得 原函数的值域.形如 y ax b cx d= +  + ( 0ac  )的函数常用此法. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （4）分离常数法：如 ( 0) cx d y a ax b + =  + 的函数值域可用此法. （5）根的判别式法：把函数转化为关于 x 的二次方程 ( , ) 0F x y = ，通过方程有实根，判别 式 0  ，从而求得原函数的值域。形如 2 1 1 1 2 2 2 2 a x b x c y a x b x c + + = + + （ 1a ， 2a 不同时为 0）的函数 值域常用此法. （6）利用单调性求最值: 通过确定函数在定义域内（或某个定义域的子集上）的单调性求 出函数值域的方法为单调性法。考虑用单调性法求值域常见的有： y ax b cx d= + + + 和 b y ax x = + 的形式. （7）不等式法（基本不等式和柯西不等式）:通常利用基本不等式 2 a b ab + （ ,a b R +）和柯西不等式 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )a b a b a a b b+ + + 或者其变形来求部分函数的最 值. （8）图象法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象来求函数的值域. 通常对于分段函数和含绝对值的函数多用此法. （9）配方法：对于二次函数或者通过换元法转化为二次函数型的函数都可以用配方法. （10）导数法:只要对于给定函数解析式，并且可以求函数的导数，一般情况下都可以 用导数来研究函数的极值和最值. 题型一 分离常数法求函数值域 【例 1】高斯是德国著名的数学家，近代数学家奠基者之一，享有“数学王子”的称号， 用其名字命名的“高斯函数”设 xR ，用 x 表示不超过 x的最大整数，则  y x= 称为高 斯函数，例如： 2.1 3− = − ， 3.1 3= ，已知函数 2 ( ) 1 x f x x + = + ，  0,1x ，则函数  ( )y f x= 的值域是（ ） A． 1,2 B． ( )1,2 C． ( )0,1 D． 2 【答案】A 【详解】 2 1 3 ( ) 1 ,2 1 1 2 x f x x x +   = = +  + +   ， 当 3 ( ) ,2 2 f x       时，  ( ) 1y f x= = ；当 ( ) 2f x = 时，  ( ) 2y f x= = . ∴函数  ( )y f x= 的值域是 1,2 . 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 故选 A 【点睛】本题考查了函数的值域，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力. 【跟踪训练 1】函数 ( ) 2 2 1 3 2 x f x x x − = + + 的值域为________． 【答案】 ( ) ( ) ( ), 2 2,1 1,− − − + 【分析】求出函数 ( )f x 的定义域，并化简函数 ( )f x 的解析式，利用反比例函数的值域 可求得函数 ( )f x 的值域. 【详解】由 2 3 2 0x x+ +  ，可得 1x  − 且 2x  − ，函数 ( )f x 的定义域为 1x x  − 且 2x  − ， ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 1 11 1 3 1 3 2 1 2 2 2 x xx x f x x x x x x x − +− − = = = = − + + + + + + ， 所以 ( ) 2f x  − 且 ( ) 1f x  ， 所以函数 ( ) 2 2 1 3 2 x f x x x − = + + 的值域为 ( ) ( ) ( ), 2 2,1 1,− − − + ． 故答案为： ( ) ( ) ( ), 2 2,1 1,− − − + ． 题型二 换元法求函数值域 【例 2】已知实数 x ， y ，满足 2 2 1x y− = ，则 2 1 2 y x x + 的取值范围是__________． 【答案】 )1,2 【详解】由 2 2 1x y− = 可得 2 2 1y x= − ，故 2 2 2 1 0 1 1 y x x  = −  ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 y x y y y y x x x x x x − + = + = − + + ， 令 | | y t x = ，则 [0,1)t ， 则 2 2 1s t t= − + + ， [0,1)t ，对称轴方程为 1t = ， 所以函数 2 2 1s t t= − + + 在[0,1)上单调递增， 故1 2s  ， 故答案为： )1,2 . 【跟踪训练 2】已知 0x  ， 0y  ，a x y= + ， 2 2b x xy y= + + ，c m xy= .若 a，b，c 构成三角形的三边，则 m的取值范围是_______. 【答案】 ( )2 3 2 3− +， 【分析】由 a，b，c为三边可构成三角形，得到b c a+  ，且a b c+  成立，即 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 2 2x xy y m xy x y+ + +  + ，且 2 2x y x xy y m xy+ + + +  成立，运用参数分离和换 元法，结合基本不等式和函数的单调性求解. 【详解】若 a，b，c为三边可构成三角形，则b c a+  ，且a b c+  成立， 即 2 2x xy y m xy x y+ + +  + ，且 2 2x y x xy y m xy+ + + +  成立， 即 2 2x y x xy y m xy + − + +  成立，而 2 2 1 x y x xy y x y x y R y x y xxy + − + + = = + − + + ， 令 x t y = ，则 2 2 1 1 1R t t t t = + − + + ，令 1 2u t t = +  ， 则 2 2 1 1 1 R u u u u = − − = + − ，易知在[2, )+ 上递减， 所以 2 1 2 3R u u= − −  − ，所以 2 3m  − ， 又 2 2x y x xy y m xy + + + +  成立，而 2 2 2 3 2 3 x y x xy y xy xy xy xy + + + + +  = + ， 当且仅当 x y= 时，等号成立，所以 2 3m  + ； 所以2 3 2 3m−   + . 故答案为：2 3 2 3m−   + 题型三 反解法求函数的值域 【例 3】函数 2 1 2 x y x − = + ；①  5,10x 的值域是__________； ② ( ) ( )3, 2 2,1x − − − 的值域是__________． 【答案】 9 19 , 7 12       ( ) 1 , 7, 3   −  +    【分析】 2 1 5 2 2 2 x y x x − = = − + + ，然后画出其图像，结合图像可得答案. 【详解】 ( )2 2 52 1 5 2 2 2 2 xx y x x x + −− = = = − + + + ， 其图像可由反比例函数 5 y x − = 的图像先向左 平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位得到， 如右：当 5x = 时 9 7 y = ，当 10x = 时 19 12 y = ， 所以  5,10x 的值域是 9 19 , 7 12       ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 因为当 3x = − 时 7y = ，当 1x = 时 1 3 y = ， 所以 ( ) ( )3, 2 2,1x − − − 的值域是 ( ) 1 , 7, 3   −  +    ， 故答案为： 9 19 , 7 12       ； ( ) 1 , 7, 3   −  +    【跟踪训练 3】已知函数 ( ) 1 = + x f x x ，若  2,2a  − ， 1 ,2 2 x        使不等式 2 10( ) 2 3 f x m am − + 成立，则实数m 的取值范围为______． 【答案】 (     ), 3 1,1 3,− −  −  + 【分析】令 2 10( ) 2 3 g a am m= − + + ，则若  2,2a  − ， 1 ,2 2 x        使不等式 2 10( ) 2 3 f x m am − + 成立等价于在  2,2a − ， 1 ,2 2 x        上有 ( ) ( ) min min g a f x ， 易知 ( ) min 1 3 f x = ，讨论 a 与 0 的大小关系，则可得到 ( )g a 在 2 2− , 上的单调性，则可得 到 ( ) min g a ，即可解出实数m 的取值范围. 【详解】令 2 10( ) 2 3 g a am m= − + + ，则问题可转化为在  2,2a − ， 1 ,2 2 x        上有 ( ) ( ) min min g a f x ， 易知 1 ( ) 1 1 1 x f x x x = = − + + 在 1 , 2 2       上单调递增，故 ( ) min 1 1 2 3 f x f   = =    ， ①当 0m  时， ( )g a 在 2 2− , 上单调递增，则 ( ) 2 min 10 1 4 3 3 g m ma = + +  ， 所以 2 4 3 ( 3) ( 1) 0m m m m+ + = +  +  ，可得 (   ), 3 1,0m − −  − ； ②当 0m = 时，则 min 10 1 ( ) ( ) 3 3 g a f x=  = ，符合题意； ③当 0m  时， ( )g a 在 2 2− , 上单调递减，则 2min 10 1 ( ) 4 3 3 g a m m= − +  ， 所以 2 4 3 ( 1)( 3) 0m m m m− + = − −  ，可得 (   )0,1 3,m  + ． 综上所述， (     ), 3 1,1 3,m − −  −  + ． 故答案为： (     ), 3 1,1 3,− −  −  + . 题型四 利用根的判别式法求函数的最值 【例 4】函数 ( ) 2 2 1 2 x x f x x x − + = − + 的值域是___________. 【答案】 3 ,1 7      【详解】解： ( ) 2 2 1 2 x x f x x x − + = − + ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 因为 2 2 1 72 0 2 4 x x x   − + = − +     所以函数 ( )f x 的定义域为 xR 令 2 2 1 2 x x y x x − + = − + ，整理得方程： ( ) ( )21 1 2 1 0y x y x y− + − + − = 当 1y = 时，方程无解； 当 1y  时， ( ) ( )( ) 2 Δ 1 4 1 2 1 0y y y= − −  − −  不等式整理得： 27 10 3 0y y− +  解得： 3 ,1 7 y       所以函数 ( ) 2 2 1 2 x x f x x x − + = − + 的值域为 3 ,1 7      . 故答案为： 3 ,1 7      【点睛】方法点睛：求值域的常见方法 单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二 次函数的值域；利用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域. 【跟踪训练 4】已知 0a  ，函数 2 2( ) 2f x ax x x x= − + − 的最大值为 2 ，则实数a 的 值为_____. 【答案】1 【分析】将原式变形为 2 2 2 2 2 4(4 4 4 ) (4 2 ) 0y a a x y ay x y+ + − − + + = ，根据方程有解，得 到 0  ，从而求出 y 的范围，再根据最大值即可求a . 【详解】 2 22y ax x x x= − + − ， 2 22y x x ax x − − = − ， 两边平方得： 2 2 2 22 2 2y y x x x x ax x− − + − = − ， 即 2 22 2 2y x ax y x x+ − = − ， 再平方得： 4 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 2 4 8 4y x a x xy axy ax xy x y+ + + − − = − ， 化简得： 2 2 2 2 2 4(4 4 4 ) (4 2 ) 0y a a x y ay x y+ + − − + + = ， 当 2 24 4 4 0y a a+ + − = ，即 2 24 ( 2) 0y a+ − = 时， 2, 0a y= = ， 此时 2 2( ) 2 2 2 ( 1) 1f x x x x= − = − − + 最大值为2，不符题意. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 所以 2 24 4 4 0y a a+ + −  . 因为方程有解，所以 0  ， 即 2 2 2 4 2 2(4 2 ) 4 (4 4 4 ) 0y ay y y a a = + − + + −  ， 化简得： 2 2y a ，因为 0y≥ ，所以0 2y a  ， 又因为 y 的最大值为 2 ，所以 2 2a = ， 所以 1a = . 故答案为：1. 题型五 利用函数的单调性求函数的最值 【例 5】已知函数 ( ) 21 1f x x x x= + − − + ，若对于 ( ) ( ), 1 1,2, ,iy y y f x x i n  =  =∣ ， 不等式 1 2 1 2022n ny y y y−+ + +  恒成立，则正整数n 的最小值为__________. 【答案】3034 【分析】先利用定义判定函数 ( )f x 在 )1，+ 上的单调递增，得到当 1x  时， ( ) 1f x  ； 并利用分子实数化变形和不等式放缩得到 1x  时， ( ) 3 2 f x  ，进而得到 iy 的取值范围 是 3 1 2      ， ，然后利用不等式恒成立的意义得到 ( ) 3 1 1 2022 2 n−    ，从而求得n 的取值范 围，得到 n 的最小值. 【详解】设 1 21 x x  ，则 ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 2 2 1 1 11 1 1 1f x f x x x x x x x− = + − − + − + + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + − = − − − + − − + = − − − + + − + ( ) ( )2 22 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x − + + − + − + − = − − + + − + ， 又∵ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 2 4 2 2 x x x x x     − + = − +  − = −        ，同理 2 1 1 1 1 1 2 x x x− +  − ， ∴ ( )2 22 2 1 1 2 11 1 1 0x x x x x x− + + − + − + −  ， ∴ ( ) ( )2 22 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 1 x x x x x x x x x x x x − + + − + − + − −  − + + − + ，即 ( ) ( )2 1 0f x f x−  ， ∴ ( )f x 在[1，+∞)上单调递增， 又∵ ( )1 1f = ，∴当 1x  时， ( ) 1f x  ； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 又∵ 1x  时， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 x x x x f x x x x x x x x x x + − − + = + − − + = = + + − + + + − + 2 2 3 3 3 3 1 1 21 1 1 1 2 1 1 11 1 1 1 x xx x x x x x =  = =   + + −+ + − + + + − +     ，∴ 1x  时， ( ) 3 2 f x  ， 且当 x 趋近于+时， ( )f x 无限趋近于 3 2 ， ∵ ( ) ( ), 1 1,2, ,iy y y f x x i n =  =∣ ，∴ iy 的取值范围是 3 1 2      ， ， 为使不等式 1 2 1 2022n ny y y y−+ + +  恒成立，必须且只需 ( ) 3 1 1 2022 3033 2 n−    = ， ∴ 3034n  ，∴正整数 n 的最小值为 3034， 故答案为：3034. 【点睛】本题难点在于利用分子有理化方法进行恒等变形，并利用放缩法得到有关不等 关系，进而证明函数的单调性和求得函数的值域. 【跟踪训练 5】设 ( ) 3f x x t= − + + ，若存在实数 (, )m n m n ，使得 ( )f x 的定义域和值 域都是[ , ]m n ，则实数 t 的取值范围为_______. 【答案】 9 , 2 4   − −    【分析】根据 ( )f x 单调性可得 ( ) ( ) f m n f n m  =  = ，设 3m p+ = ， 3n q+ = ，由m n 可整理 出1 p q p p= +  + ，从而求得 1 0 2 p  ，将方程组变为 2 2 3 3 p t q q t p − + = −  − + = − ，整理可得 2 1 9 2 4 t p   = − −    ，根据 p 的范围求得 t 的取值范围. 【详解】 ( ) 3f x x t= − + + 在[ 3, )− + 是减函数 ( ) ( ) f m n f n m  =  = 即： 3 3 m t n n t m − + + =  − + + = ……① 设 3m p+ = ， 3n q+ = 2 3m p= − ， 2 3n q= − ， 1p q+ = 由m n ，得 p q 1 p q p p = +  + 1 0 2 p   武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 则①变为： 2 2 3 3 p t q q t p − + = −  − + = − ( ) 2 22 6p q t p q− + + = + − ， 即： 2 21 2 (1 ) 6t p p− + = + − − 22 2 2(1 ) 5 1 92 2 2 4 p p t p p p + − −    = = − − = − −    9 2 4 t−   − 本题正确结果： 9 , 2 4   − −    【点睛】本题考查函数定义域和值域的应用问题，关键是能够根据单调性确定最值取得 的点从而构造出方程组，通过换元的方式可将问题转化为二次函数值域的求解问题；易 错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误. 题型六 不等式法求函数的最值 【例 6】若正实数 , ,a b c满足2 2 , 2ab a b abc a b c= + = + + ，则 c 的最大值为________. 【答案】4 【分析】将 c 用 ,a b的表达式表示，结合2 2ab a b= + ，利用均值不等式求出 ab 取值范围， 从而确定 c 的范围. 【详解】因为 2abc a b c= + + ，2 =2a b ab+ 所以 2 1 a b c ab + = − 2ab = 1ab − ， 又2 2ab a b= + 且2 2 2a b a b+   ， 所以2 2 2ab a b  ， 解得 2ab  ， c = 2ab 1ab− = 2 1 1 ab − 结合 2ab  知， c 有最大值 4. 故答案为：4. 【跟踪训练 6】已知正实数 ,a b满足 ( ) 3 3 8 10 5 11 a a bb +  + ++ ，则3 2a b+ 的最小值是________. 【答案】4 3 2− 【分析】构造函数 ( ) 3 5 , 0f x x x x= +  ，结合条件及函数的单调性可得 2 1 a b  + ，然后 利用基本不等式即得. 【详解】设 ( ) 3 5 , 0f x x x x= +  ，则函数为增函数， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 ∵ ( ) 3 3 8 10 5 11 a a bb +  + ++ ， ∴ 3 32 5 2 5 1 1 a a b b   +  +  + +  ，即 ( ) 2 1 f f a b     +  ∴ 2 1 a b  + ， ∴ ( ) ( )3 2 2 2 1 2 2 2 1 6 6 2 4 3 2 6 1 1 1b b a b b b b b+ + = + + −   + − = + + + − ， 当且仅当 ( )2 1 2 6 , 1 1 a b b b + = + += ，即 2 3 , 3 1 3 a b= = − 取等号. 故答案为：4 3 2− . 【点睛】关键点点睛： 本题的关键是构造函数 ( ) 3 5 , 0f x x x x= +  ，从而得到 2 1 a b  + ，再利用基本不等式可 求. 课后突破训练 1．函数 2 2 2 2 x y x − = + 的值域是（ ） A． ( 1− ，1] B． ( 1,1)− C．[ 1− ，1] D． ( 2,2)− 【答案】A 【分析】把已知函数解析式变形，由 2 2 2x ≥+ 可得 2 1 2x + 的范围，进一步求得函数值域. 【详解】因为 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 1 2 x x y x x x −− + = = − = − + + + + ， 2 22 x+  ， 2 1 0 22 1 x+    ， 则 2 4 2 2 0 x+   ， 2 4 1 2 1 x − + + −   所以函数 2 2 2 2 x y x − = + 的值域是 ( 1,1− 故选：A. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 2．已知函数 ( )  ) 1 , 2, 1 1 2, 1, 2 1 1 , , 2 2 x x x f x x x x x  +  − −     = −  −       −      ， ( ) 2g x ax= − ，  2,2x − ，若对于任意  1 2,2x  − ， 总存在  0 2,2x  − ，使 ( ) ( )0 1g x f x= 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A． 7 , 4   − −    B． 7 , 4   +   C． 7 7 , 4 4   −    D． 7 7 , , 4 4     − − +       【答案】D 【分析】根据对于任意 1 [ 2x  − ， 2]，总存在 [ 2x − ， 2]，使得 1( ) ( )g x f x= 成立，得到函 数 ( )f x 在[ 2− ， 2]上的值域是 ( )g x 在 [ 2− ， 2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方 法求函数 ( )f x 、 ( )g x 在 [ 2− ， 2]上的值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数 a 的取值范围即可． 【详解】解：当 2 1x− − 时， 1 ( )f x x x = + ， 2 1 ( ) 1 0f x x  = −  ，即[ 2− ， 1]− 为增区间， ( ) [ 4f x  − ， 2]− ， 当 1 1 2 x−  时， ( ) 2f x = − ； 当 1 2 2 x 时， 1 ( )f x x x = − ， 2 1 ( ) 1 0 x f x = +  ，此时函数递增，则 3 ( ) [ 2 f x  − ， 3 ] 2 ． 则 ( )f x 的值域为 5 [ 2 − ， 3 2] [ 2 − − ， 3 ] 2 ． 对于任意 1 [ 2x  − ， 2]，总存在 0 [ 2x  − ， 2]，使得 0 1( ) ( )g x f x= 成立， 得到函数 ( )f x 在 [ 2− ， 2]上的值域是 ( )g x 在[ 2− ， 2]上值域的子集． 对 a 讨论，当 0a = 时， ( ) 2g x = − ，显然不成立； 当 0a  时， ( )g x 的值域为[ 2 2a− − ， 2 2]a − ，由 5 2 2 2 a− − − 且 3 2 2 2 a − ，即 7 4 a ； 当 0a  时， ( )g x 的值域为[2 2a − ， 2 2]a− − ，由 5 2 2 2 a − − 且 3 2 2 2 a− − ，即 7 4 a − ， 综上，a 的取值范围是： (−， 7 7 ] [ 4 4 − ， )+ ． 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及分段函数、函数的值域，同时考查了分 类讨论的数学思想，属于中档题． 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 xR ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 用 x 表示不超过 x 的最大整数，则  y x= 称为高斯函数.例如： 5,1 6− = − ，  3 = .已 知函数 ( ) 2 1 x f x x = + ，则函数 ( )y f x =  的值域为（ ） A． 1− B． 1,0− C． 1 D． 0,1 【答案】B 【分析】由 ( ) 2 1 x f x x = + 为奇函数，可先分析函数 0x  时值域，即可得函数在 R 上值 域，利用高斯函数的意义求解即可. 【详解】因为 xR ， ( ) ( )f x f x− = − ， 所以 ( )f x 是R 上的奇函数. 当 0x  时， ( ) 2 1 0 1 2 2 x x f x x x  =  = + ， 所以当 xR 时， ( ) 1 1 , 2 2 f x    −    ， 从而 ( )y f x =  的值域为 1,0− . 故选：B 4．已知函数 ( )f x 的值域为 3 3 , 2 8   −    ，则函数 ( ) ( ) ( )1 2g x f x f x= + − 的值域为（ ） A． 1 7 , 2 8       B． 1 ,1 2       C． 3 ,1 4       D． 1 7 0, , 2 8      +       【答案】B 【分析】令 ( ) ( )1 2 0t f x t= −  ，结合换元法和二次函数性质即可求解. 【详解】设 ( ) ( )1 2 0t f x t= −  ．则 ( ) 21 2 t f x − = ．∵ ( ) 3 3 , 2 8 f x    −    ，∴ 1 2 2 t  ． 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1 1 2 1 1 2 2 t g x f x f x t t − = + − = + = − − + ． ∵ ( ) ( ) 21 1 1 2 g x t= − − + 图象的对称轴为直线 1t = ．当 1t = 时， ( )g x 取得最大值 1； 当 2t = 时， ( )g x 取得最小值 1 2 ，函数 ( )g x 的值域是 1 ,1 2       ， 故选：B． 5．函数 ( ) 2 1 2 2 2 f x x x x x= − − + + − 的最大值为（ ）． A． 2 B． 3 2 C． 5 2 D．2 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 【答案】B 【分析】先求解函数定义域，然后分析等式发现：( ) 2 22 2 2 2x x x x+ − = + − ，由此 可通过换元法令 2x x t+ − = 来构造二次函数求解最大值，注意取等号条件. 【详解】因为 2 0 2 0 2 0 x x x x   −   −  ，所以  0,2x ，即 ( )f x 定义域为 0,2 ； 设 2x x t+ − = 且 2 22 2 2t x x= + − ，又因为 ( )   22 22 2 2 2 2 1 1 2,4t x x x= + − = + − − +  ，所以 2,2t   ， 所以 ( ) ( ) 2 22 1 3 2 4 4 2 t f x t t − = − + = − − + ，当且仅当 2t = 时 ( )f x 有最大值 3 2 ，当 2t = 时， 2 2x x+ − = ，所以 1x = 满足； 故选 B. 【点睛】本题考查利用换元法求解函数的最值，难度一般.使用换元法后要注意到新函 数定义域，同时要注意与用换元法求解函数解析式作对比. 6．设函数 2 ( ) 2 x f x x = − 在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为 M，m则M m+ =（ ） A．4 B．6 C．10 D．24 【答案】C 【分析】将函数 ( )f x 分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解. 【详解】因为 f(x)= 2( 2) 4 2 x x − + − =2+ 4 2x − ， 所以 f(x)在[3，4]上是减函数. 所以 m=f(4)=4，M=f（3）=6. 所以 6 4 10M m+ = + = . 故选：C. 7．（多选）若函数 2 4 1y ax x= + + 的值域为 )0, + ，则a 的可能取值为( ) A． 6− B．0 C．2 D．4 【答案】BCD 【分析】由题可知 )0, + 应该为函数 2 4 1y ax x= + + 值域的子集，据此分类讨论即可求 出 a的范围. 【详解】①a＝0 时， 4 1y x= + ，值域为 )0, + ，满足题意； ②a≠0 时，若 2 4 1y ax x= + + 的值域为 )0, + ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 则 2 0 0 4 Δ 4 4 0 a a a     = − ； 综上，0 4a  . 故选：BCD. 8．（多选）已知函数 ( ) 1 1 x f x x + = + ，则（ ） A．函数 f(x)的定义域为 R B．函数 f(x)的增区间为 ( ,0]− C．函数 f(x)的值域为 ( ,1]− D．关于 a的不等式 ( 1) (2 1)f a f a−  + 的解集为 ( )2,1− 【答案】ABD 【分析】A.由分式函数的定义域判断；BC.将函数转化为 ( ) 1, 0 2 1 , 0 1 x f x x x   =  − −  − 判断； D.将不等式 ( 1) (2 1)f a f a−  + 转化为 1 2 1 1 0 a a a −  +  −  求解判断. 【详解】因为函数 ( ) 1 1 x f x x + = + ， A.由 1 0x +  解得 xR ，所以函数 f(x)的定义域为 R，故正确； B. 因为 ( ) 1, 0 1, 0 1 1 2 1 , 0 1 , 0 1 1 x x x f x x x x x x x    +   = = =+  +  − −  − + −  ，所以函数 f(x)的增区间为 ( ,0]− ， 故正确； C. 当 0x  时， 2 1 1 1 1x −  − −  − ，所以函数 f(x)的值域为 ( ]1,1− ，故错误； D.不等式 ( 1) (2 1)f a f a−  + 等价于 1 2 1 1 0 a a a −  +  −  ，解得 2 1a−   ，故正确； 故选：ABD 9．函数 1 y x x = − 在  1,2 上的值域为________． 【答案】 3 [0, ] 2 【分析】先确定函数的单调性，再根据单调性求值域即可. 【详解】 1 y x x = − 在 1 2， 上为增函数， 则 1 y x x = − 在 1 2， 上的最小值为 1 1 0y = − = ，最大值为 1 3 2 2 2 y = − = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 即 3 [0, ] 2 y ． 故答案为： 3 [0, ] 2 . 10．函数 2 1y x x= − + − 的值域是___________. 【答案】[ 1, )− + 【分析】令 1 x t− = ， 0t  ，换元后利用二次函数的单调性，即可求出答案. 【详解】设 1 x t− = 则 21 , 0x t t= −  所以 ( )2 22 1 1 2 ( 1) 2 0y x x t t t t= − + − = − + = + −  因为函数 2( 1) 2y t= + − 在 )0, + 上单调递增， 当 0=t ， 1y = − ， 所以函数 2 1y x x= − + − 的值域为[ 1, )− + 故答案为：[ 1, )− + . 11．已知 ( ) ( ) ( ) 1, 1 2 1, 1 x x f x x x − +  =  −  ，则函数 ( ) ( )( ) ( )2F x f f x f x= − 的值域为________. 【答案】 2,1− 【分析】先求出 ( )f x 的值域，并以此为定义域求函数 ( ) ( ) 2F t f t t= − 的值域. 【详解】由题： ( ) ( ) ( ) 1, 1 2 1, 1 x x f x x x − +  =  −  ， (  ( )  ),1 , 0,x f x −  + ， ( ) ( ) ( )1, , 1,x f x +  + ，所以 ( )f x 的值域 )0,+ ， 令 ( )  )0,t f x=  + ， 函数 ( ) ( )( ) ( )2F x f f x f x= − 的值域即 ( ) ( ) 2F t f t t= − ，  )0,t + 的值域， ( ) 3 1,0 1 1, 1 t t F t t − +   =  −  ， 当0 1t  时， ( )  2,1F t  − ，当 1t  时， ( ) 1F t = − ， 所以其值域为 2,1− . 综上所述：函数 ( ) ( )( ) ( )2F x f f x f x= − 的值域为 2,1− . 故答案为： 2,1− 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 【点睛】此题考查根据分段函数求复合函数值域问题，关键在于弄清函数的复合关系， 利用换元法求值域. 12．已知 0x  ，设 2 2 1 3 4 xy t x y y + = + − + ， ①当 1y = 时， t 的最大值为______. ②当 0y  时， t 的最大值为______. 【答案】 1 3 4 + ； 1 【分析】①把 1y = 代入，可得 2 1 2 + = + x t x ，然后使用法计算可得结果. ②化简式子可得 ( )2 2 3 4 1 0− + − + − =tx xy t y y ，讨论 0=t 与 0t  ，并使用法，计算可得. 【详解】①当 1y = 时， ( )2 22 1 1 2 2 1 0 2 x t x t x tx x t x + =  + = +  − + − = + ， xR ， 若 0=t ，显然有解， 若 0t  ， ( ) 2 1 3 1 3 1 4 2 1 8 4 1 0 4 4 t t t t t − +  = − − = − + +     所以 max 1 3 4 t + = . ② ( )2 22 2 1 1 3 4 3 4 + =  + = + − + + − + xy t xy t x y y x y y ， 所以 ( )2 2 3 4 1 0− + − + − =tx xy t y y 当 0=t 时，不符合题意 当 0t  时， ( )2 2 24 3 4 4 0 = − − + + y t y y t 即 ( ) ( )2 2 21 4 12 4 4 1 0− + − − t y t y t t 若 21 4 0t−  ，显然 0  有正解， 若 21 4 0t−  ，对称轴 ( ) 2 2 12 0 2 1 4 t y t = −  − 所以要使得 0  有正解，则 ( ) ( ) ( ) 2 2 212 1 4 4 4 1 0t t t t+  − −  化简可得： ( )( )2 3 37 1 7 3 1 0 14 t t t t − − − + −    或 3 37 1 14 t − +   所以了 max 1=t ，当且仅当 1x = ， 2y = 时等号成立. 故答案为： 1 3 4 + ，1 【点睛】本题考查使用法求函数的最值，考查分析能力以及计算能力，属难题.