专题06 折线统计图、找次品、打电话问题-2024-2025学年五年级数学下学期期末备考真题分类汇编（四川地区专版）

2024-2025学年度期末提升秘钥 ——紧密结合·提升能力·把握重点·助力满分 各位老师好！本资料依据不同地区期末考试的命题特点与考纲要求，紧密结合期末阶段所涉及的核心知识点，进行了细致且全面的分类整理。 在真题筛选方面，我们广泛收集了多个地区近年来具有代表性的期末真题，按照知识点和题型进行双重分类编排。针对不同知识点，分别整理了填空题、选择题、计算题、应用题等多种题型的真题。学生通过练习这些真题，既能精准把握各地区考试的命题风格与常考知识点，又能在针对性练习中提升解题能力，熟悉各类题型的答题技巧。 无论是日常课堂教学作为辅助讲解材料，帮助学生及时巩固所学知识；还是课后学生自主复习，进行有针对性的强化训练；亦或是在阶段性复习时，借助资料梳理知识体系，查漏补缺，本套资料都能发挥巨大作用，成为您期末教学路上的得力助手！ 模块名称 定位 内容构成 核心优势 适用场景 期末真题汇编 助力学生熟悉考试题型、命题风格，提升解题与应考能力，把握考试重点 各地区历年真题，按模块编排，附详细答案与解析，含解题步骤、知识点 真题权威有代表性，分类便于针对性训练，解析助力总结经验 复习冲刺作模拟测试，日常针对知识板块巩固练习 期末同步知识点详解 紧扣大纲，全面深入讲解知识点，夯实基础，构建知识框架 知识点讲解（概念、定理推导等）、典型例题（解题过程与思路展示）、配套练习题（题型丰富） 知识讲解系统，由浅入深，例题与练习针对性强 日常同步学习辅助预习、复习，新知识学习初期梳理知识体系 在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处。在此，期望大家能够以敏锐的视角审视资料。如若发现任何问题，烦请您不吝指出。 一旦收到反馈，将立即修正完善。在此，衷心地感谢大家的理解与信任，期待在您的助力下，这份资料能够更好地服务于大家的学习与工作。 2025年5月8日 2025年期末真题分类汇编·四川地区专版 专题06 折线统计图、找次品、打电话问题 板块名称 专题06 折线统计图、找次品、打电话问题 资料特点 知识点系统梳理+易错点展现+真题汇编 真题汇编 按知识点分类汇总 推荐指数 ☆☆☆☆☆ （一）怎样通知最快（打电话问题 ） 原理：利用已通知的人去通知其他人，使通知人数呈倍数增长。每增加一分钟，新得到通知的人数是前一分钟得到通知人数的 2 倍（不包括最初通知者 ）。例如，第 1 分钟通知 1 人，此时共通知 1 人；第 2 分钟，已通知的 1 人再通知 1 人，加上最初通知者通知的 1 人，共通知 1 + 2 = 3 人；第 3 分钟，已通知的 3 人分别通知 1 人，共通知 3 + 4 = 7 人 。 应用：解决在规定时间内通知一定数量人员的方案设计问题，可根据人数确定最少通知时间，或根据时间确定最多能通知的人数。 （二）折线统计图 单式折线统计图 概念：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来 。 特点：不仅能看出数量的多少，还能清晰地反映出数量的增减变化情况 。例如记录一个学生一学期的考试成绩变化，用单式折线统计图可直观看到成绩是上升还是下降。 绘制方法：① 整理数据；② 画出纵轴和横轴，用一个长度单位表示一定数量；③ 根据数量多少描点；④ 用线段顺次连接各点 。 复式折线统计图 概念：有两条或两条以上的折线，用于比较两组或多组数据的变化情况 。 特点：既能反映每组数据的变化趋势，又便于对不同组数据进行比较 。比如对比两个城市一年中月平均气温的变化，复式折线统计图可清晰呈现差异。 绘制方法：与单式折线统计图类似，但要注意用不同的折线和图例区分不同组的数据 。 统计图的选择（折线统计图 ）：当需要体现数据的变化趋势时，选择折线统计图。如果只是比较数据的多少，可选择条形统计图；要表示各部分在总体中所占的百分比，则选择扇形统计图 。 （三）数学广角——找次品 找次品原理：利用天平平衡原理，通过分组称重，逐步缩小次品所在范围。一般将物品尽量平均分成 3 份 。 找次品方法：例如在 9 个物品中找 1 个次品（次品较轻 ），把 9 个物品平均分成 3 份，每份 3 个。第一次称，在天平两边各放 3 个：如果天平平衡，次品在没称的 3 个中；如果天平不平衡，次品在轻的那 3 个中。第二次称，从有次品的 3 个中任取 2 个，在天平两边各放 1 个，若平衡，没称的那个是次品；若不平衡，轻的那个是次品 。 最优策略：把待测物品分成 3 份，尽量平均分。若不能平均分，使最多的一份与最少的一份数量相差 1 ，这样能最快找出次品 。 易错点一：打电话问题中人数计算错误 【解题方法指引】：明确每一分钟新通知人数和累计通知人数的规律，可通过列表或画图辅助理解，按照人数呈倍数增长的规律计算。 【典型例题】：老师要通知 30 名同学参加活动，每分钟通知 1 人，至少需要几分钟能通知完所有人？ 【正确解答】：第 1 分钟通知 1 人，累计通知 1 人；第 2 分钟通知 2 人，累计通知 1 + 2 = 3 人；第 3 分钟通知 4 人，累计通知 3 + 4 = 7 人；第 4 分钟通知 8 人，累计通知 7 + 8 = 15 人；第 5 分钟通知 16 人，累计通知 15 + 16 = 31 人 。所以至少需要 5 分钟能通知完 30 名同学 。 【名师点评】：部分同学可能对人数增长规律理解不清，错误计算，要牢记每一分钟新通知人数是前一分钟的 2 倍（不包括最初通知者 ）这一规律。 易错点二：折线统计图绘制和解读错误 【解题方法指引】：绘制时严格按步骤，注意标注清楚单位长度、数据等；解读时关注折线走势、数据大小及变化幅度等。 【典型例题】：下面是某商场上半年销售额折线统计图，判断：该商场 3 月到 4 月销售额下降了。（ ） 【正确解答】：观察统计图，3 月销售额约为 80 万元，4 月销售额约为 90 万元，销售额是上升的，所以该说法错误。 【名师点评】：同学们可能不仔细观察数据，仅从折线倾斜方向主观判断，要准确读取数据并分析。 易错点三：找次品时分组不合理 【解题方法指引】：遵循将待测物品尽量平均分成 3 份的原则，若不能平均分，最多一份与最少一份数量相差 1 。 【典型例题】：有 10 个零件，其中 1 个是次品（次品重一些 ），用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 【正确解答】：把 10 个零件分成（3，3，4 ）。第一次称，天平两边各放 3 个：若平衡，次品在 4 个那份中，把 4 个分成（1，1，2 ），第二次称，天平两边各放 1 个，若平衡，再称剩下 2 个中的 1 个就能找出次品，共称 3 次；若第一次称不平衡，次品在重的 3 个中，再称一次就能找出次品，也是称 3 次 。所以至少称 3 次能保证找出次品 。 【名师点评】：若错误分成（2，2，6 ）等不合理的组，会增加称重次数，要掌握正确分组方法。 一、选择题 1．（23-24五年级下 四川南充 期末）王老师带的国旗班有队员8人，李老师带的舞蹈队有队员15人，张老师带的主持人社团有队员12人，假期有一个紧急活动，三位老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请你用本期学过的“打电话最快方案”，判断一下这三位老师所花最少时间之间的关系。正确选项是（    ）。 A．王老师所花最少时间最短 B．李老师所花最少时间最长 C．王老师3分钟就能通知到每一个队员 D．三个老师所花最少时间都是4分钟 2．（23-24五年级下 四川南充 期末）学校合唱团共54人，周末有一个紧急演出需要大家排练，如果老师以打电话的方式通知到每一个学生，已知每分钟通知1人，通知到所有人最少需要花（    ）。 A．3分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟 3．（23-24五年级下 四川德阳 期末）学校足球队有20人，如果采用“一传一”的方法，打电话通知每一位队员进行急训，如果打一次电话用1分钟，至少需要（    ）分钟。 A．5 B．6 C．7 4．（23-24五年级下 四川凉山 期末）要比较凉山州2024年4月、5月的气温变化情况，绘制（    ）统计图更合理。 A．单式条形 B．复式条形 C．单式折线 D．复式折线 5．（23-24五年级下 四川南充 期末）下列说法中正确的有（    ）个。 （1）一杯纯果汁，小明先喝了杯，然后加满水，再全部喝完。他总共喝了杯水和1杯纯果汁； （2）2的倍数都是合数； （3）把转化为假分数是； （4）奇数＋偶数＝奇数； （5）正方体的棱长为acm，它的表面积就为6acm2； （6）折线统计图能清楚地反映数量增减变化情况。 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24五年级下 四川广元 期末）有14个同样的零件，其中有13个质量相同，另有1个质量不足，轻一些，是次品。用天平至少称（    ）次能保证找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 7．（23-24五年级下 四川凉山 期末）在25个零件里有一个是次品，已知次品稍轻，用没有砝码的天平至少称（    ）次能保证找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24五年级下 四川南充 期末）有12盒乒乓球，每盒6个，其中有一盒里有1个次品，已知次品偏重一些，如果借助天平，那么保证找出这盒乒乓球至少要称（    ）。 A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 9．（23-24五年级下 四川南充 期末）12颗螺丝钉中有1个次品（偏轻一些），借助天平称量，有4种分组方式：12（2，2，8）；12（3，3，6）；12（4，4，4）；12（5，5，2）。其中，能够确保称3次找出次品的分组方式有（    ）。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 二、填空题 10．（23-24五年级下 四川凉山 期末）暑假期间，班主任王老师要在最短的时间内打电话通知班上48名同学参加公益活动，每分钟通知一名同学，接到电话的同学也接着继续通知其他的同学，通知到所有的同学最短需要( )分钟。 11．（23-24五年级下 四川广元 期末）校长通知老师们去打疫苗，如果用打电话的方式，每分钟通知一个人。那么通知到65位老师，至少要( )分钟。 12．（23-24五年级下 四川南充 期末）合唱团共有30人，暑假期间有一个紧急演出任务，刘老师需要尽快通知每个人，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最快( )分钟通知到所有人。 13．（23-24五年级下 四川南充 期末）下面是小明和小强立定跳远成绩统计图。 小明和小强立定跳远成绩统计图 (1)小明和小强第( )次立定跳远的成绩相同，第( )次立定跳远的成绩相差最大。 (2)小明和小强第5次立定跳远的成绩相差( )m。 (3)小明的立定跳远成绩总体呈( )趋势。 14．（22-23五年级下 四川凉山 期末）观察统计图，完成下列各题。    (1)从图中看，每隔( )小时测一次气温。 (2)最高气温在( )时，达到( )℃。 (3)( )时到( )时气温上升得最快。 15．（23-24五年级下 四川广元 期末）小黄买了10盒牛奶片，其中1盒少了4片。至少要称( )次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 16．（23-24五年级下 四川南充 期末）有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 17．（23-24五年级下 四川绵阳 期末）有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 18．（23-24五年级下 四川德阳 期末）1箱糖果有24袋，其中有23袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称( )次才能保证找出这袋糖果来。 三、判断题 19．（23-24五年级下 四川南充 期末）某合唱队共有队员49人，因节目演出需要，临时要组织集训，老师想尽快通知到每个队员。如果用打电话的方式，通知1人需要1分钟。至少需要6分钟就可以通知到每个人。( ) 20．（23-24五年级下 四川绵阳 期末）折线统计图用高低不同的点来表示数据多少，通过点与点的连线能看出数据的变化趋势。( ) 21．（22-23五年级下 四川内江 期末）要统计欢欢和乐乐5次数学成绩的变化情况，应该选用单式折线统计图。( ) 22．（22-23五年级下 四川绵阳 期末）如果要观察一个新冠肺炎病人的体温变化情况，应该选择条形统计图。( ) 23．（23-24五年级下 四川南充 期末）有12枚金币，其中1枚是假的（假金币重一些），如果借助天平，至少需要称3次才能保证将假金币找出来。( ) 24．（22-23五年级下 四川凉山 期末）16个零件中有一个次品，这个次品比其他零件稍轻，用天平至少称4次能保证找出这个次品。( ) 25．（21-22五年级下 四川南充 期末）有10盒饼干，其中一盒少了一块，用天平至少称3次就能找出这盒饼干。( ) 四、解答题 26．（23-24五年级下 四川广元 期末）学校放学时，小夏直接走路回家，行程情况统计如下图所示。到家后，小夏倒了一杯纯牛奶，先喝了整杯的，再开始做语文作业，用了小时完成；休息了一会儿，他发现牛奶凉了，就兑满了热水，又喝了半杯后，开始写数学作业，结果比完成语文作业少用了小时。然后，他就愉快地出去玩了。 （1）小夏回家途中的休息时间占路上总时间的几分之几？ （2）小夏回家做作业一共用了多少小时？ （3）在这整个过程中，小夏一共喝了多少杯纯牛奶？ 27．（23-24五年级下 四川南充 期末）某科技公司研发出了A、B两款智能扫地机器人，并对其进行了六天的试验（实验条件完全相同），下面是根据它们试验期间的清扫时长制成的折线统计图。 （1）试验第（    ）天，两款扫地机器人的清扫时长相同。 （2）试验第（    ）天，两款扫地机器人的清扫时长相差最大，相差（    ）分钟。 （3）如果两款扫地机器人清扫效果大致相同，该公司会批量生产哪一款？请说明。 28．（23-24五年级下 四川绵阳 期末）下面是小强7－12岁每年的身高与同龄男童标准身高的对比统计表。 年龄（岁） 身高（厘米） 7 8 9 10 11 12 标准身高 124 130 135.4 140.2 145.3 151.9 小强身高 122.8 132 136.5 145 156.5 170 （1）根据表中数据，补充完折线统计图。 （2）与标准身高比较，同年龄低于或高于5厘米属于正常范围，小强（    ）岁至（    ）岁身高在正常范围内。 （3）小强从（    ）岁到（    ）岁身高增长最快，身高偏高。 29．（23-24五年级下 四川南充 期末）五（2）班要在小林和小丽两位同学中，选出一名同学代表班级参加学校举行的跳绳比赛。下面是他们一周每天一分钟跳绳的情况记录，请根据图中信息解决下列问题。 （1）从图中可以看出，小林同学一分钟跳绳的最高成绩与最低成绩相差（    ）个；小丽同学一分钟跳绳的最高成绩与最低成绩相差（    ）个。 （2）从图中可知，小林同学跳绳的成绩，总体呈现（    ）趋势。（填“上升”或“下降”） （3）你会推荐哪位同学代表班级参加一分钟跳绳比赛？说说你的理由。 30．（23-24五年级下 四川德阳 期末）为了获得运动会跳绳比赛资格，明明和红红坚持每天进行1分钟跳绳练习，并把连续7天的数据进行了记录，制成了下面的折线统计图。 （1）第四天两人的成绩相差（    ）个；第七天两人的成绩相差（    ）个。 （2）红红第（    ）天和第（    ）天跳的同样多。 （3）如果推荐两人中的一个人参加运动会的跳绳比赛，你推荐谁？说说你的理由。 31．（23-24五年级下 四川凉山 期末）下面是五（1）班张雨、李萌一周每天做1分钟仰卧起坐个数统计表，请根据统计表完成下面各题。 （1）请根据统计表中的数据，将折线统计图补充完整。 （2）李萌周一做仰卧起坐的个数占周四的。 （3）张雨这一周平均每天做（    ）个仰卧起坐。 （4）现在要从两人中选一位去参加仰卧起坐比赛，你会推选谁？并简要说明推选理由。 32．（23-24五年级下 四川南充 期末）芳芳一家坐爸爸驾驶的轿车去峨嵋旅游。 芳芳爸爸驾驶轿车行驶路程情况统计表 时间/时 8 9 10 11 12 13 14 15 路程/km 100 250 350 425 芳芳爸爸驾驶轿车行驶路程情况统计图 （1）根据统计表和统计图中的已知信息，把统计表填完整，把统计图画完整。 （2）芳芳他们是（    ）时出发的。（    ）时到（    ）时他们在休息。（    ）时到（    ）时轿车行驶的速度最慢，每小时行驶（    ）千米。 33．（23-24五年级下 四川南充 期末）下面是某市两个商厦2020—2023年的营业额情况统计图。 某市两个商厦2020—2023年的营业额统计图 (1) 商厦的营业额增长得快。 (2) 年两个商的营业额相差最少。相差 万元。 参考答案 1．D 分析：王老师第一分钟通知到1个队员，第二分钟最多可通知到3个队员，第三分钟最多可通知到7个队员，第四分钟最多可通知到15个队员； 李老师第一分钟通知到1个队员，第二分钟最多可通知到3个队员，第三分钟最多可通知到7个队员，第四分钟最多可通知到15个队员； 张老师第一分钟通知到1个队员，第二分钟最多可通知到3个队员，第三分钟最多可通知到7个队员，第四分钟最多可通知到15个队员；据此解答。 详解：7＜8＜15，15＝15，7＜12＜15 由分析可得：这三位老师所花的时间都相同，最少时间都是4分钟。 故答案为：D 2．C 分析：老师首先用1分钟通知第一个学生，第2分钟由老师和1个学生两人分别通知1个学生，现在通知的一共1＋2＝3个学生，第3分钟可以通知的一共3＋4＝7个学生，以此类推直至找出通知人数大于或等于要通知的人数即可。 详解：第1分钟通知1个学生； 第2分钟通知2个学生，一共通知1＋2＝3个学生； 第3分钟通知4个学生，一共通知3＋4＝7个学生； 第4分钟通知8个学生，一共通知7＋8＝15个学生； 第5分钟通知16个学生，一共通知15＋16＝31个学生； 第6分钟通知32个学生，一共通知31＋32＝63个学生； 63＞54，所以通知到所有人最少需要花6分钟。 故答案为：C 3．A 分析：得到通知的队员可以同时通知其他队员，第1分钟，通知1名队员，第2分钟，得到通知的人数：1＋2＝3（名），第3分钟，得到通知的人数：3＋4＝7（名），以此类推，直到得到通知的人数超过20人即可。 详解：第1分钟：1名 第2分钟：1＋2＝3（名） 第3分钟：3＋4＝7（名） 第4分钟：7＋8＝15（名） 第5分钟：15＋16＝31（名） 31＞20 至少需要5分钟。 故答案为：A 4．D 分析：单式条形统计图可以清楚地看出数量的多少。 复式条形统计图可以用不同的条形表示两种以上的量的多少。 单式折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 复式折线统计图通过两组以上数据的水平进行比较，可以容易地比较出两组以上数据的变化趋势，更清楚看出各类之间的比较。 详解：要比较凉山州2024年4月、5月的气温变化情况，绘制复式折线统计图更合理。 故答案为：D 5．B 分析：（1）一杯纯果汁，小明先喝了杯，然后加满水，即加了杯水，再全部喝完，这时他总共喝了杯水和1杯纯果汁； （2）一个数除了1和它本身两个因数外，还有其他的因数，这样的数叫合数，最小的合数是4；2的最小倍数是2，2是质数； （3）把一个带分数化成假分数，分母不变，用整数部分乘分母加分子作分子； （4）根据奇数、偶数的运算性质分析即可； （5）正方体的表面积＝棱长×棱长×6； （6）根据折线统计图特点进行分析，折线统计图能清楚地反映数量增减变化情况。 据此解答即可。 详解：（1）一杯纯果汁，小明先喝了杯，然后加满水，即加了杯水，再全部喝完，这时他总共喝了杯水和1杯纯果汁；正确； （2）4是最小的合数，2的最小倍数是2，2是质数；错误； （3），≠；错误； （4）根据奇数、偶数的运算性质可知：奇数＋偶数＝奇数；正确； （5）正方体的棱长为acm，它的表面积就为a×a×6＝6a2（cm2）；错误； （6）折线统计图能清楚地反映数量增减变化情况；正确； 综上，说法正确的有（1）、（4）、（6），共3个。 故答案为：B 6．B 分析：找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。 详解：第一次分组称重： 把14个零件分成5个、5个、4个三组。先把两个5个一组的分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，则次品在天平秤较高一端的5个中。若天平秤平衡，则次品在4个的那一组。 第二次分组称重： 把较高一端的5个分成2个、2个、1个三组。把两个2个一组的分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那1个就是次品；若天平秤不平衡，则次品在天平秤较高一端的2个中。 次品在4个的那一组，把4个分成2个、2个，分别放在天平秤两端，较高一端的2个再称一次就能找出次品。 第三次分组称重： 把较高一端的2个分别放在天平秤两端，较高一端的就是次品。 因此用天平至少称3次能保证找出这个次品。 故答案为：B 7．B 分析：找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 详解：将25个零件分成（8、8、9），称（8、8），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，次品在9个中；将9个分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡，都可确定含次品的其中3个；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 故答案为：B 8．B 分析：找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 详解：称第一次，把12盒乒乓球分成（4，4，4）三组，天平每边各放一组，若平衡，次品在未称的一组，不平衡，次品在重的一组； 称第二次，再把有次品的一组4盒乒乓球分成（2，2），天平每边各放一组，次品在重的一边； 称第三次，再把有次品的2个分成（1，1），天平每边各放1个，重的就是次品。 用天平秤，至少3次才能保证找出次品。 故答案为：B 9．C 分析：12颗螺丝钉中有1个次品，把12颗螺丝钉尽可能平均分成3份，先选其中相同数量的两份来称，如果天平平衡，次品在另一份中，如果不平衡，次品在较轻的那一份中。 每次称都要除以2（第一次除外），所以哪组两次除以2，还没能找出次品，即为超过3次。 详解：A．如果天平平衡，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1，超过三次，不符合题意； B．如果天平平衡，6÷2＝3，不超过三次，符合题意； C．4÷2＝2，2÷2＝1，不超过三次，符合题意； D．如果天平不平衡，5分成三份（2，2，1），2÷2＝1，不超过三次，符合题意。 故答案为：C 10．6 分析：老师首先用1分钟通知第一个学生；第二分钟由老师和1个学生两人分别通知1个学生，现在通知的一共1＋2＝3（个）学生；第三分钟后可以通知的一共3＋4＝7（个）学生。以此类推，第四分钟后通知的一共7＋8＝15（个）学生；第五分钟后可通知到15＋16＝31（个）学生；第六分钟后最多通知到的一共31＋32＝63（个）学生。据此解答。 详解：通过分析可得： 王老师一分钟通知1个学生，2分钟一共通知3个学生，3分钟可以通知7个学生，4分钟一共通知15个学生，5分钟一共通知到31个学生，6分钟最多通知到63个学生。31＜48＜63，则通知到所有的同学最短需要6分钟。 11．7 分析：第1分钟，通知1位老师，接到通知的老师可以同时去通知其他老师，第2分钟，通知到（1＋2）位老师，第3分钟，通知到（1＋2＋4）位老师，依次类推，接到通知的人数大于65即可，据此解答。 详解：第1分钟：1位 第2分钟：1＋2＝3（位） 第3分钟：3＋4＝7（位） 第4分钟：7＋8＝15（位） 第5分钟：15＋16＝31（位） 第6分钟：31＋32＝63（位） 第7分钟：63＋64＝127（位） 至少需要7分钟才能通知到所有人。 点睛：主要考查优化问题，利用互相转告的方式，不让知道消息的所有人空闲下来是解决问题的策略。 12．5 分析：首先用1分钟通知第一个队员； 第二分钟由刘老师和第1个被通知的队员两人分别通知1个队员，现在通知的一共1＋2＝3个队员； 第三分钟可以通知的一共3＋4＝7个队员； 以此类推：第四分钟通知的一共7＋8＝15个队员； 第五分钟最多可通知到15＋16＝31个队员，由此问题解决。 详解：由分析可知： 一个合唱团有30人，暑假期间有一个紧急演出任务，刘老师需要尽快通知每个人，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最快5分钟通知到所有人。 13．(1) 2 4 (2)0.15 (3)上升 分析：（1）根据复式折线统计图可知，两条折线相交即成绩相同，两条折线距离最远时他们的成绩相差最多； （2）用小明的第5次立定跳远的成绩减小强第5次立定跳远的成绩即可； （3）根据折线统计图中小明的跳远成绩可知，小明的成绩呈现上升趋势。 详解：（1）第1次：1.68－1.6＝0.08 第2次：两条折线相交，成绩相同； 第3次：1.9－1.8＝0.1 第4次：2.0－1.7＝0.3 第5次：2.1－1.95＝0.15 0.08＜0.1＜0.15＜0.3 小明和小强第2次立定跳远的成绩相同，第4次立定跳远的成绩相差最大。 （2）2.1－1.95＝0.15 小明和小强第5次立定跳远的成绩相差0.15m。 （3）根据折线统计图中小明的跳远成绩可知，小明的成绩呈现上升趋势。 14．(1)2 (2) 14 30 (3) 10 12 分析： （1）根据横坐标的时刻，找出间隔的时间； （2）观察折线统计图，在折线最高点时，气温最高，在折线最低点时气温最低，由此读数即可； （3）分别计算8时到10时、10时到12时、12时到14时这三个时间段上升的气温，比较这三个时间段温差的大小，即可得解。 详解：（1）从图中看，每隔2小时测一次气温。 （2）最高气温在14时，达到30℃。 （3）19℃－14℃＝5℃ 25℃－19℃＝6℃ 30℃－25℃＝5℃ 5℃＜6℃ 所以10时到12时气温上升得最快。 点睛：此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 15．3 分析：找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 详解：将10盒牛奶片分为三组，分别为3盒、3盒和4盒。 第一次称重：选择两组各3盒的牛奶片进行称重。 情况A：如果两边平衡，则说明其中的6盒牛奶片都是正常的，少了4片的那盒牛奶片一定在未被称重的那组4盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少了4片的那盒牛奶片一定在较轻的那组3盒里。 第二次称重： ①对于情况A，从未称重的4盒牛奶片中分为两组各2盒，然后进行称重。较轻的那组2盒里就有少了4片的那盒牛奶片。 ②对于情况B，从已经确定包含次品的那组3盒牛奶片中取出2盒进行称重。如果两边平衡，说明未被称重的那1盒是少了4片的；如果不平衡，较轻的那1盒就是少了4片的。 第三次称重： ①对于情况A中确定的那组2盒牛奶片，再次将这两盒放在天平的两端，较轻的那一盒就是少了4片的。 因此，至少称3次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 16．4 分析：找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 详解：把70个玻璃小球分成3份，一份24个，其余两份23个，即（23，23，24），第一次称，天平两边各放23个，如果天平不平衡，次品就在较轻的23个中。把有次品的23个玻璃小球分成（7，8，8），第二次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那8个中。最后把有次品的8个玻璃小球分成（3，3，2），第三次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的那3个中。把这3个玻璃小球分成（1，1，1），第四次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，次品在剩下的1个中，如果天平不平衡，次品就是轻的那一个。 所以至少要称4次。 17．2 分析：找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 详解：将9瓶口香糖分成（3、3、3），称其中的（3、3），无论平衡不平衡都可确定较轻的在其中3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称其中的（1、1），无论平衡不平衡都可确定较轻的1瓶，共2次。 至少称2次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 18．3 分析：根据题意，本题和找次品是同类型题目，解题的关键是利用天平平衡原理来逐步进行排除，从而达到缩小范围的目的。找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 详解：将24袋糖果平均分成3份，每份8袋。 第一次把其中的两份8袋放在天平上称一称，如天平平衡，则这些称的糖果中没有轻的一袋，如天平不平衡，拿出轻一些的那8袋，继续称； 第二次把有1袋质量不足的糖果分成3袋、3袋和2袋，把其中的两份3袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的2袋里有1袋质量不足，如天平不平衡，则拿出轻一些的那3袋继续称； 第三次根据最不利原则，假设轻一些的在那3袋中，把其中2袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的那一袋是质量不足的，如天平不平衡，则轻一些的1袋是质量不足的。在上述描述中，找出质量不足的糖果的规律为：2~3个物品，至少称1次；4~9个物品，至少称2次；10~27个物品，至少称3次；28~81个物品，至少称4次； 24在10~27这个范围内，至少称3次才能保证找出这袋糖果来。 19．√ 分析：老师首先用1分钟通知第一个人，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共1＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，第四分钟可以通知7＋8＝15个队员，第五分钟可以通知15＋16＝31个队员，第六分钟可以通知31＋32＝63个队员，据此解答即可。 详解：1＋2＝3（个） 3＋4＝7（个） 7＋8＝15（个） 15＋16＝31（个） 31＋32＝63 （个） 所以至少需要6分钟可以通知到所有队员。原题表述正确。 故答案为：√ 20．√ 分析：折线统计图是用点来表示数量的，通过用数据点的连线来表示数据的变化趋势，是以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图。 详解：折线统计图是用点来表示数量的，以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化。 所以折线统计图用高低不同的点来表示数据多少，通过点与点的连线能看出数据的变化趋势。 故答案为：√ 21．× 分析：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；若有两个及两个以上的量，则应用复式统计图。由此根据情况解答即可。 详解：由分析可知： 要统计欢欢和乐乐5次数学成绩的变化情况，应该选用复式折线统计图。原说法错误。 故答案为：× 22．× 分析：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；由此根据情况选择即可。 详解：如果要观察一个新冠肺炎病人的体温变化情况，应该选择折线统计图。 故答案为：× 点睛：此题根据折线统计图、条形统计图各自的特点来判断。 23．√ 分析：可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，根据平衡与否的情况，再逐步分成等份进行称重对比，找出不同情况需要的次数，取最多的次数即为所得。 详解：可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，如平衡，则把没称的一组，再分成（2，2）放在天平上称，再把重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。如不平衡，则把重的一组，再分成（2，2）放在天平上称，找出重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。 故答案为：√ 24．× 分析：用天平称重找质量较轻的零件时，先把零件数量分成尽可能平均的三组，先称数量相同的两组，如果天平平衡那么次品在剩下一组零件里边，如果天平不平衡那么次品在天平上翘一端的零件里边，依次用天平称重，最后即可找出质量较轻的零件。 详解： 综上所述，用天平至少称3次能保证找出这个次品。 故答案为：× 点睛：熟练掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 25．√ 分析：把10盒饼干分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的3盒中；如果天平平衡，次品在剩下的4盒中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4盒饼干分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1盒，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一盒；如果天平平衡，次品在剩下的2盒中；最后把有次品的2盒饼干分成（1，1），第三次称，天平两边各放1盒，次品就是较轻的那一盒。所以用天平至少称3次就能找出这盒饼干。 详解： 有10盒饼干，其中一盒少了一块，用天平至少称3次就能找出这盒饼干。 原题说法正确。 故答案为：√ 点睛：找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 26．（1）； （2）小时； （3）杯 分析：（1）根据统计图可知，小夏休息时间用了（15－5）分钟，总时间是25分钟；用小夏休息时间除以总时间，即可求出小夏回家途中的休息时间占路上总时间的分率； （2）用小夏完成语文作业的时间－小时，求出小夏完成数学作业的时间，再加上完成语文作业时间，即可求出小夏回家做作业一共用时间； （3）把这杯牛奶的总量看作单位“1”，先喝了整杯的，即喝了杯；用1－＝杯，求出剩下牛奶的量，他发现牛奶凉了，就兑满了热水，又喝了半杯，实际上喝了杯的一半，杯的一半是杯，用先喝的杯再加上杯，即可求出小夏一共喝了多少杯纯牛奶。 详解：（1）（15－5）÷25 ＝10÷25 ＝ 答：小夏回家途中的休息时间占路上总时间的。 （2）－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝（小时） 答：小夏回家做作业一共用了小时。 （3）1－＝（杯） 杯的一半是杯。 ＋＝（杯） 答：小夏一共喝了杯。 27．（1）二 （2）六；10 （3）B款；理由见详解 分析：（1）观察复式折线统计图，当两条折线相交于一点时，说明这一天两款扫地机器人的清扫时长相同。 （2）观察复式折线统计图，当两条折线的叉口最大时，说明两款扫地机器人的清扫时长相差最大，再用减法求出相差的时间。 （3）在两款扫地机器人清扫效果大致相同的情况下，选择清扫时长较短的扫地机器人更合适，说明理由，合理即可。 详解：（1）试验第二天，两款扫地机器人的清扫时长相同。 （2）16－6＝10（分钟） 试验第六天，两款扫地机器人的清扫时长相差最大，相差10分钟。 （3）如果两款扫地机器人清扫效果大致相同，该公司会批量生产B款扫地机器人，因为随着清扫天数的增加，B款清扫用时逐渐减少且趋于平稳，说明它更智能、更省电。 28．（1）见详解； （2）7；10； （3）11；12 分析：（1）复式折线统计图中，横轴表示年龄，纵轴表示身高，单位长度表示10厘米，实线表示小强身高，虚线表示标准身高，根据表格中的数据描出各年龄对应的身高，再依次连接各点并标注数据； （2）先求出小强身高与标准身高的差，再找出身高差在5厘米以内的年龄段； （3）复式折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示2个及以上数量的增减变化情况，折线向上走势越陡身高增长越快，据此解答。 详解：（1）绘制复式折线统计图如下： （2）7岁：124－122.8＝1.2（厘米） 8岁：132－130＝2（厘米） 9岁：136.5－135.4＝1.1（厘米） 10岁：145－140.2＝4.8（厘米） 11岁：156.5－145.3＝11.2（厘米） 12岁：170－151.9＝18.1（厘米） 所以，与标准身高比较，同年龄低于或高于5厘米属于正常范围，小强7岁至10岁身高在正常范围内。 （3）观察复式折线统计图可知，小强从11岁到12岁身高增长最快，身高偏高。 29．（1）23；30； （2）上升； （3）小林同学；见详解 分析：（1）复式折线统计图中，横轴表示时间，纵轴表示数量，实线表示小林一周每天一分钟跳绳的情况，虚线表示小丽一周每天一分钟跳绳的情况，折点位置越高跳绳数量越多，折点位置越低跳绳数量越少； （2）复式折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示2个及以上数量的增减变化情况，折线走势向上总体呈现上升趋势，折线走势向下总体呈现下降趋势； （3）从两条折线的走势分析两位同学的跳绳情况，选择成绩波动较小且呈上升趋势的同学即可。 详解：（1）小林：218－195＝23（个） 小丽：223－193＝30（个） 所以，小林同学一分钟跳绳的最高成绩与最低成绩相差23个，小丽同学一分钟跳绳的最高成绩与最低成绩相差30个。 （2）从图中可知，小林同学跳绳的成绩，总体呈现上升趋势。 （3）推荐小林同学，观察复式折线统计图可知，小丽的成绩波动较大，小林的成绩稳定且整体呈现上升趋势。（答案不唯一） 30．（1）4；2； （2）五；六； （3）红红；理由见详解 分析：（1）观察复式折线统计图，分别找到第四天和第七天两人成绩，分别求差即可； （2）观察复式折线统计图，实线表示红红成绩，数据点位置一样高表示，再对照数据即可； （3）根据折线统计图的变化趋势进行分析，折线往上表示上升趋势，折线往下表示下降趋势，选成绩稳定上升的参加跳绳比赛，据此分析。 详解：（1）162－158＝4（个）、167－165＝2（个） 第四天两人的成绩相差4个；第七天两人的成绩相差2个。 （2）红红第五天和第六天跳的同样多。 （3）推荐红红参加运动会的跳绳比赛，因为红红的成绩比较稳定，一直处于上升趋势。 31．（1）见详解 （2） （3）45 （4）李萌；理由见详解 分析：（1）用虚线表示李萌数据，根据各数量的多少，在方格图的纵、横的交点上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可。 （2）李萌周一做仰卧起坐的个数÷周四做仰卧起坐的个数＝李萌周一做仰卧起坐的个数占周四的几分之几。 （3）根据平均数＝总数量÷总份数，列式计算即可。 （4）观察折线统计图，根据统计图的变化情况，推选成绩稳定的去参加仰卧起坐比赛，据此分析。 详解： （1） （2）42÷45＝＝ 李萌周一做仰卧起坐的个数占周四的。 （3）（45＋46＋44＋43＋47＋42＋48）÷7 ＝315÷7 ＝45（个） 张雨这一周平均每天做45个仰卧起坐。 （4）推选李萌去参加仰卧起坐比赛，因为张雨的成绩起伏太大，不够稳定，而李萌的成绩呈上升趋势，且较为稳定。（答案不唯一） 32．（1）见详解 （2）8；11；12；8；10；50 分析：（1）表格上每一组数据包括时间和路程，先在横轴上找到时间，再在这个时间的垂直方向找到行驶的路程，在横轴与纵轴的交点上描出表示数量多少的点，据此完成统计图和统计表； （2）在表示路程和时间的行程问题的折线统计图中，折线上升，表示向目的地运动；折线呈水平方向，表示在某地停留；折线越陡，说明速度最快，折线越平稳，说明速度越慢，再根据路程÷时间＝速度，据此求出平均每小时行驶多少千米；据此解答。 详解：（1）填表如下： 时间/时 8 9 10 11 12 13 14 15 路程/km 0 50 100 175 175 250 350 425 作图如下： （2）芳芳他们是8时出发的。11时到12时他们在休息。8时到10时轿车行驶的速度最慢， 100÷（10－8） ＝100÷2 ＝50（千米） 每小时行驶50千米。 33．(1)第二 (2) 2021 200 分析：（1）由折线图可知第二商厦的营业额走势更陡峭，所以增长得快。 （2） 2020年营业额相差8000－7500＝500（万元），2021年两个商厦的营业额相差9200−9000＝200（万元），2022年营业额相差11000－10600＝400（万元），2023年营业额相差13300－11500＝1800（万元）。 详解：（1）第二商厦的营业额增长得快。 （2）2021年两个商厦的营业额相差最少。相差200万元。 学科网（北京）股份有限公司 $$