05 函数的定义及其表示重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 05 函数的定义及其表示重难点 常考结论及公式 结论一：常见基本初等函数定义域的基本要求 （1）分式函数中分母不等于零； （2）偶次根式函数的被开方式大于或等于零； （3）一次函数、二次函数的定义域均为R； （4） 0y x= 的定义域是 | 0 .x x  （5） xy a= （ 0a  且 1a  ）， siny x= ， cosy x= 的定义域均为R； （6） logay x= （ 0a  且 1a  ）的定义域是 ( )0,+ ； （7） tany x= 的定义域是 | , . 2 x x k k Z      +     结论二：求抽象函数的定义域 （1）若 ( )y f x= 的定义域为 ( ),a b ，则解不等式 ( )a g x b  ，即可求出 ( ( ))y f g x= 的定义域； （2）若 ( ( ))y f g x= 的定义域为 ( ),a b ，则求出 ( )y g x= 在 ( ),a b 上的值域，即得 ( )f x 的定义域. 题型一 含参的函数定义域问题 【例 1】设函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + +  的定义域为D，若所有点 构成一个正方形区域，则a 的值为 A． 2− B． 4− C． D． 8− 【跟踪训练 1】函数 f（x） 2 2 1mx x= − − + 的定义域为 R，则实数 m的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 题型二 抽象函数的定义域问题 【例 2】已知函数 ( )3 7y f x= − 的定义域为 2,3− ，求函数 ( ) ( )1 1y f x f x= − + − 的定义 域． 【跟踪训练 2】已知函数 ( )f x 的定义域为 ( )1,+ ，值域为 R，则（ ） A．函数 ( )2 1f x + 的定义域为 R B．函数 ( )2 1 1f x + − 的值域为 R C．函数 ( )2 2 2f x x+ + 的定义域和值域都是 R D．函数 ( )( )f f x 的定义域和值域都是 R 题型三 求函数解析式的基本题型 【例 3】根据下列条件，求 f(x)的解析式. （1）f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； （2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1； （3） 1 2 ( ) ( 0)f f x x x x   + =     . 【跟踪训练 3】根据下列条件，求 f(x)的解析式. （1）f(f(x))＝2x－1，其中 f(x)为一次函数； （2）f(2x＋1)＝6x＋5； （3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型四 实际问题的函数解析式问题 【例 4】定义： x 表示不超过实数 x的最大整数，称为“地板函数”．某学校高一年级要 召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选 1 名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 5 时可增选 1 名代表，则各班可推选代表人数 y与该班人数 x之间的函数关系用“地板函 数”可以表示为（ ） A． 10 x y   =    B． 3 10 x y +  =    C． 4 10 x y +  =    D． 5 10 x y +  =    【跟踪训练 4】点 P 从点O出发，按逆时针方向沿周长为 l 的正方形运动一周，记O， P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 为函数 ( )f x ，则 ( )y f x= 的图像大致是（ ）． A． B． C． D． 题型五 与分段函数结合的综合问题 【例 5】设函数 f(x)＝ 2 2 , 0 , 0 x x x x x  +   −  若 f(f(a))≤2，则实数 a的取值范围是__________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 5】对于集合 M ，定义函数 1, ( ) 1, M x M f x x M −  =   ，对于两个集合 M ， N ， 定义集合  | ( ) ( ) 1M NM N x f x f x =  = − ．已知 {2,4,6,8,10}A = ， {1,2,4,8,16}B = ，用 | |M 表示有 限集合M 中的元素个数，则对于任意集合M ， | | | |M A M B +  的最小值为________； 题型六 利用抽象函数表达式求解析式综合难题 【例 6】设函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+1）＝2f（x），且当 x∈（0，1]时，f（x） ＝2x2﹣2x.若对任意 x∈（﹣∞，m]，都有 f（x）≥﹣ 8 9 ，则 m的取值范围是_____. 【跟踪训练 6】已知函数 ( )f x 为 R 上的增函数，且对任意 xR 都有 ( ) 3 4xf f x − =  ， 则 ( )4f =______. 课后突破训练 1． 已知函数 ( )2 1y f x= − 的定义域是 2,3− ，则 ( ) 2 f x y x = + 的定义域是（ ） A． 2,5− B． ( 2,3− C． 1,3− D． ( 2,5− 2．某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数 大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取 整函数 [ ]y x= （[ ]x 表示不大于 x 的最大整数，如[ ] 3 = ，[4] 4= ）可表示为（ ） A． 2 [ ] 10 x y + = B． 3 [ ] 10 x y + = C． 4 [ ] 10 x y + = D． 5 [ ] 10 x y + = 3．（多选）若函数 ( ) 2 2 1 )2 0( 1 x f x x x − − =  ，则（ ） A． 1 15 2 f   =    B． ( ) 3 2 4 f = − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 C． ( ) ( ) 2 4 1 0 1 ( )f x x x = −  − D． ( ) 2 2 1 4 ( )1 0 1 1 x f x x x x = −   −       且 4．函数 2 1 ( ) 4 3 f x ax ax = + + 的定义域为 ( , )− + ，则实数 a的取值范围是___________. 5．已知函数 ( ) 2, 0, 2, 0. x f x x x  =  − +  则满足不等式 ( ) ( )23 2f x f x−  的 x的取值范围为 ________. 6．设函数 2 , 0, ( ) 3, 0, x x f x x x   =  +  若 ( ( )) 4f f a = ，则实数 =a _______. 7．定义在 R上的函数 ( )f x 满足 1 (0) 0, ( ) (1 ) 1, ( ) 5 2 x f f x f x f f x   = + − = =    ，且当 1 20 1x x   时， 1 2( ) ( )f x f x ，则 1 2020 f       等于___________. 8．已知 ( )f x 为定义在 (0, )+ 上的增函数，且任意 0x  ，均有 ( ) ( ) 1 1 f f x x f x   + =    ，则 (1)f =_____. 9．已知函数 ( )f x 满足 1 1 2 1 − +    + = +        x x f f x x x ，其中 xR 且 0x  ，则函数 ( )f x 的解 析式为__________ 10．已知函数 f（x）的定义域为 R，当 x∈（0，2]时，f（x）＝x（2﹣x），且对任意的 x∈R， 均有 f（x+2）＝2f（x），若不等式 f（x） 15 2  在 x∈（﹣∞，a]上恒成立，则实数 a的最 大值为_____． 11．分段函数 ( ) , 0 , 0 x x f x x x  =  −  可表示为 ( )f x x= ，分段函数 ( ) , 3 3, 3 x x f x x  =   可表示为 ( ) ( ) 1 3 3 2 f x x x= + − − ，仿照上述式子，分段函数 ( ) 6, 6 , 6 x f x x x  =   可表示为 ( )f x = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 ________. 12．已知函数 ( ) ( ) ( ) 1 , 0 2 2, 0 x f x x   =    ， ( ) ( ) ( )1 2 f x f x g x + − = . （1）求 ( )g x 的表达式； （2）求方程 ( ) ( ) f g x x g f x    =    解. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 05 函数的定义及其表示重难点 常考结论及公式 结论一：常见基本初等函数定义域的基本要求 （1）分式函数中分母不等于零； （2）偶次根式函数的被开方式大于或等于零； （3）一次函数、二次函数的定义域均为R ； （4） 0y x= 的定义域是 | 0 .x x  （5） xy a= （ 0a  且 1a  ）， siny x= ， cosy x= 的定义域均为R ； （6） logay x= （ 0a  且 1a  ）的定义域是 ( )0,+ ； （7） tany x= 的定义域是 | , . 2 x x k k Z      +     结论二：求抽象函数的定义域 （1）若 ( )y f x= 的定义域为 ( ),a b ，则解不等式 ( )a g x b  ，即可求出 ( ( ))y f g x= 的定义域； （2）若 ( ( ))y f g x= 的定义域为 ( ),a b ，则求出 ( )y g x= 在 ( ),a b 上的值域，即得 ( )f x 的定义域. 题型一 含参的函数定义域问题 【例 1】设函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + +  的定义域为D，若所有点 构成一个正方形区域，则a 的值为 A． 2− B． 4− C． D． 8− 【答案】B 【详解】设函数 u=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点的横坐标为：x1，x2，x1＜x2 ∵s 为定义域的两个端点之间的部分，就是[x1，x2],f（t）（t∈D）就是 f（x）的值域，也 就是[0，f（x）max]，且所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 ∴|x1-x2|= maxU ,∵|x1-x2|= 2 2 2 4 4b ac b ac a a − − = − ,∴ 2 2 2 4 4 , 4. 4 b ac ac b a a a − − =  = − 【跟踪训练 1】函数 f（x） 2 2 1mx x= − − + 的定义域为 R，则实数 m的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 【答案】B 【分析】问题转化为 2+2 1 0mx x−  恒成立，则 0 Δ 0 m   ＜ ，求解即可 【详解】f（x）的定义域是 R，则 2 2 1 0mx x− − +  恒成立， 即 2+2 1 0mx x−  恒成立，则 0 Δ 0 m   ＜ ，解得 1m  − ， 所以实数 m的取值范围为 ( , 1− − . 故选：B. 题型二 抽象函数的定义域问题 【例 2】已知函数 ( )3 7y f x= − 的定义域为  2,3− ，求函数 ( ) ( )1 1y f x f x= − + − 的定义 域． 【答案】  1,3− 【分析】由条件可得 2 3x−   ， 13 3 7 2x−  −  ，即可得到函数 ( )y f x= 的定义域，然 后可建立不等式组求解. 【详解】因为函数 ( )3 7y f x= − 的定义域为  2,3− ， 所以 2 3x−   ， 13 3 7 2x−  −  ， 所以函数 ( )y f x= 的定义域为 13,2− ， 所以要使函数 ( ) ( )1 1y f x f x= − + − 有意义，则有 13 1 2 13 1 2 x x −  −   −  −  ，解得 1 3x−   ， 所以函数 ( ) ( )1 1y f x f x= − + − 的定义域为 1,3− . 【跟踪训练 2】已知函数 ( )f x 的定义域为 ( )1,+ ，值域为 R，则（ ） A．函数 ( )2 1f x + 的定义域为 R B．函数 ( )2 1 1f x + − 的值域为 R 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 C．函数 ( )2 2 2f x x+ + 的定义域和值域都是 R D．函数 ( )( )f f x 的定义域和值域都是 R 【答案】B 【分析】对于 A 选项：根据抽象函数的定义域令 2 1 1x +  ，推出 ( )2 1f x + 的定义域判断 正误； 对于 B 选项：因为 ( )f x 的值域为 R，所以 ( )2 1f x + 的值域为 R，进而推导出 ( )2 1 1f x + − 的值域，判断正误； 对于 C 选项：令 2 2 2 1x x+ +  ，求出函数 ( )2 2 2f x x+ + 的定义域，即可判断正误； 对于 D 选项：若函数 ( )( )f f x 的值域为 R，则 ( ) 1f x  ，即可判断正误； 【详解】对于 A 选项：令 2 1 1x +  ，可得 0x  ，所以函数 ( )2 1f x + 的定义域为 0x x  ， 故 A 选项错误； 对于 B 选项：因为 ( )f x 的值域为 R， 2 1 1x +  ，所以 ( )2 1f x + 的值域为 R，可得函数 ( )2 1 1f x + − 的值域为 R，故 B 选项正确； 对于 C 选项：令 2 2 2 1x x+ +  ，得 1x  − ，所以函数 ( )2 2 2f x x+ + 的定义域为 1x x  − ， 故 C 选项错误； 对于 D 选项：若函数 ( )( )f f x 的值域为 R，则 ( ) 1f x  ，此时无法判断其定义域是否为 R，故 D 选项错误. 故选：B 题型三 求函数解析式的基本题型 【例 3】根据下列条件，求 f(x)的解析式. （1）f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； （2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1； （3） 1 2 ( ) ( 0)f f x x x x   + =     . 【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3） 2 ( ) ( 0) 3 3 x f x x x = −  【分析】（1）设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，利用待定系数法确定函数解析式； （2）利用换元法求函数解析式； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 （3）将原式中的 x与 1 x 互换，建立方程组，求解即可. 【详解】（1）解由题意，设 f(x)＝ax＋b(a≠0) ∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9 ∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9， 即 2ax＋3a＋2b＝2x＋9， 由恒等式性质，得 2 2 { 3 2 9 a a b = + = ∴a＝1，b＝3 ∴所求函数解析式为 f(x)＝x＋3. （2）设 x＋1＝t，则 x＝t－1 f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1 即 f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函数解析式为 f(x)＝x2＋2x－2. （3）解 1 ( ) 2f x f x x   + =    ，将原式中的 x与 1 x 互换，得 1 1 2 ( )f f x x x   + =    . 于是得关于 f(x)的方程组 ( ) ( ) 1 2 { 1 1 2 f x f x x f f x x x   + =      + =    解得 2 ( ) ( 0) 3 3 x f x x x = −  . 【点睛】本题主要考查了求函数解析式，涉及了换元法，待定系数法，方程的思想，属 于中档题. 【跟踪训练 3】根据下列条件，求 f(x)的解析式. （1）f(f(x))＝2x－1，其中 f(x)为一次函数； （2）f(2x＋1)＝6x＋5； （3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x. 【答案】（1） ( ) 2 1 2f x x= + − 或 ( ) 2 1 2f x x= − + + ；（2）f(x)＝3x＋2；（3） 21( ) 2 3 f x x x= − . 【分析】（1）设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，利用待定系数法，即可得出函数解析式； （2）利用换元法，即可得出函数解析式； （3）将 x换成－x，建立方程组，即可得出函数解析式. 【详解】（1）由题意，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab ＋b＝2x－1 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 由恒等式性质，得 2 2 { 1 a ab b = + = − 2 { 1 2 a b =  = − 或 2 { 1 2 a b = − = + ∴所求函数解析式为 ( ) 2 1 2f x x= + − 或 ( ) 2 1 2f x x= − + + （2）设 2x＋1＝t，则 1 2 t x − = 1 ( ) 6 5 3 2 2 t f t t −  =  + = + ∴f(x)＝3x＋2. （3）将 x换成－x，得 f(－x)＋2f(x)＝x2－2x， ∴联立以上两式消去 f(－x)，得 3f(x)＝x2－6x， 21( ) 2 3 f x x x = − 【点睛】本题主要考查了利用换元法，待定系数法求函数解析式，属于中档题. 题型四 实际问题的函数解析式问题 【例 4】定义： x 表示不超过实数 x的最大整数，称为“地板函数”．某学校高一年级要 召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选 1 名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 5 时可增选 1 名代表，则各班可推选代表人数 y与该班人数 x之间的函数关系用“地板函 数”可以表示为（ ） A． 10 x y   =    B． 3 10 x y +  =    C． 4 10 x y +  =    D． 5 10 x y +  =    【答案】C 【分析】可分余数为0 5t  和6 9t  两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式， 通过证明 4 10 x y +  =    可判断 C 正确. 【详解】设各班人数除以 10的余数为 ( )0 9t t  ，当0 5t  时，4 4 9t +  ， 10x y t= + ， 4 0 10 t +  =    ， 4 10 4 4 4 10 10 10 10 x y t t t y y y + + + + +        = = + = + =                ； 当6 9t  时，10 4 13t +  ， ( )10 1x y t= − + ， 4 1 10 t +  =    ， ( )10 1 44 4 4 1 1 1 1 10 10 10 10 y tx t t y y y y − + + + + +      = = − + = − + = − + =              ． 故选：C． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【跟踪训练 4】点 P 从点O出发，按逆时针方向沿周长为 l 的正方形运动一周，记O， P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 为函数 ( )f x ，则 ( )y f x= 的图像大致是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式及图象即得. 【详解】当0 4 l x  时， ( )f x x= 为正比例函数， 当 4 2 l l x  时， 22 ( ) 16 4 l l f x x   = + −    不是正比例函数， 且 ( )f x 图象关于 2 l x = 对称， 由题可知当0 2 l x  时，只有C项符合要求． 故选：C. 题型五 与分段函数结合的综合问题 【例 5】设函数 f(x)＝ 2 2 , 0 , 0 x x x x x  +   −  若 f(f(a))≤2，则实数 a的取值范围是__________. 【答案】 2a  【分析】对 ( )f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得 f(a)≥－2， 再对 a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可. 【详解】当 ( ) 0f a  时，f(f(a))≤2 即为 2 ( ) ( ) 2f a f a+  ， ( ) ( )[ 1][ 2] 0f a f a− +  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 解得 ( )2 1f a−   ，所以 ( )2 0f a−   ； 当 ( ) 0f a  时，f(f(a))≤2 即为 2 ( ) 2f a−  ，因为 2 ( ) 2f a  − 恒成立，所以 ( ) 0f a  满足题 意. 所以 f(a)≥－2，则 2 0 2 a a a   +  − 或 2 0 2 a a   −  − ，解得 2a  . 故答案为： 2a  【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 【跟踪训练 5】对于集合M ，定义函数 1, ( ) 1, M x M f x x M −  =   ，对于两个集合 M ， N ， 定义集合  | ( ) ( ) 1M NM N x f x f x =  = − ．已知 {2,4,6,8,10}A = ， {1,2,4,8,16}B = ，用 | |M 表示有 限集合M 中的元素个数，则对于任意集合M ， | | | |M A M B +  的最小值为________； 【答案】4 【分析】先根据定义化简M A ，M B ，再确定 | |M A ， | |M B 最小值取法，即得结果. 【详解】因为 1, ( ) 1, M x M f x x M −  =   ， 所以      | ( ) ( ) 1 | ( ) 1, ( ) 1 | ( ) 1, ( ) 1M N M N M NM N x f x f x x f x f x x f x f x =  = − = = = − = − =或    | , | , ( ) ( )U U U Ux x M x C N x x C M x N M C N N C M=     =或 因此M A ( ) ( )U UM C A N C A= , M B ( ) ( )U UM C B N C B= 从而当 | | | |M A M B， 最大时， | |M A , | |M B 最小 因为 {2,4,8}A B = ,所以当 {2,4,8}M A M B= = 时 | |M A + | |M B 最小，为 |{6,10}| |{1,16}| 2 2 4+ = + = 故答案为 4 【点睛】本题考查新定义以及集合交并补运算，考查综合分析求解能力，属难题. 题型六 利用抽象函数表达式求解析式综合难题 【例 6】设函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+1）＝2f（x），且当 x∈（0，1]时，f（x） ＝2x2﹣2x.若对任意 x∈（﹣∞，m]，都有 f（x）≥﹣ 8 9 ，则 m的取值范围是_____. 【答案】（﹣∞， 4 3 ]； 【分析】因为 ( 1) 2 ( )f x f x+ = ，可得 ( ) 2 ( 1)f x f x= − ，分段求解析式，结合图象可得结 论． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 【详解】解：因为 ( 1) 2 ( )f x f x+ = ， ( ) 2 ( 1)f x f x = − ， (0x ，1]时， 1 ( ) 2 ( 1) [ 2 f x x x= −  − ，0]， (1x  ， 2]时， 1 (0x −  ，1]， ( ) 2 ( 1) 4( 1)( 2) [ 1f x f x x x= − = − −  − ，0]； 当 (1x ， 2]时，由 8 4( 1)( 2) 9 x x− − = − 解得 4 3 x = 或 5 3 x = ， 若对任意 (x −， ]m ，都有 8 ( ) 9 f x − ，则 4 3 m ． 故答案为： (−， 4 ] 3 ． 【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用以及数形结合思想的应用，属中档题． 【跟踪训练 6】已知函数 ( )f x 为 R 上的增函数，且对任意 xR 都有 ( ) 3 4xf f x − =  ， 则 ( )4f =______. 【答案】82 【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出 ( )f x 的解析式，从而即可求解出 ( )4f 的 值. 【详解】令 ( ) 3xf x t− = ，所以 ( ) 3xf x t= + ， 又因为 ( ) 4f t = ，所以3 4t t+ = ， 又因为 3 4ty t= + − 是 R 上的增函数且 13 1 4+ = ，所以 1t = ， 所以 ( ) 3 1xf x = + ，所以 ( ) 44 3 1 82f = + = . 故答案为：82 . 【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知 ( )( )f g x 的解析 式，可考虑用换元的方法（令 ( )g x t= ）求解出 ( )f x 的解析式. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 课后突破训练 1． 已知函数 ( )2 1y f x= − 的定义域是 2,3− ，则 ( ) 2 f x y x = + 的定义域是（ ） A． 2,5− B． ( 2,3− C． 1,3− D． ( 2,5− 【答案】D 【分析】根据给定复合函数求出 ( )f x 的定义域，再列式求解作答. 【详解】因函数 ( )2 1y f x= − 的定义域是 2,3− ，即 ( )2 1f x− 中  2,3x − ，则 2 1 [ 5,5]x−  − ， 因此， ( ) 2 f x y x = + 有意义，必有 5 5 2 0 x x −    +  ，解得 2 5x−   ， 所以 ( ) 2 f x y x = + 的定义域是 ( 2,5− . 故选：D 2．某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数 大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取 整函数 [ ]y x= （[ ]x 表示不大于 x 的最大整数，如[ ] 3 = ，[4] 4= ）可表示为（ ） A． 2 [ ] 10 x y + = B． 3 [ ] 10 x y + = C． 4 [ ] 10 x y + = D． 5 [ ] 10 x y + = 【答案】B 【分析】令班级人数的个位数字为n ，则 10x m n= + （m N ），结合题意讨论n 写出对 应 y 值，由取整函数的定义写出函数关系式. 【详解】设班级人数的个位数字为n ，令 10x m n= + ，（m N ）， 当0 6n  时， y m= ，当7 9n  时， 1y m= + ， 综上，函数关系式为 3 [ ] 10 x y + = . 故选：B. 3．（多选）若函数 ( ) 2 2 1 )2 0( 1 x f x x x − − =  ，则（ ） A． 1 15 2 f   =    B． ( ) 3 2 4 f = − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 C． ( ) ( ) 2 4 1 0 1 ( )f x x x = −  − D． ( ) 2 2 1 4 ( )1 0 1 1 x f x x x x = −   −       且 【答案】AD 【分析】由换元法求出 ( )f x ，可判断 C；分别令 2x = 或 1 2 x = 可判断 A，B；求出 1 f x       可判断 D. 【详解】令 ( )1 2 1x t t− =  ，则 1 2 t x − = ，所以 2 2 2 1 1 42 ( ) 1 ( 1)1 2 t f t tt −  −    = = − −−      ，则 2 4 ( ) 1( 1) ( 1) f x x x = −  − ，故 C 错误； 1 15 2 f   =    ，故 A 正确； ( )2 3f = ，故 B 错误； 2 2 2 1 4 4 1 1 ( 1)1 1 x f x x x   = − = −  −    −    （ 0x  且 1x  ），故 D 正确． 故选：AD． 4．函数 2 1 ( ) 4 3 f x ax ax = + + 的定义域为 ( , )− + ，则实数 a的取值范围是___________. 【答案】 3 0, 4      【分析】由题意可得 2 4 3 0ax ax+ +  恒成立，分 0a = 和 0a  两种情况分别考虑，解不 等式即可得到所求范围． 【详解】因为函数 2 1 ( ) 4 3 f x ax ax = + + 的定义域为 R，所以 2 4 3 0ax ax+ +  的解为 R， 即函数 2 4 3y ax ax= + + 的图象与 x轴没有交点， （1）当 0a = 时，函数 3y = 与 x轴没有交点，故 0a = 成立； （2）当 0a  时，要使函数 2 4 3y ax ax= + + 的图象与x轴没有交点，则 ( ) 2 4 12 0a a = −  ， 解得 3 0 4 a  . 综上：实数a 的取值范围是 3 0, 4      . 故答案为： 3 0, 4      【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为0 ，以及二次不 等式恒成立问题解法，属于中档题． 5．已知函数 ( ) 2, 0, 2, 0. x f x x x  =  − +  则满足不等式 ( ) ( )23 2f x f x−  的 x的取值范围为 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 ________. 【答案】 ( )3,0− 【解析】讨论 23 0 2 0 x x  −    ， 23 0 2 0 x x  −    ， 23 0 2 0 x x  −    ， 23 0 2 0 x x  −    四种情况，分别解不等 式得到答案. 【详解】当 23 0 2 0 x x  −    时，即 3x  − 时，需满足 23 2x x−  ，解得 3 1x−   ，故 3 3x−   − ； 当 23 0 2 0 x x  −    时，即 3x  时，需满足 2 3 2 2x − +  ，无解； 当 23 0 2 0 x x  −    时，即 3 0x−   时，需满足 2 2 2x− +  ，解得 0x  ，故 3 0x−   ； 当 23 0 2 0 x x  −    时，即0 3x  时，2 2 ，无解. 综上所述： ( )3,0x − 故答案为：( )3,0- . 【点睛】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握. 6．设函数 2 , 0, ( ) 3, 0, x x f x x x   =  +  若 ( ( )) 4f f a = ，则实数 =a _______. 【答案】 1− 【分析】分类讨论当 0a  时，由已知可知 ( ) 2 0f a a=  ，那么 ( )( ) 2 2( ) 3f f a f a a= = + ， 求得此时 a值，同理当 0a  时，表示 ( )( ) ( )( 3) 3 3f f a f a a= + = + + ，此时无解，综上 得答案. 【详解】因为 2 , 0, ( ) 3, 0, x x f x x x   =  +  当 0a  时， ( ) 2 0f a a=  ，由 ( ( )) 4f f a = ，可得 2 2( ) 3 4f a a= + = ， 即 2 1a = ，此时 1a = − 当 0a  时， ( ) 3 0f a a= +  ，由 ( ( )) 4f f a = ，可得 ( )( 3) 3 3 4f a a+ = + + = ， 此时无解 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 综上所述： 1a = − 故答案为： 1− 【点睛】本题考查分段函数中复合函数给值求参问题，应借助分类讨论思想分别表示已 知关系式，属于较难题. 7．定义在 R上的函数 ( )f x 满足 1 (0) 0, ( ) (1 ) 1, ( ) 5 2 x f f x f x f f x   = + − = =    ，且当 1 20 1x x   时， 1 2( ) ( )f x f x ，则 1 2020 f       等于___________. 【答案】 1 32 【解析】令 1x = 求得 (1) 1f = ，令 1 5 x = ，依次递推得到 1 1 1 1 3125 2 625 32 f f     = =        ，再 令 1 2 x = ，依次递推得到 1 1 1 1250 3125 32 f f     = =        ，再利用题设可知，当 1 1 3125 1250 x  时， ( ) 1 32 f x = 是一个常函数，即可得到答案. 【详解】 1 (0) 0, ( ) (1 ) 1, ( ) 5 2 x f f x f x f f x   = + − = =    令 1x = ，可得 (1) (0) 1f f+ = ，即 (1) 1f = ， 1 1 1 (1) 5 2 2 f f   = =    令 1 5 x = ，可得 1 1 1 1 1 1 25 2 5 2 2 4 f f     = =  =        ， 1 1 1 1 1 1 125 2 25 2 4 8 f f     = =  =        ， 1 1 1 1 1 1 625 2 125 2 8 16 f f     = =  =        ， 1 1 1 1 1 1 3125 2 625 2 16 32 f f     = =  =        再令 1 2 x = ，可得 1 1 1 2 2 f f     + =        ，即 1 1 2 2 f   =    ， 1 1 1 1 10 2 2 4 f f     = =        1 1 1 1 1 1 50 2 10 2 4 8 f f     = =  =        ， 1 1 1 1 1 1 250 2 50 2 8 16 f f     = =  =        ， 1 1 1 1 1 1 1250 2 250 2 16 32 f f     = =  =        由题设当 1 20 1x x   时， 1 2( ) ( )f x f x ， 又 1 1 1 0 1 3125 2020 1250     ， 1 1 1 1 1 32 3125 2020 1250 32 f f f        =   =            1 1 2020 32 f    =    故答案为： 1 32 【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是两次赋值后都反复应用 递推关系式 1 ( ) 5 2 x f f x   =    ，得到当 1 1 3125 1250 x  时， ( ) 1 32 f x = 是一个常函数，考 查学生的数据分析能力与运算求解能力，属于中档题. 8．已知 ( )f x 为定义在 (0, )+ 上的增函数，且任意 0x  ，均有 ( ) ( ) 1 1 f f x x f x   + =    ，则 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 (1)f =_____. 【答案】 1 5 2 − 【分析】设 (1)f a= ，令 1x = 、 1x a= + 求得 ( ) 1 1 1 1 f f a a   + =  +  ，结合 ( )f x 单调性求出 a值，代入 ( )f x 验证即可得结果. 【详解】设 (1)f a= ， 令 1x = 得： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 f f f a f a  + =  + =  ； 令 1x a= + 得： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f f a f a f a f a a a     + + =  + = =  + + +    ， 因为 ( )f x 为定义在 (0, )+ 上的增函数， 所以 1 1 1 5 1 1 2 a a a  + =  = + ， 当 ( ) 1 5 1 2 f a + = = 时，由 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 1a f a f a a a a +   +      −  或 矛盾. 故 ( ) 1 5 1 2 f a − = = . 故答案为： 1 5 2 − 9．已知函数 ( )f x 满足 1 1 2 1 − +    + = +        x x f f x x x ，其中 xR 且 0x  ，则函数 ( )f x 的解 析式为__________ 【答案】 ( ) ( ) 1 1 1 3 1 f x x x = −  − 【分析】用 x− 代换 x ，可得 1 1 2 1 x x f f x x x + −    + = −        ，联立方程组，求得 1 1 3 x f x x +  = −    ， 再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用 x− 代换解析式中的 x ，可得 1 1 2 1 x x f f x x x + −    + = −        ，…….（1） 与已知方程 1 1 2 1 − +    + = +        x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得 1 1 3 x f x x +  = −    ， 令 1 , 1 x t t x + =  ，则 1 1 x t = - ，所以 ( ) 1 1 3 1 f t t = − − ， 所以 ( ) ( ) 1 1 1 3 1 f x x x = −  − . 故答案为： ( ) ( ) 1 1 1 3 1 f x x x = −  − . 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用 x− 代换 x ，联立方程组，求得 1 1 3 x f x x +  = −    是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 于中档试题. 10．已知函数 f（x）的定义域为 R，当 x∈（0，2]时，f（x）＝x（2﹣x），且对任意的 x∈R， 均有 f（x+2）＝2f（x），若不等式 f（x） 15 2  在 x∈（﹣∞，a]上恒成立，则实数 a的最 大值为_____． 【答案】 27 4 【分析】由 ( ) ( )2 2f x f x+ = ,即可得 ( ) ( )2 2f x f x= − ,则 ( ) ( )8 6f x f x= − ,因为当 ( 0,2x 时,值域为 0,1 ,则当 ( 6,8x 时,值域为 0,8 ,则当 ( 6,8x , ( ) ( )( )8 6 8f x x x= − − ,由恒成立进而求得a 即可 【详解】由题, ( ) ( )2 2f x f x+ = ,令 2t x= + ,则 2x t= − ,则 ( ) ( )2 2f t f t= − ,即 ( ) ( )2 2f x f x= − ,令 2x x= − ,则 ( ) ( )2 2 4f x f x− = − ,则 ( ) ( )4 4f x f x= − ,以此类推,则 ( ) ( )8 6f x f x= − ,设 ( 6,8x ,则 ( 6 0,2x−  , 因为当 ( 0,2x 时,易得值域为 0,1 ,则当 ( 6,8x 时,值域为 0,8 . 所以 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )8 6 8 6 2 6 8 6 8f x f x x x x x= − = − − + = − −   ,令 ( )( ) 15 8 6 8 2 x x− − = ,则 1 27 4 x = , 2 29 4 x = ， 因为 ( ) 15 2 f x  在 ( ,a− 恒成立,所以 27 4 a = 故答案为： 27 4 【点睛】本题考查换元法对值域和解析式的应用,考查转化思想,考查二次函数的图象与 性质的应用 11．分段函数 ( ) , 0 , 0 x x f x x x  =  −  可表示为 ( )f x x= ，分段函数 ( ) , 3 3, 3 x x f x x  =   可表示为 ( ) ( ) 1 3 3 2 f x x x= + − − ，仿照上述式子，分段函数 ( ) 6, 6 , 6 x f x x x  =   可表示为 ( )f x = ________. 【答案】 ( ) 1 6 6 2 x x+ + − 【解析】根据已知两个分段函数表示方式寻找出分界点 6，所以解析式中含有 6x+ 与 6x− ，加绝对值检验即可得出解析式. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 【详解】解析因为 ( ) , 3 3, 3 x x f x x  =   可表示为 ( ) ( ) 1 3 3 2 f x x x= + − − ，其分界点为 3， 从而式子中含有 3x+ 与 3x− ，并通过 3x − 前面的“-”构造出需要的结果的形式， 所以对于分段函数 ( ) 6, 6 , 6 x f x x x  =   ，其分界点为 6，故式子中应含有 6x+ 与 6x− . 又 6x  时 ( ) 6f x = ，故 6x − 的前面应取“+ ”. 因此 ( ) ( ) 1 6 6 2 f x x x= + + − ，经检验符合题意. 故答案为： ( ) 1 6 6 2 x x+ + − 【点睛】此题考查合情推理求函数解析式，根据已知规律分析可能出现的代数式，依次 检验，即可得解. 12．已知函数 ( ) ( ) ( ) 1 , 0 2 2, 0 x f x x   =    ， ( ) ( ) ( )1 2 f x f x g x + − = . （1）求 ( )g x 的表达式； （2）求方程 ( ) ( ) f g x x g f x    =    解. 【答案】（1） ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 5 0 1 4 2 1 x g x x x     =       ； （2） 5 2 − ， 2 ． 【分析】（1）充分利用分段函数的特点：在不同的自变量范围下对应的函数表达式不 同．对于 0,0 1,1x x x    分三种情况讨论，这样即可在不同的范围上确定 ( )g x 的表 达式； （2）通过讨论 x 的范围，分别求出 ( )f g x  和 ( )g f x  ，即可得到满足方程 ( ) ( ) f g x x g f x    =   的解． 【详解】（1）当 0x  时，则 1 0x−  ， ( ) ( ) 1 1 2 f x f x = − = ， ( ) 1 2 g x = ； 当0 1x  时，则 1 0x−  ， ( ) 2f x = ， ( ) 1 1 2 f x − = ， ( ) 1 2 52 2 4 g x +  = = ； 当1 x 时，则 1 0x−  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 ( ) 2f x = ， ( )1 2f x− = ， ( ) 2 2 2 2 g x +  = = ； ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 5 0 1 4 2 1 x g x x x      =       ． （2）当 0x  时，则 ( ) 1 2 g x = ， ( ) 1 2 f x = ， ( ) 2f g x =   ， ( ) 5 4 g f x =   ， ( ) ( ) f g x x g f x    =   ， 2 5 4 x = ， 5 2 x = − ； 当0 1x  时，则 ( ) 5 4 g x = ， ( ) 2f x = ， ( ) 2f g x =   ， ( ) 2g f x =   ， ( ) ( ) f g x x g f x    =   ， 2 2x = 无解； 当1 x 时，则 ( ) 2g x = ， ( ) 2f x = ， ( ) 2f g x =   ， ( ) 2g f x =   ， ( ) ( ) f g x x g f x    =   ， 2 2x = ， 2x = ， ( ) ( ) f g x x g f x    =   的解为 5 2 − ， 2 ． 【点睛】本题考查了求分段函数的解析式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道 中档题．