清单07 数学建模（考点清单，知识导图+5个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

清单07 数学建模 （5个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】数学建模的概念 教师活动：以通俗易懂的语言讲解数学建模的定义：“数学建模就是根据实际问题来构建数学模型，然后通过数学的方法来解决这些问题的过程。” 教材原文：数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。该过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。 【清单02】数学建模的步骤 教师活动：详细介绍数学建模的一般步骤： (1) 发现问题和提出问题：引导学生关注生活中的实际问题，并从中发现可以进行数学建模的问题。以足球比赛中确定最佳射门位置为例，提出问题：“球员沿直线带球跑动时，如何确定与球门张成最大角度的位置来射门？” (2) 分析问题：分析问题中的各种因素和条件，确定哪些是关键因素，哪些可以忽略。在射门位置的问题中，关键因素是球员的位置、球门的位置和形状等。 (3) 构建模型：根据分析结果，选择合适的数学工具和方法来构建数学模型。在这个例子中，可以利用几何知识，将球员的位置、球门的位置和角度等转化为几何图形和关系，建立相应的数学模型。 (4) 求解模型：运用数学方法对构建的模型进行求解，得出数学结论。例如，通过几何计算或优化方法，找到使射门角度最大的球员位置坐标。 (5) 验证模型：将数学结论与实际情况进行对比和验证，检查模型的合理性和准确性。如果模型与实际情况不符，需要对模型进行调整和改进。 (6) 应用模型解决问题：将验证通过的模型应用到实际问题中，解决实际问题，并根据实际效果进一步完善模型。 【清单03】平面几何法与三角函数法， 下面我们用三角函数法讨论其求解方法。设，，， 利用差角的正切公式 当且仅当，即时，等号成立，此时取最大值。由于在上是增函数，且，故当时，最大，此时视角也最大。 【清单04】 曼哈顿距离 曼哈顿距离也叫出租车距离，出租车司机计算从一个位置到另一个位置的距离， 通常直接用街区的两个坐标分别相减，再相加，这个结果就是他即将开车通过的街区数量，而完全没有必要用两点间的距离公式来求解. 曼哈顿距离中的距离计算公式比欧氏距离的计算公式看起来简洁很多，只需要把两个点坐标的横坐标相减取绝对值，纵坐标相减取绝对值，再加和. 从曼哈顿距离的概念来说，只能上、下、左、右四个方向进行移动，而且两点之间的曼哈顿距离是两点之间的最短距离（在只能向上、下、左、右四个方向进行移动的前提下）.为什么呢？假设从一点到达另一点（只能向上、下、左、右四个方向进行移动，下同），要使路程最短，就只能每一步都有用（使之与另一点的南北距离或东 西距离缩短）. 【清单05】人数估计模型 （1）模型1：用样本最大值估计总体最大值。 （2）模型2：用样本中位数估计总体中位数。 （3）模型3：用样本平均值估计总体平均值。 （4）模型4：用分区间方法求解。 【考点题型一】走进异彩纷呈的建模世界 技巧：(1)发现问题和提出问题 (2) 分析问题 (3) 构建模型 (4) 求解模型 (5) 验证模型 (6) 应用模型解决问题 【例1】在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ． 【考点题型二】数学建模-从自然走向理性之路 技巧：理解数学建模的基本过程，包括问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验和推广应用。 【例2】对20不断进行“乘以2”或“减去3”的运算，每进行一次记作一次运算，若运算n次得到的结果为23，则n的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点题型三】数学建模案例（一）：最佳视角 技巧：最大视角问题早期常见的解法有平面几何法与三角函数法 【例3】如图，在山顶P点已得三点A，B，C的俯角分别为，，，其中A，B，C为山脚下两侧共线的三点，现欲沿直线AC挖掘一条隧道，试根据测得的AD，EB，BC的长度，建立估计隧道DE长度的数学模型． 【考点题型四】数学建模案例（一）：曼哈顿距离 技巧：设平面上两点，， 则从到的曼哈顿距离。 强调曼哈顿距离是水平方向和垂直方向距离之和， 【例4】人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 【考点题型五】数学建模案例（一）：人数估计 技巧：建立不同的人数估计模型： （1）模型1：用样本最大值估计总体最大值。 （2）模型2：用样本中位数估计总体中位数。 （3）模型3：用样本平均值估计总体平均值。 （4）模型4：用分区间方法求解。 【例5】一般的数学建模包含如下活动过程:①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，则正确的序号顺序为（   ） A．③②①④⑤⑥ B．③②①④⑥⑤ C．②①③④⑤⑥ D．②③①④⑥⑤ 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 数学建模 （5个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】数学建模的概念 教师活动：以通俗易懂的语言讲解数学建模的定义：“数学建模就是根据实际问题来构建数学模型，然后通过数学的方法来解决这些问题的过程。” 教材原文：数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。该过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。 【清单02】数学建模的步骤 教师活动：详细介绍数学建模的一般步骤： (1) 发现问题和提出问题：引导学生关注生活中的实际问题，并从中发现可以进行数学建模的问题。以足球比赛中确定最佳射门位置为例，提出问题：“球员沿直线带球跑动时，如何确定与球门张成最大角度的位置来射门？” (2) 分析问题：分析问题中的各种因素和条件，确定哪些是关键因素，哪些可以忽略。在射门位置的问题中，关键因素是球员的位置、球门的位置和形状等。 (3) 构建模型：根据分析结果，选择合适的数学工具和方法来构建数学模型。在这个例子中，可以利用几何知识，将球员的位置、球门的位置和角度等转化为几何图形和关系，建立相应的数学模型。 (4) 求解模型：运用数学方法对构建的模型进行求解，得出数学结论。例如，通过几何计算或优化方法，找到使射门角度最大的球员位置坐标。 (5) 验证模型：将数学结论与实际情况进行对比和验证，检查模型的合理性和准确性。如果模型与实际情况不符，需要对模型进行调整和改进。 (6) 应用模型解决问题：将验证通过的模型应用到实际问题中，解决实际问题，并根据实际效果进一步完善模型。 【清单03】平面几何法与三角函数法， 下面我们用三角函数法讨论其求解方法。设，，， 利用差角的正切公式 当且仅当，即时，等号成立，此时取最大值。由于在上是增函数，且，故当时，最大，此时视角也最大。 【清单04】 曼哈顿距离 曼哈顿距离也叫出租车距离，出租车司机计算从一个位置到另一个位置的距离， 通常直接用街区的两个坐标分别相减，再相加，这个结果就是他即将开车通过的街区数量，而完全没有必要用两点间的距离公式来求解. 曼哈顿距离中的距离计算公式比欧氏距离的计算公式看起来简洁很多，只需要把两个点坐标的横坐标相减取绝对值，纵坐标相减取绝对值，再加和. 从曼哈顿距离的概念来说，只能上、下、左、右四个方向进行移动，而且两点之间的曼哈顿距离是两点之间的最短距离（在只能向上、下、左、右四个方向进行移动的前提下）.为什么呢？假设从一点到达另一点（只能向上、下、左、右四个方向进行移动，下同），要使路程最短，就只能每一步都有用（使之与另一点的南北距离或东 西距离缩短）. 【清单05】人数估计模型 （1）模型1：用样本最大值估计总体最大值。 （2）模型2：用样本中位数估计总体中位数。 （3）模型3：用样本平均值估计总体平均值。 （4）模型4：用分区间方法求解。 【考点题型一】走进异彩纷呈的建模世界 技巧：(1)发现问题和提出问题 (2) 分析问题 (3) 构建模型 (4) 求解模型 (5) 验证模型 (6) 应用模型解决问题 【例1】在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ． 【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可） 【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可. 【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等； ②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动； ③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等； ④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等； 故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）. 【考点题型二】数学建模-从自然走向理性之路 技巧：理解数学建模的基本过程，包括问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验和推广应用。 【例2】对20不断进行“乘以2”或“减去3”的运算，每进行一次记作一次运算，若运算n次得到的结果为23，则n的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，分一共只有一次“乘以2”的运算和一共只有2次“乘以2”的运算，结合，即可求解. 【详解】因为，所以至少要进行一次“乘以2”的运算． ①若一共只有一次“乘以2”的运算． 设做了次“减去3”的运算之后，再“乘以2”，再做了次“减去3”的运算后， 得数为，即有，其中，显然无非负整数解． ②若一共只有2次“乘以2”的运算． 设做了次“减去3”的运算之后，再“乘以2”，再做了次“减去3”的运算之后“乘以2”，再做了次“减去3”的运算后，得数是， 即有， 当时，或，当时，； 当时，．所以的最小值为6，即至少运算8次， 过程为． ③若一共有3次或3次以上“乘以2”的运算，总运算次数显然不止8次． 所以至少运算8次． 故选：B. 【考点题型三】数学建模案例（一）：最佳视角 技巧：最大视角问题早期常见的解法有平面几何法与三角函数法 【例3】如图，在山顶P点已得三点A，B，C的俯角分别为，，，其中A，B，C为山脚下两侧共线的三点，现欲沿直线AC挖掘一条隧道，试根据测得的AD，EB，BC的长度，建立估计隧道DE长度的数学模型． 【答案】. 【分析】在中，正弦定理可得PB，在中，由正弦定理可得，再计算，即可得出答案． 【详解】在中，，， 由正弦定理可得， ∴， 在中，∵，， ∴， 由正弦定理可得， ∴， ∴. 【考点题型四】数学建模案例（一）：曼哈顿距离 技巧：设平面上两点，， 则从到的曼哈顿距离。 强调曼哈顿距离是水平方向和垂直方向距离之和， 【例4】人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）根据题中新定义可求得结果； （2）设出点的坐标，结合曼哈顿距离得到的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据定义得到等式，转换为恒成立问题，即可求得结果. 【详解】（1）由题可得， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形，    其中. 即点在正方形的边上运动，， 可知：当最大时，取到最小值， 相应的有最大值， ①点与点重合时，则， 可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则， 因为，所以的最大值为； （3）易知，设， 则， 当时，，则，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 当且仅当时等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条，和. 【考点题型五】数学建模案例（一）：人数估计 技巧：建立不同的人数估计模型： （1）模型1：用样本最大值估计总体最大值。 （2）模型2：用样本中位数估计总体中位数。 （3）模型3：用样本平均值估计总体平均值。 （4）模型4：用分区间方法求解。 【例5】一般的数学建模包含如下活动过程:①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，则正确的序号顺序为（   ） A．③②①④⑤⑥ B．③②①④⑥⑤ C．②①③④⑤⑥ D．②③①④⑥⑤ 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答. 【详解】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果，若结果不符合实际，还需要重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤. 故选：D 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$