期末专题01 三角函数综合（6大题型30题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

期末专题01 三角函数综合（6大题型30题） 题型概览 题型01 三角函数基础题 题型02 三角函数的图象及性质 题型03 三角函数的伸缩平移变换 题型04 三角恒等变换 题型05 求参数范围 题型06 三角函数解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 三角函数基础题 1．(23-24高一下·湖南株洲渌口区第三中学·期末)已知角终边上一点，则（　　） A． B． C． D． 2．(23-24高一下·湖南株洲渌口区第三中学·期末)设，，，则，，三者的大小关系是（　　） A． B． C． D． ( 题型02 ) 三角函数的图象与性质 3．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象 4．(23-24高一下·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ． 5．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）已知函数的图象在区间上有且仅有三个对称中心，则（    ） A．的取值范围是 B．的图象在区间上有2条或3条对称轴 C．在区间上的最大值不可能为3 D．在区间上为增函数 6．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)如图所示，是函数的图象与直线的两个交点，且点在轴上，若，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一下·湖南株洲·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．的单调递增区间是， B．的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向上平移3个单位得到 C．的图象关于直线对称 D．当时，的取值范围是 8．(23-24高一下·湖南怀化·期末)（多选）已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）    A． B． C．是图象的一条对称轴 D．点是图象一个对称中心 9．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．不等式的解集是 10．(23-24高一下·湖南·期末)函数的所有零点之和为 . ( 题型03 ) 三角函数的伸缩平移变换 11．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 ( 题型04 ) 三角恒等变换 12．(23-24高一下·湖南·期末)已知，则的值为（ ） A． B． C．－ D． 13．(23-24高一下·湖南·期末)若，则 ． 14．(23-24高一下·湖南怀化·期末)已知，，则 . 15．(23-24高一下·湖南·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 17．(23-24高一下·湖南·期末)若，则 ． 18．(23-24高一下·湖南·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)（多选）在平面直角坐标系中，角的始边均与轴的非负半轴重合，终边分别经过点，，则（    ） A． B． C． D．是第三象限角 ( 题型0 5 ) 求参数范围 20．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为 ． 21．(23-24高一下·湖南岳阳县第一中学、汨罗第一中学·期末)若函数恰有4个零点，则的取值范围为 ． ( 题型0 6 ) 三角函数解答题 22．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，，求的值. 23．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 24．(23-24高一下·湖南·期末)已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间； (3)求在区间上的值域. 25．(23-24高一下·湖南·期末)已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. (1)求函数的周期及表达式； (2)若函数对任意，都有恒成立，求参数的取值范围. 26．(23-24高一下·湖南·期末)已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变．再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围． 27．(23-24高一下·湖南·期末)函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的对称轴方程为（） C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2） D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则 29．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)若对，，则称函数为I上的-函数． (1)设，，若为I上的1-函数，求m的最大值； (2)若为R上的-函数，求的取值范围； (3)若，且，均为R上的-函数，求证：也为R上的-函数． 30．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题01 三角函数综合（6大题型30题） 题型概览 题型01 三角函数基础题 题型02 三角函数的图象及性质 题型03 三角函数的伸缩平移变换 题型04 三角恒等变换 题型05 求参数范围 题型06 三角函数解答题 优选提升题 ( 题型01 ) 三角函数基础题 1．(23-24高一下·湖南株洲渌口区第三中学·期末)已知角终边上一点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省株洲市渌口区第三中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】由点是角终边上一点，所以. 故选：B. 2．(23-24高一下·湖南株洲渌口区第三中学·期末)设，，，则，，三者的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省株洲市渌口区第三中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】利用函数在的单调性即可比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增， ， 且， 所以， 即， 故选：C. ( 题型02 ) 三角函数的图象与性质 3．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象，求得，可得判定A正确，B不正确，再结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，可判定C、D正确. 【详解】由函数的图象，可得，可得，则， 又由，所以， 又由，即， 因为，所以，可得，所以， 所以A正确；B不正确； 对于C中，由为函数的最大值， 所以直线为图象的一条对称轴，所以C正确； 对于D中，将图象上的所有点向左平移个单位长度， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 4．(23-24高一下·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ． 【答案】 【来源】湖南省衡阳市耒阳市正源学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（B卷） 【分析】根据给定的图象，结合五点法作图方法求出解析式. 【详解】由图象知，，函数的周期，因此， 又，则，而，于是， 所以函数的解析式. 故答案为： 5．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）已知函数的图象在区间上有且仅有三个对称中心，则（    ） A．的取值范围是 B．的图象在区间上有2条或3条对称轴 C．在区间上的最大值不可能为3 D．在区间上为增函数 【答案】BD 【分析】化简得，令，求出其对称中心的横坐标，由及有且只有三个整数值，可得，故A不正确；令，求出其对称轴，结合的范围分析可知B正确；利用得，由的范围分析可得C不正确；根据正弦函数的单调性可得D正确. 【详解】， 令，得， 由结合，得， 依题意有且只有三个整数值，所以，得，故A不正确； 令，得， 由结合，得， 当时，，此时或，函数的图象在区间上有2条对称轴，为，， 当时，，此时或或，函数的图象在区间上有2条对称轴，为，，， 所以的图象在区间上有2条或3条对称轴，故B正确； 当时，， 因为，所以，所以当，即时，取得最大值，故C不正确； 由，得，因为，所以， 因为，所以在区间上为增函数，故D正确. 故选：BD 6．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)如图所示，是函数的图象与直线的两个交点，且点在轴上，若，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据,在函数图象上，即可代入求解可得，结合周期的关系即可求解. 【详解】由题意可得，且都在上， 故，所以， 又，结合在单调递减区间上， 所以，故， 由于，故，所以，故. 故选：A 7．(23-24高一下·湖南株洲·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．的单调递增区间是， B．的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向上平移3个单位得到 C．的图象关于直线对称 D．当时，的取值范围是 【答案】ACD 【来源】湖南省株洲市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用三角恒等变换得，对于A，由正弦函数的单调递增区间即可求解；对于B，由三角函数的图象变换即可求解；对于C，由正弦函数的对称轴即可求解；对于D，由整体法即可求解. 【详解】由题意，， 对于A，由，， 得，， 所以的单调递增区间为，，故A正确； 对于B，函数向右平移个单位，再向上平移3个单位可得 ，故B错误； 对于C，由，，得，， 当时，，所以图象关于对称，故C正确； 对于D，由，得， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 8．(23-24高一下·湖南怀化·期末)（多选）已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）    A． B． C．是图象的一条对称轴 D．点是图象一个对称中心 【答案】BD 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】由图象可知，求出，进而求出即可判断A.再将最高点代入可求出判断B．根据对称轴经过最高或者最低点，对称中心在中间判断C和D． 【详解】对于A，由图象知，得，所以，所以A错误. 对于B，由得，由图知， 即，由得，所以B正确. 对于C和D，由前述推导知， 所以，所以C错误，D正确. 故选：BD. 9．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．不等式的解集是 【答案】BC 【来源】湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据图象可得周期，从而求出，将点，代入解析式可得，即可判断AB；计算，若可说明的图象关于点对称，即可判断C；，即，解三角不等式即可判断D. 【详解】由图可知，又，则. 点在的图象上， ， ，解得， ，，则错误； 点在的图象上，，解得，则正确； ， 的图象关于点对称，则正确； 由，即，即， 得，解得， 所以不等式的解集是，则错误. 故选：BC. 10．(23-24高一下·湖南·期末)函数的所有零点之和为 . 【答案】4 【分析】由，得到，令，根据函数的图象及对称性，即可求解. 【详解】由题意，函数， 由，即，即， 令，其中， 可得函数的图象都关于点对称， 所以两函数的图象的交点关于点对称， 根据函数的图象可知，函数和有4个交点， 分别记为，可得. 故答案为：.    【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点，结合函数的图象和对称性求解是解答的关键，着重考查转化思想，数形结合思想，以及推理与运算能力. ( 题型03 ) 三角函数的伸缩平移变换 11．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【来源】湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】借助三角函数平移变换与伸缩变换的性质推导即可得，作出函数与在的图象可得结论. 【详解】将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到， 然后再向右平移个单位长度，得到， 作出函数与函数在上的图象如下图所示， 观察图象可知，曲线与的交点个数为6. 故选：C. ( 题型04 ) 三角恒等变换 12．(23-24高一下·湖南·期末)已知，则的值为（ ） A． B． C．－ D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】 ， 故选：B 13．(23-24高一下·湖南·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】分别利用两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系将条件式展开，可求出，进而将展开，可求出答案. 【详解】由，可得， 又，所以，即， 则，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算，属于基础题. 14．(23-24高一下·湖南怀化·期末)已知，，则 . 【答案】 【来源】湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】两边平方即可得到，代入得到即可. 【详解】由已知，所以， 所以. 故答案为：. 15．(23-24高一下·湖南·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用三角函数诱导公式求出正切值，然后代入二倍角的正切公式中即可得解. 【详解】因为，所以，所以，则. 故选：C 16．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】根据三角函数诱导公式、二倍角公式运算即可. 【详解】令，则，， 所以 . 故选：. 17．(23-24高一下·湖南·期末)若，则 ． 【答案】-1 【分析】利用两角和与差的正余弦公式展开，再进行合并，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， 得. 故答案为：-1 18．(23-24高一下·湖南·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数图象的对称性得，再根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果. 【详解】因为， 所以，即，， 所以. 故选：B 19．(23-24高一下·湖南部分学校·期末)（多选）在平面直角坐标系中，角的始边均与轴的非负半轴重合，终边分别经过点，，则（    ） A． B． C． D．是第三象限角 【答案】BC 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据三角函数定义即可求出，再利用二倍角的正切公式即可判断A；直接代入计算好的即可判断B；利用两角差的余弦公式即可判断C；分别计算出的符号即可判断D. 【详解】由题可知. 对于A，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， ， 所以是第二象限角，故D错误. 故选：BC. ( 题型0 5 ) 求参数范围 20．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【来源】湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于较难题. 解题思路一般是将辐角看成整体角，求出其范围，借助于正弦函数（或余弦函数）的图象，即可求得. 21．(23-24高一下·湖南岳阳县第一中学、汨罗第一中学·期末)若函数恰有4个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由二倍角的正弦和余弦公式化简，令，得，根据的范围求出的范围，由三角函数的性质可得，解不等式即可得出答案. 【详解】， 令，得． 若，则， 依题意可得，解得． 故答案为：. ( 题型0 6 ) 三角函数解答题 22．(23-24高一下·湖南·期末)已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)本题首先可以根据求得，然后利用同角三角函数关系将化简为，最后通过计算即可得出结果； (2)本题首先可根据求得，然后与联立解得以及，最后通过两角和的正弦公式即可得出结果。 【详解】(1)因为，，， 所以，即，， 所以 ，故。 (2)因为，，所以， 因为，所以， 化简得，即， 因为，， 所以联立，解得，， 所以。 【点睛】本题是综合题，考查了向量垂直、向量的模以及三角函数的相关性质，主要考查对同角三角函数关系的相关公式的灵活应用，考查了计算能力，考查了化归与转化思想，体现了综合性，是难题。 23．(23-24高一下·湖南名校联合体·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为 【来源】湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简，由正弦函数的周期公式即可得解. （2）根据自变量的取值范围为,求得的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）因为，所以， 所以， 即函数在区间的最大值为1，最小值为. 24．(23-24高一下·湖南·期末)已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间； (3)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）利用三角恒等变形化为一般三角形式，即可求周期； （2）利用正弦函数的单调区间去解不等式即可； （3）利用给定区间去求得相位的取值范围，再利用正弦曲线在该区间的单调性求出最值即可. 【详解】（1）由题意可得， 则的最小正周期. （2）令， 解得， 故的单调递减区间为. （3）因为，所以. 当，即时，取得最大值，且最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在区间上的值域为. 25．(23-24高一下·湖南·期末)已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. (1)求函数的周期及表达式； (2)若函数对任意，都有恒成立，求参数的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用三角函数的对称性和周期性计算即可得出周期及解析式； （2）利用三角函数的图象与性质分离参数计算即可. 【详解】（1）由于函数以为对称中心，且其相邻的一条对称轴为， 可知，故周期， 由周期，所以，即函数， 又由函数一条对称轴为，所以有， 又，故有， 所以函数的表达式为； （2）由，可知， 由三角函数图像性质可得， 所以， 又因为函数对任意，都有恒成立， 故只需即可，即. 故参数的取值范围为. 26．(23-24高一下·湖南·期末)已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变．再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简得到，解不等式得到答案. （2）根据平移法则得到，确定，得到范围. 【详解】（1） ， 取，解得， 故函数的单调减区间为 （2）根据平移法则得到， 当时，， 27．(23-24高一下·湖南·期末)函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可. 【详解】由题意知：或 ∴或 ∴或 ∵在上单调递减，∴ ∴      ①当时，取知 此时，当时， 满足在上单调递减，∴符合 取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合 当时，，舍去，当时，也舍去 ②当时，取知 此时，当时， ，此时在上单调递增，舍去 当时，，舍去，当时，也舍去 综上：或2，. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析. 28．(23-24高一下·湖南·期末)（多选）若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的对称轴方程为（） C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2） D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则 【答案】B 【分析】A选项，平方后利用辅助角公式化简得到，得到为函数的周期，A错误； 利用整体法求解函数的对称轴方程，B正确； 首先求出，，画出上的的函数图象，问题等价于有两个解， 数形结合得到，无解，C错误； D选项，的根转化为与交点横坐标，画出图象，结合对称性求解. 【详解】，. ，. 对于A，， 为的周期，A错误； 对于B，的对称轴方程为. （）.即（）.B正确. 对于C，对，有， ∵在上单调递增， ， （，2），等价于有两个解， 当时，，显然无解， 不妨设，画出在的图象，如图所示： . 或.无解.故C错误； 对于D，的根为与交点横坐标. 有奇数个交点， ， 且，，，，， ，，，， D错误. 故选：B. 【点睛】较为复杂的函数零点问题，通常转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解. 29．(23-24高一下·湖南邵阳隆回县·期末)若对，，则称函数为I上的-函数． (1)设，，若为I上的1-函数，求m的最大值； (2)若为R上的-函数，求的取值范围； (3)若，且，均为R上的-函数，求证：也为R上的-函数． 【答案】(1)3 (2) (3)证明见解析 【来源】湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题 【分析】（1）问题等价于当时，恒成立，后结合余弦函数性质可得答案； （2）问题等价于对恒成立，后讨论的正负性，结合判别式可得答案； （3）因，后结合题意及R上的-函数定义可证明结论. 【详解】（1）令 ， 由题意知，当时，.因恒成立．故只需让小于或等于，即大于且让余弦函数可取到的最小自变量. 即，解得．故m的最大值为3； （2）由题， 对恒成立． 即对恒成立． 令，则对恒成立． 当时，注意到，所以，矛盾，舍去； 当时，则对恒成立． 所以方程的判别式，解得． 综上可知，的取值范围为； （3）对， ． 因为，均为函数，则， 又，则. 所以， 即，所以也为R上的函数． 【点睛】关键点睛：本题考查函数新定义及恒成立问题.对于新定义问题需在读懂定义的前提下结合自身数学素养解决问题；对于恒成立问题，第一问结合余弦函数值域解决问题，第二问，分类讨论缩小参数范围，再结合判别式解决问题. 30．(23-24高一下·湖南株洲二中教育集团·期末)我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)个 【来源】湖南省株洲市二中教育集团2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】（1）根据图，找到的等角，解直角三角形即可； （2）在（1）的思路下结合图，解直角三角形，表示出即可； （3）由（2）和先求出，设改造后停车位数量的最大值为，由图可得第个车位顶点到的距离为，利用求解. 【详解】（1）注意到，又， 则. 则， 又，则，； （2）由图，， 又由（1），则， 即，； （3）由（2），. 则，则， 化简得：，解得或. 因，则，故， 设改造后停车位数量最大值为. 如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为. 则顶点到线段距离为：. 又由图及题意可得：，， 则. 注意到，则. ，则. 则，，又. 则， 令, 即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个. 【点睛】关键点睛：本题前两问需利用三角函数及几何知识，用已知量表示未知量；第三问，需将车位数量和停车位顶点到停车场边界距离联系起来，然后在利用之前所得到的部分结论解决问题. / 学科网（北京）股份有限公司 $$