专题04 矩形（6大考点经典基础练+优选提升练）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 矩形 题型概览 题型01利用矩形的性质求解 题型02利用矩形的性质证明 题型03矩形与折叠问题 题型04斜边的中线等于斜边的一半 题型05证明四边形是矩形 题型06根据矩形的判定与性质求线段长 ( 题型01 ) 利用矩形的性质求解 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图， 在矩形中，对角线相交于点， 若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形中求角度，涉及矩形性质、邻补角、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先由矩形性质得到，再由邻补角定义求出，最后由等边三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，， ， ，则是等边三角形， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E在AC上，CE＝BC．BE的延长线交AD于F，若∠ACB＝36°，连接OF，则下列结论正确的是（　　） A．BF＝BC B．BF＝CD C．OF⊥BD D．OE＝2AE 【答案】C 【分析】由矩形的性质推出，推出为等腰三角形，再推出，再为等腰三角形和是等腰三角形即可求解． 【详解】解：如图 ∵矩形ABCD中 ∴, 为等腰三角形 是等腰三角形 ∴OF是△BFD底边上的中线， ∴OF是的高 故选：C 【点睛】此题考查的是矩形的性质和等腰三角形的判定和性质，掌握它们的性质和判定定理是解题关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，矩形中，点分别是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求出的长是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：点分别是的中点， 是的中位线， 故， 矩形中，， ， ， 故选：B． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，矩形中，，，连接，若点分别是上的两个动点，则之和的最小值为（    ） A．10 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、三角形全等的判定与性质，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得：，，则，，由垂线段最短可得，当、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小，作于，交于，则的最小值为，在上截取，作于，于，则四边形为矩形，得到，，证明，得出，，设，，则，，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， ∴，， 由垂线段最短可得，当、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小， 作于，交于，则的最小值为， 在上截取，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 设，，则，， 由勾股定理得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，点是对角线的中点，点、分别在边、上，且过点，若，，则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，证明得出，作于，设，则，，，再由勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 作于， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点，， ∴是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键． 7．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线交于点O．若，，则的长为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的性质得到，由此判定是等边三角形，由此得到，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定和性质定理是解题的关键 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ 故选：B ( 题型02 ) 利用矩形的性质证明 8．（23-24八年级下·福建·期末）如图，矩形的对角线交于点O，点E，F分别是上的点，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】由矩形的性质得出，则，证明，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在矩形中，点分别在边上，． (1)求证：； (2)已知平分，交于点，交于点．依题意补全图形，并证明点是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)图形、证明见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据矩形的性质，同角的余角相等，可得 进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）延长、交于点，证明，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ． ， ． ． ，     ． ． （2）延长、交于点 四边形是矩形， ． ． 又， ． ． ． 由（）知：，     ． ． 又， ． ， 即点是的中点． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）矩形中，，． (1)尺规作图：求作一点E，使得和关于对角线对称；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，设与相交于点F，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】（1）以点A为圆心，以长为半径画弧，再以点C为圆心以长为半径画弧，两弧相交于点E，则与关于对称； （2）由矩形的性质可得，由轴对称的性质可得，进而可得，则．设，则．在中，根据勾股定理列方程，求出x的值即可得的长．进而可求得的面积． 本题主要考查了轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵四边形是矩形， ，，， ， ∵和关于对角线对称， ， ， ， 设，则 ， 在中，， ， 解得， ， ． ( 题型03 ) 矩形与折叠问题 11．（23-24八年级下·福建莆田·期末）如图，将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，已知，则的长为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，由翻折可知：，设，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， 由翻折可知：， 设，则， 在中， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 12．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是上一点，连接，将沿折叠，使点D落在矩形内的点G处，若点G恰好在矩形的对角线上，则的长为 ． 【答案】或 【分析】①当点G在对角线上时，根据折叠的性质及矩形的性质可知，再根据中点的定义及勾股定理即可解答；②当点G在对角线上时，根据折叠的性质及矩形的性质可知，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：①当点G在对角线上时， 由折叠的性质可知：，， 是线段的垂直平分线， ， 四边形是矩形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， 是边的中点，， ， 在中，， ， ； ②当点G在对角线上时， 由折叠的性质可知：，， 是线段的垂直平分线， ， 是边的中点，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ； 故答案为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 13．（23-24八年级下·福建南平·期末）动手操作：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到线段． 求的度数． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出是等边三角形，得到，根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：连接， 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 14．（23-24八年级下·福建厦门·期末）纸张在生活中必不可少，通常使用的不同类型纸张的长和宽都有固定的尺寸，查阅资料可知，这些类型的纸张都是长与宽的比为的矩形，这样的矩形通常称为“黄金矩形”． 如图，矩形是“黄金矩形”，，点在边上，将沿折叠，使点A落在边上的点处． (1)求证：是等腰直角三角形： (2)点关于直线的对称点是点，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是矩形性质及折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理的应用及全等三角形的判定与性质， （1）先证明，求出，进而得出证明结论； （2）证明，延长交于点H，得三点共线，即点A、H重合，根据勾股定理证明结论． 【详解】（1）证明：如图， 矩形是“黄金矩形”，， 将沿折叠，使点A落在边上的点处， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，理由如下： 点关于直线的对称点是点，如下图： 垂直平分， ， 又， ， ， 延长交于点H， 则， ， ， ， ， ，即 由（1）知 三点共线，即点A、H重合， ， 在中，， ， ， ， ． 15．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某数学兴趣小组开展《矩形的折叠》实验，甲、乙两同学各分到一张相同大小的矩形纸张，，，并对该纸张的折叠进行如下实验探究： 甲同学： 如图1，连接，把沿折叠，使点与点重合，与交于点． 乙同学： 步骤1：如图2，点、分别在、上，把矩形沿折叠，使得 与重合； 步骤2：点为边上的动点(与点、不重合)，沿折叠得到． 结合两个同学的实验，探究下列问题：    (1)对于甲同学的实验，求证：； (2)对于乙同学的实验，若点在线段上，试探索：当为何值时，、、三点在同一直线上？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，、、三点在同一直线上，见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质得出，从而得到，结合折叠的性质得出，即可得证； （2）由图形折叠的特征可得，四边形是矩形，从而得出，由题意得出，，由勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由图形折叠的特征可得：， ∴， ∴； （2）解：如图2，当经过点时，    由图形折叠的特征可得：， ∵点、分别在、上，把矩形沿折叠，使得与重合， ∴四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， 当时，、、三点在同一直线上． ( 题型0 4 )斜边的中线等于斜边的一半 16．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　） A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】D 【分析】首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，即可求得AM的最小值． 【详解】解：连接AP， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， 又∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴AP＝EF， ∵∠BAC＝90°，M为EF中点， ∴AM＝EF＝AP， ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5， 当AP⊥BC时，AP值最小， 此时S△BAC＝×3×4＝×5×AP， 解得AP＝2.4， ∴AP的最小值为2.4， ∴AM的最小值是1.2， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键． 17．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，，，点和点分别在和上，是的中点，若是的中位线，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据勾股定理可得出，根据三角形中位线定理，可得，，即，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 又∵是的中点， ∴， 故答案为． 18．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图1，在中，是边上一点，过点作交的延长线于点，以为边作．延长交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，延长交于点，取的中点，连接．若，，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再结合，可证明结论； （2）由，得，可证，得，进而得，进而可证，得，再根据，四边形是平行四边形； （3）由且，知．进而可知点E是三条高线的交点，得，取中点Q，连接、，由直角三角形的性质可知，由三角形的中位线的性质可知，，当M、Q、N三点共线时，取最大值，进而可求解． 【详解】（1）证明：延长交于点 ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵，． ∴． ∴． ∴．即． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵且， ∴． 又∵， ∴点E是三条高线的交点． ∴． ∴是直角三角形． 取中点Q，连接、． ， 又∵点N是中点， ， ∴当M、Q、N三点共线时，取最大值． ∴最大． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 19．（23-24八年级下·福建·期末）已知：如图，在中，． (1)求作：斜边边上的中线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】作的垂直平分线即可； 延长到点使，先证明四边形为平行四边形，则判断四边形为矩形，所以，从而得到． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：延长到点使， 为边上的中线， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ． 【点睛】本题考查了作图基本作图和矩形的判定与性质，熟练掌握种基本作图是解决问题的关键． ( 题型0 5 )证明四边形是矩形 20．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 21．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下面是小东完成“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线交于点O； ②连结并延长，在延长线上截取； ③连结，． 所以四边形为所求作的矩形． (1)请根据小东的尺规作图，补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图﹣基本作图，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意正确作出图形． （1）根据要求作出图形； （2）根据有一个角是的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求． （2）证明：垂直平分， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 22．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，已知在中，点D在边上．    (1)求作四边形，使得，且；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，点F在边上，且，连接．当时，探究四边形的形状． 【答案】(1)见解析 (2)矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定： （1）如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，则即为所求． （2）先由平行四边形的性质得到，，再证明得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，则即为所求．    （2）解：由作图方法可知四边形 为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 23．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，是对角线上一点，连接，． (1)尺规作图：过点作交于点，连接；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以为边作，交于即可；做法不唯一； （2）连接，交于点，证明，得到，从而可得四边形是平行四边形，再证明，利用勾股定理的逆定理得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）连接，交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ，． 在与中， ． 又， 四边形是平行四边形， ． ， ， 由勾股定理的逆定理得，， 是矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，矩形的证明，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理． 24．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，矩形中，，，点E、点F分别是对角线上的点，且，过点E作，交于点G，平移，使B、F的对应点分别是G、H，连接． (1)当是以为腰长的等腰三角形时，求的长； (2)连接．判断四边形的形状，并说明理由； 【答案】(1)的长为2或5 (2)矩形，详见解析 【分析】（1）利用勾股定理求得的长，再分和情况讨论即可求解； （2）证明，推出，，再证明四边形是平行四边形，据此即可得到四边形是矩形． 【详解】（1）解：矩形中，，， ∴， ①当时，； ②当时，， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，CE的长为2或5； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； ∴，， ∴，即， ∴， ∵平移得， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． ( 题型0 6 )根据矩形的判定与性质求线段长 25．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点为边上一个动点(不与点、重合)，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，先由矩形的判定定理得出四边形是矩形，连接，则；所以要使，即最短，只要即可，然后根据三角形的等积转换即可求得的值 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ∴， ∴， 又∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小，即当时, 最小， ∵ ∴， ∴线段的最小值为2.4， 故答案为：2.4 26．（23-24八年级下·福建·期末）已知．    (1)按下列步骤利用尺规作图（保留作图痕迹，标明字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点； ②连接并延长； ③以为圆心，为半径画弧，交的延长线于点； ④连接，，得四边形． (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据提示，作图即可； （2）根据作图，结合，证明四边形为矩形，勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，四边形如图所示．    （2）由作图可知，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握基本作图方法，正确的画出四边形． 27．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4.8 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理．因为四边形是矩形，则，，利用勾股定理求出，则可求． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 在中， ， ． 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是要证明，此题根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进一步得出四边形为矩形，则有，当时，最小，即可解答 【详解】解：连接，如图所示， ， ， 为直角三角形， 则， 又于点，于点， 四边形为矩形， ， 当时，最小，即此时有最小值， ， 即， ， 故选：C 3．（23-24八年级下·福建·期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 二、填空题 4．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在矩形中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交分别于点E，F，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意知，，，是线段的垂直平分线，，设，则，在中，由勾股定理得，，即，解方程，再证明，则；进而即可求解．本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理．全等三角形的判定与性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交分别于点E，F ∴是线段的垂直平分线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∵ ∴ ∵， ∴ ； 故答案为： 三、解答题 6．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在矩形中，若点E是线段上的一动点，将沿直线翻折，C点的对应点为F点．    (1)若点F落在矩形内，且满足，请用尺规在图1中作出F点（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写作法）． (2)如图2，已知，，若点F恰好落在线段上，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）分别以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，F点即为所作； （2）设，过作于点，交于点，求出，，然后在中，利用勾股定理构建方程，求解即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示， ； （2）解：由折叠的性质得，， 设，则，， 在中，， ∴， 在中，， ， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，尺规作图，二次根式的混合运算等知识，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 7．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，四边形是矩形，、相交于点，在中，，的垂直平分线与矩形对角线重合． (1)求证：； (2)当，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据直角三角形的性质证明，根据四边形是矩形，得，进而可以解决问题； （2）连接，证明，得，再根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）矩形中，是上一点． (1)求作点，使点与关于的对称；（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若点三点共线，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质、轴对称的作图及性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）以点E为圆心，的长为半径，以点A为圆心，为半径，分别画弧，两弧相交于点E，则点E即为所求； （2）连结，记与相交于点，由勾股定理得，当点三点共线时，，利用等积法求出．在中由勾股定理得，由点B和点E关于对称得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：点即为所求作的点，如图1； （2）解：连结，记与相交于点，如图2， 在中，， 由勾股定理得，， 当点三点共线时，， ， ， 即， ． 在中，由勾股定理得，， ∵点B和点E关于对称， ∴ ， ． 9．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，矩形． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长，交于点，即可获得答案； （2）首先根据矩形的性质可得，，，，结合角平分线的性质和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：作的角平分线，如下图所示； （2）解：如下图， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵为平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知矩形，点是中点，连接． (1)尺规作图：求作与关于直线对称的，点是对应点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接，，延长交于，当恰为中点时，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质知识，解题的关键是： （1）以C为圆心，为半径画弧，以E为圆心，为半径画弧，两弧相交于F，连接，即可； （2）先判断，利用等边对等角得出，利用余角的性质得出，利用等角对等边得出，利用等边对等角得出，利用三角形内角和定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：是直角三角形， 理由：如图， ∵矩形， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵、关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． 11．（23-24八年级下·福建·期末）已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接． (1)尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证：四边形为平行四边形 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （）由矩形得到，，，，再证明得到，进而得到，即可求证； 本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形为平行四边形． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 矩形 题型概览 题型01利用矩形的性质求解 题型02利用矩形的性质证明 题型03矩形与折叠问题 题型04斜边的中线等于斜边的一半 题型05证明四边形是矩形 题型06根据矩形的判定与性质求线段长 ( 题型01 ) 利用矩形的性质求解 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图， 在矩形中，对角线相交于点， 若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E在AC上，CE＝BC．BE的延长线交AD于F，若∠ACB＝36°，连接OF，则下列结论正确的是（　　） A．BF＝BC B．BF＝CD C．OF⊥BD D．OE＝2AE 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，矩形中，点分别是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，矩形中，，，连接，若点分别是上的两个动点，则之和的最小值为（    ） A．10 B．13 C． D． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，点是对角线的中点，点、分别在边、上，且过点，若，，则的长为 ． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 7．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线交于点O．若，，则的长为（   ） A． B．8 C． D．16 ( 题型02 ) 利用矩形的性质证明 8．（23-24八年级下·福建·期末）如图，矩形的对角线交于点O，点E，F分别是上的点，且，连接．求证：． 9．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在矩形中，点分别在边上，． (1)求证：； (2)已知平分，交于点，交于点．依题意补全图形，并证明点是的中点． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）矩形中，，． (1)尺规作图：求作一点E，使得和关于对角线对称；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，设与相交于点F，求的面积． ( 题型03 ) 矩形与折叠问题 11．（23-24八年级下·福建莆田·期末）如图，将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，已知，则的长为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 12．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是上一点，连接，将沿折叠，使点D落在矩形内的点G处，若点G恰好在矩形的对角线上，则的长为 ． 13．（23-24八年级下·福建南平·期末）动手操作：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到线段． 求的度数． 14．（23-24八年级下·福建厦门·期末）纸张在生活中必不可少，通常使用的不同类型纸张的长和宽都有固定的尺寸，查阅资料可知，这些类型的纸张都是长与宽的比为的矩形，这样的矩形通常称为“黄金矩形”． 如图，矩形是“黄金矩形”，，点在边上，将沿折叠，使点A落在边上的点处． (1)求证：是等腰直角三角形： (2)点关于直线的对称点是点，探究与之间的数量关系，并说明理由． 15．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某数学兴趣小组开展《矩形的折叠》实验，甲、乙两同学各分到一张相同大小的矩形纸张，，，并对该纸张的折叠进行如下实验探究： 甲同学： 如图1，连接，把沿折叠，使点与点重合，与交于点． 乙同学： 步骤1：如图2，点、分别在、上，把矩形沿折叠，使得 与重合； 步骤2：点为边上的动点(与点、不重合)，沿折叠得到． 结合两个同学的实验，探究下列问题：    (1)对于甲同学的实验，求证：； (2)对于乙同学的实验，若点在线段上，试探索：当为何值时，、、三点在同一直线上？请说明理由． ( 题型0 4 )斜边的中线等于斜边的一半 16．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　） A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2 17．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，，，点和点分别在和上，是的中点，若是的中位线，则的长度为 ． 18．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图1，在中，是边上一点，过点作交的延长线于点，以为边作．延长交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，延长交于点，取的中点，连接．若，，求的最大值． 19．（23-24八年级下·福建·期末）已知：如图，在中，． (1)求作：斜边边上的中线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． ( 题型0 5 )证明四边形是矩形 20．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 21．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下面是小东完成“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线交于点O； ②连结并延长，在延长线上截取； ③连结，． 所以四边形为所求作的矩形． (1)请根据小东的尺规作图，补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是矩形． 22．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，已知在中，点D在边上．    (1)求作四边形，使得，且；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，点F在边上，且，连接．当时，探究四边形的形状． 23．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，是对角线上一点，连接，． (1)尺规作图：过点作交于点，连接；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，，求证：四边形是矩形． 24．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，矩形中，，，点E、点F分别是对角线上的点，且，过点E作，交于点G，平移，使B、F的对应点分别是G、H，连接． (1)当是以为腰长的等腰三角形时，求的长； (2)连接．判断四边形的形状，并说明理由； ( 题型0 6 )根据矩形的判定与性质求线段长 25．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点为边上一个动点(不与点、重合)，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 26．（23-24八年级下·福建·期末）已知．    (1)按下列步骤利用尺规作图（保留作图痕迹，标明字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点； ②连接并延长； ③以为圆心，为半径画弧，交的延长线于点； ④连接，，得四边形． (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 27．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建·期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 二、填空题 4．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是 ． 5．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在矩形中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交分别于点E，F，则的长为 ． 三、解答题 6．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在矩形中，若点E是线段上的一动点，将沿直线翻折，C点的对应点为F点．    (1)若点F落在矩形内，且满足，请用尺规在图1中作出F点（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写作法）． (2)如图2，已知，，若点F恰好落在线段上，求线段的长． 7．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，四边形是矩形，、相交于点，在中，，的垂直平分线与矩形对角线重合． (1)求证：； (2)当，求的长． 8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）矩形中，是上一点． (1)求作点，使点与关于的对称；（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若点三点共线，求的长． 9．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，矩形． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求长． 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知矩形，点是中点，连接． (1)尺规作图：求作与关于直线对称的，点是对应点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接，，延长交于，当恰为中点时，试判断的形状，并证明你的结论． 11．（23-24八年级下·福建·期末）已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接． (1)尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证：四边形为平行四边形 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$