期末专题05 复数（8大题型40题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题05 复数（8大题型40题） 题型概览 题型01 复数的基本运算 题型02 求复数的实部与虚部 题型03 复数的分类 题型04 求复数的模长 题型05 复数的几何意义 题型06 欧拉公式 题型07 复数多选题（多考点综合） 题型08 复数解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 复数的基本运算 1．(23-24高一下·湖南娄底涟源·期末)（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一下·湖南·期末)（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)复数，则 . 4．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)已知复数，则 . 5．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 6．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一下·湖南邵阳新邵县·期末) .（为虚数单位） ( 题型02 ) 求复数的实部与虚部 8．(23-24高一下·湖南岳阳岳阳县第一中学·期末)设，则的虚部是（    ） A．1 B．-1 C． D． 9．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 11．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（    ） A． B．6 C． D．36 ( 题型03 ) 复数的分类 12．(23-24高一下·湖南·期末)若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 13．(23-24高一下·湖南张家界·期末)已知复数为纯虚数，则 ． ( 题型04 ) 求复数的模长 14．(23-24高一下·湖南·期末)已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 15．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)已知，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 16．(23-24高一下·湖南怀化·期末)已知复数满足，其中i为虚数单位，则 . 17．(23-24高一下·湖南株洲·期末)设，，则（   ） A． B． C． D． 18．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数，则 . ( 题型0 5 ) 复数的几何意义 19．(23-24高一下·湖南·期末)复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．(23-24高一下·湖南·期末)复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．(23-24高一下·湖南郴州·期末)复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)在复平面内，非零复数z满足（i为虚数单位），则复数z对应的点在（    ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．实轴上（除原点外） D．坐标轴上（除原点外） 24．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ( 题型0 6 ) 欧拉公式 25．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为1 B． C． D．的共轭复数为 26．(23-24高一下·湖南岳阳岳阳县第一中学·期末)欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．(23-24高一下·湖南郴州·期末)欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，则的最大值为 ． ( 题型0 7 ) 复数多选题（多考点综合） 28．(23-24高一下·湖南株洲·期末)已知是关于的方程的一个根，下列说法正确的是（   ） A．的实部为，虚部为 B． C． D．若复数满足，则的最大值为 29．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)下列命题为真命题的是（   ） A．若复数为纯虚数，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若i为虚数单位，n为正整数，则 D．若，则的最大值是2 30．(23-24高一下·湖南永州·期末)已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在实数，使得为实数 C．若为纯虚数，则 D． 31．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数，则（    ） A．的实部是 B． C．的共轭复数是 D．在复平面内对应的点位于在第一象限 ( 题型0 8 ) 复数解答题 32．(23-24高一下·湖南张家界·期末)某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． ①； ②； ③（i是虚数单位）. (1)从三个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论． 33．(23-24高一下·湖南·期末)已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 34．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为． (1)求的值； (2)若是关于x的方程的一个根，求b，c的值； (3)已知，复数z对应的点为P，且．说明点P的集合是什么图形，并求图形的面积． 35．(23-24高一下·湖南·期末)知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 36．(23-24高一下·湖南师范大学附属中学·期末)已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 37．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)已知复数z，w均不为0，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 38．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 39．(23-24高一下·湖南·期末)已知方程的根分别为，则（    ） A．0 B．2 C． D． 40．(23-24高一下·湖南浏阳·期末)任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)计算：的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题05 复数（8大题型40题） 题型概览 题型01 复数的基本运算 题型02 求复数的实部与虚部 题型03 复数的分类 题型04 求复数的模长 题型05 复数的几何意义 题型06 欧拉公式 题型07 复数多选题（多考点综合） 题型08 复数解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 复数的基本运算 1．(23-24高一下·湖南娄底涟源·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题 【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】． 故选：D. 2．(23-24高一下·湖南·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数除法运算法则可得答案. 【详解】. 故选：B 3．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)复数，则 . 【答案】/ 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，即可求解. 【详解】由复数，则，所以. 故答案为：. 4．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)已知复数，则 . 【答案】/ 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 5．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算可得复数，进而可得. 【详解】由，得， 即， 解得， 所以， 故选：B. 6．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数和除法法则进行计算，得到答案. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 7．(23-24高一下·湖南邵阳新邵县·期末) .（为虚数单位） 【答案】0 【来源】湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】利用的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值. 【详解】由题意，的周期为4，则. 故答案为：0. ( 题型02 ) 求复数的实部与虚部 8．(23-24高一下·湖南岳阳岳阳县第一中学·期末)设，则的虚部是（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【来源】湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】由共轭复数、虚部的概念即可得解. 【详解】由题意的虚部是1. 故选：A. 9．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷 【分析】利用复数的四则运算化简复数，从而求得其虚部，由此得解. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：C. 10．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据点对应的复数进行复数运算，再根据实部及虚部运算即可. 【详解】因为， 所以的实部为，虚部为， 实部与虚部的差为. 故选：D. 11．(23-24高一下·湖南长沙长郡中学·期末)若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（    ） A． B．6 C． D．36 【答案】C 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】设，根据模长的计算公式，即可求得答案. 【详解】设复数，则， 故选：C ( 题型03 ) 复数的分类 12．(23-24高一下·湖南·期末)若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解. 【详解】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A 13．(23-24高一下·湖南张家界·期末)已知复数为纯虚数，则 ． 【答案】 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】化简复数，由纯虚数的定义求出的值，再求和，从而得解. 【详解】根据题意，， 由于复数为纯虚数，所以，即， 所以，则. 故答案为： ( 题型04 ) 求复数的模长 14．(23-24高一下·湖南·期末)已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 15．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)已知，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】A 【来源】湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用复数的商的运算法则可求得，进而可求得，可求. 【详解】，所以. 故选：. 16．(23-24高一下·湖南怀化·期末)已知复数满足，其中i为虚数单位，则 . 【答案】 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】先由求出复数z，然后可求出复数z的模 【详解】因为，所以， . 故答案为： 17．(23-24高一下·湖南株洲·期末)设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用复数的四则运算和模长公式计算可得结果 【详解】易知，，可得. 故选：B 18．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数，则 . 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再计算其模即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. ( 题型0 5 ) 复数的几何意义 19．(23-24高一下·湖南·期末)复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算求，再结合复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 20．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 21．(23-24高一下·湖南·期末)复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标可得答案． 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 22．(23-24高一下·湖南郴州·期末)复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】根据复数的除法运算和复数的几何意义即可. 【详解】，其在复平面所对应的点坐标为， 则其位于第四象限， 故选：D. 23．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)在复平面内，非零复数z满足（i为虚数单位），则复数z对应的点在（    ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．实轴上（除原点外） D．坐标轴上（除原点外） 【答案】A 【来源】湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】设，分析可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】设，则， 因为，则，可得， 可知复数z对应的点在直线上（原点除外）， 所以复数z对应的点在一、三象限. 故选：A. 24．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出，根据共轭复数得到，然后由复数的几何意义进行判断. 【详解】根据复数的模长公式，， 则，故，故， 根据复数的几何意义，在复平面上对应点是，在第四象限. 故选：D ( 题型0 6 ) 欧拉公式 25．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为1 B． C． D．的共轭复数为 【答案】AD 【分析】由，其虚部为1，可判断A；由，可判断B； 由，可判断C；先求得，结合共轭复数的概念即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故的共轭复数为，故D正确. 故选：AD. 26．(23-24高一下·湖南岳阳岳阳县第一中学·期末)欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】首先求得，然后结合复数模的公式以及三角函数性质即可得解. 【详解】由题意， ， 因为的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围为. 故选：B. 27．(23-24高一下·湖南郴州·期末)欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，则的最大值为 ． 【答案】3 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】由复数模的计算公式结合三角函数性质即可求解. 【详解】 ， 因为的最小值为，所以的最大值为. 故答案为：3. ( 题型0 7 ) 复数多选题（多考点综合） 28．(23-24高一下·湖南株洲·期末)已知是关于的方程的一个根，下列说法正确的是（   ） A．的实部为，虚部为 B． C． D．若复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【来源】湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据复数的定义判断A，根据虚根成对原理及韦达定理判断B、C，设，，根据复数模的几何意义判断D. 【详解】复数的实部为，虚部为，故A错误； 复数是方程的一个根， 则方程的另一个复数根为， 由韦达定理可知，，所以，故B、C正确； 设，， 若复数满足， 则， 则在复平面内点在圆上，圆心为，半径， 则的几何意义为原点到圆上点的距离，又， 则的最大值为，故D正确. 故选：BCD 29．(23-24高一下·湖南长沙宁乡·期末)下列命题为真命题的是（   ） A．若复数为纯虚数，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若i为虚数单位，n为正整数，则 D．若，则的最大值是2 【答案】AD 【来源】湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷 【分析】利用复数的基本概念判断A；利用复数的代数表示法及其几何意义判定B与D；利用虚数单位的运算性质判定C． 【详解】解：A．若复数为纯虚数，则，，故正确，符合题意； B．复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故错误，不符合题意； C．若为虚数单位，为正整数，则，故错误，不符合题意； D．若，则，对应复平面内单位圆上的两动点，可得的最大值是2，故正确，符合题意． 故选：AD． 30．(23-24高一下·湖南永州·期末)已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在实数，使得为实数 C．若为纯虚数，则 D． 【答案】AC 【来源】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 【分析】根据复数的模长计算判断A选项，应用实数和纯虚数定义判断B,C选项，根据模长及乘方运算判断D选项. 【详解】因为所以，A正确； 因为,无实数解，B选项错误； 因为为纯虚数，则，即，C选项正确； 当时，， 则，D选项错误. 故选：AC. 31．(23-24高一下·湖南·期末)已知复数，则（    ） A．的实部是 B． C．的共轭复数是 D．在复平面内对应的点位于在第一象限 【答案】BD 【来源】湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据复数的乘法运算计算，即可判断；根据复数的模的运算即可判断；根据共轭复数的定义即可判断；根据复数的几何意义即可判断. 【详解】因为， 所以的实部是，故错误； ，故正确； ，故错误； 在复平面内对应的点位于在第一象限，故正确. 故选：. ( 题型0 8 ) 复数解答题 32．(23-24高一下·湖南张家界·期末)某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． ①； ②； ③（i是虚数单位）. (1)从三个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)答案见解析 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用复数除法进行运算； （2）归纳得，运用综合法证明. 【详解】（1）选①：， 选②：， 选③： ． （2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到： （且不同时为零）， 下面进行证明： 要证：， 只需证：， ∵ ，∴ 成立 . 33．(23-24高一下·湖南·期末)已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出的代数形式根据复数相等可得答案； （2）求出与的坐标，根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案. 【详解】（1）不妨设，则， 因为满足方程， 所以， 可得， 所以，解得， 所以，或； （2）设，则， 因为复数所对的向量分别是与， 所以，， 可得， ， 若向量与的夹角为钝角， 则，且， 即，且， 解得，， 实数的取值范围是. 34．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为． (1)求的值； (2)若是关于x的方程的一个根，求b，c的值； (3)已知，复数z对应的点为P，且．说明点P的集合是什么图形，并求图形的面积． 【答案】(1) (2)，． (3)点P的集合是一个点，面积为0. 【来源】湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】（1）利用复数的四则运算化简复数，再求其模长即得； （2）由实系数一元二次方程的解的特点易得另一个根，由韦达定理即得； （3）利用复数与平面向量的一一对应关系，结合图形得到点P的集合为△OAB的外接圆圆心，判断三角形形状，易得其外接圆半径. 【详解】（1）因为，所以． （2）由已知得，也是方程的一个根， 由韦达定理得，，，即，． （3）记所对应的点为B，， ，即点P为△OAB的外接圆圆心， 则点P的集合是一个点，面积为0. 35．(23-24高一下·湖南·期末)知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. （2）， . 36．(23-24高一下·湖南师范大学附属中学·期末)已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 37．(23-24高一下·湖南汨罗第一中学·期末)已知复数z，w均不为0，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】设，，根据模公式，共轭复数概念，复数除法计算即可. 【详解】设，则，故A正确； ， ，，则.故B正确； ，，，，故C错误； 由于，且由B的证明知道，两个复数的模性质，，则，，则.故D正确. 故选：BD. 38．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【来源】湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】由的运算性质可得答案. 【详解】当n为偶数时，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充分条件； 当n为奇数时，，则时，n为偶数，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的必要条件. 综上，“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充要条件. 故选：C 39．(23-24高一下·湖南·期末)已知方程的根分别为，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由复数根的性质进行配凑，结合复数乘法即可求解. 【详解】 . 故选：A. 40．(23-24高一下·湖南浏阳·期末)任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)计算：的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【来源】湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷 【分析】（1）借助所给定义计算出模长及其即可得； （2）设模为1的复数为，直接计算出及借助复数乘方公式得到后，结合复数定义即可得； （3）先证明，再借助（2）中所得公式将四次方分别化简后结合积化和差公式计算即可得. 【详解】（1）由于，故， 则； （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故，； （3）首先证明： ， 由于，则， 则 ，故， 则可得 ， ， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题考查了复数的新定义问题，解答时要注意理解棣莫弗定理的含义以及复数乘方的运算，解答的难点在于第三问的求值，解答时要利用三倍角公式结合恒等变换化简，并结合进行求解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$