04 三个“二次”间的关系重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 04 三个“二次”间的关系重难点专题 常考结论及公式 结论一：一元二次不等式的恒成立问题 一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c a+ +   恒成立问题的等价形式： （1） 2 0ax bx c+ +  对于任意的 x R 恒成立 0 0 a     ； （2） 2 0ax bx c+ + 对于任意的 x R 恒成立 0 0 a    ； （3） 2 0ax bx c+ +  对于任意的 x R 恒成立 0 0 a     ； （4） 2 0ax bx c+ + 对于任意的 x R 恒成立 0 0 a    ； 结论二：一元二次不等式的能成立问题 一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c a+ +   能成立问题的等价形式： （1）存在 x R ，使得 2 0ax bx c+ +  能成立 0 0 a     或 0a  ； （2）存在 x R ，使得 2 0ax bx c+ + 能成立 0 0 a    或 0a  ； （3）存在 x R ，使得 2 0ax bx c+ +  能成立 0 0 a     或 0a  ； （4）存在 x R ，使得 2 0ax bx c+ + 能成立 0 0 a    或 0a  ； 结论三：一元二次方程根的分布问题 一元二次方程根的分布问题主要从四个方面考虑：开口方向、根的判别式、对称轴与区 间的位置关系和区间端点函数值的正负.若 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + +  且方程 ( ) 0f x = 的两根为 1x 和 2x ，则 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （1）若 1 2 ( )m x x n m n   ，只需满足 2 0 ( 0 ( 0 b m n a f m f n   −       ） ） ； （2）若 1 2 ( )m x n x m n    ，只需满足 ( 0 ( 0 f m f n    ） ） ； （3）若 1 2 ( )m x n x p m n p      ，只需满足 ( 0 ( 0 ( ) 0 f m f n f p      ） ） ； （4）若 1 2x n x  ，只需满足 ( 0f n ） ； （5）一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a+ + =  在区间 ( , )m n 上只有一根 2 0 b m n a   −    = 或 ( ) ( ) 0f m f n  ； 题型一 含参的一元二次不等式的解法 【例 1】解下列关于 x 的不等式：（a 为实数） (1) 2 2 0x x a+ +  (2) 1 0 2 ax x −  − . 【分析】（1）原不等式对应的一元二次方程为： 2 2 0x x a+ + = ，Δ 4 4a= − ， 当 1a  时，Δ 4 4 0a= −  ，原不等式无解； 当 1a  时，对应一元二次方程的两个解为： 1 1x a= −  − ， 所以 2 2 0x x a+ +  的解为： 1 1 1 1a x a− − −   − + − ， 综上所述， 1a  时，原不等式无解，当 1a  时，原不等式的解集为 { 1 1 1 1 }x a x a− − −   − + −∣ ； （2）原不等式等价于 ( )( )1 2 0ax x− −  ， 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 当 0a = 时，解集为 ( ),2− ； 当 0a  时，原不等式可化为 ( )( )1 2 0ax x− + −  ， 因为 1 2 a  ，所以解集为 1 ,2 a       ； 当 1 0 2 a  时， 1 2 a  ，解集为 ( ) 1 ,2 , a   −  +    ； 当 1 2 a = 时，原不等式等价于 ( ) 1 1 2 0 2 x x   − −     ， 所以 2( 2) 0x −  ，解集为 2x x ∣ ； 当 1 2 a  时， 1 2 a  ，解集为 ( ) 1 , 2, a   −  +    ； 综上所述，当 0a = 时，解集为 ( ),2− ；当 0a  时，解集为 1 ,2 a       ； 当 1 0 2 a  时，解集为 ( ) 1 ,2 , a   −  +    ；当 1 2 a  时，解集为 ( ) 1 , 2, a   −  +    . 【跟踪训练 1】已知关于 x的不等式 2 3 2 0ax x− +  的解集为 1x x  或 x b ． (1)求 a，b的值． (2)当 Rc 时，解关于 x的不等式 ( )2 0ax ac b x bc− + +  ． 【答案】(1) 1 2a b= =、 . (2) 2c  时，不等式的解集为：( )2,c ； 2c  时，不等式的解集为： ( ),2c ， 2c = 时，不等式的解集为： . 【分析】（1）结合根与系数关系可直接求解； （2）将 a，b代入不等式化简得 ( )( )2 0x x c− −  ， 分类讨论参数 c 与 2 的关系即可求解. （1） 因为 2 3 2 0ax x− +  的解集为 1x x  或 x b ， 所以 3 1 2 1 b a b a  + =    =  ，解得 1 2 a b =  = （2） 因为 2 3 2 0ax x− +  的解集为 1x x  或 x b ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 所以 3 1 2 1 b a b a  + =    =  ，解得 1 2 a b =  = , 代入得： ( )2 2 2 0x c x c− + +  ，即 ( )( )2 0x x c− −  ， 所以当 2c  时，不等式的解集为：( )2,c ， 当 2c  时，不等式的解集为： ( ),2c ， 当 2c = 时，不等式的解集为： . 题型二 与一元二次不等式有关的整数解问题 【例 2】已知关于 x 的不等式组 2 2 2 8 0 2 (2 7) 7 0 x x x k x k  − −   + + +  仅有一个整数解，则 k 的取值范 围为（ ） A． ( ) ( )5,3 4,5−  B． ) ( 5,3 4,5−  C． (   )5,3 4,5−  D．   5,3 4,5−  【答案】B 【解析】解不等式 2 2 8 0x x− −  ，得 4x  或 2x  − ，再分类讨论不等式 22 (2 7) 7 0x k x k+ + +  的解集，结合集合关系求得参数 k 的取值范围. 【详解】解不等式 2 2 8 0x x− −  ，得 4x  或 2x  − 解方程 22 (2 7) 7 0x k x k+ + + = ，得 1 7 2 x = - ， 2x k= − （1）当 7 2 k  ，即 7 2 k−  − 时，不等式 22 (2 7) 7 0x k x k+ + +  的解为： 7 2 k x−   − 此时不等式组 2 2 2 8 0 2 (2 7) 7 0 x x x k x k  − −   + + +  的解集为 7 , 2 k   − −    ， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则 5 4k−  −  − ，即4 5k  ； （2）当 7 2 k  ，即 7 2 k−  − 时，不等式 22 (2 7) 7 0x k x k+ + +  的解为： 7 2 x k−   − 此时不等式组 2 2 2 8 0 2 (2 7) 7 0 x x x k x k  − −   + + +  的解集为 7 , 2 k   − −    ， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则 3 5k−  −  ，即 5 3k−   ； 综上，可知 k 的取值范围为 ) ( 5,3 4,5−  故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查利用不等式组的解集情况求参数的范围，解题的关键是解 一元二次不等式及分类讨论解含参数的一元二次不等式，再利用集合关系求参数，考查 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题. 【跟踪训练 2】已知关于 x的不等式 ( ) 2 24 3 4x ax−  的解集中的整数解恰好有三个，则 实数 a的取值范围是______． 【答案】 9 169 4 64      ， 【分析】由原不等式转化为[（4+2 a ）x-3][（4-2 a ）x-3]≤0，根据解集中的整数恰有 3 个，且为 1，2，3，得到 a的不等式，即可求解实数 a的范围，得到答案． 【详解】由题知， 0a  ，则（4x-3）2≤4ax2，即（4x-3）2-4ax2≤0， 即（4x-3+2 a x）（4x-3-2 a x）≤0， 可得[（4+2 a ）x-3][（4-2 a ）x-3]≤0， 当 a=2 时，不等式为-24x+9≤0，解集为 x 3 8  ，不是恰好有三个整数解． 当 a≠2 时，不等式为含 x的一元二次不等式，此时 若 3 3 4 2 4 2a a = + − 时，即 a=0 时，不等式的解为 x= 3 4 不是恰好有三个整数解． 若 0 3 3 4 2 4 2a a+ − ＜ ＜ 时，即 0＜a＜4 且 a≠2 时，不等式的解集为{x| 3 3 4 2 4 2 x a a   + − } 又∵ 3 0 1 4 2 a+ ＜ ＜ ，∴如果恰有三个整数解，只能是 1，2，3． ∴ 3 3 4 4 2 a  − ＜ 解得： 9 169 4 64 a ＜ ． 若 3 3 0 4 2 4 2a a− + ＜ ＜ 时，即 a＞4 时，不等式的解集为{x|x 3 4 2 a  − 或 3 4 2 a  + } 不会恰好有三个整数解． 综上所述，a的取值范围是[ 9 4 ， 169 64 ）． 故答案为[ 9 4 ， 169 64 ）． 【点睛】本题主要考查了解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学 问题的能力，着重考查了推理与运算能力，属于中档题．． 题型三 一元二次不等式的恒成立问题 【例 3】已知不等式 2 2 6 2 2 kx kx x x + +  + + 对任意的 Rx 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ___________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【答案】 )210， 【分析】由已知化简可得 ( ) ( )22 2 2 0k x k x− + − +  恒成立，讨论 2k − 与零的大小，并 结合二次函数图象及性质列不等式求 k 的取值范围. 【详解】 2 2 1 72 0 2 4 x x x   + + = + +     ， 原不等式等价于 2 26 2 2 4kx kx x x+ +  + + ， 即 ( ) ( )22 2 2 0k x k x− + − +  恒成立. 当 2k = 时，2 0 ，显然成立； 当 2k  时， k 满足不等式组 ( ) ( ) 2 2 0, Δ 2 4 2 2 0, k k k −   = − −  −  解得2 10k  . 综上所述，实数的取值范围是 )210， ， 故答案为： )210， . 【跟踪训练 3】已知 ( ) ( )2 2 3f x x a x a b= + − + + ，若存在常数a ，使 ( ) 0f x  恒成立， 则b 的取值范围是______. 【答案】 15b  − 【分析】由题意，可知 0  ，再分离b 求最值后解不等式即可. 【详解】使 ( ) 0f x  恒成立，则 2(2 ) 4 1 (3 ) 0a a b = − −   +  ， 化简整理得 2 24 16 4 ( 8) 60b a a a − + = − − ， 由于存在常数a ，使 ( ) 0f x  恒成立， 可知 2 min4 ( 16 4)b a a − + ， 因此4 60b  − ，解得 15b  − . 故答案为： 15b  − 题型四 一元二次不等式的能成立问题 【例 4】若关于 x的不等式 x2＋mx－2＞0 在区间[1，2]上有解，则实数 m的取值范围为 ________. 【答案】 1m  − ． 【分析】由题设命题的否定，原不等式在[1,2]上无解求得m 的范围后，再求其在实数集 中的补集即得． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【详解】原不等式在 R 上有解， 它的否定是不等式 2 2 0x mx+ −  在[1,2]上无解， 则 1 2 0 4 2 2 0 m m + −   + −  ，解得 1m  − ， 因此不等式 x2＋mx－2＞0 在区间[1，2]上有解时 1m  − ． 故答案为： 1m  − ． 【跟踪训练 4】若至少存在一个 0x  ，使得关于 x 的不等式 2 2x x a − − 成立，则实数 a 的取值范围为______． 【答案】 9 2, 4   −    【详解】问题转化为：至少存在一个 0x  ，使得关于 x 的不等式 22x a x−  − 成立，令 ( )f x x a= − ， ( ) 22g x x= − ，函数 ( )f x x a= − 与 x 轴交于点 ( ),0a ，与 y 轴交于点 ( )0, a ， （1）当函数 ( )f x x a= − 的左支与 y 轴交于点 ( )0, a ，此时 有 0a  ，若 2a  ，解得 2a  或 2a  − ， 则当 2a  − 时，在 y 轴右侧，函数 ( )f x x a= − 的图象在函 数 ( ) 22g x x= − 的上方，不合乎题意； （2）在 y 轴右侧，当函数 ( )f x x a= − 的左支与曲线 ( ) 22g x x= − 的图象相切时，函数 ( )f x x a= − 左支图象对应的解析式为 y a x= − ，将 y a x= − 代入 得 ，即 ， 令 ，即 ，解得 9 4 a≥ ，则当 时，如下图所示，在 y 轴右侧， 函数 ( )f x x a= − 的图象在函数 ( ) 22g x x= − 的上方或相切，则不等式 ( )f x x a= − 在 上恒成立，不合乎题意； （3）当 时，如下图所示，在 y 轴右侧，函数 ( )f x x a= − 的图象的左支或右支与函数 ( ) 22g x x= − 相交，在 y 轴右侧，函数 的图象中必有一部分图象在函数 ( ) 22g x x= − 的下方，即存在 0x  ，使得不等式 22x a x−  − 成立，故实数 的取值范 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 围是 . 题型五 一元二次方程根的分布问题 【例 5】已知实数a b ，关于 x 的不等式 ( )2 1 0x a b x ab− + + +  的解集为 ( )1 2,x x ，则实 数 a、b、 1x 、 2x 从小到大的排列是( ) A． 1 2a x x b   B． 1 2x a b x   C． 1 2a x b x   D． 1 2x a x b   【答案】A 【分析】由题可知 1 2x x a b+ = + ，再利用中间量m ，根据 1 2x x+ 与 1 2x x 之间的关系求出 的取值范围，即可判断 a、b、 1x 、 2x 之间的关系. 【详解】由题可得：1 2x x a b+ = + ，1 2 1x x ab= + .由a b ，1 2x x ，设 1x a m= + ，则 2x b m= − . 所以 2 1 2 ( )( ) ( ) 1a m b m ab m b a m abx x = + − = + − − = + ，所以 2( ) 1m b a m− − = ， 21 m m b a + = − . 又 a b ，所以 0b a−  ，所以 0m  .故 1x a ， 2x b .又 1 2x x ，故 1 2a x x b   . 故选：A. 【跟踪训练 5】方程 ( )2 27 13 2 0x a x a a− + + − − = 的一个根在区间 ( )0,1 上，另一个根在 区间 ( )1,2 上，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】 ( ) ( )2, 1 3,4− − 【分析】 ( ) ( )2 27 13 2f x x a x a a= − + + − − ，由题意可得 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 2 0 f f f       ，解之即可得出答案. 【详解】解：令 ( ) ( )2 27 13 2f x x a x a a= − + + − − ， 因为程 ( )2 27 13 2 0x a x a a− + + − − = 的一个根在区间 ( )0,1 上，另一个根在区间 ( )1,2 上， 所以 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 2 0 f f f       ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 即 ( ) 2 2 2 2 0 7 13 2 0 28 2 13 2 0 a a a a a a a a  − −   − − + − −   − + + − −  ，解得 2 1a−   − 或3 4a  ， 所以实数 a 的取值范围为 ( ) ( )2, 1 3,4− − . 故答案为： ( ) ( )2, 1 3,4− − . 题型六 与二次函数、方程和不等式有关的数学新文化问题 【例 6】不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早 研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知 ( )2020 2 2 ,x y y x Z y Z+ =  ， 则该方程的整数解有（ ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】原方程可化为 2020 2( 1) 1x y+ − = ，所以 2| | 1, ( 1) 1,x y −  即 1 1,0 2x y−     ， ( ),x y Z 再列举每种情况即可. 【详解】设此方程的解为有序数对 ( , )x y ， 因为 2020 2 2 ,( , )x y y x y Z+ =  所以 2020 2( 1) 1x y+ − = 当 2020 1x  或 2( 1) 1y −  时，等号是不能成立的， 所以 2| | 1, ( 1) 1,x y −  即 1 1,0 2x y−     ， ( ),x y Z （1）当 1x = − 时， 2( 1) 0y − = 即 1y = （2）当 0x = 时， 2( 1) 1y − = 即 0y = 或 2y = （3）当 1x = 时， 2( 1) 0y − = 即 1y = 综上所述，共有四组解 ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 , 0,0 , 0,2 , 1,1− − 故选：D 【跟踪训练 6】高斯 ( )1777 1855− 是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量 学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王 子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设 ,x R 用 x 表示不超过 x 的最大整数，则  y x= 称为高斯函数，例如：   2.3 2, 2.1 3,= − = − 已知函数 ( ) ( )22 2, 0,2f x x x x= − −  . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 设函数 ( )y f x =  的值域为集合D，则D中所有正整数元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先求解出二次函数 ( ) ( )22 2, 0,2f x x x x= − −  的值域，然后根据高斯函数的定 义确定出集合D，从而D中所有正整数元素个数可知. 【详解】函数 ( )f x 图象的对称轴为 1 4 x = ， 当 ( )0,2x 时， ( ) min 1 17 4 8 ff x   = −    = ， ( )2 8 2 2 4f = − − = ， 所以 ( ) 17 ,4 8 f x    −    ， 所以 ( )y f x =  的值域  3, 2, 1,0,1,2,3D = − − − ， 故其值域中所有正整数元素为1,2,3个数为3， 故选：A . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解高斯函数的定义以及通过二次函数的值域 确定出集合D . 课后突破训练 1．已知命题 ( )20 0 0: R, 1 1 0p x x a x  + − +  ，若命题 p 是假命题，则a 的取值范围为（ ） A．1≤a≤3 B．-1<a<3 C．-1≤a≤3 D．0≤a≤2 【答案】C 【分析】先写出命题 p 的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得a 的取值范围. 【详解】命题 p 是假命题， 命题 p 的否定是： ( )2R, 1 1 0x x a x  + − +  ，且为真命题， 所以 ( ) ( )( ) 2 1 4 1 3 0a a a = − − = + −  ， 解得 1 3a−   . 故选：C 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 2．若不等式 2( 2) 2( 2) 4 0a x a x− + − −  对一切 xR 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A． 2a  B． 2 2a−   C． 2 2a−   D． 2a  − 【答案】C 【分析】讨论二次项系数是否为零，结合判别式符号可得答案. 【详解】当 2a = 时，原式化为 4 0−  ，显然恒成立； 当 2a  时，不等式 2( 2) 2( 2) 4 0a x a x− + − −  对一切 xR 恒成立， 则有 2 0a −  且  ， ( ) ( ) 2 2 0 4 2 16 2 0 a a a −   − + −  解得 2 2a−   . 综上可得， 2 2a−   . 故选：C 3．已知 ( )( ) ( )2022y x m x n n m= − − +  ，且 ( ),    是方程 0y = 的两实数根，则 ，  ，m，n的大小关系是（ ） A． m n    B．m n    C．m n    D． m n    【答案】C 【分析】根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案. 【详解】∵ ， 为方程 0y = 的两实数根，∴ ， 为函数 ( )( ) 2022y x m x n= − − + 的图 像与 x轴交点的横坐标， 令 ( )( )1y x m x n= − − ，∴m，n为函数 ( )( )1y x m x n= − − 的图像与 x轴交点的横坐标，易 知函数 ( )( ) 2022y x m x n= − − + 的图像可由 ( )( )1y x m x n= − − 的图像向上平移 2022 个 单位长度得到， 所以m n    . 故选:C. 4．若不等式 2 2 0ax x c+ +  的解集是 1 2 1 , , 3     − − +        ，则不等式 2 2 0cx x a+ +  的解 集是（ ）. A． 1 1 , 2 3   −    B． 1 1 , 3 2   −   C．[-2，3] D．[-3，2] 【答案】D 【解析】先由题意求出 ,a c，再代入不等式 2 2 0cx x a+ +  ，求解，即可得出结果. 【详解】因为不等式 2 2 0ax x c+ +  的解集是 1 2 1 , , 3     − − +        ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 所以 0 2 1 1 3 2 1 1 3 2 a a c a      − = − +   = −  ，解得 12 2 a c = −  = ， 所以不等式 2 2 0cx x a+ +  可化为 22 2 12 0x x+ −  ，即 2 6 0x x+ −  ， 解得 3 2x−   . 故选 D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，熟记三个二次之间的关系即可，属于基 础题型. 5．若关于 x 的不等式 23 x a x− −  在 ( ),0− 上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A． 13 ,3 4   −    B． 13 3, 4   −    C． 13 , 4   −    D． ( )3,+ 【答案】A 【解析】可将不等式转化为 23 x x a−  − 至少有一个负数解，再结合图形确定临界点， 即可求解 【详解】由题，可将 23 x a x− −  在 ( ),0− 上有解转化为 23 x x a−  − 至少有一个负数 解， 构造 ( ) ( )23 ,f x x g x x a= − = − ，画出图形，如图： 当 3a = 时， ( )f x 与 ( )g x 相交于 ( )0,3 点，要使 ( )f x 与 ( )g x 相交于 y 轴左侧，则需满足 3a  ， 在函数 ( )g x 不断左移的过程中，若与 ( )f x 左侧曲线相切，则有 23 x x a− = − ，对应的 0 = ， 解得 3.25a = − ，则 3.25a  − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 综上所述， 13 ,3 4 a    −    故选：A 【点睛】本题考查二次不等式的等价转化，绝对值函数和二次函数的应用，属于中档题 6．已知函数 ( ) 22f x x mx n= + + ，则 ( )1f 、 ( )2f 、 ( )3f 与 1 的大小关系为（ ） A．没有一个小于 1 B．至多有一个不小于 1 C．都不小于 1 D．至少有一个不小于 1 【答案】D 【分析】通过反例可排除 , ,A B C；采用反证法，利用 ( )1 1f  和 ( )2 1f  ，结合不等式 的性质可证得 ( )3 1f  ，由此知D正确. 【详解】当 2m = − ， 0n = 时， ( ) 22 2f x x x= − ，则 ( )1 0f = ， ( )2 4f = ， ( )3 12f = ， 可知 ,A C 错误； 当 0m n= = 时， ( ) 22f x x= ，则 ( )1 2f = ， ( )2 8f = ， ( )3 18f = ，可知 B 错误； 假设 ( )1 1f  ， ( )2 1f  ， ( )3 1f  ， 由 ( )1 1f  得： 2 1m n+ +  ，即 3 1m n−  +  − …①， 由 ( )2 1f  得： 4 2 1m n+ +  ，即 5 2 3m n−  +  − …②， 由①得：1 3m n − −  …③，由②+③得： 4 0m−   ， 12 3 0m−   ， 由③得：2 2 2 6m n − −  …④，由②+④得： 3 3n−  −  ， 3 3n−   ， 15 3 3m n−  +  ， 3 18 3 21m n  + +  ( )3 18 3 1f m n = + +  ，与 ( )3 1f  矛盾，可知至少有一个不小于1，D正确. 故选：D . 【点睛】本题考查利用不等式的性质判断大小关系的问题；解决此类问题比较快捷的方 法是采用排除法得到正确结果；解题关键是能够熟练应用绝对值不等式的解法和不等式 的性质，采用反证法的方式确定正确结论. 7．已知 0, Ra b  ，若 0x  时，关于 x 的不等式 ( )( )21 4 0ax x bx− + −  恒成立，则 4 b a + 的最小值为________ 【答案】4 3 【分析】根据不等式分类讨论分析可知： 1 a 为 2 4y x bx= + − 的零点，运算整理结合基本 不等式求解. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 【详解】∵ 0,a  则有：当 1 x a  时，则 1 0ax−  ，当 1 0 x a   时，则 1 0ax ∴当 1 x a  时，则 2 4 0+ − x bx ，当 1 0 x a   时，则 2 4 0+ − x bx 即 1 a 为 2 4y x bx= + − 的零点 ∴ 2 1 4 0   + − =    b a a ，则 1 4b a a = − ∴ 4 3 4 4 3+ = + b a a a ，当且仅当 3 4 =a a 即 3 2 a = 时等号成立 故答案为：4 3 . 8．关于 x 的不等式 2 2( 1)ax x−  恰有 2 个整数解，则实数a 的取值范围是 . 【答案】 3 4 4 3 ( , ] [ , ) 2 3 3 2 − − ． 【分析】先将原不等式转化为[( 1) 1][( 1) 1] 0a x a x+ − − −  ，再对a 分类讨论分别求出原不 等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a 的取值范围． 【详解】不等式 2 2( 1)ax x−  可化为[( 1) 1][( 1) 1] 0a x a x+ − − −  ， ①当 1a = 时，原不等式等价于2 1 0x - > ，其解集为 1 , 2   +    ，不满足题意； ②当 1a = − 时，原不等式等价于2 1 0x+  ，其解集为 1   , 2   − −    ，不满足题意； ③当 1a  时，原不等式等价于 1 1 0 1 1 x x a a    − −    + −   ，其解集为 1 1 , 1 1a a     + −  ， 其解集中恰有 2 个整数， 1 2 ? 1 1 3 1 a a   −    − ，解得： 4 3 3 2 a  ； ④当 1 1a−   时，原不等式等价于 1 1 0 1 1 x x a a    − −    + −   ，其解集为 1 1 ( , , 1 1a a    −  +   − +   ，不满足题意； ⑤当 1a  − 时，原不等式等价于 1 1 0 1 1 x x a a    − −    + −   ，其解集为 1 1 , 1 1a a     + −  ， 其解集中恰有 2 个整数， 1 2 1 1 3 1 a a   − +   −  + ，解得： 3 4 2 3 a−  − ， 综合以上，可得： 3 4 4 3 , , 2 3 3 2 a      − −       . 故答案为： 3 4 4 3 , , 2 3 3 2 a      − −       ． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数 解时等号的取舍． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 9．若对 1 2 5x y    , ，使得 2 4 2 2 1x x a y− +  − 成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 )3,+ 【分析】构造函数 2( ) 4 2f x x x a= − + ， ( ) 2 1g y y= − ，由已知可知 min min( ) ( )f x g y ，代 入即可求解. 【详解】令函数 2( ) 4 2f x x x a= − + ，开口向上，对称轴为 2x = ，在 2x  时函数单调递 减； 令函数 ( ) 2 1g y y= − ，函数在 R上单调递增； 由对 1 2 5x y    , ，使得 2 4 2 2 1x x a y− +  − 成立，即 ( ) ( )f x g y 则需 min min( ) ( )f x g y ，即 (1) (2)f g 即1 4 2 2 2 1a− +   − ，解得： 3a  所以实数 a的取值范围是 )3,+ 故答案为： )3,+ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ( )  , ,y f x x a b=  ， ( )  , ,y g x x c d=  （1）若  1 ,x a b  ，  2 ,x c d  ，总有 ( ) ( )1 2f x g x 成立，故 ( ) ( )2max minf x g x ； （2）若  1 ,x a b  ，  2 ,x c d  ，有 ( ) ( )1 2f x g x 成立，故 ( ) ( )2max maxf x g x ； （3）若  1 ,x a b  ，  2 ,x c d  ，有 ( ) ( )1 2f x g x 成立，故 ( ) ( )2min minf x g x ； 10．（1）若不等式 2 1 0mx mx+ −  对 xR 恒成立，求m 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式 2 1 0mx mx+ −  . 【答案】（1） ( 4,0− ；（2）见解析. 【分析】（1）要使得 2 1 0mx mx+ −  对 xR 恒成立，则分类讨论参数m ，当 0, 0, 0m m m=   的情况下，求出m 的取值范围； （2）分类讨论m ，解一元二次不等式，结合一元二次方程的性质和根的关系，求出解 集. 【详解】（1）当 0m = 时， 1 0−  ，故成立； 当 0m  时，不合题意； 当 0m  时，由 2 4 0 4 0m m m = +  −   ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 综上， ( 4,0m − . （2） 由（1）知，当 4 0m−   时，解集为 R ； 当 4m= − 时，解集为 1 | 2 x x    −    ； 当 4m  − 或 0m  时， 2 4 0m m = +  . 记对应方程 2 1 0mx mx+ − = 的根为 1 1 2 2 x m  = − − ， 2 1 2 2 x m  = − + ， 若 4m  − ，则 1 2x x ，不等式解集为 ( ) ( )2 1, ,x x−  + . 若 0m  ，则 2 1x x ，不等式解集为 ( )1 2,x x . 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，还利用一元二次方程中根的判别式和性质， 以及求根公式，同时分类讨论参数解决恒成立问题. 11．关于 x的方程 x2－2x＋a＝0，求 a为何值时： (1)方程一根大于 1，一根小于 1； (2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？ 【答案】（1） 1a  ；（2） 3 0a−   ；（3）0 1a  . 【详解】试题分析：1）设 2 2f x x x a= − +（ ） ，由 1 1 0f a= −（） ＜ ，求得a 的范围． （2）由 ( ) ( ) ( ) ( 1) 3 0 1 1 0   2 0 3 3 0 f a f a f a f a − +  −    + ＝ ＞ ＝ ＜ ＝ ＜ ＝ ＞ ，求得a 的范围． （3）由 ( ) 4 4 0 2 0  2 0 0 a f a ＝ ＞ ＝ ＞ −  − −    ，求得a 的范围． 试题解析：设 f(x)＝x2－2x＋a，(1)结合图象知，当方程一根大于 1，一根小于 1 时，f(1) ＜0，得 1－2＋a＜0，所以 a＜1. (2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 2 0 3 0 f f f f  −        即 3 0 1 2 0 4 4 0 9 6 0 a a a a +   − +   − +   − +  解得－3＜a＜0. (3)由方程的两个根都大于零，得 ( ) 4 4 0 2 0 2 0 0 a f  = −   − −    解得 0＜a＜1. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，解题时 灵活运用转化思想和数形结合思想是解题的关键.． 12．已知函数 ( ) ( )2 0f x ax bx c a= + +  ． （1）若函数 ( ) 0f x  的解集为 2 3x x  ，求函数 ( ) 2 0g x bx cx a= + +  的解集； （2）若 ( )0 1f  ， ( )1 1f  ， ( )1 1f −  ，试证明：对于任意 1x  ，有 ( ) 5 4 f x  ； （3）若 1x  时，有 ( ) 1f x  ，求证：当 1x  ， 2 4ax b+  ． 【答案】（1） 3 14 3 14 5 5    − + −  +           ， ， ；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）由 ( ) 0f x  的解集为 2 3x x  ，得到 ( )f x 的两个零点为 2 和 3，得到 a，b，c的关系求解；， （2）由 ( ) ( ) ( )1 1 0f a b c f a b c f c− = − + = + + =， ， ，解得 a，b，c，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 21 1 0 1 2 2 x x x x f x f f f x    + − =  + −  +  −        ，然后分 1 0x− ≤ ≤ ， 0 1x  ， 取绝对值后放大利用二次函数性质证明； （3）由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 0 1 1 2 ax b f f f x f f   + = + − − + − −    ，利用绝对值三角不等式 证明. 【详解】（1）因为 ( ) 0f x  的解集为 2 3x x  ， 所以 ( )f x 的两个零点为 2 和 3， 则 ( ) ( )( ) 22 3 5 6f x a x x ax ax a= − − = − + ， 即 5 6b a c a= − =， ， 所以 ( ) 2 25 6g x bx cx a ax ax a= + + = − + + ， 所以 ( ) 0g x  的解集为 3 14 3 14 5 5    − + −  +           ， ， ． （2）由 ( ) ( ) ( )1 1 0f a b c f a b c f c− = − + = + + =， ， ， 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 2 a f f f b f f c f   = + − − = − − =   ， ， ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 21 1 0 1 2 2 x x x x f x f f f x    + − =  + −  +  −        ， ①当 1 0x− ≤ ≤ 时， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 21 1 0 1 2 2 x x x x f x f f f x + −   + −  +  − ， 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 x x x x x x x x x x  + − + −  + + − = − + + −    ， 2 2 1 5 51 2 4 4 x x x   = − − + = − + +     ． ②当0 1x  时， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 21 1 0 1 2 2 x x x x f x f f f x + −   + −  +  − ， 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 x x x x x x x x x x  + − + −  + + − = − + −    ， 2 2 1 5 51 2 4 4 x x x   = − + + = − − +     ． 所以任意 1x  ，有 ( ) 5 4 f x  ． （3）由（2）知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 0 1 1 2 ax b f f f x f f   + = + − − + − −    ， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 0 2 2 x f x f x f     = +  + −  − −         ， 1 1 2 4 2 2 x x + + − +  ． 所以当 1x  ， 2 4ax b+  ． 【点睛】关键点点睛：本题（2）（3）关键是由 ( )0 1f  ， ( )1 1f  ， ( )1 1f −  放缩， 集合绝对值三角不等式而得解. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 04 三个“二次”间的关系重难点专题 常考结论及公式 结论一：一元二次不等式的恒成立问题 一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c a+ +   恒成立问题的等价形式： （1） 2 0ax bx c+ +  对于任意的 x R 恒成立 0 0 a     ； （2） 2 0ax bx c+ + 对于任意的 x R 恒成立 0 0 a    ； （3） 2 0ax bx c+ +  对于任意的 x R 恒成立 0 0 a     ； （4） 2 0ax bx c+ + 对于任意的 x R 恒成立 0 0 a    ； 结论二：一元二次不等式的能成立问题 一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c a+ +   能成立问题的等价形式： （1）存在 x R ，使得 2 0ax bx c+ +  能成立 0 0 a     或 0a  ； （2）存在 x R ，使得 2 0ax bx c+ + 能成立 0 0 a    或 0a  ； （3）存在 x R ，使得 2 0ax bx c+ +  能成立 0 0 a     或 0a  ； （4）存在 x R ，使得 2 0ax bx c+ + 能成立 0 0 a    或 0a  ； 结论三：一元二次方程根的分布问题 一元二次方程根的分布问题主要从四个方面考虑：开口方向、根的判别式、对称轴与区 间的位置关系和区间端点函数值的正负.若 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + +  且方程 ( ) 0f x = 的两根为 1x 和 2x ，则 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 （1）若 1 2 ( )m x x n m n   ，只需满足 2 0 ( 0 ( 0 b m n a f m f n   −       ） ） ； （2）若 1 2 ( )m x n x m n    ，只需满足 ( 0 ( 0 f m f n    ） ） ； （3）若 1 2 ( )m x n x p m n p      ，只需满足 ( 0 ( 0 ( ) 0 f m f n f p      ） ） ； （4）若 1 2x n x  ，只需满足 ( 0f n ） ； （5）一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a+ + =  在区间 ( , )m n 上只有一根 2 0 b m n a   −    = 或 ( ) ( ) 0f m f n  ； 题型一 含参的一元二次不等式的解法 【例 1】解下列关于 x 的不等式：（a 为实数） (1) 2 2 0x x a+ +  (2) 1 0 2 ax x −  − . 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 1】已知关于 x的不等式 2 3 2 0ax x− +  的解集为 1x x  或 x b ． (1)求 a，b的值． (2)当 Rc 时，解关于 x的不等式 ( )2 0ax ac b x bc− + +  ． 题型二 与一元二次不等式有关的整数解问题 【例 2】已知关于 x 的不等式组 2 2 2 8 0 2 (2 7) 7 0 x x x k x k  − −   + + +  仅有一个整数解，则 k 的取值范 围为（ ） A． ( ) ( )5,3 4,5−  B． ) ( 5,3 4,5−  C． (   )5,3 4,5−  D．   5,3 4,5−  【跟踪训练 2】已知关于 x的不等式 ( ) 2 24 3 4x ax−  的解集中的整数解恰好有三个，则 实数 a的取值范围是______． 题型三 一元二次不等式的恒成立问题 【例 3】已知不等式 2 2 6 2 2 kx kx x x + +  + + 对任意的 Rx 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ___________. 【跟踪训练 3】已知 ( ) ( )2 2 3f x x a x a b= + − + + ，若存在常数a ，使 ( ) 0f x  恒成立， 则b 的取值范围是______. 题型四 一元二次不等式的能成立问题 【例 4】若关于 x的不等式 x2＋mx－2＞0 在区间[1，2]上有解，则实数 m的取值范围为 ________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 4】若至少存在一个 0x  ，使得关于 x 的不等式 2 2x x a − − 成立，则实数 a 的取值范围为______． 题型五 一元二次方程根的分布问题 【例 5】已知实数a b ，关于 x 的不等式 ( )2 1 0x a b x ab− + + +  的解集为 ( )1 2,x x ，则实 数 a、b、 1x 、 2x 从小到大的排列是( ) A． 1 2a x x b   B． 1 2x a b x   C． 1 2a x b x   D． 1 2x a x b   【跟踪训练 5】方程 ( )2 27 13 2 0x a x a a− + + − − = 的一个根在区间 ( )0,1 上，另一个根在 区间 ( )1,2 上，则实数a 的取值范围为___________. 题型六 与二次函数、方程和不等式有关的数学新文化问题 【例 6】不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早 研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知 ( )2020 2 2 ,x y y x Z y Z+ =  ， 则该方程的整数解有（ ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练 6】高斯 ( )1777 1855− 是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量 学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王 子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设 ,x R 用 x 表示不超过 x 的最大整数，则  y x= 称为高斯函数，例如：   2.3 2, 2.1 3,= − = − 已知函数 ( ) ( )22 2, 0,2f x x x x= − −  . 设函数 ( )y f x =  的值域为集合D，则D中所有正整数元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 课后突破训练 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 1．已知命题 ( )20 0 0: R, 1 1 0p x x a x  + − +  ，若命题 p 是假命题，则a 的取值范围为（ ） A．1≤a≤3 B．-1<a<3 C．-1≤a≤3 D．0≤a≤2 2．若不等式 2( 2) 2( 2) 4 0a x a x− + − −  对一切 xR 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A． 2a  B． 2 2a−   C． 2 2a−   D． 2a  − 3．已知 ( )( ) ( )2022y x m x n n m= − − +  ，且 ( ),    是方程 0y = 的两实数根，则 ，  ，m，n的大小关系是（ ） A． m n    B．m n    C．m n    D． m n    4．若不等式 2 2 0ax x c+ +  的解集是 1 2 1 , , 3     − − +        ，则不等式 2 2 0cx x a+ +  的解 集是（ ）. A． 1 1 , 2 3   −    B． 1 1 , 3 2   −   C．[-2，3] D．[-3，2] 5．若关于 x 的不等式 23 x a x− −  在 ( ),0− 上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A． 13 ,3 4   −    B． 13 3, 4   −    C． 13 , 4   −    D． ( )3,+ 6．已知函数 ( ) 22f x x mx n= + + ，则 ( )1f 、 ( )2f 、 ( )3f 与 1 的大小关系为（ ） A．没有一个小于 1 B．至多有一个不小于 1 C．都不小于 1 D．至少有一个不小于 1 7．已知 0, Ra b  ，若 0x  时，关于 x 的不等式 ( )( )21 4 0ax x bx− + −  恒成立，则 4b a + 的最小值为________ 8．关于 x 的不等式 2 2( 1)ax x−  恰有 2 个整数解，则实数a 的取值范围是 . 9．若对 1 2 5x y    , ，使得 2 4 2 2 1x x a y− +  − 成立，则实数 a的取值范围是________. 10．（1）若不等式 2 1 0mx mx+ −  对 xR 恒成立，求m 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式 2 1 0mx mx+ −  . 11．关于 x的方程 x2－2x＋a＝0，求 a为何值时： (1)方程一根大于 1，一根小于 1； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 (2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？ 12．已知函数 ( ) ( )2 0f x ax bx c a= + +  ． （1）若函数 ( ) 0f x  的解集为 2 3x x  ，求函数 ( ) 2 0g x bx cx a= + +  的解集； （2）若 ( )0 1f  ， ( )1 1f  ， ( )1 1f −  ，试证明：对于任意 1x  ，有 ( ) 5 4 f x  ； （3）若 1x  时，有 ( ) 1f x  ，求证：当 1x  ， 2 4ax b+  ．