12.1二次根式（化简）练习2024-2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下 12.1二次根式（化简） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．化去根号内的分母： (1) (2) (3) (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．化简： (1)； (2) 4．求下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 5．计算： (1) (2) (3) (4) 6．已知实数在数轴上的位置如图所示，试计算． 7．已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 8．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 9．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 10．计算： (1)； (2)已知实数在数轴上的对应点位置如图，化简． 11．在数轴上的位置如图所示，化简：． 12．（1）已知与是y的平方根，求y与的立方的差． （2）已知实数x满足，试化简式子． 13．（1）填空： ①______，②______，③______，探究：对于任意非负数a，④______； ⑤______，⑥______，探究：对于任意负数a，⑦______． 综上所述，对于任意实数a，⑧______． （2）请运用上述性质解答：当时，化简． 14．（1）计算：| （2）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 15．实数在数轴上的位置如图所示，请化简：． 16．把根式进行化简，若能找到两个数、，使且，则把变成，然后开方，从而使得化简． 例如：化简． 解：， ． 利用上述方法完成下列各题（结果要化为最简形式）： (1) ； (2) ； (3)中，，求的长． 17．在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ； ， ， ， ； 请利用以上方法，解决下列问题： (1)求； (2)若，求的值． 18．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学下 12.1二次根式（化简）》参考答案 1．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）按照化简二次根式的步骤计算即可； （2）按照化简二次根式的步骤计算即可； （3）按照化简二次根式的步骤计算即可； （4）按照化简二次根式的步骤计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的计算法则计算即可求解； （2）根据二次根式的计算法则计算即可求解； （3）根据二次根式的计算法则计算即可求解； （4）根据二次根式的计算法则计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； 3．(1) (2)6 【分析】本题考查了二次根式的性质，不等式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． （1）先判断的正负，再根据求解即可． （2）先判断的正负，再根据求解即可． 【详解】（1）， ∵， ∴， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∴ ． 4．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再计算绝对值，最后计算乘法即可得解； （2）先根据二次根式的性质进行化简，再根据绝对值的意义化简即可得解； （3）先计算立方根和算术平方根，再计算加法即可得解； （4）先计算二次根式的乘法和化简绝对值，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 5．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据求一个数的绝对值、二次根式的性质、零指数幂、求一个数的立方根进行计算求解即可； （2）根据实数的混合运算法则求解即可； （3）根据实数的混合运算法则求解即可； （4）根据实数的混合运算法则，结合平方差公式、完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是求一个数的绝对值、二次根式的性质、零指数幂、求一个数的立方根、实数的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 6．． 【分析】此题主要考查了数轴，绝对值，二次根式的化简，整式的加减，由数轴可知，，则，，然后对进行化简即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 7． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，化简绝对值，立方根的求解，由图可知：，再根据所给的二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：由图可知：， ∴ ． 8． 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，根据数轴判断式子的正负，正确得出各部分的正负是解题关键．直接利用数轴判断得出：，进而化简即可． 【详解】解：如图所示：， ． 9． 【分析】本题考查了数轴，二次根式性质，整式的加减，根据数轴上的位置，可得，，由此得出，然后再化简绝对值进行计算即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴ ． 10．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数的混合运算，熟练掌握掌握二次根式的基本性质是解题关键． （1）先计算零指数幂，绝对值，乘方，化简二次根式，然后计算乘法，再计算加减，即可求解； （2）根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【详解】（1）解： （2）解：由图知：， ，， 原式； 11． 【分析】本题考查整式的加减，二次根式的化简，利用数轴得到，再利用二次根式的性质进行化简，然后去括号，合并同类项进行计算即可． 【详解】解：从数轴可得知， 12．（1）或12 （2） 【分析】本题主要考查了平方根的定义，二次根式的性质与化简．解题的关键是掌握（1）平方根的定义；（2）正确得出的取值范围．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． （1）根据一个数的两个平方根互为相反数列方程求出，再求与的立方的差即可． （2）直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而化简得出答案． 【详解】解：（1）根据题意知或， 解得：或， 所以或， 所以或， 即与的立方的差是12或． （2）， ， 解得：， 故 ． 13．（1）①3；②0；③；④；⑤3：⑥；⑦；⑧；（2） 【分析】本题考查了数轴和二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质的正确和灵活运用； （1）①②③根据算术平方根的意义求解即可； ④根据①②③的计算归纳即可； ⑤⑥根据算术平方根的意义计算即可； ⑦⑧根据前面的计算归纳即可； （2）根据（1）中结论化简即可． 【详解】解（1）①，②，③，探究：对于任意非负数a，④； ⑤，⑥，探究：对于任意负数a，⑦． 综上所述，对于任意实数a，⑧． 故答案为：①3；②0；③；④；⑤3：⑥；⑦；⑧． （2） ∵， ∴，， ∴原式． 14．（1）；（2）0 【分析】本题考查实数的混合运算，实数与数轴，化简绝对值和二次根式： （1）先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先根据数轴判断实数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：由数轴可知， ， ∴原式 15． 【分析】此题考查二次根式的化简，根据数轴的特点得出，，，进而根据解答即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴． 16．(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，勾股定理，解题的关键是正确应用完全平方公式． （1）仿照题意进行求解即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先利用勾股定理求出，然后仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， 故答案为：． （2）解：∵ ， ∴， 故答案为：． （3）解：在中，， ． 17．(1) (2) 【分析】（）仿照题例解答即可； （）两边平方整理后，再平方求解即可； 本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 两边平方得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 两边平方得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）①将原式转成，转化成完全平方式，化简即可求得答案． ②将原式转化成，转成完全平方式，化简即可求得答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，； （2）解：① ， ② ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$