专题02 一元二次方程（考点清单，5考点16题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版）

清单02 一元二次方程 （5个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 一元二次方程基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【补充说明】 1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，所以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断. 2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 清单02 解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法.形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 清单03 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 清单04 韦达定理 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 清单05 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【考点题型一】识别一元二次方程（） 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中， 为一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【考点题型二】化成一元二次方程一般式（） 4．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 5．（22-23八年级下·浙江·期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级下·浙江温州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式为 ，一次项系数为 ． 【考点题型三】已知一元二次方程的解求参数或代数式的值（） 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）若一元二次方程有一个根为1，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B． C．2023 D．2025 11．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若一元二次方程的一个根为，则代数式的值为 ． 【考点题型四】解一元二次方程-直接开平方法（） 12．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B．2 C． D． 13．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 14．（22-23九年级上·浙江台州·期末）对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为 ． 【考点题型五】解一元二次方程-配方法（） 15．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）用配方法解方程:，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）若方程经配方法转化成，则的值是 ． 19．（23-24八年级下·浙江金华·期末）解方程 (1) (2) 【考点题型六】解一元二次方程-公式法（） 20．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 21．（21-22八年级下·浙江·期末）用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（    ） A．17 B．14 C．11 D．8 22．（21-22八年级下·全国·单元测试）关于的一元二次方程＝的两根为 ． 23．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很感兴趣，小张同学探究得到了边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．    【考点题型七】解一元二次方程-因式分解法（） 24．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 25．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）方程的根是 (      ) A． B． C．， D．， 26．（22-23九年级上·云南楚雄·期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长为（    ） A．20 B．24 C．40 D．48 27．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 【考点题型八】不解方程判断一元二次方程根的情况（） 28．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 29．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）关于x的方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 30．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 31．（21-22八年级下·北京海淀·期中）关于的一元二次方程的根的情况为 ． 【考点题型九】根据一元二次方程根的情况求参数（） 32．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）若方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 33．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 35．（22-23八年级下·浙江温州·期中）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【考点题型十】一元二次方程根与系数的关系（） 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 40．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若一元二次方程的两根为m，n，则 ． 41．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）解答下列各题： (1)用配方法解方程：． (2)设，是一元二次方程的两根，求的值． 【考点题型十一】已知一元二次方程的一个解，利用韦达定理求另一个解（） 42．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）一元二次方程的一根为3，则另一根为（    ） A． B．1 C． D． 43．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（　　） A．， B．，8 C．4， D．4，8 44．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知方程的一个根为2，则另一个根为 ． 【考点题型十二】一元二次方程与实际应用-传播问题（） 45．（2024·重庆沙坪坝·一模）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 46．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）一种病毒每轮传播的人数为x，若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮传播共感染了144人，则x为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 47．（20-21八年级下·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 个班级． 48．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）请根据图片内容，回答下列问题： (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ (2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？ 【考点题型十三】一元二次方程与实际应用-增长率问题（） 49．（22-23八年级下·浙江·期末）“读万卷书，行万里路”，某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知第二次降价的百分率是第一次的倍，求第一次降价的百分率．设第一次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 51．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【考点题型十四】一元二次方程与实际应用-图形问题（） 52．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）“直田积（矩形面积）八百六十四平方步，阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步” （选自《田亩比类乘除算法》）．设阔为x步，可列出方程（    ） A． B． C． D． 54．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________． 55．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知． （1）当时，则c的值是 ； （2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ． 56．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 57．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））． (1)设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）； (2)若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？ 【考点题型十五】一元二次方程与实际应用-数字问题（） 58．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 59．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 60．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 61．（22-23八年级·上海·假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【考点题型十六】一元二次方程与实际应用-动态几何问题（） 62．（21-22八年级下·浙江温州·期中）在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 63．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点 P 以的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q以的速度向点 D 移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P 和点Q 的距离是？ (3)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形（精确到）？ 64．（20-21八年级下·浙江·期末）如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动（至点B停止），点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动（至点C停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P，Q分别从A，B同时出发 ①经过几秒，的面积等于？ ②线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （2）若点P沿射线方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元二次方程 （5个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 一元二次方程基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【补充说明】 1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，所以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断. 2) 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 3) 当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 清单02 解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法.形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 清单03 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 清单04 韦达定理 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 清单05 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【考点题型一】识别一元二次方程（） 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B、，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、，含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项不符合题意； D、，分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中， 为一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【考点题型二】化成一元二次方程一般式（） 4．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键． 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：C． 5．（22-23八年级下·浙江·期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式为求解即可． 【详解】解：由得：，则， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式结构特征是解答的关键． 6．（21-22八年级下·浙江温州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程整理为一般式即可． 【详解】解：， ， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式为是解题的关键． 7．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式为 ，一次项系数为 ． 【答案】 x2-6x+5=0 6 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：把一元二次方程（x-3）2=4化为一般形式为：x2-6x+5=0，一次项系数为-6， 故答案为：x2-6x+5=0，6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 【考点题型三】已知一元二次方程的解求参数或代数式的值（） 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0， ∴且， ∴， 故选：B． 9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）若一元二次方程有一个根为1，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义． 把代入方程可得关于a的一元一次方程，即可解得答案． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为1， ∴， 解得， 故选：D． 10．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B． C．2023 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：C． 11．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若一元二次方程的一个根为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义；根据方程的解代入方程满足等式关系，再整体代入计算求值即可； 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即 ∴ 故答案为：． 【考点题型四】解一元二次方程-直接开平方法（） 12．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程．利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可． 【详解】解；， 两边直接开平方得： ， ，， 故选：D． 13．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程的解，解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可． 【详解】解：关于的方程，均为常数）的解是，， 的解是或，即，． 故答案为：，． 14．（22-23九年级上·浙江台州·期末）对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解利用直接开平方法一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程得到，结合其中一个解进行计算即可． 【详解】解：根据题意得， ∵其中一个一元一次方程是， ∴， 则． 故答案为：4． 【考点题型五】解一元二次方程-配方法（） 15．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）用配方法解方程:，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可． 【详解】解：方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 由完全平方公式得：， 故选：C． 17．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 18．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）若方程经配方法转化成，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．利用完全平方公式把变形为一般式，从而得到的值． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 19．（23-24八年级下·浙江金华·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知直接开平方法和配方法是解题的关键． （1）利用直接开平方解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 【考点题型六】解一元二次方程-公式法（） 20．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 21．（21-22八年级下·浙江·期末）用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（    ） A．17 B．14 C．11 D．8 【答案】A 【分析】根据公式法求解一元二次方程可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0可知：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查公式法求一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键． 22．（21-22八年级下·全国·单元测试）关于的一元二次方程＝的两根为 ． 【答案】， 【分析】整理成一般式后，利用公式法求解可得． 【详解】解：整理得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． 23．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很感兴趣，小张同学探究得到了边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．    【答案】对角线为10条的数错了，见解析 【分析】方法一：用公式做，已知边形的对角线条数为，若边形的对角线条数为10，则，，不是完全平方数，因为为正整数，所以方程的解不符合题意，所以多边形的对角线条数为10条是错误的． 方法二：画图说明，边形的对角线条数随的增大而增大，画出六边形、七边形的对角线条数分别9条、14条（如下图），10个于9与14之间，所以10条是错误的． 【详解】解：对角线为10条的数错了． 方法一：用公式做， 已知边形的对角线条数为， 若边形的对角线条数为10，则， 化简得， ，不是完全平方数，因为为正整数，所以方程的解不符合题意， 所以多边形的对角线条数为10条是错误的． （直接解得，，两个解均不符合题意，由此得到这个多边形的对角线条数为10条是错误的） 或：若边形的对角线条数为14，则，解得（舍去），． 所以对角线是14条是正确的，10条是错误的． 方法二：画图说明 边形的对角线条数随的增大而增大，画出六边形、七边形的对角线条数分别9条、14条（如下图）， 10个于9与14之间，所以10条是错误的． 六边形：  七边形：   【点睛】本题考查多边形的对角线，正确理解题意是解题的关键． 【考点题型七】解一元二次方程-因式分解法（） 24．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程，解方程求出两个根，可得结论．正确分解因式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴， 故选：C． 25．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）方程的根是 (      ) A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把原方程化为或，从而可得答案． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故选C 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 26．（22-23九年级上·云南楚雄·期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长为（    ） A．20 B．24 C．40 D．48 【答案】A 【分析】利用因式分解法求出的值，从而得出菱形的边长，再利用菱形对角线互相平分、垂直的性质得出边长，从而得出答案． 【详解】解：， ， 解得或， 则菱形的两条对角线的长为6和8， 菱形的边长为， 菱形的周长为20， 故选A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 27．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：由方程得， ，． 因为方程的两个根与方程的两个根相同， 则将代入得， ， 解方程得， ，， 所以． 故答案为：． 【考点题型八】不解方程判断一元二次方程根的情况（） 28．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查根的判别式．分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案． 【详解】解：A、， 方程没有实数根，不符合题意； B、， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、， 方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 29．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）关于x的方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况即可. 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B. 【点睛】本题主要考查根的判别式，要熟练掌握各种情况，准确判断根的个数. 30．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出判别式的值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键． 31．（21-22八年级下·北京海淀·期中）关于的一元二次方程的根的情况为 ． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【分析】根据根的判别式的值的符号可以判断根的情况． 【详解】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根，掌握一元二次方程根的判定方法是解题的关键． 【考点题型九】根据一元二次方程根的情况求参数（） 32．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）若方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即，代入数值计算求解即可． 【详解】解：∵该方程有两个相等实根， ∴， 解得； 故答案为：C． 33．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有两个实数根，得到，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的两个根为，则， ∴， ∴解得， 又方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，列出不等式，是解题的关键． 34．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形和一元二次方程结合．熟练掌握三角形三边关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式与根和关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 又由三角形的三边关系可得：， ∴， 即， 解得：； ∵方程有两个实根， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 35．（22-23八年级下·浙江温州·期中）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【考点题型十】一元二次方程根与系数的关系（） 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选：D． 37．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 38．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 39．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，同底数幂乘法的逆用，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题关键．由题意可知，，，进而整理出，将其代入化简求值即可． 【详解】解：、是方程的两个实根， ，， ， ， ， 故答案为：． 40．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若一元二次方程的两根为m，n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，先将一元二次方程的解代入方程中得，再根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后变形所求代数式，进而代值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为m，n， ∴，，，即， ∴ ， 故答案为：． 41．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）解答下列各题： (1)用配方法解方程：． (2)设，是一元二次方程的两根，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）利用韦达定理得到，，，然后代入计算即可． 【详解】（1）， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，， ∴． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，即如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商，解题的关键是掌握配方法和根与系数的关系进行解题． 【考点题型十一】已知一元二次方程的一个解，利用韦达定理求另一个解（） 42．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）一元二次方程的一根为3，则另一根为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一根为t， 根据题意得， 解得， 即方程的另一根为． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：设为一元二次方程的两根，则有如下关系：，． 43．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（　　） A．， B．，8 C．4， D．4，8 【答案】A 【分析】设方程的另一实数根为，根据题意得，，然后先求出的值，再计算的值． 【详解】解：设方程的另一实数根为t， 根据题意得，， 解得，， 即方程的另一根为，的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，． 44．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知方程的一个根为2，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：令方程的另一个根为， 则， 所以， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 【考点题型十二】一元二次方程与实际应用-传播问题（） 45．（2024·重庆沙坪坝·一模）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由一个主干长出个支干且每个支干又长出同样数目的小分支，可得出共长出个小分支，再结合主干、支干和小分支的总数是111，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：一个主干长出个支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 46．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）一种病毒每轮传播的人数为x，若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮传播共感染了144人，则x为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】根据两轮传播共感染了144人直接列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意，得1+x+x(1+x)=144， 即（1+x）2=144， 解得：x1=11，x2=-13（舍去）， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 47．（20-21八年级下·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 个班级． 【答案】8 【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设八年级有x个班， 依题意得：x（x-1）=28， 整理得：x2-x-56=0， 解得：x1=8，x2=-7（不合题意，舍去）． 则该校八年级有8个班级． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 48．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）请根据图片内容，回答下列问题： (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ (2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？ 【答案】(1)每轮传染中，平均一个人传染了10个人 (2)第三轮将新增1210名感染者 【分析】（1）设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有（1+x）名感染者；第二轮传染时这（1+x）人每人又传染了x人，则第二轮传染了x（1+x）人，列出方程求解即可； （2）根据（1）中的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了x个人． 则可列方程：． 解得，（舍去）． 答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人． （2）（名）． 答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键． 【考点题型十三】一元二次方程与实际应用-增长率问题（） 49．（22-23八年级下·浙江·期末）“读万卷书，行万里路”，某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为； 故选A． 50．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知第二次降价的百分率是第一次的倍，求第一次降价的百分率．设第一次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题．根据某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知第二次降价的百分率是第一次的倍，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得，． 故选：C． 51．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，     根据题意得：，     解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，     根据题意得：，     整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 【考点题型十四】一元二次方程与实际应用-图形问题（） 52．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 53．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）“直田积（矩形面积）八百六十四平方步，阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步” （选自《田亩比类乘除算法》）．设阔为x步，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用---与图形有关的古代问题；由题意得长步，由矩形面积公式建立方程即可． 【详解】解：由题意，阔为x步，则长步， 由矩形面积得：； 故选：C． 54．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的应用，如果设通道的宽度为,那么草坪的总长度和总宽度应该为；那么根据每一块草坪的面积都为，可得出方程 【详解】解：设通道的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为； 根据题意即可得出方程为：， 故答案为：． 55．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知． （1）当时，则c的值是 ； （2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ． 【答案】 2 28或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形与正方形的面积公式可得，，代入，得出． （1）将代入，解方程即可求出的值； （2）由可得．代入，变形得出，根据为整数，求出可能为2或1．再求出的值，进而得到矩形和正方形的周长之和． 【详解】解：由题意可得，， ， ． （1）当时， ， 解得（负值舍去）， 即． 故答案为：2； （2）， ． ， ， ， 为整数， 可能取值有：4或1， 可能为2或1． 当时，，解得（负值舍去）； 当时，，解得（负值舍去）， 矩形和正方形的周长之和为： ． 当，时，； 当，时，． 故答案为：28或． 56．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．    (1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长． (2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)矩形种植园一边的长15米 (2)不能围成面积为的矩形种植园 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键． （1）方案1：设的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可； （2）方案2：设的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可； 【详解】（1）解：设的长为x米， 则， 解得： ． ∵ ，      ∴， ∴舍去， ．                      答：矩形种植园一边的长15米． （2）解：设的长为x米， 则 ， 化简得， ，          ∴不能围成 ， 答：不能围成面积为的矩形种植园． 57．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））． (1)设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）； (2)若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？ 【答案】(1) (2)通道的宽度为． 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用， （1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，可得式，化简即可得； （2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得． 【详解】（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为， ∴， ， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， ∵， ∴， 解得（不合题意，舍去）． ∴通道的宽度为． 【考点题型十五】一元二次方程与实际应用-数字问题（） 58．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 59．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 60．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 【答案】23或32 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， 解得：或， 则或． 则这个两位数是23或32． 故答案为：23或32． 61．（22-23八年级·上海·假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【答案】16或49 【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 【考点题型十六】一元二次方程与实际应用-动态几何问题（） 62．（21-22八年级下·浙江温州·期中）在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 【答案】A 【分析】设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间． 【详解】解：设点运动的时间为，则，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当到达点时两点同时停止运动， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 63．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点 P 以的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q以的速度向点 D 移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P 和点Q 的距离是？ (3)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形（精确到）？ 【答案】(1)5 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程． （1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，则，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解； （2）作，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． （3）需要对等腰三角形的不同的腰进行分类讨论，然后求解． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2， 则， 根据梯形的面积公式得， 解之得， ∴从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，      作，垂足为E， 则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得． （3）解：过点P作于M，于N    则 分三种情况； ①当时，则． ∵． ∴； ②当时，在直角中，由勾股定理得： 整理，得， 解得， ， ③当时，在直角中，由勾股定理得： 解得， （舍去）， 综上所述，经过或或或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 64．（20-21八年级下·浙江·期末）如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动（至点B停止），点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动（至点C停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P，Q分别从A，B同时出发 ①经过几秒，的面积等于？ ②线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （2）若点P沿射线方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为？ 【答案】（1）①3秒或5秒；②不能，理由见解析；（2）s或5s或s 【分析】（1）①设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于15cm2．得出方程，解之即可； ②根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答； （2）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）①设经过x秒后，△PBQ的面积等于15cm2． 由题意得：， 解得：x=3或x=5， 答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2． ②不能， 理由如下：假设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分， ∵S△ABC==48（cm2）， ∴， 解得：此方程无实数根， ∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分； （2）①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，设运动时间为m s，此时0＜m＜6， 依题意得：， 解得：m=或（舍去）， ∴m=； ②当点P在线段AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为n s，此时6＜n＜8， 依题意得：， 解得：n1=n2=7； ③当点P在射线AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为k s，此时k＞8， 依题意得：， 解得：k=（舍去）或， ∴k=， 综上所述：经过s或5s或s，△PBQ的面积为1cm2． 【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、一元二次方程的解法，灵活运用分情况讨论思想、正确列出方程是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$