专题01 相交线与平行线（考点清单，7考点14题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版2024）

专题01 相交线与平行线 （7个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 清单01 垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 清单02 相交线形成的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 清单03 平行线的基础 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 清单04 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单05 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 清单06 平行线间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 清单07 平移 定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 【考点题型一】垂线的定义（） 1．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：①两点确定一条直线，故①正确； ②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②不正确； ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确 ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义,掌握以上知识是解题的关键． 2．（21-22七年级上·浙江·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．若，则点是线段的中点 C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大度 【答案】D 【分析】根据对顶角性质、线段中点的定义、余角与补角的关系，逐一判定即可解答． 【详解】解：A、对顶角相等，但是相等的角不一定是是对顶角，故本选项错误，不符合题意； B、三点不在一条直线上，，但是不是线段的中点，故本选项错误，不符合题意； C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误，不符合题意； D、设这个角为，则它的余角为，补角为， 则， 故若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大度，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角性质、线段中点的定义、余角与补角的关系，解决本题的关键是熟记相关基本定义与性质． 3．（20-21七年级下·浙江·期末）下列结论正确的是（    ） A．两直线被第三条直所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．不相交的两条直线叫做平行线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，垂线的定义，平行线的定义，平行公理分别判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条平行线所截，同位角相等，故错误； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故错误； D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，平行线的定义，平行公理，属于基础知识，属于中考常考题型． 【考点题型二】根据现实情况描述数学依据（） 4．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取的长度作为小周的成绩，其依据是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】此题考查了垂线段最短的性质的运用．由点到直线的距离的定义及投掷实心球比赛的规则作出判断． 【详解】解：投掷完毕时，测量员选取的长度作为小周的成绩，其依据是垂线段最短， 故选：A． 5．（21-22七年级下·浙江台州·期末）小明从点A起跳，落脚点为点B，已知AB＝2.5 m，则小明跳远的成绩可能是（    ） A．2.45 m B．2.55 m C．2.6 m D．2.7 m 【答案】A 【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，据此作答． 【详解】解：∵根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长， 又∵垂线段最短，AB=2.5米， ∴小红这次跳远的成绩可能是2.45米， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，熟悉测量跳远成绩的方法是解题的关键．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 6．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小茗同学练习跳远，如图，点A是她落地时脚后跟所在点，则这次跳远成绩是图中线段________的长度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，掌握理解跳远比赛的规则是解题关键．根据跳远比赛的规则可知跳远的成绩是起跳点到直线得距离，据此可得答案． 【详解】解：在跳远比赛规则的前提下，测量小茗同学的体育成绩时，应该选取线段的长度， 故选：B． 【考点题型三】三线八角的识别（） 7．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）如图，直线、被所截，下列个角中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查内错角、同位角、同旁内角定义，熟记这些角的基本概念是解决问题的关键． 根据三线八角及相关角的定义，数形结合，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、与两角是同旁内角，故选项不符合题意； B、与两角是同位角，故选项符合题意； C、与两角不是同位角，故选项不符合题意； D、与两角是内错角，故选项不符合题意； 故选：． 8．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）图中与为内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．根据内错角的定义，解析解答． 【详解】解：根据内错角的定义，选项C中的和是内错角，选项B为内角，其它两个选项什么角都不是； 故选：C． 9．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，下列各对角中，属于同旁内角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角．熟练掌握同旁内角的定义是解题的关键． 根据同旁内角的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，与属于同旁内角， 故选：D． 【考点题型四】利用对顶角、邻补角的性质求解（） 10．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，直线，相交于点O，下列命题中，是真命题的是（   ）    A．若，则 B．若，则与互为对顶角 C．若，则 D．若，则与互为邻补角 【答案】A 【分析】本题主要考查了真假命题的判定， 对顶角的定义，领补角的定义，以及垂直的定义等知识，根据对顶角的定义，领补角的定义，以及垂直的定义判定即可． 【详解】解：．若，且，∴则，该命题是真命题，故该选项符合题意； ．若，无法得出与是对顶角，该命题是假命题，故该选项不符合题意； ．若，无法得出，该命题是假命题，故该选项不符合题意； ．若，无法得出与互为邻补角，该命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 11．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，互补等知识，判定两条直线平行是解题的关键．由已知及对顶角相等得，再由平行线的判定得，利用互补关系即可求得结果． 【详解】解：， ， ， ； ， ； 故选：B． 12．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则，其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，直角和平角定义；根据角平分线定义得，可说明，判断①；再根据垂直定义知，进而得出，即可判断②；的度数不能确定的度数，解答③；最后根据平角定义得，再结合角平分线的定义说明④ 即可． 【详解】解：因为平分，， 所以． 当时， 即， 所以， 即． 故①正确； 当时，可得， 即． 因为， 即， 所以． 故②正确； 当时，， 不能确定的大小． 所以③不正确； 因为平分时， 所以． 因为， 所以， 即， 所以． 则④正确； 所以正确的结论是． 故选：B． 【考点题型五】根据已知条件判定两直线平行（） 13．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，下列条件中能判定的是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．， ，不符合题意； B．， ，符合题意， C．与是同旁内角，，不能判断两直线平行，不符合题意； D．， ，不符合题意； 故选：B． 14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，正确理解平行线的判定方法是解题的关键．对于A，通过推理可得，同位角互补，不能得到两直线平行；对于B，举反例即可判断；对于C，可证明，根据同位角相等，两直线平行，即可判断；对于D，由推理得，再举反例即可判断． 【详解】解：A、如图，，， ， 不能判断， 所以选项A错误，不符合题意；    B、如图，保持的度数不变，改变开口方向，这样仍满足题意，但与不平行，所以B选项错误，不符合题意；    C、，， ， ， 所以选项C正确，符合题意； D、如图，，， ，    显然与不平行，所以选项D错误，不符合题意． 故选C． 15．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是 ． 【答案】② 【分析】两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．据此可得结论． 【详解】解：度量：①∠1，∠2，∠C，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意； 度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度数，结合∠2的度数，即可判断直线m与直线n是否平行，符合题意； 度量：③∠3，∠4，∠C不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意； 度量：④∠1，∠2，∠3，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 【考点题型六】证明两直线平行（） 16．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，． 求证：． 证明：∵（ ）， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（ ）． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键，根据平行线的判定和性质及已知条件填空即可。 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 17．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，，，点，，在同一条直线上． (1)判断，的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）根据垂直定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得证； （2）根据平行线的性质求出，结合垂直定义根据角的和差求解即可． 【详解】（1）解，理由如下： ，， （2） ． ， ， ． 18．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分平分．判断是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握相关定理是证明的关键．先根据角平分线的性质得出，，再由可得，从而可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【考点题型七】利用平行线的性质求解（） 19．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，交于上一点，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质、对顶角相等，先根据平行线的判定和对顶角相等得到，进而利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，又， ∴， 故选：C 20．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）将一张长方形纸条折叠成如图形状，若，则 ．    【答案】/70度 【分析】此题考查了邻补角互补，折叠的性质和平行线的性质，首先求出，然后由折叠的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵ ∴ 由折叠可得， 由平行可得，． 故答案为：． 21．（22-23七年级下·浙江台州·期末）直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为 ．      【答案】/25度 【分析】过点C作n的平行线l，得到，，根据平行线的性质求出，再根据直角三角板中含的角，得到，则，进而得到，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点C作n的平行线l，    ∵，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质和三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 22．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知：如图，，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据平行线的判定可得即可； （2）根据平行线的判定与性质得到，再利用角的和差倍数关系即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角的和差倍数关系，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【考点题型八】根据平行线的性质探究角的关系（） 23．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上的一个动点．    (1)如图1，点在段段上，，则______； (2)如果点运动到之间时，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点在两点的外则运动时（点与点不重合），之间的关系是否发生改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)不成立，或，理由见解答 【分析】本题主要考查了平行㦱的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是过点P作平行线，构造内错角． （1）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据，即； （2）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据，可得； （3）根据（1）的方法，过点作，根据平行线的性质，可得，图2中根据，可得；图3中，根据，可得． 【详解】（1）解：如图1，过点作，   ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）结论：， 证明：如图1，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）不成立， 如图2； 理由：过点P作，   ， ， ， ， ， ， ②如图3： ， 理由：过点作，   ， ， ， ， ， 即； 综上，或． 24．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）已知AB∥CD， (1)如图1，若∠ABE＝160°，∠CDE＝120°，求∠BED的度数； (2)如图2，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD与∠BED有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD与∠BED有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)40° (2)∠BED＝2∠BFD，理由见解析 (3)∠BED+2∠BFD＝360°，理由见解析 【分析】（1）延长AB交DE于点F．利用平行线的性质和三角形的内角和定理可直接得结论； （2）延长AB交FD于点N，交DE于点M．利用（1）的结论和角平分线的性质，可说明角间数量关系和理由； （3）利用平行线的性质和四边形的内角和定义，可说明角间数量关系和理由 【详解】（1）延长AB交DE于点F． ∵∠ABE+∠EBF＝180°， ∴∠EBF＝20°． ∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠BFE＝120°． ∵∠EBF+∠BED+∠BFE＝180°， ∴∠BED＝180°﹣20°﹣120°＝40°． （2）∠BED＝2∠BFD． 理由：延长AB交FD于点N，交DE于点M． ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE． ∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠ANF，∠AME＝∠CDE． ∵∠E＝180°﹣∠BME﹣∠EBM＝180°﹣∠CDE﹣（180°﹣∠ABE）＝∠ABE﹣∠CDE， 又∵∠F＝∠ABF﹣∠ANF＝∠ABF﹣∠CDF＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE）， ∴∠E＝2∠F． 即∠BED＝2∠BFD． （3）∠BED+2∠BFD＝360° 理由：过点F作FM∥AB，过点E作EN∥CD． ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE ∴∠ABF＝∠FBM＝∠ABE，∠CDF＝∠FDE＝∠CDE． ∵FM∥AB，EN∥CD，AB∥CD， ∴AB∥FM∥EN∥CD， ∴∠BFM＝∠ABE，∠MFD＝∠CDF， ∴∠BFD＝（∠ABE+∠CDE） ∵∠BFD+∠FBE+∠FDE+∠BED＝360°， ∴∠BED+∠BFD+（∠ABE+∠CDE）＝360°， ∴∠BED+2∠BFD＝360°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理及四边形的内角和定理，作平行线利用平行线的性质是解决本题的关键． 25．（22-23七年级下·广东深圳·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 【答案】（1），证明见解析 （2） 类比迁移： 变式挑战： 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）过E点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 类比迁移：如图3，过E作，过G作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 变式挑战：延长，，交于点P，过M作射线，过E作，过P作，过N作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】问题提出： （1）猜想：， 证明：过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图2，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于F， ∴，， ∴， ∴； 类比迁移： ．理由如下： 如图3，过E作，过G作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分与的平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； 变式挑战： ，理由如下： 如图4，延长，，交于点P， 过M作射线，过E作，过P作，过N作， ∴，，， ∴， 同理得， ∴， ∵同时平分和， ∴，， ∴， 即． 故答案为：． 【考点题型九】平行线性质在实际生活中的应用（） 26．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得：，，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故选：C． 27．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°． 【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2=∠3（等量代换）； 在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°， ∴∠2=55°； ∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题． 28．（21-22七年级下·浙江金华·期中）如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： （1）晷针与晷面夹角为 ； （2）如图2，日晷所处纬度为39.8°，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为60°，则太阳光和该晷面所夹锐角角度为 ． 【答案】 【分析】（1）由垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条平行线，即可判断出晷针与晷面垂直，即晷针与晷面夹角为90°； （2）如图2，晷面OA与太阳光AC交于点A，延长FC交AO于E，日晷底座为DC，由平行线的性质即可求出∠AEC＝140.2°，再根据题意求出∠ACE＝30°，根据三角形内角和定理求出∠EAC即可得出答案． 【详解】解：（1）∵晷面与赤道平行，地轴与赤道垂直， ∴地轴与晷面垂直， 又∵晷针与地轴平行， ∴晷针与晷面垂直，即晷针与晷面夹角为90°， 故答案为：90°； （2）如图2，晷面OA与太阳光MC交于点A，延长FC交AO于E，日晷底座为DC，点N在OA的延长线上， 由题意得：∠ACD＝60°，∠＝39.8°， ∵晷面与赤道平行， ∴∠AEC＝180°－∠＝140.2°， ∵日晷底座与日晷所处地地球半径垂直， ∴∠ECD＝∠DCF＝90°， ∴∠ACE＝∠ECD－∠ACD＝30°， ∴∠EAC＝180°－∠AEC－∠ACE＝9.8°， ∴∠MAN＝∠EAC＝9.8°， 即太阳光与该晷面所夹锐角角度为9.8°， 故答案为：9.8°． 【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，理解题意，能看懂赤道式日晷的二维图形是解答本题的关键． 29．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【答案】（1）15°或115°；（2）120° 【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案． （2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H． 【详解】解：（1）①当∠1=∠2时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠1=2∠1-15°， 解得∠1=15°； ②当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠2+2∠2-15°=180°， 解得∠2=65°， ∴∠1=180°-∠2=115°； （2）过D点作DI∥EF， ∵∠F=145°， ∴∠FDI=35°， ∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°， ∴∠ABH=90°-30°=60°． ∵GH∥AB， ∴∠H=180°-60°=120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等． 【考点题型十】利用平行线间的距离解决问题（） 30．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形被分割成个2长方形和2个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（    ）      A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 【答案】D 【分析】连接，根据题意得到，，然后利用求解即可． 【详解】如图所示，连接，      ∵， ∴， 同理可得， ∴ ∵ ∴ ∴要求图中阴影部分的面积，只要知道长方形的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形面积的计算，涉及图形的割补，通过割补，把不易计算面积的不规则图形转化为易于计算面积的规则图形． 31．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 【考点题型十一】尺规画垂线/平行/平移（） 32．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，点的对应点为，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答，保留痕迹： (1)画出，线段扫过的图形的面积为______； (2)在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，请问这样的点有______个？ 【答案】(1)10 (2)4 【分析】本题主要考查了作图——平移变换，平行四边形的面积，平行线的性质等知识，准确画出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质得出，线段扫过的面积用长方形面积减去周围个直角三角形面积即可； （2）根据平行线之间的距离处处相等可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 线段扫过的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，作，则点即为所求，共有个， 故答案为：． . 33．（20-21七年级下·浙江金华·期末）如图，在正方形网格中（每个小方格均是边长为1的正方形）有一个△ABC，按要求进行下列作图． (1)过点B画出AC的平行线； (2)将△ABC向右上方平移，使点A平移到点A′，请画出经平移后得到的△A′B′C′． (3)请求出△ABC平移过程中线段AB扫过的图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）根据平行线的定义作图即可； （2）根据平移的定义作图即可； （3）将线段AB扫过的四边形分为两个三角形，依次求面积即可． 【详解】（1）如图所示，直线l即为所求； （2）如图所示，△A′B′C′即为所求； ． （3）△ABC平移过程中线段AB扫过的图形的面积即为; 故AB扫过的面积为12. 【点睛】本题考查了作图——作已知线段的平行线和平移作图，线段的运动面积问题，解题关键是正确画出图形，并能够运用三角形面积公式求解． 34．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，内部有一点，过点画交于点C，画交于点D． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线和过直线外一点作平行线，掌握基本画图方法是解答本题的关键． 按照要求过点画交于点，画交于点即可． 【详解】解：如图，，即为所求， ． 35．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，，将向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，．    (1)直接写出的坐标； (2)请在直角坐标系中画出； (3)点为内一点，其平移后的对应点为，求实数，的值． 【答案】(1)的坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，平移的性质 （1）根据平移的性质可得答案． （2）根据平移的性质作图即可． （3）由平移得，点平移后的对应点坐标为，则可得，求出的值即可． 【详解】（1）解：向右平移个单位长度再向下平移个单位长度得到，， 的坐标为 （2）如图，即为所求．    （3）点平移后的对应点坐标为，， ， 解得 ． 【考点题型十二】生活中的平移现象（） 36．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）甲骨文主要流行于商周时期，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A．杯 B．立 C．比 D．曲 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移，根据图形的平移的定义逐一判断即可求解，熟记：“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质知，只有C是利用图形的平移得到的， 故选：C． 37．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）“潮涌”是2022年杭州亚运会会徽，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，如图（1）是会徽的一部分，图（1）通过四次变换使它组合成一个新图案如图）（2）在这四次变换中，是由该图经过平移得到的是（   ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．解答即可． 【详解】解：根据平移的性质可知，平移只改变图形的位置，而图形的形状及大小不变， 所以由该图经过平移得到的是乙． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用平移设计图案，解题的关键是理解平移的定义及性质． 38．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图是镇海学伴小组的，下列图案能用原图平移得到的是（    ） A．   B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义．熟练掌握平移的定义是解题的关键． 根据平移的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，用原图平移得到的图案如下； 故选：B． 39．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列物体的运动属于平移的是（    ） A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千 C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象；根据平移的定义：将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动方式叫做平移，进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 汽车方向盘的转动，不是平移，不符合题意；     B. 小红荡秋千，不是平移，不符合题意；     C. 电梯上顾客的升降运动,是平移，符合题意；     D. 火车在弯曲的铁轨上行驶，不是平移，不符合题意；     故选：C． 【考点题型十三】利用平移的性质求解（） 40．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）如图，将三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置．已知点A，D之间的距离为1，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据平移的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵三角形沿水平方向向右平移到三角形， ∴， ∴． 故选：C． 41．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，沿直线向右平移得到，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，即可选择正确答案． 【详解】A、向右平移得到，则，故正确； B、向右平移得到，则， ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故错误； C、向右平移得到，则，， 即：，故正确； D、向右平移得到， ∴ ∴，故正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 42．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，两个大小相同的直角三角形重叠在一起，若固定不动，将另一个三角形，向左平移并记为，其中，与相交于点H．若，，，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．由平移的性质得，分别求出的长，即可求出的面积． 【详解】解：由平移的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴△CEH的面积为， 故答案为：9． 43．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）如图，沿直线向右平移，得到，且，． (1)求的长． (2)求的度数． 【答案】(1)7cm (2) 【分析】（1）根据平移的性质：平移前后的两个图形的对应线段平行且相等，即可得到结论； （2）根据平移的性质：对应角相等得到答案即可． 【详解】（1）解：由平移可知：， ∵， ∴． （2）解：由平移可知：， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是能够了解平移的性质，属于基础题，比较简单． 【考点题型十四】利用平移解决实际问题（） 44．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）从A到D有三条路可以走，经过的路长为l，经过的路长为m，经过的路长为n，则l，m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点之间线段最短和平移的性质即可判断． 【详解】解：根据平移的性质可得、两条路线的总长度相等； ∵BE+BF＞EF， ∴的长度最短， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象及两点之间线段最短的知识，属于基础题，注意仔细观察图形． 45．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）一块长为25cm，宽为15cm的长方形木板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移2cm（如图乙），则产生的裂缝的面积是 ． 【答案】30 【分析】利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积． 【详解】解：产生的裂缝的面积为：（25+2）×15-25×15 =（27-2）×15 =30（cm2）． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，利用利用两个长方形形的面积差得出裂缝的面积是解题关键． 46．（23-24七年级下·广东云浮·期末）为在广州白云国际机场迎接某国领导人，工作人员需要在飞机舷梯（图1）上铺设红地毯．已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图2所示，则至少需要购买 平方米的地毯． 【答案】9 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积即可． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长宽分别为3.3米，2.7米， ∴地毯的长度为（米）， ∴地毯的面积为（平方米）． 故答案为：9． 47．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质,多项式乘以多项式在几何图形中的应用，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平移的性质可得栽种花卉部分是一个长为米，宽为米的长方形，据此求解即可； （2）将代入（1）中的式子求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：栽种花卉部分的面积是． （2）当时，， 答：当时，面积为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 （7个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 清单01 垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 清单02 相交线形成的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 清单03 平行线的基础 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 清单04 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单05 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 清单06 平行线间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 清单07 平移 定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 【考点题型一】垂线的定义（） 1．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22七年级上·浙江·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．若，则点是线段的中点 C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大度 3．（20-21七年级下·浙江·期末）下列结论正确的是（    ） A．两直线被第三条直所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．不相交的两条直线叫做平行线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【考点题型二】根据现实情况描述数学依据（） 4．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取的长度作为小周的成绩，其依据是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．（21-22七年级下·浙江台州·期末）小明从点A起跳，落脚点为点B，已知AB＝2.5 m，则小明跳远的成绩可能是（    ） A．2.45 m B．2.55 m C．2.6 m D．2.7 m 6．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小茗同学练习跳远，如图，点A是她落地时脚后跟所在点，则这次跳远成绩是图中线段________的长度（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】三线八角的识别（） 7．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）如图，直线、被所截，下列个角中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）图中与为内错角的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，下列各对角中，属于同旁内角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点题型四】利用对顶角、邻补角的性质求解（） 10．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，直线，相交于点O，下列命题中，是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则与互为对顶角 C．若，则 D．若，则与互为邻补角 11．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则，其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点题型五】根据已知条件判定两直线平行（） 13．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，下列条件中能判定的是(    )    A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是 ． 【考点题型六】证明两直线平行（） 16．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，． 求证：． 证明：∵（ ）， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（ ）． 17．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，，，点，，在同一条直线上． (1)判断，的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 18．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分平分．判断是否平行，并说明理由． 【考点题型七】利用平行线的性质求解（） 19．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，交于上一点，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）将一张长方形纸条折叠成如图形状，若，则 ．    21．（22-23七年级下·浙江台州·期末）直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为 ．      22．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知：如图，，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【考点题型八】根据平行线的性质探究角的关系（） 23．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上的一个动点．    (1)如图1，点在段段上，，则______； (2)如果点运动到之间时，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点在两点的外则运动时（点与点不重合），之间的关系是否发生改变？请说明理由． 24．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）已知AB∥CD， (1)如图1，若∠ABE＝160°，∠CDE＝120°，求∠BED的度数； (2)如图2，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD与∠BED有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD与∠BED有怎样的数量关系，并说明理由． 25．（22-23七年级下·广东深圳·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 【考点题型九】平行线性质在实际生活中的应用（） 26．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 27．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 28．（21-22七年级下·浙江金华·期中）如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： （1）晷针与晷面夹角为 ； （2）如图2，日晷所处纬度为39.8°，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为60°，则太阳光和该晷面所夹锐角角度为 ． 29．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【考点题型十】利用平行线间的距离解决问题（） 30．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形被分割成个2长方形和2个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（    ）      A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 31．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【考点题型十一】尺规画垂线/平行/平移（） 32．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，点的对应点为，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答，保留痕迹： (1)画出，线段扫过的图形的面积为______； (2)在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，请问这样的点有______个？ 33．（20-21七年级下·浙江金华·期末）如图，在正方形网格中（每个小方格均是边长为1的正方形）有一个△ABC，按要求进行下列作图． (1)过点B画出AC的平行线； (2)将△ABC向右上方平移，使点A平移到点A′，请画出经平移后得到的△A′B′C′． (3)请求出△ABC平移过程中线段AB扫过的图形的面积． 34．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，内部有一点，过点画交于点C，画交于点D． ． 35．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，，将向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，．    (1)直接写出的坐标； (2)请在直角坐标系中画出； (3)点为内一点，其平移后的对应点为，求实数，的值． 【考点题型十二】生活中的平移现象（） 36．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）甲骨文主要流行于商周时期，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A．杯 B．立 C．比 D．曲 37．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）“潮涌”是2022年杭州亚运会会徽，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，如图（1）是会徽的一部分，图（1）通过四次变换使它组合成一个新图案如图）（2）在这四次变换中，是由该图经过平移得到的是（   ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 38．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图是镇海学伴小组的，下列图案能用原图平移得到的是（    ） A．  B． C． D． 39．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列物体的运动属于平移的是（    ） A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千 C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶 【考点题型十三】利用平移的性质求解（） 40．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）如图，将三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置．已知点A，D之间的距离为1，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 41．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，沿直线向右平移得到，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 42．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，两个大小相同的直角三角形重叠在一起，若固定不动，将另一个三角形，向左平移并记为，其中，与相交于点H．若，，，则的面积为 ． 43．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）如图，沿直线向右平移，得到，且，． (1)求的长． (2)求的度数． 【考点题型十四】利用平移解决实际问题（） 44．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）从A到D有三条路可以走，经过的路长为l，经过的路长为m，经过的路长为n，则l，m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D． 45．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）一块长为25cm，宽为15cm的长方形木板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移2cm（如图乙），则产生的裂缝的面积是 ． 46．（23-24七年级下·广东云浮·期末）为在广州白云国际机场迎接某国领导人，工作人员需要在飞机舷梯（图1）上铺设红地毯．已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图2所示，则至少需要购买 平方米的地毯． 47．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；    (1)栽种花卉部分的面积是多少？ (2)当时，面积为多少？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$