特训09 菱形的性质-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训09 菱形的性质 【特训过关】 1．下列四个命题中，假命题是 （   ） A．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 B．直角三角形一边上的中线等于这条边的一半 C．菱形的对角线互相垂直并且平分一组对角 D．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2．如图，在菱形中，，对角线，交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，、是菱形的对角线，若，，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 4．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形为菱形，垂直平分，若，，则的长为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 6．在菱形中，已知，，与相交于点O，点为上一点，将沿着翻折得到，使点F落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 7．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点E是的中点，连接，若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．菱形的面积为48 D．点A到的距离为 8．如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C． D． 9．如图，在菱形中，，F、E分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 10．如图，在菱形中，，，F是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点E落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（    ） A．16 B．12 C． D． 11．如图，在菱形中，，E，F分别是边和的中点，于点P，则 ． 12．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，连接，且，则 度. 13．如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则 度． 14．如图，将矩形纸片沿对折，使点B落在上点H处，再次沿对折，对折后点D恰好与点F重合．若四边形是菱形，，则 ． 15．如图，将边长为13的菱形沿方向平移至的位置，作交的延长线于点G，的延长线交于点H，已知，则的值为 ． 16．如图，四边形是菱形，E在上，F在的延长线上，与相交于点G， 若，，的长为6，则菱形的面积为 17．如图，边长为的菱形中，，则菱形的面积是 ，连结对角线，以为边作第二个菱形，使；连结，再以为边作第三个菱形，使；，按此规律所作的第n个菱形的面积为 ．    18．如图，四边形是菱形，，，E，F分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 19．如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 20．如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，P是对角线上的动点，且于点M，于点N．有以下结论：①为等边三角形，②， ③，④，其中正确的是 （填写序号） 21．如图，四边形是菱形，点E，F分别在边，上，且．求证：． 22．如图，在菱形中，点F在的延长线上，连接，且，分别延长，到点G，H，使，连接，．求证：． 23．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A，C，分别作，，垂足分别为E，F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求平行线与间的距离． 24．如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． （1）求证：； （2）连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 25．在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 菱形的性质 【特训过关】 1．下列四个命题中，假命题是 （   ） A．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 B．直角三角形一边上的中线等于这条边的一半 C．菱形的对角线互相垂直并且平分一组对角 D．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】B． 【解析】解：A．如图所示，在四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，分别是，的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故原命题是真命题，不符合题意； B．直角三角形斜边上的中线等于这斜边的一半，故原命题是假命题，符合题意； C．菱形的对角线互相垂直并且平分一组对角，故原命题是真命题，不符合题意； D．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题是真命题，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在菱形中，，对角线，交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵在菱形中，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，、是菱形的对角线，若，，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 【答案】B． 【解析】解：设、的交点为O， ∵菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴菱形的周长， 故选：B． 4．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，四边形为菱形，垂直平分，若，，则的长为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A． 【解析】解：∵四边形为菱形， ∴， 设，则， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， 中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．在菱形中，已知，，与相交于点O，点为上一点，将沿着翻折得到，使点F落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 【答案】D． 【解析】解：∵在菱形中，，， ∴，，，，， ∴， 设，则， ∵点E为上一点， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，符合题意， ∴， 故选：D． 7．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点E是的中点，连接，若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．菱形的面积为48 D．点A到的距离为 【答案】C． 【解析】解：A．在菱形中，对角线，相交于点O， ∴，且，， 则在中，，，，由勾股定理可知， 故该选项正确，不符合题意； B．在菱形中，对角线，相交于点O， ∴，且，， 则在中，，，，由勾股定理可知， ∵点E是斜边的中点， ∴， 故该选项正确，不符合题意； C．在菱形中，，，则菱形的面积为， 故该选项错误，符合题意； D．过点A作于点F，如图所示： ∴由等面积可知， 在菱形中，对角线，相交于点O， ∴，且，， 则在中，，，，由勾股定理可知， ∴，解得， 则点A到的距离为， 故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 8．如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A． 【解析】解：根据题意得， E点关于直线的对称点是的中点，连接交与点P，此时有最小值为， ∵四边形是菱形，，点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值是3， 故选：A． 9．如图，在菱形中，，F、E分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 【答案】B． 【解析】解：如图：连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 根据垂线段最短可知，当时，的长最短， 如图：过B作垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， ∴周长的最小值为． 故选B． 10．如图，在菱形中，，，F是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点E落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（    ） A．16 B．12 C． D． 【答案】D． 【解析】解：过E作，如图所示： ∵在菱形中，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即菱形边长最小是4， 当时，则，即菱形边长最小时，在中，，， 过F作，如图所示： 在中，，，则， ∴，由勾股定理可得， ∴菱形的周长最小时，菱形的面积为， 故选：D． 11．如图，在菱形中，，E，F分别是边和的中点，于点P，则 ． 【答案】． 【解析】解：延长交的延长线于H点． ∵在菱形中，，E，F分别是边和的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． 又∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，则． 故答案为：． 12．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，连接，且，则 度. 【答案】54． 【解析】连接，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：54． 13．如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则 度． 【答案】24． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：24． 14．如图，将矩形纸片沿对折，使点B落在上点H处，再次沿对折，对折后点D恰好与点F重合．若四边形是菱形，，则 ． 【答案】10． 【解析】解：解：连接，如图： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由翻折的性质得： ，，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，将边长为13的菱形沿方向平移至的位置，作交的延长线于点G，的延长线交于点H，已知，则的值为 ． 【答案】20． 【解析】解：连接，连接交于O，如图所示： ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，，， ， ∴ ，且四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 20． 16．如图，四边形是菱形，E在上，F在的延长线上，与相交于点G， 若，，的长为6，则菱形的面积为 【答案】18． 【解析】连接，，交于点O，分别取，的中点M，N，连接，，在上截取，连接，过点C作于点P． ∵四边形是菱形， ∴O是的中点，也是的中点，平分． ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，是，的中位线， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：18． 17．如图，边长为的菱形中，，则菱形的面积是 ，连结对角线，以为边作第二个菱形，使；连结，再以为边作第三个菱形，使；，按此规律所作的第n个菱形的面积为 ．    【答案】；． 【解析】解：如图，连接，交与点O， ∵四边形为菱形，且， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴．    ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴可得， 同理可得， 以此类推，可得出所作的第n个菱形的边长为， ∴第n个菱形的面积为． 故答案为：；． 18．如图，四边形是菱形，，，E，F分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】． 【解析】解：如图，连接，过点C作，使得,连接，.    ∵四边形是菱形, ∴，，， ∴是等边三角形, ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：. 19．如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】． 【解析】解：如图，连接， ∵P，Q分别为，的中点， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴当时，， ∴的最小值， ∴的最小值为． 故答案为：． 20．如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，P是对角线上的动点，且于点M，于点N．有以下结论：①为等边三角形，②， ③，④，其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②③④． 【解析】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴为等边三角形，故①正确； ∵四边形是菱形， ∴，平分和， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴，， ∴， 故④正确， 综上所述，其中正确的是①②③④． 故答案为： ①②③④． 21．如图，四边形是菱形，点E，F分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 22．如图，在菱形中，点F在的延长线上，连接，且，分别延长，到点G，H，使，连接，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴．     ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 23．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A，C，分别作，，垂足分别为E，F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求平行线与间的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）9.6． 【解析】（1）证明：∵，， ∴，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵在四边形中，，，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴是直角三角形． 根据勾股定理得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设平行线与间的距离为h， ∴． 24．如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． （1）求证：； （2）连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析． 【解析】（1）证明：如图1所示： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且是的外角， ∴， ∴； （2）解：依题意补全图形，如图2所示： 线段，，之间的数量关系是：，理由如下： 延长到M，使，连接，，并在的延长线上取一点H，使，连接，如图3所示： ∴， ∵点N是线段中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又 ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 【答案】（1），；（2）结论仍然成立，理由见解析． 【解析】（1）解：如图，连接，延长交于H，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴和都是等边三角形，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理可证是等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为：，； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点H， 同理可得， ∴， 又∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$