8.6.3 平面与平面垂直（第2课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 平面与平面垂直 平面与平面垂直的定义 二面角的平面角 二面角 平面与平面垂直的判定定理 复习回顾 问题1 如图，设，.则内任意一条直线与有什么位置关系？相应地，与有什么位置关系？为什么？ // → // 与相交 → 与相交 什么时候？ 问题2 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直? 垂直于交线 课堂探究 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 课堂探究 平面与平面垂直的性质定理 符号语言 图形语言 思考 设平面平面，点在平面内，过点作平面的垂线，直线与平面具有什么位置关系？ 如图，设， 过点在平面内作直线， 根据平面与平面垂直的性质定理，. 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直， 所以直线与直线重合， 因此. 课堂探究 1.判断正误.已知平面⊥平面，： （1）平面内的任意一条直线必垂直于平面 （ ） （2）垂直于交线的直线必垂直于平面 （ ） （3）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面（ ） × × √ 2.如图所示，在长方体的棱上任取一点，作于，则与平面的关系是( ). A.平行 B.平面 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 牛刀小试 探究 设对于面面垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系．如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？ 例9 如图，已知平面平面，直线判断与的位置关系. 课堂探究 探究 设对于面面垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系．如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？ 例9 如图，已知平面平面，直线判断与的位置关系. 解：在内作垂直于与交线的直线. ∵，∴. 又，∴， 又，∴. 即直线与平面平行. 课堂探究 例10 如图，已知平面，平面平面 求证：平面. 典例精研 例10 如图，已知平面，平面平面 求证：平面. 证明：如图，过点作，垂足为. ∵平面平面，平面平面， ∴平面. ∵平面， ∴. ∵平面，平面， ∴. 又， ∴平面. 典例精研 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 判定 判定 性质 定义 1.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形. 解：设P在平面ABC上的射影为O， ∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴O∈AB. ∵PA＝PB＝PC， ∴OA＝OB＝OC， ∴O是△ABC的外心，且是AB的中点， ∴△ABC是直角三角形. 当堂巩固 2.如图甲,直角梯形中,,∥,为中点,在上,且∥,已知, 现沿把四边形折起如图乙,使平面⊥平面.求证: 平面⊥平面. 当堂巩固 2.如图甲,直角梯形中,,∥,为中点,在上,且∥,已知,现沿把四边形折起如图乙,使平面⊥平面.求证: 平面⊥平面. 证明：在题图甲中,∥, 所以,则在题图乙中,, 又因为平面平面, 平面平面, 所以平面, 又平面,所以, 又因为, 所以平面, 又平面, 所以平面平面. 当堂巩固 3.如图，和所在平面互相垂直，且,分别为的中点. (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积. （1）证明：∵，， ∴，故 ∵为的中点. ∴同理. ∵∴平面 又分别为的中点， ∴ ∴平面. 当堂巩固 （2）解：在平面内，作，交的延长线于，如图所示. ∵和所在平面互相垂直， 平面平面， 且平面，∴平面 ∵为的中点， ∴到平面的距离是长度的一半. 在中，∴. 易得. ∴. 3.如图，和所在平面互相垂直，且,分别为的中点. (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积. 当堂巩固 4.如图，在三棱锥中，平面,平面平求证：平面. 证明：在平面内，作于点. ∵平面平面， 且平面平面，平面， ∴平面.又平面，∴. ∵平面，平面， ∴，又∵， ∴平面. 当堂巩固 线线角、线面角、二面角 课堂小结 点面距、线面距、面面距 面面垂直的性质定理、性质 线线/线面/面面——平行与垂直 $$