清单01 平面向量（考点清单，知识导图+13个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

清单01 平面向量 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 【清单02】向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【清单03】向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定． 【清单04】向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 【清单05】数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：；分配律：， 【清单06】向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【清单07】平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 【清单08】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单09】向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、5、 【清单10】平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【清单11】平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【清单12】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单13】向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 【考点题型一】向量加减法则及应用 技巧：应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【例1】化简（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【变式1-3】下列四式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型二】向量的线性运算 技巧：向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【例2】若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-3】在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则 . 【变式2-4】已知为内切圆的圆心，且，则 . 【考点题型三】向量共线的判定及应用 技巧：（1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【例3】已知，则“向量共线”是“”的（   ） A．充分不必要条B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【变式3-1】已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 【考点题型四】求两向量的数量积 技巧：求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【例4】如图，在梯形中，已知，且，为线段上一点，记，为线段上一点，记． (1)若点为中点，求与的值； (2)若点为中点，且，求与的值； (3)若，求的取值范围． 【变式4-1】如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 【变式4-2】已知向量，，满足，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 【变式4-3】已知向量的夹角为，，，则 ． 【变式4-4】在中，已知，，，是边上的中点，，与交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】向量的模和夹角的计算问题 技巧：（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【例5】设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知向量满足，与的夹角为． (1)求的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【变式5-2】已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 【变式5-3】已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．与夹角为锐角时，则的取值范围为 D．当时，在上的投影向量为 【变式5-4】已知向量，满足，且，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【考点题型六】向量与垂直有关的问题 技巧：解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【例6】已知的内角所对的边分别为． (1)已知外接圆的面积为． ①求； ②求的最大值． (2)若是锐角三角形，为的垂心，为的高，且，求． 【变式6-1】如图，在平行四边形ABCD中，是AB的中点，． (1)用表示； (2)若，证明：． 【变式6-2】如图，在平行四边形中，是的中点，. (1)用，表示，； (2)若，证明：. 【变式6-3】已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【考点题型七】利用向量解决平面几何求值问题 技巧：（1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【例7】如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知点O是内一点，，则 . 【变式7-2】如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是 . 1 / 1 份有限公 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 平面向量 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 【清单02】向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． （1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【清单03】向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定． 【清单04】向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 【清单05】数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：；分配律：， 【清单06】向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【清单07】平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 【清单08】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单09】向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、5、 【清单10】平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【清单11】平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【清单12】平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【清单13】向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 【考点题型一】向量加减法则及应用 技巧：应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【例1】化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B 【变式1-1】已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量差的模的性质求解. 【详解】由， 可得． 故选：C 【变式1-2】四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式1-3】下列四式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】对于A：，符合题意； 对于B：，符合题意； 对于C：，符合题意； 对于D：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，不符合题意. 故选：ABC. 【变式1-4】在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用平面向量的加减法法则，可逐一判断结论. 【详解】由题意，，故①正确；，故②正确； ,故③正确；，故④错误. 所以正确结论的个数是3. 故选：C. 【考点题型二】向量的线性运算 技巧：向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【例2】若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照向量，共线和不共线两种情况分类讨论，共线时利用向量模的关系得，不共线时，利用三角形的性质判断向量模的大小关系，即可得解. 【详解】若向量，共线，则由于，是非零向量，且，则必有， 代入可知只有A、C满足； 若向量，不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足；令，，则， 所以且， 又，所以，所以， 综上，. 故选：A 【变式2-1】在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-2】已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据条件可以得出，取上靠近点的三等分点，即可得到，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点，则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得．    故选：D. 【变式2-3】在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则 . 【答案】 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，进而可得，可求结论. 【详解】由，所以， 所以，所以 取分别为的中点，如下图， 则，即，所以，所以， 因为为的中点，所以，又，则， 所以，所以三点共线， 所以，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 【变式2-4】已知为内切圆的圆心，且，则 . 【答案】/ 【分析】取的中点，则，代入等式可证三点共线.设 ，由直角三角形的性质以及三角形相似可求出各边长，从而求出比例关系. 【详解】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知. 又，所以，即.则三点共线. 因为为的内切圆的圆心，所以. 不妨设，则. 在中，. 由，知，即，解得，且， 又，所以. 故答案为： 【考点题型三】向量共线的判定及应用 技巧：（1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【例3】已知，则“向量共线”是“”的（   ） A．充分不必要条B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】根据讨论同向、反向共线两种情况，结合充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】若向量共线且，同向共线时有，反向共线时有，充分性不成立； 若，而，则向量同向共线，必要性成立； 所以“向量共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式3-1】已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由题设有设，，，如下图，为边长为1的菱形，数形结合及向量加减、数乘的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由平面向量为两两不共线的单位向量， 设，，，如下图，为边长为1的菱形， 若，即与垂直，， 即，而，且， 所以共线，即与共线； 若与共线，即且，而，即， 所以与垂直，故. 所以“”是“与共线”的充要条件. 故选：C 【变式3-2】已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 【答案】 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为与共线，设，即， 所以，故解之可得. 故答案为： 【考点题型四】求两向量的数量积 技巧：求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【例4】如图，在梯形中，已知，且，为线段上一点，记，为线段上一点，记． (1)若点为中点，求与的值； (2)若点为中点，且，求与的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先使用将表示出来，然后再将使用线性表示出来，即可求得的值. （2）将使用表示出来，然后利用即得到再根据三点共线得，故联立从而求解得到 （3）将使用线性表示，再利用使用数量积等于零，得到等式，分离常数后结合单调性可求取值范围. 【详解】（1）∵， ∴，∴. （2）∵，∴， 又∵，∴ ……① 又∵，其中， ∴，∴……②，联立①②，解得． （3）由（2）可知，， 其中，， ∴， ∵，∴． ∴， ∴， ∵，∴在单调递减， ∴， 又∵，∴的取值范围为． 【变式4-1】如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）由三点共线，可知存在实数，使，进而得出，根据平面向量基本定理即可证明； （2）用表示出，根据向量平行及即可求解； （3）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】（1）由三点共线，可知存在实数，使， 即，化简得 结合，由平面向量基本定理得， 所以． （2）在等腰梯形中，由， 可得， 根据，可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量互相平行， 可得，结合，解得， 所以． （3）由（1）的结论，可得， 过作的垂线，垂足分别为， 因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得． 所以，， 可得 ， 结合，可得． 【变式4-2】已知向量，，满足，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知求出，进而根据已知结合数量积的运算律得出，开方即可得出答案； （2）根据数量积的运算律结合已知列出方程，求解即可得出答案； （3）根据已知可知，使得，化简得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，， 所以， 所以，. （2）易知，. 因为， 所以，， 即，解得. （3）因为， 所以，，使得， 整理可得. 由的任意性可知，， 解得. 【变式4-3】已知向量的夹角为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据数量积的定义求解，即可求解. 【详解】由已知可得， 所以. 故答案为：. 【变式4-4】在中，已知，，，是边上的中点，，与交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用表示，再利用平面向量的数量积求出夹角的余弦值即为所求. 【详解】 由题意，， 因为是边上的中点，所以， 则， 因为， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 【考点题型五】向量的模和夹角的计算问题 技巧：（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【例5】设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意将两组向量中所有的排列可能全部列出，可得所有可能取值中的最小值，解方程可得结果. 【详解】设与的夹角为， 有以下3种可能： （1）； （2）； （3）， 易知（2）最小，则， 解得，由，得. 故选：A 【变式5-1】已知向量满足，与的夹角为． (1)求的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量夹角公式，求出、和，进而求得的值； （2）根据向量运算的分配律展开，再结合已知条件得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】（1）计算，可得. 已知，则. 可得. 所以. 又. 根据向量夹角公式，可得. （2）根据向量运算的分配律展开： 可得： 将，，代入上式可得： 求解不等式. 移项可得，即. 解得. 即的取值范围为. 【变式5-2】已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）. （2）， （3）， 【变式5-3】已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．与夹角为锐角时，则的取值范围为 D．当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】利用向量坐标计算向量模长和数量积，分别根据各选项中关于向量的加法，数量积，夹角与投影向量的表示，计算即可逐一判断. 【详解】因，，则，. 对于A，由，可得，故A正确； 对于B，时，由，解得，故B错误； 对于C，与夹角为锐角等价于， 解得且，即，即C正确； 对于D，时，，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 【变式5-4】已知向量，满足，且，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的数量积运算来求向量的模； （2）利用向量的数量积运算来求夹角即可； （3）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以， （2）因为，所以，即，所以， 所以. （3）， 由题意知且向量与不同向共线， 所以， 当向量与同向共线时，，即得， 解得（负值舍去）. 所以，且， 解得，且，即实数的取值范围为. 【考点题型六】向量与垂直有关的问题 技巧：解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【例6】已知的内角所对的边分别为． (1)已知外接圆的面积为． ①求； ②求的最大值． (2)若是锐角三角形，为的垂心，为的高，且，求． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解①，根据余弦定理可得，即可根据基本不等式求解②， （2）利用向量的线性运算，结合向量垂直的关系，即可求解得，进而利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）①外接圆的半径为，则，故， 所以, ②由可得，故， 故，当且仅当时取等号，故的最大值为. （2）由于，所以 由于为的垂心，故， ， 故，故， 由可得，故    【变式6-1】如图，在平行四边形ABCD中，是AB的中点，． (1)用表示； (2)若，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知结合图形性质以及向量加法的几何意义，即可得出答案； （2）根据数量积的运算律，结合已知求出，即可得出证明. 【详解】（1）由已知可得，， 则， . （2）由（1）知，，， 所以，. 因为， 所以， 所以， 所以，. 【变式6-2】如图，在平行四边形中，是的中点，. (1)用，表示，； (2)若，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知结合图形性质以及向量加法的几何意义，即可得出答案； （2）根据数量积的运算律，结合已知求出，即可得出证明. 【详解】（1）由已知可得，， 则， . （2）由（1）知，，， 所以，. 因为， 所以， 所以，， 所以，，. 【变式6-3】已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 【考点题型七】利用向量解决平面几何求值问题 技巧：（1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【例7】如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C 【变式7-1】已知点O是内一点，，则 . 【答案】 【分析】通过已知的向量关系得出三角形重心，再利用重心性质得到不同三角形面积的比例关系，最后根据向量倍数与三角形面积的关系，求出目标三角形面积的比例. 【详解】令，，，所以O为的重心，则. 因为，，，所以. 故答案为：. 【变式7-2】如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用转化法求得数量积，即可得最值. 【详解】 如图所示，易知，，， 过点作于点，则四边形为矩形， 则， 又， 所以， 即的最大值为， 故选：C. 【变式7-3】已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解. 【详解】取的中点，连接、， 则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故答案为： 1 / 1 份有限公 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$