专题01 平面向量（易错必刷35题7种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

专题01 平面向量（易错必刷35题7种题型专项训练） 题型一　向量加减法则及应用 题型二　向量的线性运算 题型三　向量共线的判定及应用 题型四　求两向量的数量积 题型五　向量的模和夹角的计算问题 题型六　向量与垂直有关的问题 题型七　利用向量解决平面几何求值问题 题型一　向量加减法则及应用 1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知向量满足，，则的取值范围是 【答案】[6,10] 【分析】根据向量模长不等式.以及向量共线的情况来确定的取值范围. 【详解】根据向量模长不等式，已知，，则，当且仅当与同向时，等号成立. 根据向量模长不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立. 综上，的取值范围是 故答案为： 2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为△中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【详解】如图，设，，则，. 过作，垂足为， 则， 即的最小值是2. 故选：A. 3．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据向量减法的三角形法则计算，得到四边形一定是平行四边形．再得，判定即可. 【详解】如图所示，由向量减法的三角形法则， 得，得，， 所以四边形一定是平行四边形． 又，得， 所以平行四边形一定是矩形． 故选：A. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】向量加、减法的三角形法则和三角形的三边关系直接求得. 【详解】解∵， ∴，即的取值范围是． 题型二　向量的线性运算 6．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，由给定的向量等式，结合向量运算可得，再利用等高的两个三角形面积比求解. 【详解】由，得， 取的中点，连接，则，于是， 因此， 所以与的面积的比值为. 故选：A 7．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）若在三角形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线性运算表示，，最后再表示即可. 【详解】因为，所以点是中点， 所以.    故选：B. 8．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）在中，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量减法运算得，整理即可求解． 【详解】， ， ， 故选：B． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件中D为BC中点得出的向量关系，结合另一个条件，通过向量的运算和变形来判断各选项的正确性. 【详解】连接，因为为边的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故A、B、C错误； 由，可得，所以，故D正确． 故选：D． 10．（24-25高一下·云南普洱·阶段练习）三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! (1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. (2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解. （2）根据平面向量线性运算法则得到， 再由点分所成的比为，得到，即可得到，设，则，最后由基本不等式计算可得. 【详解】（1）设，则，， 又， 所以， 又， 所以， 所以， 所以． （2）因为 ， 又点分所成的比为，即，所以， 则， 设，则， 当或时， 当时 ，当且仅当，即时取等号． 即的最小值为． 题型三　向量共线的判定及应用 11．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，， 所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件， 因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”； 综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 12．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）在中，D是边上的一点，（其中），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用向量共线定理可得，再由基本不等式对选项ABC逐一判断可得结果，再由基本不等式中“1”的应用计算可得D错误. 【详解】设，有，即， 又由，可得． 对于A选项，，可得， 当且仅当时取等号，故A选项错误； 对于B选项，由，当且仅当时取等号，故B选项正确； 对于C选项，由，当且仅当时取等号，故C选项正确； 对于D选项，由， 当且仅当时取等号，故D选项错误． 故选：BC． 13．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】由共线向量的线性运算即可求解； 【详解】因为三点共线， 则, 所以, 所以， 对比系数，所以， 故答案为：0 14．（2025高三·北京·专题练习）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，根据题意，利用向量的线性运算可得，由三点共线可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 取中点，则，， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 15．（24-25高三上·北京·期中）已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，则，， 所以，， 当时，，所以是充分条件， 因为，只有当与反向时，等号成立，即， 此时，所以是必要条件， 综上可知，“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C 题型四　求两向量的数量积 16．（2025·河北·模拟预测）已知向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过，求得，进而可求解. 【详解】由得，，即， 所以，则， 所以，则的夹角为， 故选：B． 17．（2025·辽宁·三模）已知向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知的模的关系转化为向量数量积运算，得到，再利用向量数量积求夹角大小即可. 【详解】由，所以， 又，所以， 则，故． 故选:D． 18．（2025·河南周口·二模）在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形可得，再根据平面向量的线性运算与数量积的运算性质即可得结论. 【详解】    在等边中，， 由于点M为AB的中点，点N满足， 所以. 故选：D. 19．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围. （3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 同理可得，所以点是的外心． 因为且， 化简得， 所以． （2）由（1）知，点是的外心．设， ． 因为，所以 所以． （3）设，则， 因为，所以， 所以， 两边同时平方得，，所以， 令，当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值为． 20．（24-25高一下·辽宁·期中）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. (1)若，，求的“完美坐标”； (2)已知，，证明：； (3)若，，设函数，，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3),. 【分析】（1）首先根据“完美坐标”的定义将和表示出来，进而利用向量的加减表示出. （2）利用向量数量积的坐标公式推导出的表达式. （3）首先用向量的基本公式将函数表达出来，然后对函数式进行变换，最后求解不等式. 【详解】（1）由题得， 所以， 所以， 即的“完美坐标”为. （2）证明：由题知， 所以 即. （3）由（2）得. 因为， 所以， 所以， ， 所以. 令， 则， 所以， 即， 解得（舍去）或， 所以， 即， 所以， 所以， 即不等式的解集为，. 题型五　向量的模和夹角的计算问题 21．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点. (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系， 由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 22．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而求解； （2）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得，结合建立方程，解得，进而求解； （3）由（2），根据计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 23．（23-24高一下·安徽·阶段练习）窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设与轴正方向的夹角为，表示出点坐标，再根据三点共线，得到，即可求出，再根据平面向量数量积的坐标运算计算可得； 【详解】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设与轴正方向的夹角为， 则，即， 所以， 因为三点共线，所以，即， 解得， 所以，所以， 所以，又为锐角，所以 ，所以 ； 故答案为： 24．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 25．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【详解】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 题型六　向量与垂直有关的问题 26．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 27．（2024·河北张家口·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若为内角A的平分线，且，求． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）记的中点为，利用向量运算证明即可； （2）先根据向量关系得，再由角平分线定理可得，分别在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方关系可得. 【详解】（1）记的中点为，则， 因为，所以， 所以为的垂直平分线，所以. （2）记， 因为，所以， 所以，， 又为内角A的平分线，所以，， 在中，分别由余弦定理得： ， 联立可得， 在中，由余弦定理得， 所以. 28．（23-24高一下·浙江杭州·期中）（1）若，求； （2）若，为单位向量，，的夹角为，求和函数，的最小值； （3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明． ①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点． 【答案】（1）（2），最小值为（3）证明见详解 【分析】（1）由，，利用向量数量积的坐标运算求解即可； （2）由，为单位向量，所以，，求解即可，由，结合二次函数的最值即可求解； （3）选①，设为圆的直径，点在圆上，由，，计算即可；选②，作平行四边形，根据，，两式分别完全平方求解即可；选③，设，相交于一点，可证得，设，相交于一点，同理可得，即可得证. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以； （2）因为，为单位向量，所以，， ， ， 所以当时，函数的最小值为； 选①： 设为圆的直径，点在圆上，证明：. 要证，即证， 由，， 所以 ， 故，所以， 所以直径所对的圆周角是直角； 选②： 在平行四边形中，，为对角线， 证明：. 根据条件作出图形， 因为四边形为平行四边形， 所以，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和； 选③： 在中，，，分别为，，的中点，证明：，，相交于一点. 由题意作出图形， 设，， 则，， ， 设，相交于一点，，， 则， ， 又， 所以，解得，， 所以， 再设，相交于一点，同理可证得， 即，重合，即，，相交于一点， 所以三角形的三条中线交于一点. 29．（2023高三·全国·专题练习）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面向量的运算性质设，，转化求解，结合平面向量的数量积运算即可证明结论. 【详解】证明：如图，    设，， 则，，，， ∴， ∴，∴. 30．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 【答案】垂 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【详解】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 题型七　利用向量解决平面几何求值问题 31．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，． (1)求角A的大小； (2)求的中线的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦定理，角化边寻找边关系，知边求角，余弦定理运算即可求角A； （2）应用向量的线性分解表达中线所代表的向量，平方脱模可求中线长. 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以， 因为，所以，， 由余弦定理得， 因为，所以． （2）根据题意可得， 则 ， 所以，即的中线的长为． 32．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【详解】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 33．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值； 解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 34．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知的内角A，，所对的边分别为，，，且， (1)求角A； (2)若，，为的中点，求中线的长； (3)若线段上一点满足，，设，求的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）注意到，结合题意可得答案； （2）由题可得，然后由结合题中条件可得答案. （3）中，由正弦定理得，由此代入题目数据可得答案. 【详解】（1）在三角形中，注意到 ，结合正弦定理，则 又因为，则， 则，结合，则； （2）因为的中点，则， 两边平方得，， 将，，代入上式得， ， 解得，则； （3）由得，， 又由（1）得，则，， 中，由正弦定理得， 代入得， 则. 35．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点． (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据及即可求解； （2）设，可得，根据三点共线可求，又根据，即可得实数的值； （3）设，可得是的中心，故，根据三点共线，得.由，，可得，根据及基本不等式求出的最小值，从而可求解. 【详解】（1）由题意可得， 所以 . （2）设，由（1）得， 所以, 即. 因为三点共线，所以，解得, 所以， 又. 所以，解得. （3）设， 因为分别是的中点，所以是的重心， 所以. 因为三点共线，所以，即. 所以，， 所以. 因为，所以，即, 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量（易错必刷35题7种题型专项训练） 题型一　向量加减法则及应用 题型二　向量的线性运算 题型三　向量共线的判定及应用 题型四　求两向量的数量积 题型五　向量的模和夹角的计算问题 题型六　向量与垂直有关的问题 题型七　利用向量解决平面几何求值问题 题型一　向量加减法则及应用 1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知向量满足，，则的取值范围是 2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 3．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，求的取值范围． 题型二　向量的线性运算 6．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）若在三角形中，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）在中，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·云南普洱·阶段练习）三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! (1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. (2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 题型三　向量共线的判定及应用 11．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）在中，D是边上的一点，（其中），则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 14．（2025高三·北京·专题练习）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 15．（24-25高三上·北京·期中）已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四　求两向量的数量积 16．（2025·河北·模拟预测）已知向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·辽宁·三模）已知向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河南周口·二模）在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 20．（24-25高一下·辽宁·期中）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. (1)若，，求的“完美坐标”； (2)已知，，证明：； (3)若，，设函数，，求不等式的解集. 题型五　向量的模和夹角的计算问题 21．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点. (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 22．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 23．（23-24高一下·安徽·阶段练习）窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ． 24．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 25．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 题型六　向量与垂直有关的问题 26．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    27．（2024·河北张家口·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若为内角A的平分线，且，求． 28．（23-24高一下·浙江杭州·期中）（1）若，求； （2）若，为单位向量，，的夹角为，求和函数，的最小值； （3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明． ①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点． 29．（2023高三·全国·专题练习）如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    30．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 题型七　利用向量解决平面几何求值问题 31．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，． (1)求角A的大小； (2)求的中线的长． 32．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 33．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 34．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知的内角A，，所对的边分别为，，，且， (1)求角A； (2)若，，为的中点，求中线的长； (3)若线段上一点满足，，设，求的值． 35．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点． (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$