专题03 平行四边形（7大考点经典基础练+优选提升练）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平行四边形 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质证明 题型03判断能否构成平行四边形 题型04证明四边形是平行四边形 题型05利用平行四边形的性质和判定证明 题型06与三角形中位线有关的求解问题 题型07与三角形中位线有关的证明 ( 题型01 ) 利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，对线与相交于点，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，的周长为，平分，若，则的长度是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平行四边形中，则 ． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在中，，对角线与交于，则与的周长之差是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在 中，尺规作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧交 于点 ；（2）分别以点 为圆心，以大于 的一半长为半径画弧交于点 ，作射线 交 于点 ． 若，则 的长为 ． 8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点D在平面内，且四边形是平行四边形，则当线段最小时，点D的坐标为 ． 9．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，平行四边形中，过对角线的交点，且与边分别相交于． (1)判断图形的面积关系：________； (2)若，，，求四边形的周长． 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）平行四边形 中， 对角线，相交于点，点在边上，且 ． (1)求作点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，， ，求的度数． ( 题型02 ) 利用平行四边形的性质证明 11．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 12．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，点E、F分别在上，且，连接与相交于点O，求证：O是的中点．    13．（23-24八年级下·福建·期末）在中，E、F分别是、边上的点，且．求证：． 14．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在中，点E是边上一点，延长交的延长线于点F，将沿翻折得到，延长交于点M． (1)如图1，若E为的中点． ①求证：； ②连接，求证：． (2)如图2，连接交于点H，若G是的中点，．请判断与的数量关系，并说明理由． ( 题型03 ) 判断能否构成平行四边形 15．（23-24八年级下·福建·期末）如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 16．（23-24八年级下·福建·期末）已知（如图1），求作：平行四边形．如图2、图3是嘉琪的作图方案，其依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 17．（23-24八年级下·福建·期末）依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·福建·期末）四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是(　　) A． B．， C．， D． ( 题型0 4 )证明四边形是平行四边形 19．（23-24八年级下·福建泉州·期末）阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    20．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是对角线，，垂足为E，，垂足为F，，．求证：四边形是平行四边形． 21．（23-24八年级下·福建·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，， 求证：四边形ABCD是平行四边形． ( 题型0 5 )利用平行四边形的性质和判定证明 22．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点且，求证：四边形为平行四边形． 23．（23-24八年级下·福建·期末）已知点E、F分别是平行四边形的边、的中点．求证：． 24．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 25．（23-24八年级下·福建·期末）已知：如图，点E，F是中边上的点，且，连接．求证：． 26．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知：知图，是的对角线所在直线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 27．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，在平行四边形中，点E，F分别是，的中点． 求证：． ( 题型0 6 )与三角形中位线有关的求解问题 28．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，的对角线 交于点 ，点 是 的中点，若 ，则 的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 29．（23-24八年级下·福建漳州·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 30．（23-24八年级下·福建·期末）如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．5 31．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 . 32．（23-24八年级下·福建·期末）如图，是的中线，E，F分别是的中点，，则的长为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 33．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，过点C作交的延长线于点F，则下列与相等的角是（　　） A． B． C． D． 34．（21-22八年级下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，AE，CD相交于点F，连接BF，DE，下列线段中，是△ABC的中位线的是（      ） A．DE B．AE C．CD D．BF ( 题型0 7 )与三角形中位线有关的证明 35．（23-24八年级下·福建·期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF． 37．（23-24八年级下·福建漳州·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，______． 求证：______． 证明： 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 2．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交于点，连接．若的周长为8，则平行四边形的周长为（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，A、G、E在同一直线上，则点G到的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，的角平分线交边于点，交的延长线于点，则的长是 ． 7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则 度． 8．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，对角线交于点O，的平分线交于点E，连接． 下列结论： ①平分；②垂直平分；③④其中正确的是 (写出所有正确结论的序号)． 9．（23-24八年级下·福建·期末）如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 三、解答题 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）阅读下列材料并完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形中，设，与不平行，E，F分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接并延长至点G，使，连接 ∵E是的中点 ∴（依据） ∵F是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴； 方法二：如图3，连接，取的中点M，连接． … 任务： (1)填空：材料中的依据是指 ； (2)将方法二的证明过程补充完整； (3)如图4，在五边形中，，，，．F，G分别是边的中点，则线段长的取值范围是 ． 11．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，，，． (1)求证：； (2)求的长． 12．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在中，交于点O，E，F分别是，的中点，连接，． 求证：． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）数学课上，李老师证明了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．受此启发，数学活动小组开展实践活动，探索梯形的中位线与上下底之间的数量关系（注：只有一组对边平行的四边形是梯形；连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线）．    (1)【动手操作】如图，已知，线段，点在射线上．在射线上取一点，作梯形，使得点在内部，且，（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)【提出猜想】分别取，中点，，连接．对于不同的点的位置，通过观察和测量，猜想并直接写出与，之间的数量关系（用等式表示）； (3)【验证猜想】请用你所学过的知识证明上述猜想． 14．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，平行四边形中，分别延长，至点，，连接，，，．若，求证：四边形是平行四边形． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质证明 题型03判断能否构成平行四边形 题型04证明四边形是平行四边形 题型05利用平行四边形的性质和判定证明 题型06与三角形中位线有关的求解问题 题型07与三角形中位线有关的证明 ( 题型01 ) 利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等的性质．根据平行四边形的对角相等的性质即可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，对线与相交于点，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解答即可，熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 【详解】、∵四边形是平行四边形， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，的周长为，平分，若，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，，再结合角平分线的定义得出，推出，计算即可得解． 【详解】解：∵的周长为， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平行四边形中，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得出，，结合得出，再由得出，即可得解． 【详解】解：如图， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在中，，对角线与交于，则与的周长之差是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到的周长，的周长，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵在中，，对角线与交于， ∴ ∵的周长，的周长 ∴与的周长之差 故选：D． 6．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，理解并掌握平行四边形的性质是解题关键．根据题意，设，则，根据“平行四边形的邻角互补”可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴可设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得，即． 故选：B． 7．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在 中，尺规作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧交 于点 ；（2）分别以点 为圆心，以大于 的一半长为半径画弧交于点 ，作射线 交 于点 ． 若，则 的长为 ． 【答案】 【分析】设、的交点为O，由作图可知是的垂直平分线，进而可得，．再证，根据“等腰三角形三线合一”可得 ，进而可得． 本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设、的交点为O． 由题意得是的垂直平分线， ，， 又， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点D在平面内，且四边形是平行四边形，则当线段最小时，点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短、坐标与图形，设，由平行四边形的性质和中点坐标公式可得，，再由垂线段最短即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 即，， ∵当轴时，线段的值最小， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，平行四边形中，过对角线的交点，且与边分别相交于． (1)判断图形的面积关系：________； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，设平行四边形的边上的高为，再由    即可得解； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设平行四边形的边上的高为， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 由（1）可得， ∴，， ∴四边形的周长． 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）平行四边形 中， 对角线，相交于点，点在边上，且 ． (1)求作点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，， ，求的度数． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（）根据作垂直平分线的作法即可求解； （）由四边形是平行四边形，则，再根据勾股定理逆定理得，最后由等边对等角即可求解； 本题考查了尺规作图——作垂线，平行四边形的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图， 以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点， 分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点， 连接，交于点， ∴点即为所求； （2）如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ( 题型02 ) 利用平行四边形的性质证明 11．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 【答案】详见解析 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键． 12．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，点E、F分别在上，且，连接与相交于点O，求证：O是的中点．    【答案】见解析 【分析】只需要利用证明即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，即O是的中点． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键． 13．（23-24八年级下·福建·期末）在中，E、F分别是、边上的点，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在中，点E是边上一点，延长交的延长线于点F，将沿翻折得到，延长交于点M． (1)如图1，若E为的中点． ①求证：； ②连接，求证：． (2)如图2，连接交于点H，若G是的中点，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明过程见解析；②证明过程见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，，再由E为的中点，可得，再根据全等三角形的判定即可得证； ②连接，由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，从而可得，根据等角对等边可得，再根据等腰三角形的性质即可得证； （2）过点作交于点K，首先推导出，由折叠的性质可得，，，进而得出，可得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴； ②如图，连接， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 由①可得，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作交于点K， 由（1）②得，，， 由折叠的性质得，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形外角的性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键． ( 题型03 ) 判断能否构成平行四边形 15．（23-24八年级下·福建·期末）如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据各选项对比平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、符合两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； B、符合两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故符合题意； D、符合对角线相互平分的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； 故选：C． 16．（23-24八年级下·福建·期末）已知（如图1），求作：平行四边形．如图2、图3是嘉琪的作图方案，其依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【命题意图】本题考查了复杂的尺规作图、平行四边形的判定，解题的关键是理解尺规作图的隐含条件和根据平行四边形的判定解答．根据作图过程分析进行判断即可． 【详解】由图可知先作的垂直平分线，则点O为的中点，然后以为半径作图．由作图可知， 可得：，，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 进而得出四边形是平行四边形， 故选：B． 17．（23-24八年级下·福建·期末）依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确； 一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 18．（23-24八年级下·福建·期末）四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是(　　) A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A、只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误； B、 ，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确； C、 ，，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误； D、对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故错误， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． ( 题型0 4 )证明四边形是平行四边形 19．（23-24八年级下·福建泉州·期末）阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    【答案】平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 20．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是对角线，，垂足为E，，垂足为F，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，可证，由平行四边形的判定可得结论． 【详解】证明：∵，， ∴． 在和中， ∴． ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 21．（23-24八年级下·福建·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，， 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证． 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO． ∵AO=CO， ∠AOB=∠COD， ∴△ABO≌△CDO． ∴AB=CD， 又∵AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． ( 题型0 5 )利用平行四边形的性质和判定证明 22．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于O，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 23．（23-24八年级下·福建·期末）已知点E、F分别是平行四边形的边、的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．由平行四边形的性质，推出，进而证明四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． 又点E、F分别是平行四边形的边、的中点， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． 24．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．由四边形是平行四边形，即可得，，又由、分别为边、的中点，可得四边形是平行四边形，进而得出答案． 【详解】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，． 又因为、分别是、的中点， 所以，， 则． 又， 所以四边形是平行四边形． 25．（23-24八年级下·福建·期末）已知：如图，点E，F是中边上的点，且，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定定理和性质是解题关键． 根据平行四边形的性质证得，根据等式的性质可得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形． ． 26．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知：知图，是的对角线所在直线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，最后证明，即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接，交于点O． 四边形是平行四边形， ． 又， ，即， 四边形是平行四边形． 27．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，在平行四边形中，点E，F分别是，的中点． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质和线段中点的有关计算，证明四边形是平行四边形，进而即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， E，F分别是的边，上的中点， ，， ，， 四边形是平行四边形， ． ( 题型0 6 )与三角形中位线有关的求解问题 28．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，的对角线 交于点 ，点 是 的中点，若 ，则 的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及三角形及中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：， 点是的中点， 由于点 是 的中点， 是的中位线， ， ， 故选A． 29．（23-24八年级下·福建漳州·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质、矩形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：点，分别为，的中点， 是的中位线，， ， 在和中， ， ， ∴， 长方形的面积为：， 的面积是48， 故选：B． 30．（23-24八年级下·福建·期末）如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．5 【答案】B 【分析】首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键． 31．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 . 【答案】 【分析】连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差． 【详解】解：如图，连接，过A作于M； 则； ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得； ∵点为的中点，点为的中点， ∴； 当G与C重合时，最长且为，此时； 当G与M重合时，最短且为，此时； ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键． 32．（23-24八年级下·福建·期末）如图，是的中线，E，F分别是的中点，，则的长为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查中线定义，中位线定理．根据题意利用中位线即可得到，再利用中线定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：A． 33．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，过点C作交的延长线于点F，则下列与相等的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得，再由题意得是的中位线，，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理和平行线的性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 34．（21-22八年级下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，AE，CD相交于点F，连接BF，DE，下列线段中，是△ABC的中位线的是（      ） A．DE B．AE C．CD D．BF 【答案】A 【分析】根据三角形中位线的定义，即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． 故选：A 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义，熟练掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线是解题的关键． ( 题型0 7 )与三角形中位线有关的证明 35．（23-24八年级下·福建·期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC，EF＝BC，再求出OE与BC的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝BC， ∵OE＝2OF， ∴OE＝×BC＝BC， 设点A到BC的距离为h， 则S△ABC＝BC•h，S△AOC＝OE•h＝×BC•h＝BC•h， ∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1． 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的面积，熟记定理并用BC表示出OE是解题的关键． 36．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF． 【答案】证明见解析． 【分析】连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，根据三角形中位线定理得到PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论． 【详解】证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP， ∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点， ∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线， ∴PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC， ∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠PEF＝∠PFE， ∴∠AHF＝∠BGF． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 37．（23-24八年级下·福建漳州·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，______． 求证：______． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了数学语言，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理易证四边形是平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分，即可证明结论． 【详解】解：已知：如图，在中，点、分别是、的中点，是边上的中线． 求证：与互相平分． 证明：如图，连接、， 是边上的中线， 点是的中点， 点、分别是、的中点， 、是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质得出，由，根据勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ∵， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，由在中，的平分线交于点E，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：D． 3．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交于点，连接．若的周长为8，则平行四边形的周长为（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考平行四边形性质求周长，涉及中垂线的判定与性质等知识，先由平行线性质得到，再由已知判定是线段的中垂线，从而由中垂线的性质得到，由的周长为8，结合平行四边形对边相等即可得到平行四边形的周长，熟练掌握平行四边形性质及中垂线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：在平行四边形中，对角线，相交于点，则， ， 是线段的中垂线，则， 的周长为8， ， 在平行四边形中，，，则平行四边形的周长为， 故选：D． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定，连接，先根据平行四边形的性质得到，，再证明，得到，则可判定四边形为平行四边形，则，再证明四边形为平行四边形，得出，最后阴影部分的面积即可求解，熟练运用平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：． 5．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，A、G、E在同一直线上，则点G到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明，可得，然后利用勾股定理可得求出的长，进而可得的值． 【详解】解：如图，作于点F， ∵点E是边上的中点， ∴， 由折叠可知：， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵于点F， ∴， 在和中， 根据勾股定理，得，即， 解得， ∴=， ∴， 故选D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，的角平分线交边于点，交的延长线于点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边；由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则 度． 【答案】30 【分析】根据平行四边形的性质得出，由折叠可知，，进而推出，，则，以为边构造等边三角形，连接， 通过证明，得出，进而得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， 以为边构造等边三角形，连接， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，等腰三角形，利用相关性质解答． 8．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，对角线交于点O，的平分线交于点E，连接． 下列结论： ①平分；②垂直平分；③④其中正确的是 (写出所有正确结论的序号)． 【答案】①②/②① 【分析】证明为等边三角形，得到，结合，推出，得到，进而得到，判断①，三线合一判断②，推出为含30度角的直角三角形，勾股定理求出的长，含30度角的直角三角形的性质，得到的关系，判断③，三角形的中线结合面积公式判断④． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；故①正确； ∵，， ∴， ∴垂直平分；故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴；故③错误； ∵为的中线， ∴故④错误； 综上：正确的是①②； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 9．（23-24八年级下·福建·期末）如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）阅读下列材料并完成相应的任务． 四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形中，设，与不平行，E，F分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接并延长至点G，使，连接 ∵E是的中点 ∴（依据） ∵F是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴； 方法二：如图3，连接，取的中点M，连接． … 任务： (1)填空：材料中的依据是指 ； (2)将方法二的证明过程补充完整； (3)如图4，在五边形中，，，，．F，G分别是边的中点，则线段长的取值范围是 ． 【答案】(1)三角形的中位线定理 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理， （1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可； （2）根据三角形的中位线定理，得到，，，结合三角形的三边关系进行即可得出结论； （3）连接，勾股定理求出的长， 【详解】（1）解：如图2，连接并延长至点G，使，连接 ∵E是的中点， ∴（三角形的中位线定理）； 故答案为：三角形的中位线定理； （2）如图3，连接，取的中点，连接． 点，点分别是和的中点， ，且． 同理：，且． ． 在中，． 即． （3）连接， ∵，， ∴， 由（1）中结论可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和等角对等边是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义和平行四边形的性质证得，进而得到，然后利用勾股定理的逆定理可得结论； （2）由平行四边形的性质和平行线的性质得到，，在中用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：由（1）可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 12．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在中，交于点O，E，F分别是，的中点，连接，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．证明四边形是平行四边形是解题的关键．根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，利用中点的意义得出，从而利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定是平行四边形，从而得出结论． 【详解】证明：如图，连接，， 四边形是平行四边形， ． 分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）数学课上，李老师证明了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．受此启发，数学活动小组开展实践活动，探索梯形的中位线与上下底之间的数量关系（注：只有一组对边平行的四边形是梯形；连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线）．    (1)【动手操作】如图，已知，线段，点在射线上．在射线上取一点，作梯形，使得点在内部，且，（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)【提出猜想】分别取，中点，，连接．对于不同的点的位置，通过观察和测量，猜想并直接写出与，之间的数量关系（用等式表示）； (3)【验证猜想】请用你所学过的知识证明上述猜想． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是解题的关键；（1）根据题意作图即可；（2）通过观察和测量可进行猜想；（3）证法一是根据，可知，，，证明，从而证明是中点，从而得到猜想结论；证法二是根据，为，中点，可知，分别是和的中位线，可得到，根据由于过一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以证明猜想． 【详解】（1）    ∴四边形为所求作的梯形． （2）通过观察和测量，猜想：； （3）证法一：连接并延长，交的延长线于点．   ， ，， 为中点， ， ， ∴，， 即是中点． 是中点， 是的中位线， ∴， ∴． 证法二：连接，取中点，连接，．   ，为，中点， ，分别是和的中位线， ∴，，，． ， 由于过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，在同一条直线上， ∴． 14．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，平行四边形中，分别延长，至点，，连接，，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键． 首先证明，进而证明得到，，即可得到答案． 【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴，，     ∴， ∴， 即，、． 在和中， ，     ，，          四边形是平行四边形． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$