专题04 复数（易错必刷30题6种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

专题04 复数 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　复数的几何意义 题型二　复数相等的充要条件 题型三　复数代数形式的乘除法运算 题型四　复数模的综合问题 题型五　数的三角形式乘法运算 题型六　在复数范围内解方程 题型一　复数的几何意义 1．复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 3．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 题型二　复数相等的充要条件 6、已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（    ） A． B． C．1 D．4 7、复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 8、在复平面内，点，对应的复数分别为，.若为靠近点的线段的三等分点，则点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 9、已知复数，若是纯虚数，则实数______． 10．已知复数是关于的二次方程的一个解，则（     ） A． B．1 C． D．2 题型三　复数代数形式的乘除法运算 11．已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 12．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知复数z满足，则（    ） A．i B． C． D．1 14．已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 15．若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四　复数模的综合问题 16、已知，则（    ） A． B． C． D． 17、复数，，则的最大值为（    ） A．5 B． C．6 D． 18、已知复数满足，且为实数，则______． 19、已知复数、满足，且．求的值． 20．已知是虚数，是实数． (1)求的值； (2)设，求证：为纯虚数． 题型五　数的三角形式乘法运算 21．已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 22．已知，则（    ） A． B． C． D．1 23．若复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 24．复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 25．若，其中为虚数单位，则等于（    ） A． B． C．1 D． 题型六　在复数范围内解方程 26．已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 27．已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 28．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 29．已知是方程的根，则（    ） A． B． C．2 D．3 30．设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 复数 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　复数的几何意义 题型二　复数相等的充要条件 题型三　复数代数形式的乘除法运算 题型四　复数模的综合问题 题型五　数的三角形式乘法运算 题型六　在复数范围内解方程 题型一　复数的几何意义 1．复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限. 【详解】，则共轭复数为，对应的点，在第二象限. 故选：B. 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，则， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：A. 3．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先设出复数的代数形式，再根据共轭复数的定义求出，然后将与代入已知等式，根据复数相等的条件求出的实部与虚部，最后确定在复平面内所对应的点所在的象限． 【详解】设，其中，根据共轭复数的定义可知． 将，代入可得： 根据平方差公式，可得，则上式可化为： 因为等式两边的复数相等，根据复数相等的条件，可得方程组． 由，解得． 将代入，可得，解得， 由，，可得，在复平面内，复数所对应的点的坐标为，所以该点位于第一象限． 故选：A． 4．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算化简复数，进而得复数在复平面对应的点的坐标，即可得结果. 【详解】由题意， 则复数在复平面对应的点为，在第一象限. 故选：A. 5．我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线上的点，表示出，令，根据的大小关系可排除B、D；根据时的斜率可排除C. 【详解】，故：， 曲线上的点到原点的距离，直线的斜率为， 记， 则时，有，， 即取定一条过原点的射线交两曲线交于两个点，其中离原点远的为②，排除B、D； 而末端值时，直线的斜率为，故排除C. 故选：A． 题型二　复数相等的充要条件 6、已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】令，则分别带入，中得 当时，，或； 当时，解得； 综上：或或. 故选：A 7、复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】要使复数为纯虚数，则， 若，则；若，则， 所以且． 故选：D． 8、在复平面内，点，对应的复数分别为，.若为靠近点的线段的三等分点，则点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，点，对应的复数分别为，， ，，则，， 为靠近点的线段的三等分点， ，，解得， ，对应复数为． 故选：A． 9、已知复数，若是纯虚数，则实数______． 【答案】1 【解析】因为复数，且是纯虚数， 所以，解得， 故答案为：1 10．已知复数是关于的二次方程的一个解，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数是方程，代入得，列出方程组，即可求解. 【详解】因为复数是方程， 代入得，可得， 可得，可得， 因为，所以. 故选：C. 题型三　复数代数形式的乘除法运算 11．已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据求出，求出，求出，求出. 【详解】由，有， ，， . 故选：B． 12．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，由题意得，则，分别计算其立方值，代入后即可求解． 【详解】设，则， 根据，得， 根据，得， 由，解得，故， ， 由于 ， 同理得 ， 因此得． 故选：D 13．已知复数z满足，则（    ） A．i B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算求出，根据复数的乘方运算即得结果. 【详解】由已知， 所以. 故选：D. 14．已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算及虚部概念求解. 【详解】因为， 所以z的虚部为1. 故选：B 15．若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义，求出，结合复数四则运算以及复数虚部定义求解即可 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得，则， 所以，则其虚部为4， 故选：B 题型四　复数模的综合问题 16、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 则， 故选：C. 17、复数，，则的最大值为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 18、已知复数满足，且为实数，则______． 【答案】或或． 【解析】设 化简得 解得或 将代入可得， （1）当时，即则有，此时 （2）当时，则，故有则有或 综上所述故或或． 故答案为： 或或． 19、已知复数、满足，且．求的值． 【解析】因为，所以．又， 所以， 所以，所以． 因为， 所以． 故答案为：. 20．已知是虚数，是实数． (1)求的值； (2)设，求证：为纯虚数． 【解析】（1）设（且）， 则 ， 由题意可得，又可得， 所以 （2）证明：由， 则 又，所以为纯虚数． 题型五　数的三角形式乘法运算 21．已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：设，由已知结合复数运算可得，根据复数相等可得，解方程可求，，由此可得结论； 方法二：由条件结合模的性质可得，设，由此可得，解方程求，由此可得结论. 【详解】方法一：设（且不同时为）， 由得，即， 所以，得或（不满足题意）， 故的虚部为. 方法二：因为，且，所以，即. 设（且不同时为0），则， 解得，则的虚部为. 故选：A. 22．已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到，再由共轭复数得到. 【详解】，所以， 故选：A 23．若复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用复数除法运算以及复数模的求法即可求解. 【详解】复数，则. 故选：B. 24．复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘除运算化简得出复数，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】，则，故的虚部为. 故选：D. 25．若，其中为虚数单位，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先由复数的除法运算，求出，进而可求出其共轭复数，再由复数的除法运算计算. 【详解】由，得， 则， 所以． 故选：A． 题型六　在复数范围内解方程 26．已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 【答案】D 【分析】先利用实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数求出，再利用韦达定理求出，可判断AB选项；再利用复数的乘法运算判断C；利用判断D选项. 【详解】由题可得，复数， 又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则， 则，， 则由韦达定理可知，， 所以，故A,B错误； 又，则且，故C错误； 由于，则与为方程的两根， 因为，则与也为方程的根，故D正确. 故选：D． 27．已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实系数多项式虚根成对定理，即可求解． 【详解】复数满足， 则， 是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 故选：B． 28．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得，即可得解. 【详解】设，那么原方程即为， 得故或或 所以，故方程的解的个数为6. 故选：C 29．已知是方程的根，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】代入方程，根据复数相等即可得出即可得解. 【详解】由题意，得，即， 所以，且，解得， 所以. 故选：A. 30．设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项. 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$