期末专题09 统计与概率大题综合（2大题型30题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题09 统计与概率大题综合（2大题型30题） 题型概览 题型01 统计解答题综合 题型02 概率解答题综合 优选提升题 ( 题型01 ) 统计解答题综合 1．(23-24高一下·湖南永州·期末)某市高一年级36000名学生参加了一次数学竞赛，为了解本次竞赛情况，随机抽取了500名学生的成绩，并根据这500名学生成绩，绘制频率分布直方图如图所示. (1)求a的值，并估计该市高一年级的及格（60分以上）人数； (2)估计该市高一年级学生成绩的分位数. 【答案】(1)； (2) 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】（1）根据频率之和等于即可求出，求出及格的频率，再乘以即可； （2）根据频率分布直方图中百分位数的求法求解即可. 【详解】（1）由题意，， 解得， 高一年级的及格的频率为， 则估计该市高一年级的及格（60分以上）人数为人； （2）因为， ， 所以高一年级学生成绩的分位数在区间上，设为， 则，解得， 所以估计该市高一年级学生成绩的分位数为. 2．(23-24高一下·湖南·期末)已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； (3)记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 【答案】(1) (2)73 (3)180 【来源】河北省廊坊市第十五中学等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图中，频率之和为1即可求解， （2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解， （3）根据频率估计概率，即可求解人数. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得． （2）由题意，估计平均分分. （3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为， 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为． 3．(23-24高一下·湖南·期末)2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．    (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数． (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差． 【答案】(1)69.5 (2)． 【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，结合平均数的运算公式进行求解即可； （2）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 解得 可知每组的频率依次为，， 所以这100名候选者面试成绩的平均数为： ． （2）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 4．(23-24高一下·湖南·期末)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)； (2)84； (3)总平均数是62，总方差是37． 【分析】（1）根据频率之和为1列式即可得解. （2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据即可求解. （3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式即可求解. 【详解】（1）由频率之和为1得， 解得． （2）因为成绩落在内的频率为 落在内的频率为 所以样本成绩的落在范围内， 设为m，则，解得， 故为84. （3）由图可知，成绩在内的市民人数为， 成绩在内的市民人数为， 故． ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37． 5．(23-24高一下·湖南·期末)为了了解一片林木的生长情况，某科研机构成员随机检测了其中100棵树木的底部周长（单位:，所得数据都在内，按分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.      (1)求图中的值; (2)估计这片林木中树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若这片林木有10000棵树木，估计这片林木中底部周长在内的树木的数量. 【答案】(1)0.025 (2)102.5cm (3)6000 【分析】（1）由所有分组的频率之和为1，求的值； （2）利用频率分布直方图求出数据的平均值； （3）由范围内的频率计算频数. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得0.025. （2）设这片林木中树木底部周长的平均值为， 则 （3）由频率分布直方图可知这片林木中树木的底部周长在内的频率是， 则这片林木中底部周长在内的树木的数量的估计值是. 6．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)现有一批零件，一质检员从中随机抽取200件进行合格性检验，实际尺寸与标准尺寸的差值为，现对进行整理，分组区间为，得到如图所示的频率分布直方图.规定：的为优质品，的为合格品，的为劣质品. (1)求的值，并计算的平均值；（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） (2)估计该批零件中优质品､合格品､劣质品的数量之比； (3)质检部门规定：若抽检的零件中劣质品数量不超过15件，则这批零件通过抽检，否则，不能通过抽检.问：这批零件能否通过抽检？ 【答案】(1),平均值为； (2) (3)不能. 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组概率之和为可得值，再由平均值计算公式计算即可. （2）根据频率分布直方图分别计算优质品，合格品，劣质品的数量即可； （3）因为样本中劣质品的数量为件，已经超过件，故这批零件不能通过抽检. 【详解】（1）由频率分布直方图中各组概率之和为1得， ，解得， 平均值为. （2）由频率分布直方图得件样品中 优质品的数量为件， 合格品的数量为件， 劣质品的数量为件， 所以优质品合格品劣质品. （3）因为样本中劣质品的数量为件，已经超过件， 所以这批零件不能通过抽检. 7．(23-24高一下·湖南·期末)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间（单位：小时），得到样本数据，并绘制如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间；（每组数据用该组的区间中点值作代表） (3)将（2）所得到的日平均阅读时间保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差. 【答案】(1) (2)9.16（小时） (3)9；13.28. 【分析】（1）由频率分布直方图概率之和为1，求解即可； （2）由频率分布直方图平均数的计算公式求解即可； （3）由频率分布直方图的方差公式求解即可. 【详解】（1）由概率和为1得：， 解得. （2）由题意知，为全校师生日平均阅读时间，则 ， 所以全校师生日平均阅读时间为（小时）. （3）将保留整数则，由题意知： 所以估算师生日平均阅读时间的方差为13.28. 8．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)某中学有高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析.得到如图所示的频率分布直方图. (1)求以及从该校高一年级､高二年级､高三年级学生中各抽取的人数； (2)根据频率分布直方图，估计该校这名学生中竞赛成绩在分（含分）以上的人数； (3)根据频率分布直方图，估计该校这名学生竞赛成绩的平均数､中位数､众数.（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）（结果取1位小数） 【答案】(1)，高一年级、高二年级、高三年级分别抽取人、人、人 (2)人 (3)平均数为，中位数为，众数为 【来源】湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用频数分布直方图的性质求解参数，再利用分层抽样的性质求解各个年级的人数即可. （2）利用频率近似得到概率，再求解人数即可. （3）利用平均数，中位数，众数的性质分别求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：， 解得. 依题意从高一年级学生中抽取人， 从高二年级学生中抽取人， 从高三年级学生中抽取人. （2）由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在 80分（含80分）以上的频率为， 所以估计该校这2600名学生中竞赛成绩在 80分（含80分）以上的人数为人 （3）估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为 ， 因为， 所以中位数位于区间内，设为， 则，解得， 故估计中位数为76.4，因为区间的频率最大，所以估计众数为75. 9．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差. 【答案】(1)众数为；平均数为 (2)平均数为；方差为 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义和计算方法，即可求解； （2）根据题意，得到分数在区间的学生为10人，分别为，得到，设第三组分别为，得到，设第四组分别为，其平均数和方差为，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为， 这800名学生成绩的平均数为： （分）. （2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人， 各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人， 其中分数在区间的学生为10人，分别为， 其中平均成绩与方差分别为，则， 设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则， 设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为， 由，可得， 由， 可得，解得， 所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为. 10．(23-24高一下·湖南郴州·期末)从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (1)求的值； (2)估计家庭消费总支出的第75百分位数． (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 【答案】(1)； (2)85； (3)； 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）根据频率之和等于1即可得解； （2）先判断第75百分位数所在区间，然后根据在区间内的矩形面积等于即可得解； （3）先根据分层抽样确定，内所抽取的人数，然后使用列举法，结合古典概型概率公式可得. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， ． （2）因为前3组的频率之和， 前4组的频率之和， 所以第75百分位数，则， 解得 所以，第75百分位数为85． （3）因为组的频率为，组的频率为， 所以由分层抽样可知，组抽取了人，设为A、B， 从组抽取了人，设为， 则从这6人中随机抽取2人的样本点有： 共15种， 满足来自同一组的有共7种， 所以所抽取的2人来自同一组的概率是. 11．(23-24高一下·湖南·期末)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.已知某学校高一学生共有800人，为了解该学校高一学生阅读时间的分配情况，从该学校随机抽取了100名高一学生进行调查，得到了这100名学生的日平均阅读时间（单位：分钟），将样本数据按分成7组，并整理得到如下频率分布直方图： (1)从总体中随机抽取1名学生，估计其日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率； (2)求样本数据的中位数的估计值； (3)已知样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的学生中，男､女学生恰好各占一半，日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生占；估计该学校高一男学生的人数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知，根据频率分布直方图中面积的和为1，即可得解； （2）设中位数为，分析可知，，利用中位数的定义可得出关于的等式，解之即可； （3）算出样本中男生所占的概率为，估计该学校高一男学生所占的频率为，从而求人数. 【详解】（1）日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率为 ； （2）设中位数为，前两个矩形的面积之和为 ， 所以可设中位数为， 由中位数的定义可得，解得. （3）样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的频率为 ， 又男､女学生恰好各占一半， 所以中日平均阅读时间大于或等于70分钟的男生的频率为， 日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生的概率为， 故样本中男生所占的概率为，估计该学校高一男学生所占的频率为， 则该学校高一男生的人数为人. 12．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中的值； (2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； (3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差. 【答案】(1)0.03 (2) (3)；. 【来源】湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】（1）由各组的频率之和为1，求的值； （2）由分层抽样得两组抽取人数，再由古典概型求概率； （3）由分层抽样的均值和方差公式求解. 【详解】（1）由题可知， 解得； （2）由原始分在和中的频率之比为， 故抽取的6人中，原始分在中的有2人，记为，在中的有4人，记为， 则从6人中抽取2人，所有可能的结果有： 共15个基本事件， 其中抽取这2人中怡有一人原始成绩在内的结果有： 共8个基本事件， 所以抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）， . 13．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； (2)估计该公司员工的值的众数，中位数； (3)已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数． 【答案】(1)， (2)众数为，中位数为 (3) 【来源】湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷 【分析】（1）利用频率之和为1可计算的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比； （2）利用频率分布直方图即可估计众数，中位数； （3）先计算整体的平均数，然后由分层抽样平均数的公式即可得解． 【详解】（1）由题，，解得：， 由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为； （2）由频率分布直方图可得，众数为， 因为，， 故中位数在，设为，则； （3）设样本平均数为， 则由频率分布直方图可得； ， 又， 即，解得：． ( 题型02 ) 概率解答题综合 14．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为，甲、乙都破译成功的概率为．求： (1)乙破译密码成功的概率p； (2)恰有1人破译成功的概率； (3)密码破译成功的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【来源】湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可； （2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可； （3）利用对立事件求解思路更简洁. 【详解】（1）记甲、乙成功破译密码分别记作事件A，B， 则，解得． （2）记恰有1人破译成功为事件C， 则． （3）记密码破译成功为事件D， 则． 15．(23-24高一下·湖南岳阳岳阳县第一中学·期末)甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求 (1)甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率； (2)“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 【答案】(1) (2). 【来源】湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由对立事件概率公式以及独立乘法、互斥加法公式即可运算求解； （2）设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，“两轮活动“星队'猜对3个成语”，则，由独立乘法、互斥加法公式即可求解. 【详解】（1）设表示甲两轮猜对1个成语的事件，则. （2）设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件， . 设“两轮活动“星队'猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立， 所以. 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. 16．(23-24高一下·湖南永州·期末)甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 【答案】(1)方案二被选择的可能性更大，理由见解析 (2) 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】（1）列举出向上的点数所有情况和点数之差的绝对值不大于1的情况，求出概率，得到结论； （2）分三种情况，求出相应概率相加即可. 【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，则共有36种情况，如下： ， ， ， 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有： ，共16种情况， 故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为， 因为，所以方案二被选择的可能性更大； （2）若甲在前两局获胜，概率为， 若第一局，第三局获胜，概率为， 若第二局，第三局获胜，概率为， 三种情况互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为. 17．(23-24高一下·湖南株洲·期末)小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图.    (1)估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)销售部从年龄在，内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率. 【答案】(1)平均数为44.5，众数为45. (2).， 【来源】湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图易知众数，由平均数计算公式可得结果； （2）由抽样比可确定每层中的抽样人数，再由古典概率计算公式可得结果 【详解】（1）由平均数计算公式，可估计平均数为， 根据频率分布直方图，估计众数为45. （2）由已知可得抽取的6人中，年龄在内的有4人，分别记为； 年龄在内的有2人，分别记为； 则从这6人中随机抽取2人的样本点为 ，，，，，，，，， ，，，，，，共15个； 记事件“这2人取自不同年龄区间”，其包含样本点有，，，， ，，，，共8个， 故这2人取自不同年龄区间的概率为. 18．(23-24高一下·湖南·期末)在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件“与地面接触的面上的数字不大于4”    (1)判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明； (2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率． 【答案】(1)是；证明见解析 (2) 【分析】（1）列出样本空间，即可列出所对应的基本事件，求出所对应的概率，根据独立事件的概率公式判断即可； （2）利用独立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）依题意，得样本空间为， 所以，，则， 故，，， 所以事件，相互独立. （2）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立， 记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则， 所以事件只发生1次的概率为 . 19．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)一个质地均匀的正方体的1个面为黄色，2个面为绿色，3个面为红色.连续抛掷该正方体3次，观察落地时朝上的面的颜色. (1)求第1次､第2次､第3次朝上的面的颜色依次为红色､绿色､黄色的概率； (2)求朝上的面的颜色恰有2次相同的概率. 【答案】(1) (2) 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）根据独立事件概率乘积公式计算即可； （2）根据互斥事件的概率和公式结合独立事件概率乘积公式计算即可. 【详解】（1）设第1次､第2次､第3次朝上的面的颜色依次为红色､绿色､黄色为事件A, . （2）设朝上的面的颜色恰有2次相同为事件B, 可以是2次相同的黄色或2次相同的绿色或2次相同的红色， . 20．(23-24高一下·湖南·期末)某校举办“复兴杯”围棋比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为，若乙先下，则乙赢的概率为，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下． (1)求比赛四局乙赢的概率； (2)已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设乙先下乙赢为事件A，甲先下乙赢为事件B，分类考虑四局的胜负情况，根据互斥事件的概率加法公式，即可求得答案； （2）由题意可知第三局和第四局甲、乙各赢一场，第5局甲、乙都有可能赢，由此可考虑第三局和第四局的胜负情况，即可求得答案. 【详解】（1）设乙先下乙赢为事件A，甲先下乙赢为事件B， 由题知，，， 设比赛四局乙赢为事件C， 则， 所以比赛四局乙赢的概率为； （2）已知前两局甲、乙各赢一场，且比赛五局结束比赛， 则第三局和第四局甲、乙各赢一场，第5局甲、乙都有可能赢， 设前两局甲、乙各赢一场，比赛五局为事件D， 则， 所以前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束的概率为 21．(23-24高一下·湖南·期末)为普及防火救灾知识，某学校组织防火救灾知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手在第一轮比赛胜出后才能进入第二轮比赛.若其在两轮比赛中均胜出，则赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响， (1)比较甲､乙两人谁赢得比赛的概率大； (2)求甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率. 【答案】(1)甲赢得比赛的概率大 (2) 【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率公式分别求出甲､乙两人胜出的概率，再比较大小即可； （2）根据独立事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”，"乙在第二轮比赛中胜出”， 则“甲赢得比赛”，， “乙赢得比赛”，. 因为，所以甲赢得比赛的概率大. （2）设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 由（1）知， 所以甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率为 . 22．(23-24高一下·湖南·期末)龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 【答案】(1)，，． (2)（i）；（ii）此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 【分析】（1）运用列举法，结合古典概型求解概率即可； （2）（i）运用对立事件概率性质求解即可；（ii）求出各自的概率再比较即可． 【详解】（1）设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 则，，， 设事件，，，，，，，，， 故，，． （2）（i）记三次抽取至少有一次成功为事件B， 则． （ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大． 若按①②③的顺序，， 同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为，，，，， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 23．(23-24高一下·湖南·期末)为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组，第二组，…，第六组.整理数据得到如图所示的频率分布直方图. (1)该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数； (2)若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在内的概率. 【答案】(1)200人 (2) 【分析】（1）用学生成绩在内的频率乘以1000即可得解； （2）写出从6人中任选3人的样本空间，以及抽取的3人中恰有1人成绩在内的样本空间写出来，结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，可得学生成绩在内的频率为0.04，在内的频率为0.16， 故估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数为. （2）学生成绩在内的频率为0.08，在内的频率为0.16， 则抽取的6人中，成绩在内的有2人，在内的有4人. 记成绩在内的4名学生为a，b，c，d，在内的2名学生为E，F， 则从6人中任选3人，样本空间可记 ，共包含20个样本. 用事件A表示“这3人中恰有1人成绩在内”，则A={aEF，bEF，cEF，dEF}，A包含4个样本. 故所求概率. 24．(23-24高一下·湖南张家界·期末)乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为. 假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响. 求： (1)小明对落点在上的来球回球的得分为0分的概率； (2)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (3)两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率. 【答案】(1)点来球0得分概率依次为，； (2)； (3)答案见解析. 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用互斥事件的加法公式列式计算. （2）把所求概率的事件分拆成相互独立事件的积、彼此互斥事件的积，再利用乘法公式及加法公式计算得解. （3）求出的可能值，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）记为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（）， 则，，； 记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（）， 则，，. （2）记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”， 依题意，，由事件的独立性和互斥性， 得， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为 ． （3）依题意，可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得： ，， ，， ，. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 25．(23-24高一下·湖南怀化·期末)近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱.某直播平台有1000个直播商家，对其进行统计调查，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具和饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示.为更好地服务买卖双方，该直播平台用分层抽样方式抽取了80个直播商家进行问询调查. (1)应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？ (2)工作人员对直播商家的每日平均利润状况进行了统计，制作了如图2所示的频率分布直方图.估计该直播平台商家平均日利润的中位数和平均数（结果保留整数，求平均值时，同一组中的数据用该组区间中点的数值代替）； (3)甲、乙、丙三人进入该直播平台后，下单购物的概率分别为，，，且各自是否下单购物相互独立.求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下单购物的概率. 【答案】(1)28，8 (2)中位数为433元，平均数为440元 (3) 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）根据中位数和平均数的定义计算即可； （3）记“甲、乙、丙三人下单购物”分别为事件A，B，C，，，，“三人中有且只有1人下单购物”为事件D，，利用互互斥事件概率加法公式与独立事件概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）由已知，小吃类商家占35%，， 玩具类商家占10%，， 所以小吃类、玩具类商家应分别抽取28家、8家. （2）由已知，所以， 设中位数为x，因为前两组的频率之和为0.3，前三组的频率之和为0.6， 所以，且，解得， . 所以，估计该直播平台商家平均日利润的中位数为433元，平均数为440元. （3）记“甲、乙、丙三人下单购物”分别为事件A，B，C，“三人中有且只有1人下单购物”为事件D， 由已知，，， 则. 26．(23-24高一下·湖南·期末)端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A，B，C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道B类题目得20分，答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是，答对B类题目的概率是，答对C类题目的概率是，乙答对每类题目的概率都是.假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的. (1)求甲第一轮答对A类题目的概率； (2)求甲通过比赛的概率； (3)求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）借助概率乘法公式计算即可得； （2）找出甲通过比赛的所有情况并求出对应概率后求和即可得； （3）借助间接法计算出甲､乙都没有通过比赛的概率后即可得. 【详解】（1）甲第一轮答对类题目的概率为； （2）甲通过比赛的情况有以下三种： 第一种情况是甲答对1道类题目和1道类题目，其概率； 第二种情况是甲答对1道类题目和1道类题目，其概率； 第三种情况是甲答对2道类题目，其概率. 故甲通过比赛的概率为. （3）乙通过比赛的概率为. 甲､乙都没有通过比赛的概率为， 则甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率为. 27．(23-24高一下·湖南郴州·期末)随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， (1)已知概率， （i）求的值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． (2)若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 【答案】(1)（i）；（ii）； (2). 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）（i）根据独立性性质建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：，设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则，再根据互斥加法公式和独立性乘法公式即可求解； （2）由可得，从而求得，再利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）（i）由题知， 解得：， （ii）由（i）知：， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为． （2）由题知：， ， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， ，当且仅当时等号成立， ． 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为. 28．(23-24高一下·湖南·期末)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，. (1)求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ii）请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式. （iii）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01） 附：样本的相关系数，. 【答案】(1)；可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 (2)（i）从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；（ii）证明见解析；（iii）均值；标准差 【分析】（1）根据数据和公式即可计算的值，根据的规则进行判断即可； （2）（i）计算的值，根据13个零件的尺寸与区间的关系进行判断；（ii）根据已学公式进行变形即可证明；（iii）代入公式计算即可. 【详解】（1）由题可得， ， 所以， 则，所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 （2）（i）由题可得，， 因为第13个零件的尺寸为，， 所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查； （ii）由于 ，证毕. （iii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为， 所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为， 剔除离群值后，， 所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差， 所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为， 【点睛】易错点点睛：解答此类统计类的题目需要细心，特别是计算，涉及到的数较多，一不小心，就很容易出现计算错误. 29．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)将连续正奇数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当肘，此时为1357911，共有7个数字，则.现从这个数中随机取一个数学，为恰好取到1的概率. (1)求， (2)当时，求的表达式； (3)求满足的的对数（注：与算一对） 【答案】(1)， (2) (3)17对 【来源】湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用列举分析思想，问题可以求解； （2）利用分段函数思想，来研究个数； （3）利用分类列举思想，来解决问题. 【详解】（1）当时，因为前5项是个位数，后45项是两位数，所以， 即这个数中共有95个数字，其中含有数字1的项有， 所以含有数字1的个数为，则恰好取到1的概率为. （2）当时，这个数由个一位数组成，； 当时，这个数由5个一位数和个两位数组成， 则； 当时，这个数由5个一位数，45个两位数和个三位数组成， 则； 当时，这个数由5个一位数，45个两位数，450个三位数和个四位数组成， 则； 综上所述， （3）由（2）得，当时，； 当时，； 当时，； 要满足， 则或， 或或或， 或或或或， 或或或或 或或或或或， 又显然是关于的单调递增函数，所以与是一一对应的， 所以满足的的对数是17对. 【点睛】方法点睛：利用分类列举思想来解决问题. 30．(23-24高一下·湖南·期末)在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率； (2)已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）由题意，若A球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）A球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况. 第一种情况：A球队在3场比赛中都是平局，其概率为. 第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为. 故所求概率为. （2）不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜. 此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分. 在剩下的3场比赛中： 若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线； 若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线； 若B与D比赛平局，同理可得A可以出线. 故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线. 若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线. 当B，C，D中有一支队伍胜2场时， 若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为； 若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为. 其他情况A均可以出线. 综上，A球队最终小组出线的概率为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题09 统计与概率大题综合（2大题型30题） 题型概览 题型01 统计解答题综合 题型02 概率解答题综合 优选提升题 ( 题型01 ) 统计解答题综合 1．(23-24高一下·湖南永州·期末)某市高一年级36000名学生参加了一次数学竞赛，为了解本次竞赛情况，随机抽取了500名学生的成绩，并根据这500名学生成绩，绘制频率分布直方图如图所示. (1)求a的值，并估计该市高一年级的及格（60分以上）人数； (2)估计该市高一年级学生成绩的分位数. 2．(23-24高一下·湖南·期末)已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； (3)记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 3．(23-24高一下·湖南·期末)2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．    (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数． (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差． 4．(23-24高一下·湖南·期末)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 5．(23-24高一下·湖南·期末)为了了解一片林木的生长情况，某科研机构成员随机检测了其中100棵树木的底部周长（单位:，所得数据都在内，按分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.      (1)求图中的值; (2)估计这片林木中树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若这片林木有10000棵树木，估计这片林木中底部周长在内的树木的数量. 6．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)现有一批零件，一质检员从中随机抽取200件进行合格性检验，实际尺寸与标准尺寸的差值为，现对进行整理，分组区间为，得到如图所示的频率分布直方图.规定：的为优质品，的为合格品，的为劣质品. (1)求的值，并计算的平均值；（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） (2)估计该批零件中优质品､合格品､劣质品的数量之比； (3)质检部门规定：若抽检的零件中劣质品数量不超过15件，则这批零件通过抽检，否则，不能通过抽检.问：这批零件能否通过抽检？ 7．(23-24高一下·湖南·期末)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间（单位：小时），得到样本数据，并绘制如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间；（每组数据用该组的区间中点值作代表） (3)将（2）所得到的日平均阅读时间保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差. 8．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)某中学有高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析.得到如图所示的频率分布直方图. (1)求以及从该校高一年级､高二年级､高三年级学生中各抽取的人数； (2)根据频率分布直方图，估计该校这名学生中竞赛成绩在分（含分）以上的人数； (3)根据频率分布直方图，估计该校这名学生竞赛成绩的平均数､中位数､众数.（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）（结果取1位小数） 9．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差. 10．(23-24高一下·湖南郴州·期末)从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (1)求的值； (2)估计家庭消费总支出的第75百分位数． (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 11．(23-24高一下·湖南·期末)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.已知某学校高一学生共有800人，为了解该学校高一学生阅读时间的分配情况，从该学校随机抽取了100名高一学生进行调查，得到了这100名学生的日平均阅读时间（单位：分钟），将样本数据按分成7组，并整理得到如下频率分布直方图： (1)从总体中随机抽取1名学生，估计其日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率； (2)求样本数据的中位数的估计值； (3)已知样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的学生中，男､女学生恰好各占一半，日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生占；估计该学校高一男学生的人数. 12．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中的值； (2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； (3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差. 13．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； (2)估计该公司员工的值的众数，中位数； (3)已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数． ( 题型02 ) 概率解答题综合 14．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为，甲、乙都破译成功的概率为．求： (1)乙破译密码成功的概率p； (2)恰有1人破译成功的概率； (3)密码破译成功的概率． 15．(23-24高一下·湖南岳阳岳阳县第一中学·期末)甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求 (1)甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率； (2)“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 16．(23-24高一下·湖南永州·期末)甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 17．(23-24高一下·湖南株洲·期末)小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图.    (1)估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)销售部从年龄在，内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率. 18．(23-24高一下·湖南·期末)在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件“与地面接触的面上的数字不大于4”    (1)判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明； (2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率． 19．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)一个质地均匀的正方体的1个面为黄色，2个面为绿色，3个面为红色.连续抛掷该正方体3次，观察落地时朝上的面的颜色. (1)求第1次､第2次､第3次朝上的面的颜色依次为红色､绿色､黄色的概率； (2)求朝上的面的颜色恰有2次相同的概率. 20．(23-24高一下·湖南·期末)某校举办“复兴杯”围棋比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为，若乙先下，则乙赢的概率为，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下． (1)求比赛四局乙赢的概率； (2)已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率． 21．(23-24高一下·湖南·期末)为普及防火救灾知识，某学校组织防火救灾知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手在第一轮比赛胜出后才能进入第二轮比赛.若其在两轮比赛中均胜出，则赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响， (1)比较甲､乙两人谁赢得比赛的概率大； (2)求甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率. 22．(23-24高一下·湖南·期末)龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 23．(23-24高一下·湖南·期末)为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组，第二组，…，第六组.整理数据得到如图所示的频率分布直方图. (1)该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数； (2)若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在内的概率. 24．(23-24高一下·湖南张家界·期末)乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为. 假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响. 求： (1)小明对落点在上的来球回球的得分为0分的概率； (2)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (3)两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率. 25．(23-24高一下·湖南怀化·期末)近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱.某直播平台有1000个直播商家，对其进行统计调查，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具和饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示.为更好地服务买卖双方，该直播平台用分层抽样方式抽取了80个直播商家进行问询调查. (1)应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？ (2)工作人员对直播商家的每日平均利润状况进行了统计，制作了如图2所示的频率分布直方图.估计该直播平台商家平均日利润的中位数和平均数（结果保留整数，求平均值时，同一组中的数据用该组区间中点的数值代替）； (3)甲、乙、丙三人进入该直播平台后，下单购物的概率分别为，，，且各自是否下单购物相互独立.求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下单购物的概率. 26．(23-24高一下·湖南·期末)端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A，B，C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道B类题目得20分，答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是，答对B类题目的概率是，答对C类题目的概率是，乙答对每类题目的概率都是.假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的. (1)求甲第一轮答对A类题目的概率； (2)求甲通过比赛的概率； (3)求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率. 27．(23-24高一下·湖南郴州·期末)随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， (1)已知概率， （i）求的值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． (2)若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 28．(23-24高一下·湖南·期末)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，. (1)求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ii）请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式. （iii）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01） 附：样本的相关系数，. 29．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)将连续正奇数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当肘，此时为1357911，共有7个数字，则.现从这个数中随机取一个数学，为恰好取到1的概率. (1)求， (2)当时，求的表达式； (3)求满足的的对数（注：与算一对） 30．(23-24高一下·湖南·期末)在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率； (2)已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率. / 学科网（北京）股份有限公司 $$