03 基本不等式重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 03 基本不等式重难点专题 常考结论及公式 结论一：基本不等式与最值 已知 ,x y都是正数. （1）若 x y S+ = （和为定值），则当 x y= 时，积 xy取得最大值 2 2( ) 2 4 x y S xy + = . （简记：和定积最大）； （2）若 xy P= （和为定值），则当 x y= 时，积 x y+ 取得最大值 2 2x y xy P+ = . （简记：积定最和小）. 结论二：基本不等式的几个相关结论 （1）重要不等式： 2 2 2a b ab+ ( , )a b R ； （2） 2 b a a b + （ ,a b同号）； （3） 2 2 2( ) 2( )( , )a b a b a b R+ +  或 2 2 2 ( )( ) ( , ) 2 a b a b a b R + +  ； （4） 2 2 2 1 12 2 a b a b ab a b + + + （ 0a  ， 0b  ，当且仅当a b= 时取等号）. （5）基本不等式的拓展： 3 ( , , ) 3 a b c abc a b c R+ + +  结论三：常数代换法求最值的步骤及通法 （1）常数代换法求最值的步骤： ①根据已知条件或其变形确定定值（常数）； ②把确定的定值（常数）变形为 1； ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； ④利用基本不等式求解最值. （2）常数代换法求最值适用的题型及解题通法： 当式子中含有两个变量，且条件和所求的式子分别为整式和分式时，常构造出 ( )ax by+ ( ) m n x y + ( , , ,a b m n为常数)的形式，利用 ( )ax by+ ( ) m n bmy anx am bn x y x y + = + + + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 2am bn abmn+ + （当且仅当 bmy anx x y = 时等号成立）得到结果. 题型一 利用基本不等式比较大小 【例 1】（多选）设0 , 1a b a b  + = ，则下列结论正确的是（ ） A． 2 2a b b+  B． 2 2a a b + C． 1 2 2 a ab  D． 2 21 1 2 a b +  【答案】BCD 【分析】对于 A 由 1a b+ = 两边平方得 2 2 1 2 2 (1 2 )a b ab b a ab b a b b+ = − = + − = + −  ，可 判断；对于 B 2 21 1 2 2 2 b b a ab a b      + ，可判断；对于 C 2 (1 2 ) 0a ab a b− = −  ， 右边用重要不等式可判断;对于 D 左边用重要不等式，右边用不等式性质可判断. 【详解】由0 , 1a b a b  + = ，则 1 0 1 2 a b    . 对 A，由 1a b+ = 两边平方得 2 2 1 2 2 (1 2 )a b ab b a ab b a b b+ = − = + − = + −  ，所以 A 错 误. 对 B， 2 21 1 2 2 2 b b a ab a b      + ，所以 B 正确. 对 C，由 B 有 2a ab ，又 2 12 2 ( ) 2 2 a b ab +   = ，所以 C 正确. 对 D，因为 2 2 2 ( ) 1 2 2 a b a b + +  = ，又 2 2 2 2, 1a a b b a b a b   +  + = ，所以 D 正确. 故选: BCD 【点睛】本题考查用重要不等式证明不等式，应用不等式性质判断不等式是否成立，属 于中档题. 【跟踪训练 1】（多选）设 0, 0a b  ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． 1 2 2a b ab + +  B． 2 2 2 2 2 a b a b+ +      C． 2  + ab ab a b D． ( ) 1 1 4a b a b   + +     【答案】ABD 【分析】利用基本不等式，分别判断 ACD，再利用做差比较法，判断 B. 【详解】因为 0, 0a b  ，所以 1 1 2 2 2a b ab ab ab + +  +  ，当且仅当a b= 且 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 1 2 2 2 ab a b ab = = =即 时取等号，故 A 一定成立 由做差比较法, ( ) ( ) 2 22 2 0 2 4 4 a b a ba b + −+ − =  ，可知 2 2 2 2 2 a b a b+ +      成立故 B 一定成 立． 因为 2 0a b ab+   ． 所以 2 2 2 ab ab ab a b ab  = + ，当且仅当a b= 时取等号，所以 2ab ab a b = + 不一定成立，故 C 不成立． 因为 ( ) 1 1 2 b a a b a b a b   + + = + +     4，当且仅当a b= 时取等号，故 D 一定成立. 故选：ABD 题型二 基本不等式常见结论的基本运用 【例 2】（多选）已知 x ， y 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A．若 2x y+ = ，则 1 1 x y + 有最小值 2 B．若 3x y+ = ，则 ( 1)x y+ 有最大值 5 C．若 4 1x y+ = ，则2 x y+ 有最大值 2 D． 2 1 4 x y x y + + 有最小值 9 4 【答案】AC 【分析】将已知转化，再利用基本不等式可判断 ABC 选项；利用特值法判断选项 D。 【详解】对于 A， 0x  ， 0y  ， 2x y+ = ， ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 y x x y x y x y x y      + = + + = + +        1 2 2 2 2 y x x y    +  =     ，当且仅当 2x y y x x y + =   =  ，即 1x y= = 时取等号，则 1 1 x y + 有最小值 2， 故 A 正确； 对于 B， 0x  ， 0y  ， 3x y+ = ， ( ) ( ) 2 1 1 4 1 4 2 x y x y x y  + +  + + =  +  =    ， 当且仅当 3 1 x y x y + =  = + ，即 2, 1x y= = 时取等号，则 ( )1x y + 有最大值 4，故 B 错误； 对于 C， 0x  ， 0y  ，4 1x y+ = ， ( ) 2 2 4 4 1 2 2x y x y xy x y + = + + = +   ( ) ( ) 2 2 1 2 1 4 2x y x y + + = + + = ， 0 2 2x y  +  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 当且仅当 4 1 2 x y x y + =  = ，即 1 1 , 8 2 x y= = 时取等号，则则2 x y+ 有最大值 2 ，故 C 正 确； 对于 D，当 2, 1x y= = 时， 2 1 1 1 9 1 2 4 2 2 4 x y x y + + = + + =  ，故 D 错误； 故选：AC 【跟踪训练 2】（多选）已知 0x  ， 0y  且3 2 10x y+ = ，则下列结论正确的是（ ） A． xy的最大值为 6 25 B． 3 2x y+ 的最大值为2 5 C． 3 2 x y + 的最小值为 5 2 D． 2 2x y+ 的最大值为 100 13 【答案】BC 【分析】利用基本不等式直接判断 A；利用基本不等式求得 ( ) 2 3 2x y+ 的最大值可判 断 B；利用基本不等式“1”的代换可判断 C；利用二次函数的性质可判断 D； 【详解】 0x ， 0y  且3 2 10x y+ = ， 10 0 3 x   ，  0 y 5 对于 A，利用基本不等式得10 3 2 2 3 2x y x y= +   ，化简得 25 6 xy  ， 当且仅当3 2x y= ，即 5 5 , 3 2 x y= = 时，等号成立，所以 xy的最大值为 25 6 ，故 A 错误； 对于 B， ( ) 2 2 6 10 2 6 10 13 0 22 3 2 0x y x y xy xy= +  ++ + =+ = ， 当且仅当3 2x y= ，即 5 5 , 3 2 x y= = 时，等号成立，所以 3 2x y+ 的最大值为2 5，故 B 正确； 对于 C， ( ) 3 2 1 3 2 1 6 6 1 6 6 4 5 3 2 9 1 10 10 1 20 3 2 x x y x y y x y x y y x y x    + + +  +  =        + =  + =  +       ， 当且仅当 6 6x y y x = ，即 2x y= = 时，等号成立，所以 3 2 x y + 的最小值为 5 2 ，故 C 正确； 对于 D， 2 2 2 2 210 2 13 40 1 3 00 9 y y x y y y −  + +   − + =  = ( )0 5y  利用二次函数的性质知，当 20 0 13 y  时，函数单调递减；当 20 5 13 y  时，函数单调递 增， ( ) 2 2 2 min 20 13 40 1 20 10013 13 3 00 9 1 x y       −  + = =+ ， ( ) ( ) 2 2 2 max 5 5 2213 40 1 500 99 x y −  + =  + ，故 D 错误； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 故选：BC 题型三 利用构造法转化为基本不等式求最值 【例 3】已知 0a  ， 0b  ，且 1 2 2 2 4 3a b + = + − ，则2a b+ 的最小值为________. 【答案】12 【分析】   3 1 2 2 2( 2) ( 4) 2( 2) ( 4) 2 2 4 a b a b a b a b   + = + + − =  + + − +  + −  ，展开后利用基本 不等式可求． 【详解】∵ 0a  ， 0b  ，且 1 2 2 2 4 3a b + = + − ， ∴   3 1 2 2 2( 2) ( 4) 2( 2) ( 4) 2 2 4 a b a b a b a b   + = + + − =  + + − +  + −  ( ) 3 4 4( 2) 3 4 4 4 12 2 2 4 2 b a a b − +  =  + +   + = + −  ， 当且仅当 4 4( 2) 2 4 b a a b − + = + − ，即 1 4 a = ， 17 2 b = 时取等号， 故2a b+ 的最小值为 12． 故答案为：12． 【跟踪训练 3】已知 x＞0，y＞0，且 1 1 1 x y + = ，则 9 4 1 1 x y x y + − − 的最大值为______． 【答案】-25 【分析】 1 1 1 x y + = ，所以 1 x y xy + = ，即 x+y=xy，且 x＞1，y＞1，再结合基本不等式即可 得到 9 4 1 1 x y x y + − − 的最大值． 【详解】解：依题意，x＞0，y＞0，且 1 1 1 x y + = ，所以 x＞1，y＞1，且 1 x y xy + = ，即 x+y=xy， 所以 9 4 1 1 x y x y + − − = 9 9 9 1 x x − + − + 4 4 4 1 y y − + − =-9-4-（ 9 1x − + 4 1y − ）， 因为 9 1x − ＞0， 4 1y − ＞0， 所以 9 4 1 1 x y x y + − − =-13-（ 9 1x − + 4 1y − ）≤-13-2 9 4 1 1x y  − − =-13-2 ( ) 36 1xy x y− + + =-13-12=-25． 当且仅当 x= 5 2 ，y= 5 3 时等号成立． 故答案为-25． 【点睛】本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．本 题属于难题． 题型四 换元法或消元法构造基本不等式求最值 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【例 4】设正实数 x ， y ， z 满足 2 22 2 2 0x xy y z+ + − = ，则当 z xy 取得最小值时， 2 3 3 x y z + − 的最大值为______． 【答案】4 【分析】由已知条件可得 2 22 2 2 x z xy y= + + ，代入 z xy 化简，利用基本不等式求出该代 数式的最小值并得出等号成立的条件为 2x y= ， 23z y= ，再代入 2 3 3 x y z + − 转化为关 于 1 y 的函数，利用二次函数的性质即可求最大值. 【详解】由 2 22 2 2 0x xy y z+ + − = 可得 2 22 2 2 x z xy y= + + ， 所以 2 22 2 2 2 2 2 z x y x y xy xy xy y x = + + = + + 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y x   + =  + = ， 当且仅当 2 x y y x = 时即 2x y= 等号成立， z xy 取得最小值， 此时 2 2 2 22 2 2 2 2 3 y z y y y= +  + = ， 所以 2 2 2 12 3 3 2 3 3 4 2 4 32 1 x y z y y y y yy     + − = + − = − = − − +        ， 所以当 1 2 y = 时， 2 3 3 x y z + − 的最大值为4， 故答案为：4 . 【跟踪训练 4】若实数 m，n满足 2 24 1m n+ = ，则 4 2 1 mn m n+ − 的最小值是___________. 【答案】1 2− 【分析】通过换元使变量系数相同，巧用“1”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】解析：令 , 2x m y n= = ，则 ( )2 2 2 2( )4 2 ( ) 1 1 2 1 1 1 1 x y x ymn xy x y x y m n x y x y x y + − + + − = = = = + + + − + − + − + − ，因为 2 2 2 1 2 2 2 x y x y+ +   =    ，所以 2 2x y−  +  .从而 2 1 2 1 1 xy x y x y = + +  − + + − ，当且仅 当 2 2 x y= = − 时，等号成立，故 4 2 1 mn m n+ − 的最小值为1 2− . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 故答案为：1 2− . 题型五 复杂的基本不等式综合应用 【例 5】设 x y z w R+、 、 、 ，则 2 2 2 2 xy yz zw x y z w + + + + + 的最大值为________. 【答案】 5 1 4 + 【分析】依题意将原式变形为 ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 xy yz zw x y y z z w    + + + + − + − + + ，再利用基本不 等式，令 1 = − ，即可求出，从而得解； 【详解】解： ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 xy yz zw xy yz zw x y z w x y y z z w    + + + + = + + + + + − + − + + ( )2 2 1 2 xy yz zw xy yz zw   + +  + − + ( )( )0,1  令 2 3 5 1 3 1 0 2      − = −  − + =  = 或 3 5 2  + = （舍去） 所以 2 2 22 1 1 5 1 45 13 5 2 1 2 x y zw xy yz zw x y z w xy yz zw + + + + +   = = + + + + +  −− −    故答案为： 5 1 4 + 【跟踪训练 5】已知实数 0, 0x y z   ，则 2 3 4 2 2 2 x y z x x y y z + + + + + 的最小值为_________． 【答案】 4 3 1 3 + 【分析】依题意可得 2 3 4 2 2 1 2 2 2 2 2 x y z x y z x x y y z x y y z  + + + + = + +  + + + +  ，利用基本不等式及 x 与 y 的关系计算可得； 【详解】解：因为 0, 0x y z   ， 所以 ( )2 2 22 3 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x y y zx y z x x y z x x y y z x y y z x y y z + + +  + + + + = + = + +  + + + + + +  2 1 1 2 2 1 4 1 4 2 2 2 2 y z x x yx y y z x y x +  +   = + = + + + + + 因为 0x y  ，所以 1 y x  ， 所以原式 1 4 1 4 1 3 2 1 3  + = + + ，当且仅当 ( )3 1x y z= = + 时取等号． 故答案为： 4 3 1 3 + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 题型六 利用基本不等式证明不等式 【例 6】已知 a，b，c均为正实数，求证： (1) a b c ab bc ac+ +  + + ； (2) ( )2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b c+ + + + +  + + ． 【解析】（1）证明：左边 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2 2 a b b c a c ab bc ac ab bc ac = + + + + +  + + = + +  ， 当且仅当a b c= = 时取“＝”． 故 a b c ab bc ac+ +  + + ． （2）证明：因为 2 2 2a b ab+  ，当且仅当a b= 时取“＝”， 所以 ( ) ( ) 22 2 2 22 2a b a ab b a b+  + + = + ， 所以 ( ) 2 2 2 2 a b a b + +  ，所以 2 2 2 a b a b + +  ，① 同理 2 2 2 b c b c + +  ，当且仅当b c= 时取取“＝”，② 2 2 2 c a c a + +  ，当且仅当a c= 时取“＝”．③ ①+②+③，得 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a a b c + + + + + + +  = + + ， 当且仅当a b c= = 时等号成立． 【跟踪训练 6】已知 , ,a b c均为正实数． (1)求证： 2 3 3 2 2 3 3 2 3 b c a a c b a b c a b c + − + − + − + +  ． (2)若 3a b c+ + = ，证明： 1 1 1 3 2a b b c c a + +  + + + ． 【分析】（1）将 2 2 2 b a a b +  、 3 2 3 c a a c +  、 3 2 2 2 3 c b b c +  三式相加可证明； （2）由条件可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 6 a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a  + + + + + + + + + + + + + + + + + = + +  + + + + + +  ，然后可证明. （1）因为 , ,a b c均为正实数， 所以 2 2 2 b a a b +  （当且仅当 2a b= 时等号成立）， 3 2 3 c a a c +  （当且仅当 3a c= 时等号成立）， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 3 2 2 2 3 c b b c +  （当且仅当2 3b c= 时等号成立）， 以上三式相加，得 2 3 3 2 6 2 3 2 3 b a c a c b a b a c b c       + + + + +             （当且仅当 2 3a b c= = 时等号成 立）， 所以 2 3 3 2 1 1 1 3 2 3 2 3 b a c a c b a b a c b c       + − + + − + + −             （当且仅当 2 3a b c= = 时等号成立）， 即 2 3 3 2 2 3 3 2 3 b c a a c b a b c a b c + − + − + − + +  （当且仅当 2 3a b c= = 时等号成立）． （2） 由题可得 ( ) ( ) ( ) 6a b b c c a+ + + + + = ， 则左边 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 6 a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a  + + + + + + + + + + + + + + + = + +  + + +  1 3 6 a b b c a b b c b c a b c a a c a b c a b c c a + +  = + + + + + +  + + + + + + + + +  + 1 3 3 2 2 2 6 2 b c a b c a a b c a b c a b b c a b c a b c c a  + + + + + +  +  +  +  =  + + + + + +  ， 当且仅当 b c a b a b b c + + = + + ， c a a b a b c a + + = + + ， c a b c b c c a + + = + + ， 3a b c+ + = ，即 1a b c= = = 时取“＝”． 故 1 1 1 3 2a b b c c a + +  + + + 成立． 题型七 基本不等式连续使用问题 【例 7】 , ,a b c是不同时为 0 的实数，则 2 2 22 ab bc a b c + + + 的最大值为（ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 2 2 D． 3 2 【答案】A 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为 a，b均为正实数， 则 ( ) 2 22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 ab bc a c a c a c a ca b c a c a cb b b b + + + + =  = ++ + + ++  ( ) 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 22 2 a ac c ac ac a ca c a c + + = = +  + = ++  ， 当且仅当 2 2 2 a c b b + = ，且a c= 取等，即a b c= = 取等号， 即则 2 2 22 ab bc a b c + + + 的最大值为 1 2 ， 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最 大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号 则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式， 等号成立条件是否一致. 【跟踪训练 7】若 a，b R ， 0ab  ，则 4 44 1 ab a b+ + 的最大值为（ ） A． 1 4 B． 1 2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】 ( ) ( ) 2 2 2 4 4 22 24 2 4a b a b a b+ + = ，当且仅当 2 22a b= 时，等号成立； 4 4 22 1 14 1 4 1 4 ab ab a b a b ab ab   = + + + + 又 1 1 4 2 4 4ab ab ab ab +   = ，当且仅当 1 4ab ab = 时，即 2 2 1 4 a b = ，等号成立； 2 2 2 2 2 1 4 a b a b  =   =  ，解得 2 21 1, 4 8 a b= = ， 4 4 1 4 1 4 ab a b   + + ， 所以 4 44 1 ab a b+ + 的最大值为 1 4 故选：A 题型八 利用基本不等式解决恒成立问题 【例 8】设正实数 , x y满足 1 , 1 2 x y  ，不等式 2 24 1 2 1 x y m y x +  − − 恒成立，则m 的最大值 为 （ ） A．8 B．16 C．2 2 D．4 2 【答案】A 【分析】设 1 ,2 1y b x a− = − = ，求出 ,x y的值，代入 2 24 1 2 1 x y y x + − − 中化简，利用基本不等 式求出结果. 【详解】设 1 ,2 1y b x a− = − = ，则 ( ) ( )( ) 1 1 0 , 1 0 2 y b b x a a= +  = +  所以 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 22 2 1 1 1 1 14 2 2 1 2 1 a b a b ab a bx y y x b a ab ab + + + + + + + + = +  = − − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 8 a b ab ab ab ab ab ab ab  +  = + +   + =  + =         当且仅当 1a b= = 即 2, 1x y= = 时取等号 所以 2 24 1 2 1 x y y x + − − 的最小值是8，则m 的最大值为8 . 故选 A 【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设 1 ,2 1y b x a− = − = ，得出 ( ) ( )( ) 1 1 0 , 1 0 2 y b b x a a= +  = +  进行代换，属于偏难题目. 【跟踪训练 8】（多选）已知正实数 x，y满足3 13 0x y xy+ + − = ，且 22 4 2t t y xy− − − 恒成立，则 t的取值可能是（ ） A． 3 2 − B． 1− C．1 D． 3 2 【答案】BCD 【分析】对式子变形，构造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解决恒成立问题. 【详解】由3 13 0x y xy+ + − = ，得 ( 1) 3 13x y x+ = − + ，因为 0x  ，所以 1 0x+  ，所以 3 13 16 3 1 1 x y x x − + = = − + + + ，则 16 16 3 1 4 2 16 4 4 1 1 x y x x x x + = + − = + + − − = + + ， 当且仅当 3x = 时，等号成立，故2 3( ) 13 1y xy x y− = + − − ， 因为 22 4 2t t y xy− − − 恒成立，所以 22 3 0t t− − ，解得 3 1 2 t− .故 A 错. 故选：BCD. 题型九 基本不等式实际应用问题 【例 9】某小区要建一座八边形的休闲区，它的主体是由两个相同的矩 形 ABCD和 EFGH垂直交叠而成的面积为 200 平方米的十字型区域， 其平面效果如图所示计划在正方形 MNPQ上建一座花坛，造价为每平 方米 4200 元，在四个相同的矩形中铺花岗岩地坪，造价为每平方米 210 元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米 80 元．问：当矩形宽 x 为何值时，休闲区的造价 S最小？最小值为多少？ 【答案】 10x = 米时，造价 S取得最小值 118000 元． 【分析】由题可得 2 2 400000 38000 4000S x x = + + ，再利用基本不等式即得. 【详解】设DQ y= ，由 AD x= ，得 2 4 200x xy+ = ， 2200 4 x y x − = ． 所以 ( )2 2 2 2 400000 4200 210 4 80 2 38000 4000 0 10 2S x xy y x x x = +  +  = + +   ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 由 0x  ，得 838000 2 16 10 118000S  +  = ，且等号当且仅当 2 2 400000 4000x x = ，即 10x = 时成立．此时，造价 S取得最小值 118000 元． 所以矩形宽 x为 10 米时，休闲区的造价 S最小，最小值为 118000 元． 【跟踪训练 9】已知 a、b、c、d为正实数，请利用平均值不等式证 明（1），并指出等号成立的条件，然后利用（1）证明（2），并解 决（3）中的实际问题． (1)求证：“ 4 4 2 a b c d ab cd abcd + + + + ． (2)利用（1）中的结论证明： 3 3 a b c abc + +  ． (3)如图，将边长为 1 的正方形纸片的四个角都沿实线剪去一个边长为 x的小正方形，再 将四个部分都折起，做成一个无盖长方体盒子．求该长方体盒子的容积 V的最大值，以 及取到最大值时实数 x的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)长方体盒子的容积 V的最大值为 2 27 ，此时 1 6 x = ． 【分析】（1）利用基本不等式即证； （2）利用（1）的结论及基本不等式即证； （3）由题得 ( )( )1 2 1 2V x x x= − − ，再利用（2）结论即解. （1） 因为 a、b、c、d为正实数， 所以 2 a b ab +  ， 2 c d cd +  ，且当且仅当a b= ，c d= 时等号成立， 所以 2 a b c d ab cd + + +  + ，且等号当且仅当a b= ，c d= 时成立． 又因为 4 2 ab cd ab cd abcd +   = ，且等号当且仅当 ab cd= 时成立， 所以 4 4 2 a b c d ab cd abcd + + + +   ， 且等号当且仅当a b c d= = = 时成立． （2） 由于 4 4 2 a b c d ab cd abcd + + + +   ，且等号当且仅当a b c d= = = 时成立，令 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 3d abc= ，得 ( ) ( ) 3 1 1 144 3 33 3 4 a b c abc abc abc abc abc abc ++ + +  = = = ， 即 3 34a b c abc abc+ + +  ，故 33a b c abc+ +  ． 所以 3 3 a b c abc + + ³ ，且等号当且仅当a b c d= = = 时成立． （3） 做成的长方体的底面是一个边长为1 2x− 的正方形，高为 x．所以 ( )( )1 2 1 2V x x x= − − ． 由（2）中已证的不等式，可知 ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 2 4 2 1 2 1 2 4 3 3 x x x x x x − + − + − −  = ， 且等号当且仅当1 2 1 2 4x x x− = − = 时成立． 所以 ( )( )( ) 3 2 1 2 1 2 4 3 x x x   − −      ，因此 ( )( ) 2 1 2 1 2 27 V x x x= − −  ，且等号当且仅当 1 6 x = 时成立． 综上所述，长方体盒子的容积 V的最大值为 2 27 ，此时 1 6 x = ． 题型十 基本不等式的创新问题 【例 10】若 a ， 0b  ，求 1 4 min max , ,a b a b    +      的值． 【答案】 1 4 min max , , 5a b a b    + =      【分析】设 1 4 max , ,t a b a b   = +    ，则 t a ， t b ， 1 4 t a b  + ，然后分a b 和b a 两种 情况，利用放缩法和基本不等式可求得结果 【详解】解：设 1 4 max , ,t a b a b   = +    ，则 t a ， t b ， 1 4 t a b  + ， ①当a b 时， 1 4 1 4 5 t a b a a a  +  + = ， 5 2 2 5t a a  +  ，当且仅当 5a b= = 时取等； ②当b a 时， 1 4 1 4 5 t a b b b b  +  + = ， 5 2 2 5t b b  + = ，当且仅当 5a b= = 时取等． 综上， 5t  ，当且仅当 5a b= = 时取等号，即 1 4 min max , , 5a b a b    + =      ． 【点睛】关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是利用放缩法再结合基 本不等式求解，考查分类思想和计算能力，属于较难题 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 【跟踪训练 10】已知 x、y、z是互不相等的正数，则在 ( )1x y− 、 ( )1y z− 、 ( )1z x− 三 个值中，大于 1 4 的个数的最大值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先证明 ( )1x y− 、 ( )1y z− 、 ( )1z x− 三个值中不可能都大于 1 4 ，然后举例判 断即可 【详解】首先证明 ( )1x y− 、 ( )1y z− 、 ( )1z x− 三个值中不可能都大于 1 4 ， 假设 ( )1x y− 、 ( )1y z− 、 ( )1z x− 三个值中都大于 1 4 ， 因为 x、y、z是互不相等的正数，且 1 0 4  ， 由 ( ) 4 1 1 0x y  − ，可得0 1y  ，同理可得0 1x  ，0 1z  ， 由基本不等式可得 1 (1 ) 2 (1 ) 2 1 2 x y x y+ −  −   = ，当且仅当 1x y+ = 时取等号， 同理可得 (1 ) 1, (1 ) 1y z z x+ −  + −  ， 所以 (1 ) (1 ) (1 ) 3x y y z z x+ − + + − + + −  ， 而 (1 ) (1 ) (1 ) 3x y y z z x+ − + + − + + − = ， 所以假设错误，所以 ( )1x y− 、 ( )1y z− 、 ( )1z x− 三个值中不可能都大于 1 4 ， 取 1 1 1 , , 2 3 10 x y z= = = ，则 1 2 1 1 (1 ) 2 3 3 4 x y− =  =  ， 1 9 3 1 (1 ) 3 10 10 4 y z− =  =  ， 1 1 1 (1 ) 10 2 20 z x− =  = ， 所以这 3 个数中有两个大于 1 4 ， 所以大于 1 4 的个数的最大值是 2， 故选：C 课后突破训练 1．若对任意实数 0, 0x y  ，不等式 ( )x xy a x y+  + 恒成立，则实数 a的最小值为（ ） A． 2 1 2 − B． 2 1− C． 2 1+ D． 2 1 2 + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 【答案】D 【分析】分离变量将问题转化为 x xy a x y +  + 对于任意实数 0, 0x y  恒成立，进而求出 x xy x y + + 的最大值，设 ( 0) y t t x =  及1 ( 1)t m m+ =  ，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得， x xy a x y +  + 对于任意实数 0, 0x y  恒成立，则只需求 x xy x y + + 的 最大值即可， 1 1 y x xy x yx y x + + = + + ，设 ( 0) y t t x =  ，则 2 1 1 1 1 y tx y t x + + = + + ，再设1 ( 1)t m m+ =  ， 则 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 y t mx y t m x + + = = = + + − + 2 1 22 2 2 m m m m m = − + + − 1 1 2 1 22 2 2 2 2 2m m +  = = −  − ，当且仅当 2 2 1 y m m x =  = − 时取得“=”. 所以 2 1 2 a +  ，即实数 a的最小值为 2 1 2 + . 故选：D. 2．已知 , ,a b cR且 0,+ + =  a b c a b c，则 2 2a c ac + 的取值范围是（ ） A． )2,+ B． ( , 2− − C． 5 , 2 2   − −    D． 5 2, 2       【答案】C 【分析】首先求得a c， 及 c a 的取值范围，再把 2 2a c ac + 转化为关于 c a 的代数式 a c c a + ，利 用函数 1 ( )f t t t = + 的单调性去求 a c c a + 的取值范围即可解决 【详解】由 0,+ + =  a b c a b c，可得 0 0a c ， ，b a c= − − 则 a a c c − −  ，则 1 2 2 c a −   − ，令 c t a = ，则 1 2 2 t−   − 2 2 1a c a c t ac c a t + = + = + ， 1 2 2 t   −   −    又 1 ( )f t t t = + 在 ( )2 1− −， 单调递增，在 1 1 2   − −    ， 单调递减 1 5 ( 2) 2 2 2 f − = − + = − − ， 1 ( 1) 1 2 1 f − = − + = − − ， 1 1 1 5 ( ) 12 2 2 2 f − = − + = − − 则 5 ( ) 2 2 f t−   − ，即 2 25 2 2 a c ac + −   − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 故选：C 3．（多选）已知 a，b为正实数，且 2 16ab a b+ + = ，则（ ） A．ab的最大值为 8 B．2a b+ 的最小值为 8 C．a b+ 的最小值为6 2 3− D． 1 1 1 2 + + +a b 的最小值为 2 2 【答案】ABC 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可. 【详解】因为16 2 2 2ab a b ab ab= + +  + ，当且仅当2a b= 时取等号， 解不等式得 4 2 2 2ab−   ，即 8ab  ，故ab的最大值为 8，A 正确； 由16 2ab a b= + + 得 16 2 18 2 1 1 a b a a − = = − + + ， 所以 ( ) ( ) 16 2 18 18 2 2 2 1 4 2 2 1 4 8 1 1 1 a a b a a a a a a − + = + = + + −  +  − = + + + ， 当且仅当 ( ) 18 2 1 1 a a + = + ，即 2a = 时取等号，此时取得最小值 8，B 正确； 18 18 2 1 3 6 2 3 1 1 a b a a a a + = + − = + + −  − + + ，当且仅当 18 1 1 a a + = + ， 即 3 2 1a = − 时取等号，C 正确； 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3a b a b ab a b +   = = + + + + + + + ， 当且仅当 1 2+ = +a b 时取等号，此时 1 1 1 2 + + +a b 取得最小值 2 3 ，D 错误． 故选：ABC． 4．已知 0x  ， 0y  ，则 2 2 2 2 2 8 2 xy xy x y x y + + + 的最大值是______. 【答案】 2 3 【解析】将 2 2 2 2 2 8 2 xy xy x y x y + + + 化简、变形为 4 3( ) 4 2 ( ) 4 x y y x x y x yy x y x + + + + ，然后利用基本不等式和 对勾函数，即可求解. 【详解】由题意， 3 3 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 3( ) 2 3 12 8 2 10 16 ( ) 16( ) 10 x y xy xy x y xy y x x yx y x y x x y y y x + + + = = + + + + + + 2 4 4 3( ) 3( ) 4 4 2 ( ) 2 ( ) 4 x y x y y x y x x y x y x yy x y x y x + + = = + + + + + ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 设 4x y t y x = + ，则 4 4 2 4 x y x y t y x y x = +   = ，当且仅当 4x y y x = ，即 2x y= 取等号， 又由 2 y t t = + 在[4, )+ 上单调递增， 所以 2 y t t = + 的最小值为 9 2 ，即 2 9 2 t t +  ， 所以 4 3( ) 3 2 4 2 2 3 ( ) 4 x y y x x y t x yy x t y x +  = + + + + ， 所以 2 2 2 2 2 4 2 xy xy x y x y + + + 的最大值是 2 3 . 故答案为： 2 3 . 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及 合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于中档试题. 5．已知方程 2 0x bx c+ + = 在 (0,2)上有两个不同的解，则 2 2( 2)c b c+ + 的取值范围是 ______． 【答案】 (0,1) 【分析】设 2( ) ( )( )f x x bx c x x = + + = − − ，0 2  且0 2  ，进而得出 2 2( 2)c b c+ + (0) (2) (2 )(2 )f f   =  = − − ，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设方程 2 0x bx c+ + = 在 (1,2)上的两个根为 ,  且  则 2( ) ( )( )f x x bx c x x = + + = − − ，0 2  且0 2  ， 所以 2 2( 2) (0) (2) (2 )(2 )c b c f f   + + =  = − − 2 2 (2 ) 1 (2 ) 2 2    + − + −           =  ，   上式等号不成立，所以 2 2( 2) 1c b c+ +  ， 又0 2  且0 2  ，所以 (2 )(2 ) 0  − −  ， 所以 2 2( 2)c b c+ + 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)． 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布、根与系数的关系，以及基本不等式求最值的 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 6．已知正数a b， 满足 1a b+ = ， Rc ，则 2 2 2 3 1 3 a c bc b abc ab + + + + 的最小值为 __________. 【答案】6 2 3− 【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值 作答. 【详解】由 1a b+ = ，得 2 22 1a ab b+ + = ， 0, 0a b  ， 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 1 1 3 2 1 4 3 ) 3 ( 2) 3 1 1 a a a ab b a b c c c bc b abc ab c b ab c b a + + + + = + + = + + + + + + + ， 2 2 6 3( 1) 3 6 2 3 1 c c  + + −  − + ，当且仅当 2 2 6 2 , 3( 1) 1 b a c c = = + + 时取“=”， 所以当 21 2, , 2 1 3 3 a b c= = = − 时， 2 2 2 3 1 3 a c bc b abc ab + + + + 的最小值为6 2 3− . 故答案为：6 2 3− 【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时 可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧. 7．若 ,x y R+ ， 2 3( ) ( )− =x y xy ，则 1 1 x y + 的最小值为___________. 【答案】2 【分析】根据题中所给等式可化为 21 1( ) xy y x − = ，再通过平方关系将其与 1 1 x y + 联系起 来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为 2 3( ) ( )− =x y xy 且 ,x y R+ ，则两边同除以 2( )xy ，得 21 1( ) xy y x − = ， 又因为 22 4( 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 4 2 4) xy xy y y x xy xy xyx − + =+ = +   = ，当且仅当 1 4xy xy = ，即 2 2, 2 2x y= + = − 时等号成立，所以 2 1 = 1 4 x y +  . 故答案为: 2 8．已知正数 ,a b满足 3 4 3 18a b a b + + + = ，则 3a b+ 的最大值是___________. 【答案】9 3 6+ 【分析】设 3t a b= + ，表达出 ( )18t t− ，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式 求解即可. 【详解】设 3t a b= + ，则 3 4 18 t a b + = − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 所以 ( ) ( ) 3 4 9 4 9 4 18 3 15 15 2 27 b a b a t t a b a b a b a b   − = + + = + +  +  =    ，当且仅当2 3a b= 时 取等号. 所以 2 18 27 0t t− + ，解得9 3 6 9 3 6t− + ，即 3a b+ 的最大值9 3 6+ ，当且仅当 2 3a b= ，即 3 6a = + ， 2 6 2 3 b = + 时取等号. 故答案为：9 3 6+ 9．已知 a，b， 0c  ，记 ( )( )( )( )4 1 9 4 9 1 abc T a a b b c c = + + + + ，则 T最大值为________. 【答案】 10 1 2 【解析】将 ( )( )( )( )4 1 9 4 9 1 abc T a a b b c c = + + + + 分子分母同除以 ac，利用基本不等式可得 分母 ( ) ( ) 1 4 1 9 4 9 b a b c a c     + + + +        ( ) ( ) 2 2 2 3 6 1b b + + ，再将 ( ) ( ) 2 2 2 3 6 1 b T b b  + + ，分子分母同除以 b，利用基本不等式求解. 【详解】 ( )( )( )( ) ( ) ( ) 14 1 9 4 9 1 4 1 9 4 9 abc b T ba a b b c c a b c a c = = + + + +     + + + +        ， 而 ( ) ( ) 1 4 4 1 9 4 9 36 9 4 36 9 1 b b b a b c a b b c a c a c        + + + + = + + + + + +              ， ( )( ) ( ) ( ) 2 2 4 12 9 36 12 1 2 3 6 1b b b b b b + + + + = + + ， 当且仅当 2144 4 9a b c= = 时，等号成立， 所以 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 32 3 6 1 12 20 3 12 2 1 0 b b T b b b b b b  = =  + + + + + +    ， 2 10 1 23 2 12 1 20b b  =    +    . 当且仅当 3 12 b b = ，即 1 4 b = 时取等号， 所以 T最大值为 10 1 2 故答案为： 10 1 2 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号 则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 10．已知 0, 0, 0a b c   ，证明： (1) 2 2 1 1 8 8ab a b + +  ； (2) 2 2 2 2 2 2a b b c c a abc a b c + +  + + . 【分析】（1）利用均值不等式可证该不等式. （2）利用均值不等式可证 ( )2 2 2 2 2 22 2 ( )a b b c c a abc a b c+ +  + + ，从而可证题设中的不等式. （1） 法一：因为 0, 0a b  ， 所以 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 8 4 4 4 4 4 8ab ab ab ab ab a b a b a b + + = + + +     = . 当且仅当 2 2 1 1 4ab a b = = ，即 2 2 a b= = 时等号成立. 法二：因为 0, 0a b  ， 所以 2 2 1 21 a b ab + ? ，当且仅当 2 2 1 1 a b = ，即a b= 时等号成立. 所以 2 2 1 1 2 2 8 8 2 8 8ab ab ab a b ab ab + +  +   = ，当且仅当 2 8ab ab = ，即 1 2 ab = 时，等号 成立. 综上， 2 2 1 1 8 8ab a b + +  ，当且仅当 2 2 a b= = 时，等号成立. （2） 因为 2 2 2 2 22a b b c ab c+ ≥ ，当且仅当a c= 时等号成立； 2 2 2 2 22b c c a abc+  ，当且仅当a b= 时等号成立； 2 2 2 2 22c a a b a bc+  ，当且仅当b c= 时等号成立， 所以 ( )2 2 2 2 2 22 2 ( )a b b c c a abc a b c+ +  + + ，当且仅当a b c= = 时等号成立. 因为 0, 0, 0a b c   ，所以 0a b c+ +  ， 所以 2 2 2 2 2 2a b b c c a abc a b c + +  + + . 11．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一 间墙高为 3 米，底面积为 12 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保 管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 报价为每平方米 400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 150 元，屋顶和地面以及其 他报价共计 7200 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为 x米（2 6x  ）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 ( )900 1a x x + 元 ( )0a  ，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求 a的取值范 围． 【答案】（1） 4x = 时，甲工程队报价最低；（2）0 12a  【分析】（1）设甲工程队报价为 y 元，进而根据题意得 16 900 7200,2 6y x x x   = + +      ， 再结合基本不等式求解即可； （2）由题知 ( )900 116 900 7200 a x x x x +  + +     对任意的  2,6x 恒成立，进而 ( ) 2 4 1 x a x +  + 对任意的  2,6x 恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为 x 米（2 6x  ），底面积为 12 平 方米， 所以屋子的前面墙的长度均为 12 x 米（2 6x  ）， 设甲工程队报价为 y 元， 所以 12 16 3 400 2 150 3 7200 900 7200,2 6y x x x x x   =   +   + = + +      （元）， 因为 16 16 900 7200 900 2 7200 14400x x x x   + +    + =    ， 当且仅当 16 x x = ，即 4x = 是时等号成立， 所以当左右两面墙的长度为 4米时，甲工程队报价最低为14400元. （2）根据题意可知 ( )900 116 900 7200 a x x x x +  + +     对任意的  2,6x 恒成立， 即 ( ) ( ) 2 4 1x a x x x + +  对任意的  2,6x 恒成立， 所以 ( ) 2 4 1 x a x +  + 对任意的  2,6x 恒成立， 因为 0a  ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 6 1 9 9 9 1 6 2 1 6 12 1 1 1 1 x x x x x x x x x + + + + + = = + + +  +  + = + + + + ， 当且仅当 9 1 1 x x + = + ，即 2x = 时等号成立， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 所以0 12a  . 故当0 12a  时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功. 12．若实数a 使得对任意实数 1 2 3 4, , ,x x x x 不等式： ( ) 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4x x x x a x x x x x x+ + +  + + 恒 成立，试求a 的最大值. 【答案】 5 1− 【分析】推导可得 2 2 2a b ab+  ，当且仅当a b= 时取等号.再设 ( )0 1k k  为待定常数， 根据所给形式构造 ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 1 2 2 3 3 41x x x x x kx k x x kx x+ + + = + + − + + + ，再结合 2 2 2a b ab+  取等号时所需的条件可求得 ( )2 2 1k k= − ，进而解得 5 1 2 k − = ，再代入 原不等式，结合取等号所需的条件求解a 的最大值即可. 【详解】因为 ( ) 2 0a b−  ，故 2 22 0a ab b− +  ，即 2 2 2a b ab+  ，当且仅当a b= 时取等 号. 设 ( )0 1k k  为待定常数，则： 2 2 2 2 2 3 41x x x x+ + + ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 41x kx k x x kx x= + + − + + + ( )1 2 2 3 3 42 2 1 2kx x k x x kx x + − + ， 令 ( )2 2 1k k= − ，即 2 1 0k k+ − = ，解得 5 1 2 k − = ，从而 3 5 2 k − = ，代入不等式 可得： ( )( )2 2 2 21 2 3 4 1 2 2 3 3 45 1x x x x x x x x x x+ + +  − + + 对任意实数 1 2 3 4x x x x、 、 、 都成立，当且仅当 1 4 2 3 5 1 5 1 2 2 x x x x − − = = = 时取等号. 另一方面，取 1 4 5 1 2 x x − = = ， 2 3 1x x= = ，代入 ( ) 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4x x x x a x x x x x x+ + +  + + ， 得5 5 5 5 1a a−    − . 综上， max 5 1a = − . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 03 基本不等式重难点专题 常考结论及公式 结论一：基本不等式与最值 已知 ,x y都是正数， （1）若 x y S+ = （和为定值），则当 x y= 时，积 xy取得最大值 2 2( ) 2 4 x y S xy + = . （简记：和定积最大）； （2）若 xy P= （和为定值），则当 x y= 时，积 x y+ 取得最大值 2 2x y xy P+ = . （简记：积定最和小）. 结论二：基本不等式的几个相关结论 （1）重要不等式： 2 2 2a b ab+ ( , )a b R ； （2） 2 b a a b + （ ,a b同号）； （3） 2 2 2( ) 2( )( , )a b a b a b R+ +  或 2 2 2 ( )( ) ( , ) 2 a b a b a b R + +  ； （4） 2 2 2 1 12 2 a b a b ab a b + + + （ 0a  ， 0b  ，当且仅当a b= 时取等号）. （5）基本不等式的拓展： 3 ( , , ) 3 a b c abc a b c R+ + +  结论三：常数代换法求最值的步骤及通法 （1）常数代换法求最值的步骤： ①根据已知条件或其变形确定定值（常数）； ②把确定的定值（常数）变形为 1； ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； ④利用基本不等式求解最值. （2）常数代换法求最值适用的题型及解题通法： 当式子中含有两个变量，且条件和所求的式子分别为整式和分式时，常构造出 ( )ax by+ ( ) m n x y + ( , , ,a b m n为常数)的形式，利用 ( )ax by+ ( ) m n bmy anx am bn x y x y + = + + + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 2am bn abmn+ + （当且仅当 bmy anx x y = 时等号成立）得到结果. 题型一 利用基本不等式比较大小 【例 1】（多选）设0 , 1a b a b  + = ，则下列结论正确的是（ ） A． 2 2a b b+  B． 2 2a a b + C． 1 2 2 a ab  D． 2 21 1 2 a b +  【跟踪训练 1】（多选）设 0, 0a b  ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． 1 2 2a b ab + +  B． 2 2 2 2 2 a b a b+ +      C． 2  + ab ab a b D． ( ) 1 1 4a b a b   + +     题型二 基本不等式常见结论的基本运用 【例 2】（多选）已知 x ， y 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A．若 2x y+ = ，则 1 1 x y + 有最小值 2 B．若 3x y+ = ，则 ( 1)x y+ 有最大值 5 C．若 4 1x y+ = ，则2 x y+ 有最大值 2 D． 2 1 4 x y x y + + 有最小值 9 4 【跟踪训练 2】（多选）已知 0x  ， 0y  且3 2 10x y+ = ，则下列结论正确的是（ ） A． xy的最大值为 6 25 B． 3 2x y+ 的最大值为2 5 C． 3 2 x y + 的最小值为 5 2 D． 2 2x y+ 的最大值为 100 13 题型三 利用构造法转化为基本不等式求最值 【例 3】已知 0a  ， 0b  ，且 1 2 2 2 4 3a b + = + − ，则2a b+ 的最小值为________. 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 【跟踪训练 3】已知 x＞0，y＞0，且 1 1 1 x y + = ，则 9 4 1 1 x y x y + − − 的最大值为______． 题型四 换元法或消元法构造基本不等式求最值 【例 4】设正实数 x ， y ， z 满足 2 22 2 2 0x xy y z+ + − = ，则当 z xy 取得最小值时， 2 3 3 x y z + − 的最大值为______． 题型五 复杂的基本不等式综合应用 【例 5】设 x y z w R+、 、 、 ，则 2 2 2 2 xy yz zw x y z w + + + + + 的最大值为________. 【跟踪训练 5】已知实数 0, 0x y z   ，则 2 3 4 2 2 2 x y z x x y y z + + + + + 的最小值为_________． 题型六 利用基本不等式证明不等式 【例 6】已知 a，b，c均为正实数，求证： (1) a b c ab bc ac+ +  + + ； (2) ( )2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b c+ + + + +  + + ． 【跟踪训练 6】已知 , ,a b c均为正实数． (1)求证： 2 3 3 2 2 3 3 2 3 b c a a c b a b c a b c + − + − + − + +  ． (2)若 3a b c+ + = ，证明： 1 1 1 3 2a b b c c a + +  + + + ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型七 基本不等式连续使用问题 【例 7】 , ,a b c是不同时为 0 的实数，则 2 2 22 ab bc a b c + + + 的最大值为（ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 2 2 D． 3 2 【跟踪训练 7】若 a，b R ， 0ab  ，则 4 44 1 ab a b+ + 的最大值为（ ） A． 1 4 B． 1 2 C．2 D．4 题型八 利用基本不等式解决恒成立问题 【例 8】设正实数 , x y满足 1 , 1 2 x y  ，不等式 2 24 1 2 1 x y m y x +  − − 恒成立，则m 的最大值 为 （ ） A．8 B．16 C．2 2 D．4 2 【跟踪训练 8】（多选）已知正实数 x，y满足3 13 0x y xy+ + − = ，且 22 4 2t t y xy− − − 恒成立，则 t的取值可能是（ ） A． 3 2 − B． 1− C．1 D． 3 2 题型九 基本不等式实际应用问题 【例 9】某小区要建一座八边形的休闲区，它的主体是由两个相同的矩 形 ABCD和 EFGH垂直交叠而成的面积为 200 平方米的十字型区域， 其平面效果如图所示计划在正方形 MNPQ上建一座花坛，造价为每平 方米 4200 元，在四个相同的矩形中铺花岗岩地坪，造价为每平方米 210 元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米 80 元．问：当矩形宽 x 为何值时，休闲区的造价 S最小？最小值为多少？ 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 9】已知 a、b、c、d为正实数，请利用平均值不等式证 明（1），并指出等号成立的条件，然后利用（1）证明（2），并解 决（3）中的实际问题． (1)求证：“ 4 4 2 a b c d ab cd abcd + + + + ． (2)利用（1）中的结论证明： 3 3 a b c abc + +  ． (3)如图，将边长为 1 的正方形纸片的四个角都沿实线剪去一个边长为 x的小正方形，再 将四个部分都折起，做成一个无盖长方体盒子．求该长方体盒子的容积 V的最大值，以 及取到最大值时实数 x的值． 题型十 基本不等式的创新问题 【例 10】若 a ， 0b  ，求 1 4 min max , ,a b a b    +      的值． 【跟踪训练 10】已知 x、y、z是互不相等的正数，则在 ( )1x y− 、 ( )1y z− 、 ( )1z x− 三 个值中，大于 1 4 的个数的最大值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 课后突破训练 1．若对任意实数 0, 0x y  ，不等式 ( )x xy a x y+  + 恒成立，则实数 a的最小值为（ ） A． 2 1 2 − B． 2 1− C． 2 1+ D． 2 1 2 + 2．已知 , ,a b cR且 0,+ + =  a b c a b c，则 2 2a c ac + 的取值范围是（ ） A． )2,+ B． ( , 2− − C． 5 , 2 2   − −    D． 5 2, 2       3．（多选）已知 a，b为正实数，且 2 16ab a b+ + = ，则（ ） A．ab的最大值为 8 B．2a b+ 的最小值为 8 C．a b+ 的最小值为6 2 3− D． 1 1 1 2 + + +a b 的最小值为 2 2 4．已知 0x  ， 0y  ，则 2 2 2 2 2 8 2 xy xy x y x y + + + 的最大值是______. 5．已知方程 2 0x bx c+ + = 在 (0,2)上有两个不同的解，则 2 2( 2)c b c+ + 的取值范围是 ______． 6．已知正数a b， 满足 1a b+ = ， Rc ，则 2 2 2 3 1 3 a c bc b abc ab + + + + 的最小值为 __________. 7．若 ,x y R+ ， 2 3( ) ( )− =x y xy ，则 1 1 x y + 的最小值为___________. 8．已知正数 ,a b满足 3 4 3 18a b a b + + + = ，则 3a b+ 的最大值是___________. 9．已知 a，b， 0c  ，记 ( )( )( )( )4 1 9 4 9 1 abc T a a b b c c = + + + + ，则 T最大值为________. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 10．已知 0, 0, 0a b c   ，证明： (1) 2 2 1 1 8 8ab a b + +  ； (2) 2 2 2 2 2 2a b b c c a abc a b c + +  + + . 11．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一 间墙高为 3 米，底面积为 12 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保 管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的 报价为每平方米 400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 150 元，屋顶和地面以及其 他报价共计 7200 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为 x米（2 6x  ）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 ( )900 1a x x + 元 ( )0a  ，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求 a的取值范 围． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 12．若实数a 使得对任意实数 1 2 3 4, , ,x x x x 不等式： ( ) 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4x x x x a x x x x x x+ + +  + + 恒 成立，试求a 的最大值.