8.6.3 平面与平面垂直（第1课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 平面与平面垂直 像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义. 那么,该如何定义呢? 先回顾一下直线与直线垂直、直线与平面垂直是怎样定义的？ 方法：用角度刻画 ① 平面中，直线所成角 或 ② 空间中，异面直线所成角 线线角 复习回顾 ③ 空间中，直线与平面所成角 线面角 斜线 线面所成角 （非钝角∠PAO） 射影 斜足 思考 平面与平面的所成角该如何定义呢？ 类似地，我们要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直. 复习回顾 将一个平面沿平面上的一条直线折起得到的空间图形就称为二面角. 半平面 半平面 课堂探究 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. ③ 棱记作l,这个二面角记作二面角α-l-β 或 二面角P-l-Q . 记法： ① 棱为AB,面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β . ② 也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、 Q， 将这个二面角记作二面角P-AB-Q . 二面角 棱 面 面 课堂探究 二面角画法及表示举例： A B 二面角α-AB-β 二面角A-BC-D 二面角α-l-β 课堂探究 如右图,在日常生活中,我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些? 受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢? 怎样才能找到这样的一个角，它的大小唯一，且由二面角的大小决定？ α β l 类比线面角的求解——空间问题平面化 课堂探究 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 二面角的平面角 课堂探究 二面角的平面角说明: (3)角的边都垂直于二面角的棱. (1)角的顶点在棱上; (2)角的两边分别在两个面内;   l O A B 课堂探究 9 思考 在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？ 无关，只与二面角的大小有关. ∠AOB=∠A'O'B' 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. A B A' B' 课堂探究 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角的大小α的取值范围是0°≤α≤180°. 课堂探究 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角? 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数. 一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 平面α与β垂直，记作α⊥β. 注意： 把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 直二面角， 课堂探究 平面与平面垂直 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？ 如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面. 这种方法说明了什么道理? 如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直. 课堂探究 类似结论也可以在长方体中发现. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1经过平面ABCD的一条垂线AA1，此时，平面ADD1A1垂直于平面ABCD. 课堂探究 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线， 那么这两个平面垂直. a 证明关键：找垂直于平面的线 平面与平面垂直的判定定理 线面垂直 面面垂直 判定 课堂探究 图形语言 符号语言 例1 已知：如右图，正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'. 典例精研 例1 已知：如右图，正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'. 证明： ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体， ∴AA'⊥平面ABCD. 又BD平面ABCD ∴BD⊥AA'. 又BD⊥AC，AC∩AA'=A，AC、AA'平面ACC'A' ∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面A'BD ∴平面A'BD⊥平面ACC'A'. 典例精研 (1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”; (3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面. 判定两平面垂直的常用方法 总结提升 例2 如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ AB是圆O直径 PA⊥面ABC，BC⊂面ABC BC⊥AC BC⊥PA BC⊥面PAC 平面PAC⊥平面PBC 典例精研 P A B O C P A B O C ∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点， AB是O的直径 ∴∠BCA=90°，即BC ⊥AC 证明：设O所在的平面为 α，由已知条件， PA⊥α，BC⊂α，∴PA ⊥BC 又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC ∴BC ⊥平面PAC 又BC平面PBC ∴平面PAC ⊥平面PBC. 典例精研 例2 如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. P B O A C 1.你还能发现哪些面互相垂直？ 2.三棱锥P-ABC的四个面的形状是怎样的？ 3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗？ 探究 面PAC⊥面ABC ; 面PAB⊥面ABC 都是直角三角形 ∠PCA 典例精研 例2 如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 1. 如图，在正方体中，截面与 底面所成锐二面角的正切值为( ). A. B. C. D. 当堂巩固 2. 如图，四边形是正方形，平面，且. (1) 求二面角的大小; (2) 求二面角的大小. 解： (1) ∵平面平面, ∴. 又四边形为正方形，∴, 又，∴平面 又平面，∴平面平面 ∴二面角的大小为 当堂巩固 2. 如图,四边形是正方形,平面,且. (1) 求二面角的大小; (2) 求二面角的大小. 解：(2) ∵平面，平面, ∴. ∴为二面角的平面角， 又四边形为正方形，∴ 即二面角的大小为. 当堂巩固 当堂巩固 当堂巩固 平面与平面垂直的定义 二面角的平面角 二面角 课堂小结 平面与平面垂直的判定定理 $$