专题07 数学建模（易错必刷8题5种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第二册）

专题07 数学建模 （易错必刷8题5种题型专项训练） 题型一　走进异彩纷呈的建模世界 题型二　数学建模-从自然走向理性之路 题型三　数学建模案例（一）：最佳视角 题型四　数学建模案例（一）：曼哈顿距离 题型五　数学建模案例（一）：人数估计 题型一　走进异彩纷呈的建模世界 1．下图1为世界各洲在一段时间内人口数量随时间变化的曲线，这些曲线描述的人口变化规律与图2中的曲线有何不同？试分析原因． 【答案】见解析 【分析】根据两图中人口的增长数量，增长速率分析可得. 【详解】图1中除欧洲外人口数量随时间都是呈增长趋势，非洲增长较快，与图中相对应的直线比较，除欧洲、非洲外人口数量随时间增长缓慢； 但图2人口数量随时间呈陡增趋势，与实际人口数量变化情况相差较大，说明图2是预测的人口数量变化情况，原因是由于受实际经济和资源等各方面的原因，世界实际人口数都在受到主观控制. 题型二　数学建模-从自然走向理性之路 2．我们知道，提出问题比解决问题更重要，提出关于现实世界问题是创新的起点.作为中学生我们应该自觉地观察现实世界并提出实际问题，以便养成面对实际情景提出实际问题的习惯，为成为创新型人才打下坚实的基础.生活中，我们经常经过熟悉的十字路口，面对“熟悉的十字路口”这一现实世界情景，请你就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，作为自己学习数学建模的第一步.你提出的实际问题是 .（答案不唯一） 【答案】如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？（答案不唯一） 【分析】根据数学建模的知识即得. 【详解】就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，可以是如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？ 故答案为：如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？ 3．查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为，钝角为）的原因． 【答案】理由见解析. 【分析】蜂房是蜜蜂用来盛蜂蜜的在体积一定的情况下，为了节约空间，蜜蜂建造蜂房时，首先希望蜂房既对称而又有规律，而正多边形正好符合这一要求，我们知道并非任意的正多边形都能铺满平面的，那么能铺满整个平面的正多边形又有哪些呢？谁最佳呢？ 这也就是我们要回答问题：为什么蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为，钝角为）？因为蜜蜂建造蜂房时需要使用材料（蜂腊）最少，在空间(体积)一定的情况下，这种形状容积最大.用正六边形才能蜂腊的用料最小.菱形的大小不影响蜂房的容积，只影响蜂房的表面积，但会影响到制造蜂房所用的材料；蜂房的底能够无间隙地粘合在一起. 【详解】数学模型I：能铺满平面的正多边形有哪些？在周长一定的情况下，哪种面积最大？ 数学模型I的求解： 由于正边形的每一个内角都等于， 要将平面铺满，则有： ，解得， 故时，符合要求. 当周长一定时，正三角形的面积为； 正四边形的面积为；正六边形的面积为. 此时有： ，所以正六边形是最佳的设计. 数学模型Ⅱ：蜂房口的正六边形及蜂房的容积一定的情况下，问题是底面菱形的各角分别多大时，蜂房的表面积最小？ 数学模型Ⅱ求解： 假定六棱柱的边长是，先求的长度，是腰长为1，夹角为的等腰三角形.以为对称轴作一个三角形 (图3).三角形是等边三角形.因此， ，即得. 把图4的表面分成六份，把其中之一摊平下来，得出图7的形状.从一个宽为的长方形切去一角，切割处成边.以为腰，为高作等腰三角形.问题:怎样切才能使所作出的图形的面积最小? 假定被切去的三角形的高是.从矩形中所切去的面积等于.现在看所添上的三角形的面积。AP 的长度是，因此的长度等于 因而三角形的面积等于.问题再变而为求的最小值的问题. 令，故，两边平方，整理得 因为是实数，故二次方程判别式 ，而必大于，因此的最小值为，即. 当时取最小值，即在一棱上过处（图5中点）以及与该棱相邻的二棱的端点（图5中，点）切下来洴上去的图形的表面积最小. 设，由余弦定理得，并将代入可得 . 因此得出. 4．将一张四条腿同样长的椅子放在不平的地面上（四脚的连线为正方形），只允许对椅子绕四脚连线构成的正方形的中心旋转，利用函数零点存在性定理建立数学模型，证明椅子绕正方形的中心旋转不超过90°的某个角度时，一定可以使其四条腿同时着地．若椅子四脚的连线为矩形，结论有何变化？ 【答案】能：旋转，就能使得椅子的四条腿同时着地；换成矩形要旋转能使椅子的四条腿同时着地. 【分析】分别利用和，结合题意，即可求解. 【详解】解：能：旋转，就能使得椅子的四条腿同时着地； 换成矩形要旋转能使椅子的四条腿同时着地. 题型三　数学建模案例（一）：最佳视角 5、一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 【答案】该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里. 【分析】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向，利用坐标运算，根据和列方程组求出点坐标，然后利用坐标运算求模和夹角可得. 【详解】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向， 易知A、B、C的坐标分别为，，. 设点D的坐标为，则，， ，. 由已知，且，得 解得 ∴，∴， ∴， 因为，所以. 即该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里.    题型四　数学建模案例（一）：曼哈顿距离 6．如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路．点P所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为（），且，点P到平面的距离．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm（）时，其造价为万元．已知，，km，． (1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小． (2)对于（1）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小． (3)在AB上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（2）中得到的最小总造价？证明你的结论． (4)你能将上述模型进行推广，解决其他的实际问题吗？ 【答案】(1)； (2)AE=1(km)； (3)不存在，理由见解析； (4)可以推广. 【分析】(1)如图，根据题意和三垂线定理的逆定理可得，进而是山坡与平面所成二面角的平面角，根据题意列出总造价的表达式，利用二次函数的性质即可求出结果； (2)设，根据题意列出总造价的表达式，利用导数研究的单调性，即可求出，进而求出AE的长； (3)设位于和之间，，列出总造价S 的表达式，结合(1)和(2)计算即可得出结论. (4)根据现实，易知该模型可推广到山间公路的建设. 【详解】（1）如图， ，由三垂线定理的逆定理知， ，所以是山坡与平面所成二面角的平面角， 则，设， 则， 记总造价为元，由题意得， ， 当即时，总造价最小； （2）设，总造价为万元，由题意得， ， 则，由，得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以， 故当即时，总造价最小； （3）不存在. 事实上，在AB上任取不同的两点， 为使总造价最小，显然不能位于和之间， 故可设位于和之间， 且，总造价为S万元， 则，类似于(1)、(2)讨论知， ，， 当且仅当时同时成立，且等号同时成立， 此时，S取得最小值，点分别与点重合， 所以不存在这样的，使沿折线修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价； （4）可以推广，解决现实中山间公路的建设，实现交通便利. 7．如图，有三个新兴城镇分别位于A，B，C处，且，（）．今计划在BC的垂直平分线上建一个中心医院P，方便三镇居民就医，试在下列条件下求P的位置： (1)P到三镇距离平方和最小； (2)P到三镇距离之和最小； (3)P到三镇的最远距离最小． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，点；当时，点； 【分析】（1）建立以为x轴，的垂直平分线为y轴的直角坐标系，令的中点为O，设，表示出P至三镇距离的平方和，根据二次函数性质求得最小值； （2）表示出P至三镇距离和，利用导数求得函数最小值； （3）表示出P至三镇的最远距离为分段函数，分别讨论对应区间上的最小值，从而求得函数最小值. 【详解】（1）建立以为x轴，的垂直平分线为y轴的直角坐标系，令的中点为O， 设，则P至三镇距离的平方和为： ， 故当时，函数取得最小值，此时点. （2）由（1）知，P至三镇距离的和为：， ， 令，解得；令，解得； 故当时，函数取得最小值，此时点. （3）记，P至三镇的最远距离为：， 若时，解得，记， 则， ①当，即，即时， 由在上是增函数，且，则在上是减函数， 当时，函数取得最小值，此时点，即. ②当，即时， 在上，当时，取得最小值b； 在上，单减，且， 因此，当时，函数取得最小值，此时点. 综上所述，当时，点；当时，点； 题型五　数学建模案例（一）：人数估计 8．某地区有12个气象观测站（如图），十年来各观测站测得的年降水量如下表所示，为了节省开支，想适当减少几个观测站，问：减少哪些观测站可以使所得到的年降水量的信息量仍然足够大？ 2008-2017年某地区气象观测站所测年降水量表（单位：mm） 观测站 2008年 276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2 2009年 251.1 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1 2010年 192.7 438.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2 2011年 246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0 2012年 291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1 2013年 466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7 2014年 258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6 2015年 453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2 2016年 258.5 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7 2017年 324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1. 【答案】去掉，，. 【分析】计算出各站点的标准差后去掉最小的三个即可. 【详解】 对一个观测站而言，统计10年降水量的均值与方差，均值表示该观测站处降水量的大小，而标准差表示降水量变化的大小.我们尽可能去掉降水量方差小的观测站点，因为此类站点用以前的数据来估计这些点的降水量. 各站点10年数据的标准差如下表所示： 观测站 标准差 85.3 77.6 102.7 60.7 89.3 89.4 36.1 80.7 103.8 54.3 82.1 34.3 故可去掉，，. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 数学建模 （易错必刷8题5种题型专项训练） 题型一　走进异彩纷呈的建模世界 题型二　数学建模-从自然走向理性之路 题型三　数学建模案例（一）：最佳视角 题型四　数学建模案例（一）：曼哈顿距离 题型五　数学建模案例（一）：人数估计 题型一　走进异彩纷呈的建模世界 1．下图1为世界各洲在一段时间内人口数量随时间变化的曲线，这些曲线描述的人口变化规律与图2中的曲线有何不同？试分析原因． 题型二　数学建模-从自然走向理性之路 2．我们知道，提出问题比解决问题更重要，提出关于现实世界问题是创新的起点.作为中学生我们应该自觉地观察现实世界并提出实际问题，以便养成面对实际情景提出实际问题的习惯，为成为创新型人才打下坚实的基础.生活中，我们经常经过熟悉的十字路口，面对“熟悉的十字路口”这一现实世界情景，请你就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，作为自己学习数学建模的第一步.你提出的实际问题是 .（答案不唯一） 3．查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为，钝角为）的原因． 4．将一张四条腿同样长的椅子放在不平的地面上（四脚的连线为正方形），只允许对椅子绕四脚连线构成的正方形的中心旋转，利用函数零点存在性定理建立数学模型，证明椅子绕正方形的中心旋转不超过90°的某个角度时，一定可以使其四条腿同时着地．若椅子四脚的连线为矩形，结论有何变化？ 题型三　数学建模案例（一）：最佳视角 5、一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 题型四　数学建模案例（一）：曼哈顿距离 6．如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路．点P所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为（），且，点P到平面的距离．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm（）时，其造价为万元．已知，，km，． (1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小． (2)对于（1）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小． (3)在AB上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（2）中得到的最小总造价？证明你的结论． (4)你能将上述模型进行推广，解决其他的实际问题吗？ 7．如图，有三个新兴城镇分别位于A，B，C处，且，（）．今计划在BC的垂直平分线上建一个中心医院P，方便三镇居民就医，试在下列条件下求P的位置： (1)P到三镇距离平方和最小； (2)P到三镇距离之和最小； (3)P到三镇的最远距离最小． 题型五　数学建模案例（一）：人数估计 8．某地区有12个气象观测站（如图），十年来各观测站测得的年降水量如下表所示，为了节省开支，想适当减少几个观测站，问：减少哪些观测站可以使所得到的年降水量的信息量仍然足够大？ 2008-2017年某地区气象观测站所测年降水量表（单位：mm） 观测站 2008年 276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2 2009年 251.1 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1 2010年 192.7 438.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2 2011年 246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0 2012年 291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1 2013年 466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7 2014年 258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6 2015年 453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2 2016年 258.5 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7 2017年 324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$