专题01 相交线与平行线（考题猜想，12大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版2024）

专题01 相交线与平行线（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何图形中的角度计算 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 题型三 根据平行线的性质求角的度数 题型四 平行线的性质在生活中的应用 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 题型六 根据平行线的性质与判定证明 题型七 平行线与三角板综合 题型八 平行线与旋转综合 题型九 与平行线有关的定值问题 题型十 与平行线有关的热考模型 题型十一 利用平移的性质求解 题型十二 利用平移解决实际问题 题型一 几何图形中的角度计算 1．（22-23七年级下·浙江台州·期末）如图，直线，垂足为点O，射线在内，满足． (1)求的度数； (2)在射线上取一点P，过点P作，求的度数． 2．（21-22七年级上·浙江·期末）如图，已知是内三条射线，平分平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． 3．（20-21七年级上·浙江杭州·周测）已知直线与相交于点O． （Ⅰ）如图1，若，平分，则_________． （Ⅱ）如图2，若，，平分，求的大小； （Ⅲ）如图3，若，，平分，求的大小（用含的式子表示）． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 4．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于C，D点，点A，分别在直线，上，且位于的左侧，点P在直线上，且不和点C，D重合． (1)如图1，点P在线段上，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．    (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 6．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 题型三 根据平行线的性质求角的度数 7．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图，点F在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点H，平分，求的度数． 8．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，连接是内部的任意一条射线． (1)当为的角平分线时， ①如图1，作的角平分线交与点E，求证：； ②如图2，过点B作平分交于点P，求的度数； (2)如图3，，是内的任意一条射线，与交于点P，若，，则直接写出__________．（请用含k的式子表示） 9．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示） (3)如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 题型四 与平行线有关的折叠问题 10．（22-23七年级下·浙江台州·期末）如图，有一张长方形纸条，，在线段，上分别取点G，H，将四边形沿直线折叠，点C，D的对应点为，，将四边形沿直线折叠，点A，B的对应点为，，设． (1)若、在直线的上方，当且满足时，求的度数． (2)在（1）的条件下，猜想直线和的位置关系，并证明 (3)在点G，H运动的过程中，若，请直接用含有的式子表示的度数 11．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）数学课上，老师要求同学们利用一块三角板判断纸带两边是否平行． (1)如图，小明按如下步骤操作： 步骤一：三角板按图①摆放，直角边与纸带一边重合，画出线段． 步骤二：三角板按图②摆放，直角边与纸带另一边重合，若斜边与重合，则．那么小明得到的直接依据是______． (2)将纸带按图③所示折叠，如果这条纸带的两边互相平行，令为，求的度数（用的代数式来表示）．    12．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，将一张宽度相等的纸条按如图所示方式折叠，记点的对应点分别为，，折痕为，且交于点． (1)若，则______度． (2)如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数． (3)如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 13．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部． (1)如下图，若，，求的度数； (2)如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若． ①求与的数量关系； ②求的值． 14．（22-23七年级下·浙江台州·期末）已知直线，，垂足为点O，点A，B分别在直线，上．点P是平面上任一点，连接，．    (1)当点P在如图1所示位置时，，，则___________； (2)当点P移动到如图2所示位置时，求，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下分别作，的角平分线交于点Q， ①若，求的度数； ②请直接写出和的数量关系． 15．（21-22七年级下·江苏淮安·阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．    (1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数． 阅读并补充下面推理过程 解：过点A作 ，_________________． __________________ 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作． (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。 ②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________． 题型六 根据平行线的性质与判定证明 16．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点O滚向桌边，碰到上的点P后反弹而滚向桌边，碰到上的点Q后反弹而滚向点R．如果，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于． (1)判断并直接写出和的位置关系． (2)猜想是否平行于？说明理由． (3)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 17．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，已知，． (1)求证：； (2)如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小． 18．（23-24七年级下·浙江金华·期末）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数． (3)如图3，点P，G分别在，上，连，作的平分线交于点Q，点H是射线上一点，连，且，设，，，请画出图形，并直接写出，，之间的数量关系． 题型七 平行线与三角板综合 19．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数学探究．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．，分别交于M，N点． (1)求和的度数； (2)现把三角板绕B点逆时针旋转，如图2，当，且点C恰好落在DG边上时： ①请用含n的代数式表示的度数； ②若此时，求n的值； (3)选用工具中的两把直角三角板，直角顶点重合叠放如图3所示，现将含的三角板固定不动，将含的三角板绕顶点C顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行．如当时，．当在至之间变化时，直接写出其它所有符合条件的的度数． 20．（22-23七年级下·浙江·期末）将一块三角板（，）按如图①所示放置在锐角内，使直角边落在边上．现将三角板绕点逆时针以每秒的速度旋转秒（直角边旋转到如图②所示的位置），过点作交射线于点，平分，且在旋转过程中，当秒时，． (1)求的值； (2)当秒时，求的度数； (3)在某一时刻，当时，试求出与之间的数量关系． 21．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 题型八 平行线与旋转综合 22．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度顺时针返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒1度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动． (1)当射线运动的时间为10秒时，求的度数． (2)若射线先运动30秒，然后射线一起运动．设运动的时间为，当运动过程中时，求的值． (3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）． 23．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点． (1)若，则______； (2)若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值． 24．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．    (1)如图①，若，求的度数． (2)如图②，若，平分，求的度数． (3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值． 题型九 与平行线有关的定值问题 25．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 26．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）如图，已知，连结和交于点． (1)求证：； (2)如图，，点分别在线段上，，． ①请直接写出和（用含的代数式表示）． ②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 27．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，，此时点与点重合． （1）对于图1，固定的位置不变，将绕点按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次平行，如图2所示，求此时的度数． （2）对于图1，固定的位置不变，将沿方向平移至点正好落在直线上，再将绕点按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边与边交于点，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定的位置不变，将绕点顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动当经过秒时，线段与的一条边平行，求满足条件的的值． 题型十 与平行线有关的热考模型 28．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    (1)如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °． 29．（21-22七年级下·山东德州·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到． 求证：， 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图2，若，，求的度数； (2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________． 30．（21-22七年级下·山东青岛·期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 题型十一 利用平移的性质求解 31．（23-24七年级下·浙江台州·期末）【综合与实践】 如图1是“小心有电”警示牌，班级数学兴趣小组想要制作图中的闪电标识，如图2，他们先在纸上画一条线段，利用三角尺和直尺将平移，得到线段，连接，，裁出四边形，连接，在上取点E，F，将三角形，三角形分别沿折叠，得到三角形，点G，H均在上，则有，，，． (1)以下是组员小新证明与平行的过程，根据他的思路，请你帮他补全． 由画法可得，，（同位角相等，两直线平行） 所以，（________） 因为折叠， 所以，__________， 所以________=_________，（等量代换） 所以（________） (2)组员小潘的说法（）正确吗？如果正确，请你帮她证明这一结论；如果不正确，请说明理由． (3)在制作过程中，小组发现，当的长不少于，且不大于时，闪电形态较美观，若的长均为整数，当最短时，求的长． 32．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 题型十二 利用平移解决实际问题 33．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 34．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 35．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． $$专题01 相交线与平行线（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何图形中的角度计算 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 题型三 根据平行线的性质求角的度数 题型四 平行线的性质在生活中的应用 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 题型六 根据平行线的性质与判定证明 题型七 平行线与三角板综合 题型八 平行线与旋转综合 题型九 与平行线有关的定值问题 题型十 与平行线有关的热考模型 题型十一 利用平移的性质求解 题型十二 利用平移解决实际问题 题型一 几何图形中的角度计算 1．（22-23七年级下·浙江台州·期末）如图，直线，垂足为点O，射线在内，满足． (1)求的度数； (2)在射线上取一点P，过点P作，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据求出，然后结合求解即可； （2）首先根据平行线的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质，几何图形中角度的计算，垂线的定义，数形结合是解题的关键． 2．（21-22七年级上·浙江·期末）如图，已知是内三条射线，平分平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． 【答案】(1)30° (2)45° (3)60° 【分析】（1）由角平分线的定义，表示出，即可求解； （2）由角平分线的定义，表示出，即可求解； （3）由角平分线的定义，列出关于的方程组，即可求解． 【详解】（1）解：平分平分， ，， ， ． （2）解：平分平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角的计算，解题关键是由角平分线定义得出有关等式． 3．（20-21七年级上·浙江杭州·周测）已知直线与相交于点O． （Ⅰ）如图1，若，平分，则_________． （Ⅱ）如图2，若，，平分，求的大小； （Ⅲ）如图3，若，，平分，求的大小（用含的式子表示）． 【答案】（Ⅰ）135°；（Ⅱ）54°；（Ⅲ） 【分析】（Ⅰ）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可； （Ⅱ）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可； （Ⅲ）与（2）的解法相同． 【详解】解（Ⅰ），平分， ， ， ， 即的度数为； （Ⅱ） 设，， ， 平分， ， ， ， ， 即的度数为； （Ⅲ） 设，， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）（3）难点在于根据∠BOM列出方程． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 4．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于C，D点，点A，分别在直线，上，且位于的左侧，点P在直线上，且不和点C，D重合． (1)如图1，点P在线段上，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 【答案】(1)的度数为； (2)或或． 【分析】本题考查平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，有关平行线中相关角的等量关系．解题的关键是逢拐点作平行线． （1）作辅助线使，平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，进而得到，，即可求出的度数； （2）作辅助线使，分情况讨论得到，，的数量关系，①当点P在直线，上方，利用平行线的性质得到；②当点P在直线，中间时，利用平行线的性质得到，③当点P在直线，下方，利用平行线的性质得到． 【详解】（1）解：过点P作如图1， 又直线， ， ， ， ， ， ． 故的度数为． （2）过点P作，①当点P在直线，上方时如图2， 又直线， ， ， ， ， ， ， 即：； ②当点P在直线，中间时如图3，又直线， ， ， ， ， ， ，即； ③当点P在直线，下方时如图4，又直线， ， ， ， ， ， ． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．    (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 【答案】(1) (2)数量关系：，理由见解析 (3)① ，② 【分析】（1）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）①过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 【详解】（1）解：过点作，   ， ， ，， ， 故答案为：； （2）数量关系：， 证明：过点作，   ， ， ，， ． （3）①过点作，   ， ， ，， ． 又平分，平分， ， 由（2）可得 ②，理由如下： ：，，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答． 6．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据和互补，，即可求解；②先求出，由平行线的性质可得，再结合①中结论可得的度数； （2）设，可得，，再结合即可求解． 【详解】（1）解：①和互补， ． ， ， ； ②由①得， ， ， 又， ， ． ， ， ； （2）解：， ． 设， ，， ， ， 又， ， ， ， 即m，n满足的等量关系为． 【点睛】本题考查平行线的性质，角的和差关系，互补角的关系等，解题的关键是掌握平行线的性质． 题型三 根据平行线的性质求角的度数 7．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图，点F在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点H，平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得，再结合已知可得，然后利用平行线的判定，即可解答； （2）根据垂直定义可得，再利用平行线的性质可得从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，，连接是内部的任意一条射线． (1)当为的角平分线时， ①如图1，作的角平分线交与点E，求证：； ②如图2，过点B作平分交于点P，求的度数； (2)如图3，，是内的任意一条射线，与交于点P，若，，则直接写出__________．（请用含k的式子表示） 【答案】(1)①见详解；② (2) 【分析】（1）根据角平分线的意义结合，即可得到，故可证明； （2）①可设，设，由可得，即，由，则； ②由题意设，，则，，则，，同上知，因此，故，同上可知． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵， 平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴设， ∴ ∵平分， ∴设， ∵， ∴， ∴， 化简得，， ∵， ∴； ②如图， 由题意设，，则， ∵， ∴，， 同上知， ∴， ∴， 同上可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示） (3)如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，进而推出，即可证明； （2）先由平行线的性质得到，再根据已知条件可证明； （3）证明，再由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． 题型四 与平行线有关的折叠问题 10．（22-23七年级下·浙江台州·期末）如图，有一张长方形纸条，，在线段，上分别取点G，H，将四边形沿直线折叠，点C，D的对应点为，，将四边形沿直线折叠，点A，B的对应点为，，设． (1)若、在直线的上方，当且满足时，求的度数． (2)在（1）的条件下，猜想直线和的位置关系，并证明 (3)在点G，H运动的过程中，若，请直接用含有的式子表示的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析过程 (3) 或 【分析】（1）由折叠的性质可得：，，由平行线的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质可求，可求，即可得结论； （3）分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解． 【详解】（1）解：由折叠得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图，过点F作交于点P，    ∴， ∵， ∴， 即． 又∵， ∴； （3）解：如图，当、在直线的上方时，    由折叠得：，， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图，当、在直线的下方时，    由折叠得：， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， 综上所述： 或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 11．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）数学课上，老师要求同学们利用一块三角板判断纸带两边是否平行． (1)如图，小明按如下步骤操作： 步骤一：三角板按图①摆放，直角边与纸带一边重合，画出线段． 步骤二：三角板按图②摆放，直角边与纸带另一边重合，若斜边与重合，则．那么小明得到的直接依据是______． (2)将纸带按图③所示折叠，如果这条纸带的两边互相平行，令为，求的度数（用的代数式来表示）．    【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定方法进行解答即可； （2）根据，得出，求出，根据折叠得出，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】（1）解：根据操作可知，得到的直接依据是内错角相等，两直线平行； 故答案为：内错角相等，两直线平行； （2）解：∵， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 12．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，将一张宽度相等的纸条按如图所示方式折叠，记点的对应点分别为，，折痕为，且交于点． (1)若，则______度． (2)如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数． (3)如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据对顶角和平行线的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求出的度数． （2）根据题意可分成两种情况，当向下翻折时，当向上翻折时，根据平行线的性质和折叠的性质，即可求出的度数． （3）补全图形后，设，则，根据折叠的性质和平行线的性质，可得，即，代入数值解得，根据对顶角，角平分线的性质，平行线的性质，外角的性质，三角形内角和的性质，即可求出的度数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∴， 故答案为． （2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示： ∵，， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， 再根据折叠的性质可得， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴． 当向上翻折时，交与点，如图所示： 由上可得 ∵ ∴ 根据折叠的性质可得， 综上可得的度数为或． （3）补全图形，如下图所示： 设，则， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴， 根据折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、对顶角性质、角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 13．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部． (1)如下图，若，，求的度数； (2)如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若． ①求与的数量关系； ②求的值． 【答案】(1) (2)①， 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差，对顶角相等． （1）根据平行线的性质即可解答； （2）①根据平行线的性质得到，，两式消去，即可解答； ②过作，则，因此，，结合对顶角相等与角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴． 14．（22-23七年级下·浙江台州·期末）已知直线，，垂足为点O，点A，B分别在直线，上．点P是平面上任一点，连接，．    (1)当点P在如图1所示位置时，，，则___________； (2)当点P移动到如图2所示位置时，求，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下分别作，的角平分线交于点Q， ①若，求的度数； ②请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)①；②． 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质，得到，再利用垂直的定义，得到，进而得到，即可求出的度数； （2）过点P作，根据平行线的性质，得到，再利用垂直的定义，得到，进而得到，然后根据，即可得出结论； （3）①过点Q作，由（2）可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质，分别得到，，然后利用，即可求出的度数； ②由（2）可得，，再根据角平分线的定义和平行线的性质，分别得到，，然后利用，即可得到和的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点P作，则，   ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点P作，则，   ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点Q作，则， 由（2）可知，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ；    ②由（2）可知，， ， 平分，平分， ， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，角平分线的定义，解题关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 15．（21-22七年级下·江苏淮安·阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．    (1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数． 阅读并补充下面推理过程 解：过点A作 ，_________________． __________________ 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作． (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。 ②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________． 【答案】(1)∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC (2)见详解 (3)①55°；②160 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过C作CFAB，根据平行线的性质得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论； （3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数； ②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°． 【详解】（1）如图1，过点A作EDBC，    ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， ∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC； （2）如图2，过C作CFAB，   ， ∵ABDE， ∴CFDE， ∴∠D+∠FCD＝180°， ∵CFAB， ∴∠B＝∠BCF， ∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF， ∴∠D+∠BCD＝180°+∠B， 即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°； （3）①如图3，过点E作EFAB，    ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°； ②如图4，过点E作EFAB，    ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°， ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°， 故答案为：160． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线． 题型六 根据平行线的性质与判定证明 16．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点O滚向桌边，碰到上的点P后反弹而滚向桌边，碰到上的点Q后反弹而滚向点R．如果，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于． (1)判断并直接写出和的位置关系． (2)猜想是否平行于？说明理由． (3)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1 ）先证明，进而可证； （2 ）先证明，结合角平分线的定义可得，从而； （3 ）先求出，从而，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）， 理由：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，已知，． (1)求证：； (2)如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键． （1）根据同旁内角互补，两直线平行即可证明结论； （2）过点P作，证明，得到即可解答； （3）过点N、F作，，设，，，根据平行的性质得到，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：过点P作，如图1所示： ， 由（1）得，， ， ， ， （3）解：过点N、F作，，如图所示： ， ． 平分、， ，， 不妨设，，， ，① ， ，， ， ，② ， ， ， ， ， 又， ，③ 由①②③式可得，，即 18．（23-24七年级下·浙江金华·期末）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数． (3)如图3，点P，G分别在，上，连，作的平分线交于点Q，点H是射线上一点，连，且，设，，，请画出图形，并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)或； 【分析】（1）先证明，从而可得结论； （2）证明，，如图，过作，，再进一步利用平行线的性质可得答案； （3）如图，当在线段上，设，则，由（2）的结论可得：，如图，当在线段的延长线上时，设，则，同理可得：，证明，，，从而可得答案； 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，． ∴， ∵与的平分线交于点F， ∴， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，当在线段上， 设，则， 由（2）的结论可得： ， ， ∵，，，的平分线交于点Q， ∴， ∴， 整理可得：； 如图，当在线段的延长线上时， 设，则， ∵，，，的平分线交于点Q， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 整理可得：； 综上：或； 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 题型七 平行线与三角板综合 19．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数学探究．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．，分别交于M，N点． (1)求和的度数； (2)现把三角板绕B点逆时针旋转，如图2，当，且点C恰好落在DG边上时： ①请用含n的代数式表示的度数； ②若此时，求n的值； (3)选用工具中的两把直角三角板，直角顶点重合叠放如图3所示，现将含的三角板固定不动，将含的三角板绕顶点C顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行．如当时，．当在至之间变化时，直接写出其它所有符合条件的的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了邻补角、直角的性质，平行线的性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答即可； （2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；②根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，结合题意求解即可； （3）结合图形，分，，，，，五种情况进行分析，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）解：①如图2，∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）当时， ， 如图所示位置， ∵，， ∴， ∴； 如图所示转到位置， ∵，， ∴共线， ∴， ∵， ∴共线， ∴； 当时， 如图所示位置， ∵， ∴， ∴； 如图所示转到位置， ∵， ∴； 当时， 如图所示位置， 根据题意得； 如图所示位置，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示：同理得；； 当时，如图所示：同理得；； 综合可得：符合条件的的度数． 20．（22-23七年级下·浙江·期末）将一块三角板（，）按如图①所示放置在锐角内，使直角边落在边上．现将三角板绕点逆时针以每秒的速度旋转秒（直角边旋转到如图②所示的位置），过点作交射线于点，平分，且在旋转过程中，当秒时，． (1)求的值； (2)当秒时，求的度数； (3)在某一时刻，当时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据当秒时，，即可求出的值； （2）根据旋转的速度及时间，即可求出的度数，进一步求出的度数；根据平行线的性质，即可求出的度数，进一步求出的度数； （3）先根据平行线的性质，表示出的度数，进一步表示出的度数；再根据平行线的性质，表示出的度数，根据角平分线的定义，表示出的度数；再根据平行线的性质，得出，从而可求出答案． 【详解】（1）当秒时，，此时三角板绕点逆时针旋转了， ∴ 的值为 （2）当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）与之间的数量关系是：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴与之间的数量关系是：． 21．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】问题解决：①②是定值，；思维拓展：s或s 【分析】本题考查了动角问题，平行线的判定及性质，角的和差等； 问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解； 思维拓展：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求； 掌握平行线的判定方法及性质，能根据、的不同位置进行分类讨论是解题的关键 【详解】解：问题解决： ①如图，过点E作， ， ， ， ， ； ②是定值，理由如下： 如图，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故为定值； 思维拓展： 由题意得， ， ， （ⅰ）如图，当时，延长交于点P， ①在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②当在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； （ⅱ）当时，延长交于点I， ①如图，在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②如图，在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； 综上所述，所有满足条件的t的值为s或s． 题型八 平行线与旋转综合 22．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度顺时针返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒1度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动． (1)当射线运动的时间为10秒时，求的度数． (2)若射线先运动30秒，然后射线一起运动．设运动的时间为，当运动过程中时，求的值． (3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)的值为10或66或130或138； (3) 【分析】（1）用平角分别减去，即可作答．； （2）由题意分三种情况讨论：当时，在的左侧，在的右侧，由，可得，解得；当时，在的左侧，在的右侧，可得，解得；当时，在的右侧，在的左侧，则，解得； （3）延长交于点，由，，则，可得，再由，即，可求． 本题是平行线的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，动点运动过程中的分类讨论求解是解题的关键． 【详解】（1）解：∵射线从出发，绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转10秒， ∴ ∵ ∴ （2）解：，， ， ， ， 当时，在的左侧， ， 在的右侧， ， ， ； 当时，在的左侧， ， 在的右侧， ， ； 当时，在的右侧， ， 在的左侧， ， ； 当时，， ， 综上所述：的值为10或66或130或138； （3）延长交于点， 的度数为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 23．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点． (1)若，则______； (2)若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由平角的定义及角平分线的定义得出，继而得出，再根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）设，则，根据平行线的性质可得，由角平分线的意义得出，，根据已知条件可得，由内错角相等，即可判断两直线平行； （3）分两种情况讨论，分别表示出两种情况下相关角的度数，根据直角三角形两锐角互余列方程，求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）设，则， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 由题意得， 当时，如图，，此时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当当时，如图，，此时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 24．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．    (1)如图①，若，求的度数． (2)如图②，若，平分，求的度数． (3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据平角的定义和已知角求解即可； （2）根据平行线的性质得到,由平分得到，即可得到答案； （3）根据t的取值范围分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）， , 平分， ∴， ∴； （3）由得 当时，， 解得，（舍）； 当时，， 解得，； 当时，， 解得（舍）； 当时，， 解得，， 综上所述，或． 题型九 与平行线有关的定值问题 25．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②是定值， 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如下图，当点可以在点的右侧， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴； 当点可以在点的左侧， 同理，可得， 综上，的度数为或； ②，理由如下： 如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 26．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）如图，已知，连结和交于点． (1)求证：； (2)如图，，点分别在线段上，，． ①请直接写出和（用含的代数式表示）． ②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)①， ②是定值，定值为 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可证明． （2）①根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合题意，即可得出，． ②根据平行线的性质可得，即，因为，∴，结合，，可得，代入中，得是定值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2）①解：∵，，， ∴， 即． ∵， ∴， 又∵，， ∴， 即． 故，． ②解：是定值． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 化简得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是定值． 27．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，，此时点与点重合． （1）对于图1，固定的位置不变，将绕点按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次平行，如图2所示，求此时的度数． （2）对于图1，固定的位置不变，将沿方向平移至点正好落在直线上，再将绕点按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边与边交于点，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定的位置不变，将绕点顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动当经过秒时，线段与的一条边平行，求满足条件的的值． 【答案】（1）30°；（2）①是定值为45°；②或7.5或12 【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可； （2）①过点作直线则，利用平行线的性质可求解；②分三种情况，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵ ∴ （2）①是定值，45° 理由如下： 过点作直线则． ∴， ∴ ∴ ②共分三种情况 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，一元一次方程与几何问题，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 题型十 与平行线有关的热考模型 28．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    (1)如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °． 【答案】(1)，理由见解析 (2)58 【分析】（1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）同（1）方法可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键． 29．（21-22七年级下·山东德州·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到． 求证：， 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图2，若，，求的度数； (2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________． 【答案】(1)240° (2)32° 【分析】（1）过E点作，过F点作，易得，，，则有∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，根据∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，即有∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°； （2）根据题目的证明方法可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，由∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，即有∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，问题得解． 【详解】（1）过E点作，过F点作，如图， ∵，，， ∴，，， ∴∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°， ∵∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°， ∴∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°， 故答案为：240°； （2）根据题目中“猪蹄模型”的证明方法，同理可以证明：∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE， ∵∠E=64°， ∴∠ABE+∠CDE=64°， ∵∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF， ∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE， ∵∠F=∠ABF+∠CDF， ∴∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=， 故答案为：32°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解答本题的关键． 30．（21-22七年级下·山东青岛·期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠a+∠β-∠P= 180°；（3）∠N的度数为45° 【分析】(1)过点P作PE// AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A= 50°，∠EPD= 180°- 150°= 30°，即可求出∠APD的度数； (2)过点P作PE// AB，则AB//PE//CD，根据平行线的性质可得∠DPE=∠CDP=β，∠APE+ ∠PAB= 180°，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°； (3)PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO= 90°，由∠PAN+∠PAB=∠APD得出 ∠PAN +∠PAB= 90°，由∠POA+∠PAN= 90°，得出∠POA=∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD=∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN =∠PDC，即∠AND=180°- (PAB+∠PDC)，由(2)得：∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°，代入计算即可求出∠AND的度数． 【详解】(1)如图2，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB//PE//CD， ∴∠APE=∠A = 50°， ∠DPE+∠D= 180°， ∴∠DPE= 180°- 150° = 30° ∴∠APD=∠APE+∠DPE = 50°+ 30°= 80° (2)如图3，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB// PE//CD， ∴∠DPE=∠CDP=β， 又∠APE+∠PAB= 180° ∴∠APE= 180°- a， ∠DPE=∠DPA+∠APE=∠DPA+ 180°-a ∴β=∠DPA + 180°- a， ∴a+β-∠P= 180°， 故答案为：∠a+∠β-∠P= 180°； 【联系拓展】如图4，PD交AN于点O， ∵ AP⊥PD， ∴∠APO=90° ∵∠PAN +∠PAB=∠APD， ∴∠PAN +∠PAB= 90° ， ∵∠POA+∠PAN = 90°， ∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND= 180°-∠NOD-∠ODN = 180°- (∠PAB +∠PDC)， 由(2)得： ∠CDP+∠PAB-∠APD= 180° ∴∠CDP+ ∠PAB= 180°+∠APD， ∴∠AND= 180°- (∠PAB +∠PDC) = 180°- (180°+∠APD) = 180°- (180° + 90°) = 45° 【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线，对顶角，平行公理的应用，角平分线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型十一 利用平移的性质求解 31．（23-24七年级下·浙江台州·期末）【综合与实践】 如图1是“小心有电”警示牌，班级数学兴趣小组想要制作图中的闪电标识，如图2，他们先在纸上画一条线段，利用三角尺和直尺将平移，得到线段，连接，，裁出四边形，连接，在上取点E，F，将三角形，三角形分别沿折叠，得到三角形，点G，H均在上，则有，，，． (1)以下是组员小新证明与平行的过程，根据他的思路，请你帮他补全． 由画法可得，，（同位角相等，两直线平行） 所以，（________） 因为折叠， 所以，__________， 所以________=_________，（等量代换） 所以（________） (2)组员小潘的说法（）正确吗？如果正确，请你帮她证明这一结论；如果不正确，请说明理由． (3)在制作过程中，小组发现，当的长不少于，且不大于时，闪电形态较美观，若的长均为整数，当最短时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)正确，证明见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，折叠的性质等等： （1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程证明即可； （2）由平行线的性质先证明，再由折叠的性质证明，即可证明； （3）由平移的性质得到，由折叠的性质可得，再由得到，进而得到，再结合的长均为整数进行求解即可． 【详解】（1）证明：由画法可得，，（同位角相等，两直线平行） 所以，（两直线平行，内错角相等） 因为折叠， 所以，， 所以，（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） （2）解：正确，证明如下： ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； （3）解：由平移的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵的长不少于，且不大于， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵都是整数， ∴符合题意的的最小值为7，此时的值为4． 32．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【详解】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          题型十二 利用平移解决实际问题 33．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 34．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 35．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 【答案】(1)一样长，画图见解析 (2) (3)够，理由见解析 【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等； （2）利用出租车收费标准进而得出答案； （3）利用（2）中所求即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长； （2）由题意可得：； （3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够， 理由：由（2）得：（元）． ∵， ∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够． 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及生活中的平移现象，正确得出m与s的函数关系式是解题关键． $$