专题02 三角恒等变换（易错必刷35题7种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

专题02 三角恒等变换 （易错必刷35题7种题型专项训练） 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 题型二　两角和与差的正切公式 题型三　二倍角公式的简单应用 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 题型五 辅助角公式的应用 题型六　三角恒等变换在实际问题中的应用 题型七　利用半角公式化简求值问题 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 1．（2025·云南红河·三模）（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知为锐角，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 3．（2025·江西鹰潭·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且是与的等差中项． (1)求角； (2)若角的角平分线交于，若，求面积的最小值． 5．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，，求的值． 题型二　两角和与差的正切公式 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选两处作为测量点，测得的距离为，，在处测得大楼楼顶的仰角为.则大楼的高度为 . 7．（2025·黑龙江·二模）已知，且为钝角，则 . 8．（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为 . 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）某景区有一座山峰，山顶有一个端坐在天然石峰上的少女石像，石峰与石像的高度均为50m，游客从山底A处向山顶C处爬山，在P处观赏石像的视角为，坡长. (1)设，用表示； (2)已知在A处观赏石像的视角为，， （i）求坡度的大小； （ii）若在山腰P处建一座凉亭，使最大，求凉亭P与山底A的距离. 10．（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)证明：． (2)若，求面积的最大值． (3)若，求的值． 题型三　二倍角公式的简单应用 11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为 ． 12．（2025·浙江金华·三模）若，则 . 13．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）函数最大值为 ． 14．（2025·江西新余·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)证明：. (2)若的平分线AD交BC于D，，，求的值. 15．（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 16．（2025高三·全国·专题练习）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）． 17．（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数过原点. (1)求的解析式； (2)若函数的一个零点为，且，求. 18．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． 19．（24-25高一下·北京·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数的零点为，求． 20．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 题型五 辅助角公式的应用 21．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，的值域是 22．（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 23．（2025·广西·三模）已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是 . 24．（2025·福建厦门·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求A； (2)若，求周长的最大值． 25．（24-25高一下·四川南充·期中）为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成.新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. (1)求曲线段的解析式； (2)若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求的大小； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 题型六　三角恒等变换在实际问题中的应用 26．（24-25高一下·四川·期中）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点与地面的距离为（单位：m），若以点离地面最近时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系式为． (1)求点转动的频率； (2)若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益； (3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点距离地面的高度差（单位：m）关于时间的函数解析式，并求高度差的最大值． 27．（24-25高一下·辽宁大连·期中）大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 28．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要（参考数据） (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1） 29．（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中米，米，.    (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时AB的长度. 30．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为如图，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点无人机需经过补能点M更换电池，且，设 (1)当时，求无人机从A到C运输航程的值; (2)求的取值范围. 题型七　利用半角公式化简求值问题 31．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 32．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 33．（24-25高二上·安徽·开学考试）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 34．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）若是锐角，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 35．（22-23高二下·浙江·期末）内角、、满足． (1)求的大小； (2)、分别为、上的点，，且平分，求． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角恒等变换 （易错必刷35题7种题型专项训练） 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 题型二　两角和与差的正切公式 题型三　二倍角公式的简单应用 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 题型五 辅助角公式的应用 题型六　三角恒等变换在实际问题中的应用 题型七　利用半角公式化简求值问题 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 1．（2025·云南红河·三模）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，展开化简即可求解. 【详解】原式 ． 故选：A． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知为锐角，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】因为为锐角，所以， 由， 则， 则， 则， 整理得， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为. 故选：D. 3．（2025·江西鹰潭·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出的正余弦，再由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】，即， 整理可得， 因为，，所以， 所以. 故选：A 4．（2025·四川成都·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且是与的等差中项． (1)求角； (2)若角的角平分线交于，若，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求出，得解； （2）利用等面积法可得，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1） ，            又，，，. （2）因为，          则，即，，             ，等号成立当且仅当， 所以面积的最小值为. 5．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，，求的值． 【答案】(1) ;单调递增区间为 (2) 【分析】（1）观察图象，根据函数的周期信息求出，代点求出的值，即得函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求出单调递增区间. （2）根据已知条件列出等式，然后根据两角和的余弦公式展开，进而可求得的值. 【详解】（1）由函数图象可知，该函数的最小正周期满足：，所以. 则，由图象经过点，可得， 又，则，所以. 令，解得. 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，所以. 因为，所以， 则. . 即. 题型二　两角和与差的正切公式 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选两处作为测量点，测得的距离为，，在处测得大楼楼顶的仰角为.则大楼的高度为 . 【答案】 【分析】根据题意，先求出，然后利用正弦定理计算直接求出，然后利用两角和的正切公式计算即可. 【详解】由已知得， 在中， 因为， 即，所以， 所以两点间的距离为m. 在中， 因为， 所以， 又因为， ， 所以. 故答案为： 7．（2025·黑龙江·二模）已知，且为钝角，则 . 【答案】 【分析】利用两角和差的正切公式计算，再结合的范围即可求得. 【详解】由题意可得， 因为钝角，即，则，则，即. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为 . 【答案】 【分析】直接解方程即可得 【详解】令，则有或， 解得或， 又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，， 所以，，，，，，，， 故，. 所以即， 则，解得， 故答案为：. 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）某景区有一座山峰，山顶有一个端坐在天然石峰上的少女石像，石峰与石像的高度均为50m，游客从山底A处向山顶C处爬山，在P处观赏石像的视角为，坡长. (1)设，用表示； (2)已知在A处观赏石像的视角为，， （i）求坡度的大小； （ii）若在山腰P处建一座凉亭，使最大，求凉亭P与山底A的距离. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用直角三角形边角关系求出关系式. （2）（i）由（1）的结论，利用差角的正切求解；（ii）利用差角的正切、基本不等式及正切函数的性质求解. 【详解】（1）在中，，， 连接，， 所以. （2）（i）连接，由（1）知，， 两边取平方，化简得：， 即，因为锐角， 故，则. （ii）过作于，由（i）得，设， 则， 则 ，当且仅当时取等号，此时， 因函数在上单调递增，又是锐角，故最大时，也最大， 即当，时，最大，此时凉亭P与山底A的距离为. 10．（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)证明：． (2)若，求面积的最大值． (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将已知条化切为弦得，通分后利用两角和的正弦公式化简得，然后由正余弦定理化角为边可证明. （2）由基本不等式求得，然后由余弦定理得，结合同角三角函数关系及三角形面积公式得，根据求解三角形面积最大值即可. （3）结合三角形的性质利用两角和的正切公式得，再与及联立求得，再结合确定，即可得解. 【详解】（1）由，得， 得， 即． 由正弦定理及余弦定理得，得． （2）由，得， 当且仅当时，等号成立． 由余弦定理得， 则． 故面积的最大值为． （3），① 由， 得．② ③ 由①②③得得或 因为，所以，则． 题型三　二倍角公式的简单应用 11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由二倍角公式以及同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】由题意有. 故答案为：. 12．（2025·浙江金华·三模）若，则 . 【答案】/ 【分析】利用平方公式配方，利用两角差正弦公式展开，再结合齐次式弦化切，即可求解. 【详解】由 ， 故答案为： 13．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）函数最大值为 ． 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合二次函数求出最大值. 【详解】依题意，， 而，所以当时，取得最大值. 故答案为： 14．（2025·江西新余·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)证明：. (2)若的平分线AD交BC于D，，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用和差角正弦公式化简，借助于角的范围即可证明； （2）由已知条件和二倍角公式求得的值，利用等面积和（1）的结论推得即可. 【详解】（1）由及正弦定理， 得 所以， 所以， 即 由，得， 由，，可得 所以或（舍去）， 所以 （2）由，，可得 所以 因(*)， 由（1）可知，又AD平分， 故 则由(*)可得 又，则得 化简得， 两边同除以bc，得， 所以. 15．（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式计算可得； （2）利用二倍角公式及平方关系化为齐次式，再将弦化切，代入计算可得. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为， 所以. 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 16．（2025高三·全国·专题练习）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，则，，计算得到，代入数据计算得到答案. 【详解】设正方形的边长为， 则，， 则，，， 即， 整理得到， 当时，. 17．（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数过原点. (1)求的解析式； (2)若函数的一个零点为，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由周期求出，再由题意可得函数为奇函数，可得的值，可得函数的解析式； （2）由题意可得，即可求出，再由及两角差的余弦公式计算可得． 【详解】（1）由题意可得，可得，又， 而，可得，此时， 由题意可得， 要使函数为奇函数，则，， 即，，而， 所以，所以； （2）由题意令， 可得，即， 因为， 所以，所以， 所以 . 18．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． 【答案】(1)最小正周期为；最大值为4 (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及诱导公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）由已知得，再根据诱导公式及二倍角公式即可求解． 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期为； 当且仅当，即时，函数的最大值为4． （2）因为，所以，即， 所以 ． 19．（24-25高一下·北京·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数的零点为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间； （2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可. 【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 20．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用二倍角余弦公式和商数关系弦化切，求得； （2）根据条件，利用同角三角函数基本关系求出，利用两角和的正切公式求出得解. 【详解】（1）由 即，解得， 因为，所以． （2）因为，且，所以， 所以， 所以， 又，，所以， 所以． 题型五 辅助角公式的应用 21．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，的值域是 【答案】 【分析】根据三角恒等变换化简函数为，利用正弦函数的性质求解. 【详解】， ，，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 22．（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 23．（2025·广西·三模）已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是 . 【答案】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，根据偶函数的性质以及正弦函数的对称性，可得答案. 【详解】由，则， 由函数为偶函数，则轴为该函数图象的对称轴， 即，，化简可得，， 当时，取得最大负值为. 故答案为： 24．（2025·福建厦门·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求A； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，由正弦定理求得，可得答案； （2）由余弦定理得，利用基本不等式可得，可解周长最大值. 【详解】（1）.，， ， 根据正弦定理， ，， ，即， ，所以，则， ； （2）由余弦定理， 得， 根据基本不等式，，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以当时，周长最大值是6. 25．（24-25高一下·四川南充·期中）为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成.新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. (1)求曲线段的解析式； (2)若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求的大小； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）当时，取得最大值 【分析】（1）观察图象得到，进而求出，即可得到曲线段的解析式； （2）（i）在（1）中令，求出的值，在先求出锐角，即可求出；（ii）用表示出，从而得到，进而得到的表达式，即可利用三角函数求出的最大值. 【详解】（1）由题意可得，，即， 且，则， 所以曲线段FBC的解析式为； （2）（i）当时，， 又因为，则， 可知锐角，所以； （ii）由（1）可知，且， 则， 可得， 则 ； 因为，则， 可知当，即时，， 所以当时，取得最大值． 题型六　三角恒等变换在实际问题中的应用 26．（24-25高一下·四川·期中）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点与地面的距离为（单位：m），若以点离地面最近时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系式为． (1)求点转动的频率； (2)若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益； (3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点距离地面的高度差（单位：m）关于时间的函数解析式，并求高度差的最大值． 【答案】(1) (2)元 (3)函数解析式为，且的最大值为 【分析】（1）根据频率的意义求解即可； （2）先求得1秒钟的收益，进而可求1小时的收益； （3）由题意可得，利用三角恒等变换可求最大值. 【详解】（1）由题意，的周期， 频率； （2）由（1）知频率，故1秒钟叶片转动圈， 秒钟可获电量0.5度，收益为0.3元， 小时的收益为元； （3）由题意， 利用，可得： 高度差关于时间的函数解析式为，且的最大值为． 27．（24-25高一下·辽宁大连·期中）大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)，； (2)． (3)当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 【分析】（1）利用直角三角形边角关系列式求出函数关系及定义域. （2）由（1）的结论，利用正余弦齐次式法计算得解. （3）确定费用最低的条件，并设，利用辅助角公式及和和角的正弦公式求出的范围，再借助函数单调性求出最小值. 【详解】（1）在中，由，得，， 又中，由勾股定理得， 因此， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得， 设，则，， ，由，得， ，于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 28．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要（参考数据） (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案. （2）将数据代入解析式计算得到答案. （3）计算，，相减得到，计算最值得到答案. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为， 由题意可得，. （2）当时，所以， 所以游客甲在开始转动后距离地面的高度约为. （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.经过后甲距离地面 的高度为， 点B相对于点A始终落后， 此时乙距离地面的高度为. 则甲、乙距离地面的高度差， 因为， 所以. 当时，h的最大值为. 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 29．（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中米，米，.    (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时AB的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，因为C是钝角，所以，利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解． 【详解】（1），解得， 由C是钝角，得， ， 所以需要修建的隔离防护栏. （2）题意，，当且仅当时取到等号，此时， 设，在中，， ， 由，得，当，即时，， 此时. 30．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为如图，计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点无人机需经过补能点M更换电池，且，设 (1)当时，求无人机从A到C运输航程的值; (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据解三角形求出，故从A到C运输航程； 由已知，，，根据无人机的最远距离，列不等式求出，令，，因为，所以，求解即可. 【详解】（1） 当时，，作， 则，所以， 故从A到C运输航程； （2）由已知，， ，， 因为无人机最远运输距离为， 所以， 所以， ， 令，， 因为，所以， ， 当时，， 当时，， 故的范围是 题型七　利用半角公式化简求值问题 31．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 【答案】/ 【分析】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解. 【详解】因为、为关于x的方程的两个根， 所以， 又因为， 所以， 又，所以， ， 故答案为： 32．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 【答案】1 【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 33．（24-25高二上·安徽·开学考试）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，代入公式计算，结合正弦差角公式得到答案； （2）利用三角恒等变换化简，从而，平方相加，得到，结合，求出，从而消元，结合得到，得到，求出，. 【详解】（1）， 其中. （2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由如下： ， 只需，则， 即，整理得， 因为，， 所以，，， 则， 所以，则， 所以， 即， 整理得，故， 因为，所以，， 则，， 检验，将，代入得 ，满足要求， 故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值， 此时. 34．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）若是锐角，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据是钝角和同角三角函数的平方关系可求得的值； （2），利用两角差的余弦公式，代入数值即可求得的值； （3）利用及诱导公式，代入数值可得. 【详解】（1）因是锐角，且， 所以是钝角，且. （2） . （3）. 35．（22-23高二下·浙江·期末）内角、、满足． (1)求的大小； (2)、分别为、上的点，，且平分，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用弦化切结合三角恒等变换化简得出。利用正弦型函数的单调性与对称性可得出结果； （2）分析可得，，在中，利用正弦定理求出的值，分析出为锐角，求出的值，求出的值，分析出为锐角，结合二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）解：，即， 即， 所以，，即， 所以，， 因为，则，因为，则， 所以，或，所以，或（舍去）. 综上所述，. （2）解：如下图所示：    因为、分别为、上的点，，则， 所以，，则， 因为，则，， 因为平分，所以，，则，故， 所以，， 设，则，，其中， 在中，由正弦定理可得，所以，， 因为，则为锐角，即， 故， 所以，， 因为，所以，，故， 因为， 又因为， 所以，. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$